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数列学习要从哪些方面入手



数列学习要从哪些方面入手 江西省永丰中学(331500) 一、要理解数列与函数的联系与区别 对于数列,我们一方面要会用函数的观点去看待,即数列是定义域为 N*(或其 有限子集{1,2,?,n})的函数的函数值依自变量从小到大的顺序排列的一列数. 另 一方面又要注意其与函数的区别.数列的图象只是一系列离散的点,而不是连续曲线. 例 1 设 数 列 ?a n ? 的 通 项 公 式

为 a n ? n 2 ? ?n(n ? N * ) , 若 ?a n ? 满 足 刘 忠 a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ? a n?1 ? ? ,求实数λ 的取值范围. 解 1 ∵ a n?1 ? a n ? (n ? 1) 2 ? ?(n ? 1) ? (n 2 ? ?n) ? 2n ? 1 ? ? ? 0 , ∴ ? ? ?( 2n ? 1) 在 n ? N * 时恒成立,∴λ >-3. 解 2 ∵ (a n )' ? (n 2 ? ?n)' ? 2n ? ? ,由 n ? N * 时 a n 是增函数,知 (a n )' ? 0 ,∴ λ >-2n 在 n ? N * 时恒成立,∴λ >-2. 以上两种解法所得的答案不同,哪个正确哪个错误呢?解 1 是正确的,解 2 是错 误的. 事实上,由λ >-2n 恒成立得出的λ >-2 说明的是 a n 在 ?1,??? 上是增函数,而 a n 在 N* 上是增函数,不要求在 ?1,??? 上是增函数 . 如以上问题中 ? ? ? 5 时, 2 an ? n2 ? 5 n , a n 在 ?1,2? 内不是单调递增的,但并不影响 a n 在 N*上的单调递增性. 2 所以说, 要 a n 在 N*上递增, 只要 a n?1 ? a n 在 N*上恒成立, 而不需 a n 在 ?1,??? 上 是递增的.这就是处理数列问题与处理一般函数问题的区别. 二、要熟悉等差数列和等比数列的一些重要性质 与等差数列和等比数列有关的性质很多,除常用的外,还有: 1 、 已 知 a 、 b ? R , 且 为 与 n 无关 的 常数 , 则 数列 ?a n ? 是 等 差 数列 ? a n ? an ? b 或 S n ? an2 ? bn ;已知 q、c 为不等于 0 的常数,则 ?a n ? 是等比 数列 ? a n ? c ? q 或 Sn ? c ? q ? c . n n -1- 2 、 若 数 列 ?a n ? 是 等 差 数 列 , 则 依 次 K 项 的 和 组 成 的 数 列 : ?a m ?1 ? a m ? 2 ? ? ? a m ? k ?(m、k 是满足 m+k≤n 的正整数)仍为等差数列,且其公差 是原公差的 K 倍;类似地,除特殊情况(如数列 1,-1,1,-1,?)外,即等比数 列的依次 k 项的和不为 0 时,由等比数列的依次 K 项的和组成的数列仍为等比数列, 其公比为原公比的 K 次方. 3、在等比数列 ?a n ? 中,若 a1 ? 0 且 q ? 1 ,或 a1 ? 0 且 0 ? q ? 1 ,则 ?a n ? 是 递增的;若 a1 ? 0 且 0 ? q ? 1 ,或 a1 ? 0 且 q ? 1 ,则 ?a n ? 是递减的;若 q ? 0 , 则数列 ?a n ? 是“摆动”的; q ? 1 时 ?a n ? 是常数数列. 4 、在等差数列 ?a n ? 中,若 S m ? S n (m ? n) ,则 S m? n ? 0 ;若 S P ? q


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