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高中数学必修5解三角形及数列综合练习题


综合练习 2
一、选择题
2 2 1.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a ? b ? 2bc , sin C ? 3sin B ,则

A? (

)

? A. 6
2 . 在

? B. 3
?ABC


2? C. 3
内 角

5? D. 6
A, B, C
所 对 的 边 长 分 别 为

a, b, c. a sin B cos C ? c sin B cos A ? 1 b, 且a ? b, 则?B ?
2

A.

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

3.在△ABC 中,一定成立的等式是( ) A. a sin A ? b sin B B. a cos A ? b cos B C. a sin B ? b sin A D. a cos B ? b cos A 4.若△ ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5:11:13 ,则△ ABC A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 5. 设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c 若 a ? (b ? c)cos C ,则△ABC 的形状是 ( A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形
2



D.锐角三角形
2 2 2 2

6. 在△ABC 中, 内角 A, C 的对边分别是 a, c, b ? c ? 2b ? 4c ? 5 且 a ? b ? c ? bc , B, b, 若 则△ABC 的面积为( A. ) B.

3

3 2

C.

2 2

D.

2


7.如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值为( A.

5 18

B.

3 4

C.

3 2

D.

7 8
2

8.已知三角形的两边长分别为 4,5,它们夹角的余弦是方程 2x +3x-2=0 的根,则第三边 长是( ) A. 20 B. 21 C. 22 D. 61 ,sin A cos A ? cos2 B ?

9. ?ABC 中, A, B, C 所对的边分 a, b, c . a cs A ?s B 在 角 若 o bi n A.-

1 2

B.

1 2

C.-1

D.1

10.在 ?ABC 中,若边长和内角满足 b ? A. 60
?

2, c ? 1, B ? 45? ,则角 C 的值是(
C. 30
?


?

B. 60 或 120

?

?

D. 30 或 150

?

11.设△ABC 中角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c ,且 sin A ? cos B ? B ? sin cos 若 a, b, c 成等差数列且 CA ? CB ? 18 ,则 c 边长为( A.5 B.6 C.7 D .8 12.数列 1,-3,5,-7,9,……的一个通项公式为 A. an ? 2n ? 1 C. an ? ( ?1)n (2n ? 1) B. an ? ( ?1)n (1 ? 2n) D. an ? ( ?1)n (2n ? 1)

Asin2 ?

C ,

??? ??? ? ?



13.把正整数按下图所示的规律排序,则从 2003 到 2005 的箭头方向依次为

14.已知 ?a n ? 为等差数列,若 a1 ? a5 ? a9 ? 8? ,则 cos(a3 ? a7 ) 的值为(



A.

3 3 B. ? 2 2

C.

1 2

D. ?

1 2


15.已知 {an } 为等差数列,其前 n 项和为 S n ,若 a3 ? 6 , S3 ? 12 ,则公差 d 等于( (A)

1

(B)

5 3

(C)

2

(D) )

3

16.在等差数列 (A)9

{a n }

中,2a4+a7=3,则数列 (B)6

{a n }

的前 9 项和等于(

(C)3

(D)12 )

17. 公差不为 0 的等差数列{ an }的前 21 项的和等于前 8 项的和. a8+ak=0 , k=( 若 则 A.20 B.21 C.22 D.23

18. 已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 A n 和 Bn , 且 为整数的正整数 n 的个数是( A.2 B.3 ) C.4 D.5

An 7n ? a 4 5 , 则使得 n ? Bn n?3 bn

19.等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? ?11, a4 ? a6 ? ?6, 则当 S n 取最小值时, n ? ( A.6 ) B.7 C.8 D.9

20.已知公差不为零的等差数列 ?an ? 的前 n 项和为

Sn

,若

a10 ? S 4

,则

S8 ? a9



21.如果等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ( A.14 B.21 C.28 D.35

)

22.一船以每小时 15km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60? ,行驶4h 后,船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15? ,这时船与灯塔的距离为 km. 23. 在△ ABC 中,BC ? 2 ,AC ? 7 ,B ?

? , AB ? ______; ABC 的面积是______. 则 △ 3

24.在锐角△ABC 中,若 a ? 2, b ? 3 ,则边长 c 的取值范围是_________ 25.已知数列 ? an ? 满足 a1 ? 1 , an ?
? 2a ? n 26.设数列 {a }满足a ? ? ? n n ?1 ?2 a ? 1 ? n ?

2nan ?1 ? n ? 2 ? ,则数列 ?an ? 的通项公式为 an = an ?1 ? 2n ? 2
0 ? an ? 1 6 2 若 a1 ? ,则a 2013 ?

1 ? an ? 1 2

7

27.在等差数列{an}中,a1=-7, a7 ? ?4 ,则数列{an}的前 n 项和 Sn 的最小值为________. 28.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若

S3 1 S ? ,则 6 = S6 3 S12
.

29.等差数列 ?an ? 中,若 a1 ? a2 ? ?4, a9 ? a10 ? 12, 则 S30 =

30.某小朋友按如右图所示的规则练习数数,1 大拇指,2 食指,3 中指,4 无名指,5 小指, 6 无名指, ... ,一直数到 2013 时,对应的指头是 (填指头的名称). 31. (本小题满分 12 分) 已知在△ABC 中,AC=2,BC=1, cos C ? (1)求 AB 的值; (2)求 sin(2 A ? C ) 的值。

3 , 4

32.△ABC 中, a, b, c 是 A,B,C 所对的边,S 是该三角形的面积,且

cos B b ?? cos C 2a ? c

(1)求∠B 的大小; (2)若 a =4, S ? 5 3 ,求 b 的值。

33.在 ?ABC 中, A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 b cos C ? 3a cos B ? c cos B . (1)求 cos B 的值; (2)若 BA ? BC ? 2 , b ? 2 2 ,求 a 和 c .

??? ??? ? ?

34.已知已知 {an } 是等差数列,期中 a5 ? 24 , a7 ? 14 求: 1. {an } 的通项公式 2.数列 {an } 从哪一项开始小于 0? 3.求 S19

35.设 ?an ? 为等差数列, S n 是等差数列的前 n 项和,已知 a2 ? a6 ? 2 , S15 ? 75 . (1)求数列的通项公式 an ; (2) Tn 为数列 ?

? Sn ? ? 的前 n 项和,求 Tn . ?n?

36.数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列且 bn=an+1-an(n∈N ).若 b3=-2,b10=12,求 a8 的值

*

37.已知等差数列

的前 n 项和为 S n ,若 S13 ? ?26 , a9 ? 4 ,求:

(1)数列 的通项公式; (2) a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a2 n ?1 .

综合练习 2 1 . B 【

参考答案 解 析 】 由

sin C ? 3sin B ? c ? 3b









cos A ?
2.A

b 2 ? c 2 ? a 2 b 2 ? 9b 2 ? b 2 ? 6b 2 1 ? ? ? A? 2 2bc 6b 2 ,又因为: A ? (0, ? ) ,所以 3.
a=2R sin A, c=2R sin C, b=2R sin B

由 a sin B cos C ? c sin B cos A ? 可得 sin A cos C +sinC cos A= 即 sin (A ? C ) ? sin B ?

1 b, 2

1 ? ,又 a ? b, 故?B = ,故,选 A 2 6 a b c 3.C【解析】由正弦定理 ? ? ? 2 R 变形可知 C 项 a sin B ? b sin A 正确 sin A sin B sin C 4.C【解析】因为, sin A : sin B : sin C ? 5:11:13 ,所以由正弦定理知,a:b:c=5:11:13,
设 a=5k,b=11k,c=13k(k>0), 由 余 弦 定 理 得 ,

1 2

cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 (5k )2 ? (11k )2 ? (13k )2 23 ? ?? ? 0 ,故△ ABC 一定是钝角三角 2ab 2 ? 5k ?11k 110

形,选 C。 5.A【解析】由余弦定理得, cos C ? 可化为 a ? (b ? c)

a 2 ? b2 ? c2 , a ? (b ? c)cos C 2ab

a 2 ? b2 ? c 2 , 整理得 (b ? c)(b2 ? c 2 ? a 2 ? bc) =0, 2ab 所以,b=c,选 A。
6.B【解析】根据题意,由于内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 b ? c ? 2b ? 4c ? 5 ,
2 2

且 a ? b ? c ? bc ,那么根据余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A,? cos A ?
2 2 2

2

2

2

1 ? ? A ? ,由 2 3

于 b ? c ? 2b ? 4c ? 5 ? (b ? 1) ? (c ? 2) ? 0 ? b ? 1, c ? 2 ,可以解得 bc=2,那么三角形
2 2 2 2

的面积为 S=

1 3 3 ? 2? ? ,故选 B。 2 2 2

4a 2 ? 4a 2 ? a 2 7 ? 7. 解析】 D 【 设底边为 a , 则周长为 5a , 腰长为 2a , 由余弦定理得 cos ? ? 2?2a ?2a 8
8.B 【解析】2x +3x-2=0 的根为-1,
2

1 1 ,所以三角形的两边夹角的余弦是 ,由 2 2

余弦定理得,第三边长是 4 ? 5 ? 2 ? 4 ? 5 ?
2 2

1 ? 21 ,故选 B。 2

9.D【解析】由 a cos A ? b sin B 得 sin A cos A ? sin2 B

?sin A cos A ? cos2 B ? sin 2 B ? cos2 B ? 1
10 . C 【 解 析 】 根 据 题 意 , 由 于 边 长 和 内 角 满 足 b ?

2, c ? 1, B ? 45? , 则 可 知

2 b c c sin B 1 ? ? sin C ? ? 2 ? ,由于 c<b,则可知角 C 的值是 30 ? ,选 C. sin B sin C b 2 2
11. B 【解析】 sin A ? cos B ? sin B ? cos A ? sin 2C , n ∵ ∴s i( ∴ cos C ?

A ?Bn ? 2 ?s ) s i n c s o C i

C

C



??? ??? ? ? 1 ? ? 1 ,∴ C ? ,∴ CA ? CB ? ba cos ? ab ?18 ,∴ab=36,又 a, b, c 成等差数 2 3 3 2

列,∴2b=a+c,又 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? cos C ,三式联立解得 a=b=c=6,故选 B 12.B 【解析】 数列中正负项(先正后负)间隔出现,必有

(?1)n?1
,1,3,5,7,9,……故

1,-3,5,-7,9,…… an ? ( ?1)n (1 ? 2n) 2n-1,所以数列 的一个通项公式是 ,故选 B。 13.A【解析】根据如图所示的排序可以知道每四个数一组循环,所以确定 2005 到 2007 的 箭头方向可以把 2005 除以 4 余数为 1,由此可以确定 2005 的位置和 1 的位置相同,然后就 可以确定从 2005 到 2007 的箭头方向解: 和 5 的位置相同, ∵1 ∴图中排序每四个一组循环, 而 2003 除以 4 的余数为 3,∴2005 的位置和 3 的位置相同,∴2003 2005. 、故选 A.

考点:周期性的运用 点评:此题主要考查了数字类的变化规律.通过观察,分析、归纳并发现其中的规律,并应 用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力 14 . D 【 解 析 】 因 为 a1+a5+a9=8 ? , 所 以 a5 ? ? , 所 以 a3 ? a 7 ? 2a 5 ?

8 3

16 ? ,所以 3

cos ? a3 ? a7 ? ? cos

16 1 ? ?? . 3 2

15.C【解析】 S 3 ? 3a2 ? 12 , a2 ? 4 , d ? a3 ? a2 ? 2 . 16.A【解析】? 2a4 ? a7 ? 3,? 3a1 ? 12d ? 3,? a5 ? 1.? S9 ?

9(a1 ? a9 ) ? 9a5 ? 9. 2

17.C【解析】依题意, S 21 ? S 8 ,所以 a15 ? 0 ,所以 2a15 ? a8 ? a 22 ? 0 ,又 a8 ? a k ? 0 , 所以 k ? 22 . 18.D【解析】在等差数列中,若 m ? n ? p ? q, 则 am ? an ? a p ? aq 。 因为,两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 A n 和 Bn ,且

An 7n ? 45 , ? Bn n?3

n(a1 ? a2 n ?1 ) A an 2an 7(2n ? 1) ? 45 7n ? 19 12 2 所以, = , ? ? ? 2 n ?1 ? ?7? bn n ?1 n ?1 2bn n(b1 ? b2 n ?1 ) B2 n ?1 (2n ? 1) ? 3 2
为使

an 为整数,须 n+1 为 2,3,4,6,12,共 5 个,故选 D。 bn

19 . A 【 解 析 】 根 据 题 意 , 由 于 等 差 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , 若

a1 ? ? 1 , 4 ? a6 ? ? = a5 ? 5 1 a 6 2 ,a

= -? 3

4 d ,可知该数列是首项为负数的递增数 ?d 8, ? 2

( 列, 那么可知 an =-11+2 n-1)=2n-13 , n=7 开始为正数项, n=6 为负数, 当 当 故可知当 S n
取最小值时, n ? 6,故答案为 A. 20 . 4 【 解 析 】 根 据 题 意 , 由 于 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为

Sn

,若

a1 0 ? S 4 ? a 1 ?9 d ?4 a1 ?6 d ? a1 ? d 那么可知 ,

S8 8a1 ? 28d ? ? 4 ,故可知答案为 4. a9 a1 ? 8d

21.C【解析】根据题意,由于等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,则可知 3

a 4 =12 ? a 4 =4 ,那么则 a1 ? a2 ? ? ? a7 ? a 4 =28 故答案为 C.
7 22.30 2 【解析】由题意,在△ABC 中,∠BAC= 90? ? 60? ? 30? ,∠ACB= 90? ? 15? ? 105? , ∠ ABC=

180? ? 105? ? 30? ? 45?





AC=60















BC ?

AC sin ?BAC 60sin 30? ? ? 30 2 ,故这时船与灯塔的距离为 30 2 千米 sin ?ABC sin 45?
3 3 【 解 析 】 由 余 弦 定 理 得 AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos 600 , 即 2
, 得

23 . 3 ;

1 7 ? A B2 ? 4 ? 2 A B ? 2 ? 2
S?

A 2B 2 ?

A 3B ?, ? 0

? AB ? 3或 ? 1(舍)



1 1 3 3 3 . AB ? BC sin 600 ? ? 3 ? 2 ? ? 2 2 2 2

?a 2 ? b 2 ? c 2 ?13 ? c 2 ? 2 2 2 ? 2 2 24. ( 5, 13) 【解析】依题意得, ?a ? c ? b , ?4 ? c ? 9,5 ? c ? 13, 5 ? c ? 13 , ?c 2 ? b 2 ? a 2 ?c 2 ? 9 ? 4 ? ?
故边长 c 的取值范围是 ( 5, 13) 。 25 .

2nan ?1 2n n ? N ? 【 解 析 】 因 为 , a1 ? 1 , an ? ? n ? 2? , 所 以 , an ?1 ? 2n ? 2 n ?1

?

?

a2 ?
……

2 ? 4a3 2 ? 2a1 2 ? 3a2 2 ? 5a4 4 6 8 10 ? , a3 ? ? , a4 ? ? , a5 ? ? , a1 ? 2 ? 2 ? 2 3 a2 ? 2 ? 3 ? 2 4 a3 ? 2 ? 4 ? 2 5 a4 ? 2 ? 5 ? 2 6

归纳得出, an =

2n n? N? 。 n ?1

?

?

26.

3 【解析】根据题意,由于 {a n }满足a n ?1 7

? ?2 a n ? ?? ?2 a ? 1 ? n ?

0 ? an ?

1 2

1 ? an ? 1 2

,那么可知当

6 5 3 6 可知数列的周期为 3,那么可知 2013=3 ? 670+3, a1 ? ,则 a2 = , a3 = , a4 = , 7 7 7 7 3 3 a2013 ? a3 ? ,故可知答案为 。 7 7 105 27. ? 【解析】因为,等差数列{an}中,a1=-7, a7 ? ?4 ,所以,此为递增数列, 2 a ? a1 1 1 且d ? 7 ? , an ? (n ? 15) ,即从第 15 项起,以后各项均为非负数,故数列的前 14 7 ?1 2 2 105 项或前 15 项和最小,数列{an}的前 n 项和 Sn 的最小值为 S14 ? S15 = ? . 2
28.

3 10

【解析】∵ ?an ? 为等差数列,∴设 Sn ? an2 ? bn ,则
S6 36a ? 6b 36a ? 18a 3 ? ? ? S12 144a ? 12b 144a ? 36a 10

S3 9a ? 3b 1 ? ? .整理得 S6 36a ? 6b 3

b ? 3a .∴

29.360 【解析】解:∵a1+a2=4,a10+a9=36,∴a1+a10+a2+a9=40,由等差数列的性质可得,

a1 ? a30 ? 30 2 a1+a10=a2+a9,∴a1+a30=20,由等差数列的前 n 项和可得,S30= =300 故答案为:
300 30.小指【解析】当数到数字 5,13,21, ? ,对应的指头为小指,而这些数相差是 8 的 倍数,则在这些数中,含有 2013,故对应的指头是小指。 31. (1) AB ?

2. (2)见解析.
3 ? 2, 4

(1)由余弦定理,

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC ? cos C ? 4 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ?
即 AB ?

2.

………………4 分

(2)由 cos C ?

3 7 , , 且0 ? C ? ? , 得 sin C ? 1 ? cos2 C ? 4 4

由正弦定理 所以 cos A ?

AB BC BC sin C 14 ? , 解得 sin A ? ? , sin C sin A AB 8 5 2 8 5 7 , 16

由倍角公式sin 2 A ? 2 sin A cos A ? 且 cos 2 A ? 1 ? 2 sin 2 A ? 9 , 16

故 sin(2 A ? C ) ? sin 2 A cos C ? cos 2 A sin C ?

5 7 3 9 7 3 7 ? ? ? ? .??12分 16 4 16 4 8

32.⑴ B ?

2 ? ,⑵ b ? 61 3 cos B b cos B sin B ?? ? ?? cos C 2a ? c cos C 2sin A ? sin C

【解析】⑴由

? 2sin A cos B ? cos B sin C ? ? sin B cos C ? 2sin A cos B ? ? sin B cos C ? cos B sin C
? 2sin A cos B ? ? sin( B ? C) ? 2sin A cos B ? ? sin A

? 2sin A cos B ? cos B sin C ? ? sin B cos C ? 2sin A cos B ? ? sin B cos C ? cos B sin C
? 2sin A cos B ? ? sin( B ? C) ? 2sin A cos B ? ? sin A
1 2 ? cos B ? ? , 又0 ? B ? ? ,? B ? ? 2 3
⑵ 由a ? 4, S ? 5 3有S ?

1 1 3 ac sin B ? ? c ? ?c?5 2 2 2 3 ? b ? 61 2

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? b 2 ? 16 ? 25 ? 2 ? 4 ? 5 ?
33. (1) cos B ?

1 ;(2) a ? c ? 6 . 3 【解析】 (1)由正弦定理得 a ? 2R sin A , b ? 2R sin B , c ? 2R sin C 又 b cos C ? 3a cos B ? c cos B ,∴ sin B cos C ? 3sin A cos B ? sin C cos B ,… 2 分
即 sin B cos C ? sin C cos B ? 3sin A cos B ,∴ sin ? B ? C ? ? 3sin A cos B ,… 4 分 ∴ sin A ? 3sin A cos B ,又 sin A ? 0 ,∴ cos B ?

1 3

6分

(2)由 BA ? BC ? 2 得 ac cos B ? 2 ,又 cos B ?

??? ??? ? ?

1 ,∴ ac ? 6. 3

8分 10 分 12 分

由 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , b ? 2 2 可得 a 2 ? c 2 ? 12 , ∴ ? a ? c ? ? 0 ,即 a ? c ,∴ a ? c ?
2

6.
? B)

34. (1) sin B ? sin c ? sin B ? sin( (2)10

?
3

(3)-19【解析】 (1)根据题意,由于 {an } 是等差数列,期中 a5 ? 24 , a7 ? 14 则可知 a1 ? 4d ? 24

a1 ? 6d ? 14 ,可求得 d=-5

则 sin B ? sin c ? sin B ? sin( (2)令 ?

?
3

? B)

1 3 ? sin B ? cos B <0 可求得 ? sin( B ? ) ,n 的取值为 10 开始变为负数, 2 2 3
? 19a1 ?

故答案为 10

19 ?18 ? (?5) ? ?19 2 1 2 9 35. (1)n-3(2) n ? n 【解析】⑴∵ a2 ? a1 +d ,a6 ? a1 +5d ,∴ a2 ? a6 ? 2a1 ? 6d=2 4 4
(3) S
19

①,又 S15 ? 15a1 ? 105d ? 75 ②,解方程①②,得 a1 =-2 ,d=1,∴数列的通项公式 an =n-3; ⑵∵ Sn ?

S 1 2 5 1 5 1 ?S ? n ? n ,∴ n ? n ? ,即数列 ? n ? 为首项为-2 公差是 等差数列,∴ 2 2 n 2 2 2 ?n? n(n ? 1) 1 1 2 9 ? ? n ? n 2 2 4 4

前 n 项的和为 Tn ? ?2n ?

36 . a8 ? 3 解 : 依 题 意 可 知 b1+2d=-2 , b1+9d=12 , 解 得 b1=-6 , d=2 , ∵ bn=an+1-an , ∴ b1+b2+…+bn=an+1-a1, ,∴a8=b1+b2+…+b7+3=

(?6 ? 6) ? 7 ?3? 3 。 2

2 37. (1) an ? 3n ? 23 ; (2) a1 ? a3 ? ? ? a2 n ?1 ? 3n ? 23n

(1) S13 ? 13a7 ? ?26 ? a7 ? ?2 ? d ?

a9 ? a7 ? 3 ; ……6 分 9?7

? an ? a9 ? (n ? 9)d ? 3n ? 23 ……7 分
(2) a1 ? a3 ? ? ? a2 n ?1 ?

n(a1 ? a2 n?1 ) ? 3n2 ? 23n ……13 分 2


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