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模块9-1《计数原理》


PANGJUN

第一节 分类和分步计数原理

【归纳·知识整合】 1.分类加法计数原理 完成一件事有 n 类不同的方案,在第一类方案中有 m1 种不同的方法,在第二类方案中 有 m2 种不同的方法,?,在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法,则完成这件事,共有 N= m1+m2+?+mn 种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要 n 个不同的步骤,完成第一步有 m1 种不同的方法,完成第二步有 m2 种不同的方法,?,完成第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1m2?mn 种 不同的方法. [探究] 1.选用分类加法计数原理的条件是什么?

提示: 当完成一件事情有几类办法, 且每一类办法中的每一种办法都能独立完成这件事 情,这时就用分类加法计数原理. [探究] 2.选用分类乘法计数原理的条件是什么? 提示:当解决一个问题要分成若干步,每一步只能完成这件事的一部分,且只有当所有 步都完成后,这件事才完成,这时就采用分步乘法计数原理.

【自测· 牛刀小试】 1.一个袋子里放有 6 个球,另一个袋子里放有 8 个球,每个球各不相同,从两袋子里 各取一个球,不同取法的种数为( A.182 C.48 ) B.14 D.91 )

2.某学生去书店,发现 3 本好书,决定至少买其中一本,则购买方式共有( A.3 种 C.7 种 B.6 种 D.9 种

3.从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中,任取两个不同数字相加,其和为偶数的不同取法的种 数有( ) B.20 D.6

A.30 C.10

4.如图,从 A→C 有________种不同的走法.

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5. 设集合 A 中有 3 个元素, 集合 B 中有 2 个元素, 可建立 A→B 的映射的个数为________.

考点一 【例 1】

分类加法计数原理 (1)(2012· 北京高考)从 0,2 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成无重 ) B.18 D.6

复数字的三位数,其中奇数的个数为( A.24 C.12

(2)将 5 名同学分到甲、乙、丙 3 个小组,若甲组至少两人,乙、丙组至少各一人,则 不同的分配方案的种数为( A.80 C.140 ) B.120 D.50

本例(1)条件不变,求有多少个能被 5 整除的数?

—————

—————————————— 使用分类加法计数原理计数的两个条件

一是根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准,然后在这个标准下进行分类; 二是完成这件事的任何一种方法必须属于某一类, 并且分别属于不同类的两种方法是不 同的方法,只有满足这些条件,才可以用分类加法计数原理.

1.若自然数 n 使得作竖式加法 n+(n+1)+(n+2)均不产生进位现象,则称 n 为“良 数”.例如:32 是“良数”,因为 32+33+34 不产生进位现象;23 不是“良数”,因为 23+24+25 产生进位现象.那么小于 1 000 的“良数”的个数为( A.27 C.39 考点二 B.36 D.48 分步乘法计数原理
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)

【例 2】学校安排 4 名教师在六天里值班,每天只安排一名教师,每人至少安排一天,

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至多安排两天,且这两天要相连,那么不同的安排方法有________种(用数字作答).

—————

—————————————— 使用分步乘法计数原理计数的两个注意点

(1)要按照事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的; ?2?各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各个步骤都完成才算完成这件事.

2.将数字 1,2,3,4,5,6 按第一行 1 个数,第二行 2 个数,第三行 3 个数的形式随机排列, 设 Ni(i=1,2,3)表示第 i 行中最大的数,则满足 N1<N2<N3 的所有排列的个数是________(用数 字作答).

考点三

两个计数原理的综合应用

【例 3】用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为 1,2,?,9 的 9 个小正方形,使得 任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同,且标号为 1,5,9 的小正方形涂相同的颜 色,则符合条件的所有涂法共有________种.

—————

—————————————— 应用两个原理解决实际问题的注意点

在解决实际问题中,并不一定是单一的分类或分步,而是可能同时应用两个计数原理, 即分类的方法可能要运用分步完成, 分步的方法可能会采取分类的思想求. 分清完成该事情 是分类还是分步,“类”间互相独立,“步”间互相联系.

3.如图所示,用四种不同颜色给图中的 A,B,C,D,E,F 六个点涂色,要求每个点 涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法共有( )
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A.288 种 C.240 种

B.264 种 D.168 种

2 个区别——两个计数原理的区别 分类加法计数原理 每类办法都能独立完成这件事.它 区别一 是独立的、一次的且每次得到的是 最后结果,只需一种方法就完成 分步乘法计数原理 每一步得到的只是其中间结果,任 何一步都不能独立完成这件事,缺 少任何一步都不可,只有各步骤都 完成了才能完成这件事

区别二

各类办法之间是互斥的,并列的, 各步之间是相互依存的,并且既不 独立的 能重复,也不能遗漏

3 个注意点——利用两个计数原理解题时的三个注意点 (1)当题目无从下手时,可考虑要完成的这件事是什么,即怎样做才算完成这件事,然 后给出完成这件事的一种或几种方法,从这几种方法中归纳出解题方法; (2)分类时标准要明确,做到不重不漏,有时要恰当画出示意图或树状图,使问题的分 析更直观、清楚,便于探索规律; (3)混合问题一般是先分类再分步.

数学思想——计数原理中的分类讨论 从近几年的高考试题来看, 两个计数原理的问题重点考查学生分析问题解决问题的能力
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及分类讨论思想的应用.解决此类问题时,需要分清两个原理的区别,一般情形是考虑问题 有几种情况,即分类;考虑每种情况有几个步骤,即分步.要求既要会合理分类,又要能合 理分步. 【典例】 (2012· 浙江高考)若从 1,2,3,?,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和 为偶数,则不同的取法共有( A.60 种 C.65 种 ) B.63 种 D.66 种

【变式训练】 1.已知 a,b∈{0,1,2,?,9},若满足|a-b|≤1,则称 a,b“心有灵犀”.则 a,b“心 有灵犀”的情形共有( A.9 种 C.20 种 ) B.16 种 D.28 种

第二节 排列与组合

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【归纳·知识整合】 1.排列与排列数公式 (1)排列与排列数

(2)排列数公式 n! Am (m,n∈N*,m≤n). n =n(n-1)(n-2)?(n-m+1)= ?n-m?! (3)排列数的性质 An ;A0 n=n! n=1;0!=1. 2.组合与组合数公式 (1)组合与组合数

(2)组合数公式 Cm n= n?n-1??n-2???n-m+1? n! = (m,n∈N*,m≤n). m! m!?n-m?!

(3)组合数性质
m n ①C0 n=1;②Cn =Cn
-m

m m 1 ;③Cm . n+1=Cn +Cn


[探究]

1.排列与排列数有什么区别?

提示:排列与排列数是两个不同的概念,排列是一个具体的排法,不是数,而排列数是 所有排列的个数,是一个正整数.

[探究] 2.如何区分一个问题是排列问题还是组合问题? 提示:看选出的元素与顺序是否有关,若与顺序有关,则是排列问题,若与顺序无关, 则是组合问题.

【自测· 牛刀小试】 1.12 名选手参加校园歌手大奖赛,大赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名,每人最多 获得一种奖项,则不同的获奖种数是( A.123 ) B.312
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C.A3 12

D.12+11+10

2.异面直线 a,b 上分别有 4 个点和 5 个点,由这 9 个点可以确定的平面个数是( A.20 C.C3 9 B.9
1 2 1 D.C2 4C5+C5C4

)

3.将 7 名学生分配到甲、乙两个宿舍中,每个宿舍至少安排两名学生,那么互不相同 的分配方案共有( A.252 种 C.20 种 ) B.112 种 D.56 种

4.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人担任奥运志愿者,若选出的 4 人中既有男生又有 女生,则不同的选法共有________种.

5.如图 M,N,P,Q 为海上四个小岛,现要建造三座桥,将这四个小岛连接起来,则 不同的建桥方法有________种.

考点一

排列问题

【例 1】 3 名男生,4 名女生,按照不同的要求排队,求不同的排队方案的方法种数: (1)选其中 5 人排成一排;
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(2)排成前后两排,前排 3 人,后排 4 人; (3)全体站成一排,男、女各站在一起; (4)全体站成一排,男生不能站在一起; (5)全体站成一排,甲不站排头也不站排尾.

本例中若全体站成一排,男生必须站在一起,有多少中排法?

—————

—————————————— 解决排列类应用题的主要方法

(1)直接法:把符合条件的排列数直接列式计算; (2)特殊元素(或位置)优先安排的方法,即先排特殊元素或特殊位置; (3)捆绑法:相邻问题捆绑处理的方法,即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素 排列,同时注意捆绑元素的内部排列; (4)插空法:不相邻问题插空处理的方法,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相 邻的元素插在前面元素排列的空当中; (5)分排问题直排处理的方法; (6)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法; (7)定序问题除法处理的方法,即可以先不考虑顺序限制,排列后再除以定序元素的全 排列.

1.一位老师和 5 位同学站成一排照相,老师不站在两端的排法( A.450 C.480 B.460 D.500

)

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2.排一张有 5 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单. (1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种? (2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种?

考点二 【例 2】 的选法? (1)至少有 1 名女生入选; (2)至多有 2 名女生入选; (3)男生甲和女生乙入选; (4)男生甲和女生乙不能同时入选; (5)男生甲、女生乙至少有一个人入选.

组合问题 要从 5 名女生,7 名男生中选出 5 名代表,按下列要求,分别有多少种不同

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—————————————— 组合两类问题的解法

(1)“含”与“不含”的问题:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不 含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”、“最多”的问题:解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关
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键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解.通常用直接法分类复杂时, 考虑逆向思维,用间接法处理.

3.某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选修课 4 门,一位同学从中选 3 门.若要求两类课 程中各至少选一门,则不同的选法共有( A.30 种 C.42 种 ) B.35 种 D.48 种

考点三

排列、组合的综合应用

【例 3】有 5 个男生和 3 个女生,从中选出 5 人担任 5 门不同学科的科代表,求分别符 合下列的选法数: (1)有女生但人数必须少于男生; (2)某女生一定担任语文科代表; (3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表; (4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表.

—————

—————————————— 求解排列、组合综合题的一般思路

排列、组合的综合问题,一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组,再对取出的 元素或分好的组进行排列. 其中分组时, 要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分 类的标准.
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4.4 个不同的球,4 个不同的盒子,把球全部放入盒内. (1)恰有 1 个盒不放球,共有几种放法? (2)恰有 1 个盒内有 2 个球,共有几种放法? (3)恰有 2 个盒不放球,共有几种放法?

1 个识别——排列问题与组合问题的识别方法 识别方法 排列 若交换某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,即排列问题与选取元素 顺序有关 若交换某两个元素的位置对结果没有影响,则是组合问题,即组合问题与选取元素 顺序无关

组合

3 点注意——求解排列、组合问题的三个注意点 (1)解排列、组合综合题一般是先选后排,或充分利用元素的性质进行分类、分步,再 利用两个原理作最后处理. (2)解受条件限制的组合题,通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决.分类标 准应统一,避免出现重复或遗漏. (3)对于选择题要谨慎处理,注意等价答案的不同形式,处理这类选择题可采用排除法 分析选项,错误的答案都是犯有重复或遗漏.

创新交汇——几何图形中的排列组合问题

1.排列、组合问题的应用一直是高考的热点内容之一,高考中除了以实际生活为背景 命题外,还经常与其他知识结合交汇命题.
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2.解答此类问题应注意以下问题: (1)仔细审题,判断是排列问题还是组合问题; (2)对限制条件较为复杂的排列组合问题,可分解为若干个简单的基本问题后再用两个 原理来解决; (3)由于排列组合问题的答案一般数目较大,不易直接验证,可采用多种不同的方法求 解,看结果是否相同来检验. 【典例】 (2011· 湖北高考)给 n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当 n≤4 时,在 所有不同的着色方案中,黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示:

由此推断,当 n=6 时,黑色正方形互不相邻的着色方案共有________种,至少有两个 黑色正方形相邻的着色方案共有________种(结果用数值表示).

【变式训练】 (2012· 安徽高考)6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多 交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换, 则收到 4 份纪念品的同学人数为( A.1 或 3 C.2 或 3 ) B.1 或 4 D.2 或 4

第三节 二项式定理

【归纳·知识整合】
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1.二项式定理 二项式定理 二项式系数 二项式通项 2.二项式系数的性质
n 1 n 1 n k k n * (a+b)n=C0 b+?+Ck b +?+Cn na +Cna na nb (n∈N )
- -

二项展开式中各项系数 Cr n(r=0,1,?,n)
n r r Tr+1=Cr b ,它表示第 r+1 项 na


[探究] 1. 二项式(x+y)n 的展开式的第 k+1 项与(y+x)n 的展开式的第 k+1 项一样吗? 提示:尽管(x+y)n 与(y+x)n 的值相等,但它们的展开式形式是不同的,因此应用二项 式定理时,x,y 的位置不能随便交换. [探究] 2. 二项式(x+y)n 展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗? 提示:不一定最大,当二项式中 x,y 的系数均为 1 时,或 x,y 的系数均为-1,n 为偶 数时,此时二项式系数等于项的系数,否则不一定.

【自测· 牛刀小试】 1.(x-y)n 的二项展开式中,第 r 项的系数是( A.Cr n C.Cr n
-1

)
+1 - -1

B.Cr n

D.(-1)r 1Cr n

2.(2012· 四川高考)(1+x)7 的展开式中 x2 的系数是( A.42 C.28 B.35 D.21

)

a?8 3.已知? ?x-x? 展开式中常数项为 1 120,其中实数 a 是常数,则展开式中各项系数的 和是( A.2 )
8

B.38 D.1 或 28

C.1 或 38

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4.若(1+2x)6 的展开式中的第 2 项大于它的相邻两项,则 x 的取值范围是________.

2 2 3 n 2 n 1 5.若 C1 Cn +3n 1=85,则 n 的值为________. n+3Cn+3 Cn+?+3
- - -

考点一

求二项展开式中特定项或特定项系数

2?6 【例 1】(1)(2012· 上海高考)在? ?x-x? 的二项展开式中,常数项等于________.
2 1?6 3 (2)(2012· 广东高考)? ?x +x? 的展开式中 x 的系数为________(用数字作答).

(3)(2012· 福建高考)(a+x)4 的展开式中 x3 的系数等于 8,则实数 a=________.

—————

—————————————— 求特定项的步骤

(1)根据所给出的条件(特定项)和通项公式建立方程来确定指定项(求解时要注意二项式 系数中 n 和 r 的隐含条件,即 n 为正整数,r 为非负整数,且 r≤n); (2)根据所求项的指数特征求所要求解的项. 2?n 1.(2012· 泰安模拟)若二项式? ? x-x? 的展开式中第 5 项是常数项,则正整数 n 的值可 能为( A.6 C.12 ) B.10 D.15

1?6 2.(1+x+x2)? ?x-x? 的展开式中的常数项为________.

考点二

二项式系数和或各项的系数和

【例 2】设(2- 3x)100=a0+a1x+a2x2+?+a100x100,求下列各式的值: (1)a0; (2)a1+a2+?+a100; (3)a1+a3+a5+?+a99; (4)(a0+a2+?+a100)2-(a1+a3+?+a99)2.
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—————

—————————————— 赋值法在求解二项式各项系数和有关问题中的应用

“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a, b∈R)的式子,求其展开式的各项系数之和时常用赋值法,只需令 x=1 即可;对形如(ax+ by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令 x=y=1 即可. a1 a2 a2013 3.若(1-2x)2 013=a0+a1x+?+a2 013x2 013(x∈R),则 + 2+?+ 2013的值为( 2 2 2 A.2 C.-1 B.0 D.-2

)

4 .若 (2x - 3)5 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 ,则 a1 + 2a2 + 3a3 + 4a4 + 5a5 等于 ________.

考点三 【例 3】

二项展开式系数最大项的问题 2 ?8 求二项式? ? x-x2? 的展开式中:

(1)二项式系数最大的项; (2)系数最大的项和系数最小的项.

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—————————————— 运用二项式定理时的两个注意点

在运用二项式定理时不能忽视展开式中系数的正负. 当然还需考虑二项式系数与展开式 某项的系数之间的差异: (1)二项式系数只与二项式的指数和项数有关,与二项式无关; (2)项的系数不仅与二项式的指数和项数有关,还与二项式有关. 1 ?n 2 5.如果? ?x -2x? 的展开式中只有第 4 项的二项式系数最大,那么展开式中的所有项的 系数之和是( A.0 C.64 ) B.256 1 D. 64

1 个公式——二项展开式的通项公式 通项公式主要用于求二项式的特定项问题,在运用时,应明确以下几点:
n r r (1)Cr b 是第 r+1 项,而不是第 r 项; na


(2)通项公式中 a,b 的位置不能颠倒; (3)通项公式中含有 a,b,n,r,Tr+1 五个元素,只要知道其中的四个,就可以求出第 五个,即“知四求一”. 3 点注意——二项式系数的三个注意点 (1)求二项式所有系数的和,可采用“赋值法”; (2)关于组合式的证明,常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法; (3)展开式中第 r+1 项的二项式系数与第 r+1 项的系数一般是不相同的, 在具体求各项 的系数时,一般先处理符号,对根式和指数的运算要细心,以防出错.

易误警示——对二项展开式的考虑不全面致错 【典例】 A.10 C.40 1 2x2- ?5 的二项展开式中,x 的系数为( (2012· 天津高考)在? x? ? B.-10 D.-40
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)

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1 ?5 【变式训练】1.(2012· 安徽高考)(x2+2)? ?x2-1? 的展开式的常数项是( A.-3 C.2 B.-2 D.3

)

2.设(5x- x)n 的展开式的各项系数之和为 M,二项式系数之和为 N,M-N=240,则 展开式中的 x3 项的系数为( A.500 C.150 ) B.-500 D.-150

3.a4(x+1)4+a3(x+1)3+a2(x+1)2+a1(x+1)+a0=x4,则 a3-a2+a1=________.

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