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河北省唐山一中2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案



唐山一中 2014—2015 学年第二学期期中考试

高二数学理科试卷
命题人:朱崇伦 李雪芹
说明:1.考试时间 120 分钟,满分 150 分。 2.将卷Ⅰ答案用 2B 铅笔涂在答题卡上,卷Ⅱ用黑色字迹的签字笔答在答题纸上。 3.卷Ⅱ卷头和答题卡均填涂本次考试的考号,不要误填学号,答题卡占后 5 位。

卷Ⅰ(选择题



共 60 分)
( )

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1. 若复数 z 满足 z (1 ? i) ? 1 ? i ( i 是虚数单位),则 z 的共轭复数为 A. ? i B. ? 2i C. i D. 2i

2. (1)已知 p3 ? q3 ? 2 ,求证: p ? q ? 2 .用反证法证明时,可假设 p ? q ? 2 ; (2)若 a、b ? R , a ? b ? 1,求证:方程 x ? ax ? b ? 0 的两根的绝对值都小于 1.用反
2

证法证明时可假设方程有一根 x1 的绝对值大于或等于 1,即假设 x1 ? 1 ; 以下结论正确的是 A. (1)与(2)的假设都错误 C. (1)与(2)的假设都正确 ( B. (1)的假设正确; (2)的假设错误 D. (1)的假设错误; (2)的假设正确 ( ) )

),p(? ? 1) ? p ,则 P(?1 ? ? ? 0) 3. 设随机变量 ? 服从正态分布 N(0,1
A.

1 p 2

B.

1 ?p 2

C.1-2 p

D. 1- p

4. 用数学归纳法证明不等式:

1 1 1 13 ? ? ??? ? ( n ? 1 , n ? N ) ,在证明 n ?1 n ? 2 2n 24
( )

n ? k ? 1 这一步时,需要证明的不等式是 1 1 1 13 1 1 1 1 13 ? ??? ? ? ?? ? ? ? A. B. k ?1 k ? 2 2k 24 k ?1 k ? 3 2k 2k ? 1 24 1 1 1 1 13 ? ??? ? ? C. k ?2 k ?3 2k 2k ? 1 24 1 1 1 1 1 13 ? ?? ? ? ? ? D. k ?2 k ?3 2k 2k ? 1 2k ? 2 24 1 3 4 5. 曲线 y ? x ? x 在点(1, )处的切线与坐标轴围成的三角面积为 3 3
A.

(

)

1 9

B.

2 9

C.

1 3

D.

2 3
( )

6. 已知随机变量 X 服从二项分布 X~B(6, A.

13 16

B.

4 243

1 ),则 P(X=2)等于 3 13 80 C. D. 243 243

7. 把 13 个相同的球全部放入编号为 1、2、3 的三个盒内,要求盒内的球数不小于盒号数, 则不同的放入方法种数为 ( )

-1-

A.36 8. 若函数 y ? x ?
3

B. 45

C. 66

D.78

3 2 x ? a 在[-1,1]上有最大值 3,则该函数在[-1,1]上的最小值是 2
( ) B.0 C.

A. ?

1 2

1 2

D.1

9.向边长分别为 5,6, 13 的三角形区域内随机投一点 M,则该点 M 与三角形三个顶点距离 都大于 1 的概率为 A. 1 ? ( B. 1 ? )

?
18

?
12

? C. 1 ? 9

? D. 1 ? 4


10. f(x)是 R 上的可导函数,且 f(x)+ x f ?( x ) >0 对 x∈R 恒成立,则下列恒成立的是( A. f(x)>0 11.曲线 x ? A. B. f(x)<0 C. f(x)>x D. f(x)<x ( D. )

y ? 1与两坐标轴所围成图形的面积为
B.

1 2

1 3

C.

1 6

1 8

12.定义域为 R 的函数 f ( x) 对任意的 x 都有 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,且其导函数 f ?( x) 满足:

f ?( x) ? 0 ,则当 2 ? a ? 4 时,下列成立的是 2? x
A. f (log2 a) ? f (2) ? f (2 a ) C. f (2 ) ? f (2) ? f (log2 a)
a





B. f (2 a ) ? f (log2 a) ? f (2) D. f (log2 a) ? f (2 ) ? f (2)
a

卷Ⅱ(非选择题

共 90 分)

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 将 4 名大学生分配到 A、B、C 三个乡镇去当村官,每个乡镇至少分配一名,则大学生甲 分配到乡镇 A 的概率为 (用数字作答) .高☆考♂资♀

a? ? 14. 设常数 a ? R ,若 ? x 2 ? ? 的二项展开式中 x? ?

5

项的系数为-10,则 a =



15.在等差数列 ?an ? 中,若 a10 ? 0 ,则有 a1 ? a2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? a19?n

(n ? 19,且n ? N ? ) 成立.类比上述性质,在等比数列 ?bn ? 中,若 b9 ? 1 ,则存在的类似等
式为________________________.

-2-

16.设函数 f ( x ) 在

上存在导数 f ?( x ) , ?x ? R ,有 f (? x) ? f ( x) ? x2 ,

? ?) 在 (0, 上 f ?( x) ? x ,若 f (4 ? m) ? f (m) ? 8 ? 4m ,则实数 m 的取值范围是
_____________. 三.解答题: (本大题共6小题,共 70 分) 17. (本小题满分 10 分) 已知 f ( x) ? (1 ? x) m ? (1 ? 3x) n ( m、n ? N )的展开式中 x 的系数为 11. (1)求 x 的系数的最小值; (2)当 x 的系数取得最小值时,求 f ( x) 展开式中 x 的奇次幂项的系数之和.
2 2 ?

18. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P 中, 底面 A 且A , ? A B C D B C D为直角梯形, D / /B C , ? A B C ? ? P A D ? 9 0 ? 侧面 P 底面 A . B C D, 若 P A ? A B ? B C ? A D A D? (1)求证: CD ?平面 PAC ; (2)求二面角 A ? P DC ? 的余弦值. B A C D P

1 2

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意的 a 、 b ∈R,都满足

1 f (2 ? n ) f (a ? b) ? af (b) ? bf (a) ,若 f ( ) =1, a n ? . 2 n
(1)求 f ( ) 、 f ( ) 、 f ( 20. (本小题满分 12 分) 某理科考生参加自主招生面试,从 7 道题中(4 道理科题 3 道文科题)不放回地依次任取 3 道作答. (1)求该考生在第一次抽到理科题的条件下,第二次和第三次均抽到文科题的概率; (2)规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题,该考生答对理科题的概率均为

1 4

1 8

1 ) 的值; (2)猜测数列 ?an ? 通项公式,并用数学归纳法证明. 16

2 ,答对 3

-3-

文科题的概率均为

1 ,若每题答对得 10 分,否则得零分.现该生已抽到三道题(两理一文) , 4

求其所得总分 X 的分布列与数学期望 E ( X ) . 21. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 和椭圆 (1)求抛物线 C 的方程; (2)若定长为 5 的线段 AB 两个端点在抛物线 C 上移动,线段 AB 的中点为 M ,求点 M 到 y 轴的最短距离,并求此时 M 点坐标. 22. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? kx,x ? R . (1)若 k ? e ,试确定函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R , f (| x |) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (3)设函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,求证: F (1) F (2)

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合. 4 3

F (n) ? (en?1 ? 2) 2 (n ? N? ) .

n

唐山一中 2014—2015 学年第二学期期中考试 高二理科数学参考答案
一、选择题:CDBD,ADAC,AACB. 二、填空题:13、

1 ;14、-2;15、 b1b2 ?bn ? b1b2 ?b17 ?n (n ? 17 ,且n ? N ? ) ; 6

? ?) 16、 [2, .
三、解答题:
1 1 17.解: (1)由题意得: Cm ? 3Cn ? 11,即:m+3n=11.-----------------------2 分

x 的系数为:
2 2 Cm ? 32 Cn ?

2

m(m ? 1) 9n(n ? 1) ? 2 2 (11 ? 3n)(10 ? 3n) 9n(n ? 1) ? ? 2 2 2 ? 9n ? 36n ? 55 ? 9(n ? 2) 2 ? 19
2

--------------------4 分

当 n=2 时,x 的系数的最小值为 19,此时 m=5 --------------------- 6 分 5 2 (2)由(1)可知:m=5,n=2,则 f(x)=(1+x) +(1+3x) 2 5 设 f(x)的展开式为 f(x)=a0+a1x+a2x +?+a5x ----------------------8 分 令 x=1,则 f(1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5
-4-

令 x=-1,则 f(-1)=a0-a1+a2-a3+a4-a5 -------------------------------------10 分 则 a1+a3+a5= f (1) ? f (?1) =22,所求系数之和为 22--------------------------------12 分
2

18.解: (1)因为 ?PAD ? 90? ,所以 PA ? AD . 又因为侧面 PAD ? 底面 ABCD ,且侧面 PAD 底面 ABCD ? AD , 所以 PA ? 底面 ABCD .而 CD ? 底面 ABCD ,所以 PA ? CD . 在底面 ABCD 中,因为 ?ABC ? ?BAD ? 90? , P 1 2 AB ? BC ? AD ,所以 AC ? CD ? AD , 所以 AC ? CD . 又因为 PA AC ? A , 所以 H CD ? 平面 PAC . 6 分 G A ( 2 ) 法 一 : 设 G 为 AD 中 点 , 连 结 CG , 则 D CG ? AD .又因为平面 ABCD ? 平面 PAD , 所以 CG ? 平面 PAD .过 G 作 GH ? PD 于 H , B C 连结 CH ,则: CH ? PD . 所以 ?GHC 是二面角 A ? PD ? C 的平面角。????????????????9 分 设 AD ? 2 ,则 PA ? AB ? CG ? DG ? 1, DP ? 5 . 在 ?PAD 中 ,

2

2

GH ? PA

DG 1 , 所 以 GH ? . 所 以 DP 5

tan ?GHC ?

CG ? 5 , GH

6 6 .即二面角 A ? PD ? C 的余弦值为 . ??????????12 分 6 6 法二:由已知, AB ? 平面 PAD ,所以 AB ? (1, 0, 0) 为平面 PAD 的一个法向量. 可求平面 PCD 的一个法向量为: n ? (1, 1, 2) .???????????????9 分 设二面角 A ? PD ? C 的大小为 ? ,由图可知, ? 为锐角, n ? AB (1, 1, 2) ? (1, 0, 0) 6 所以 cos ? ? . ? ? 6 6 ?1 n AB cos ?GHC ? 6 . ?????????????12 分 6 1 1 1 1 1 1 1 1 ; 19.解: (1) f ( ) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? 1 4 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 3 f( ) ? f( ? ) ? f( )? f( ) ? ; 8 2 4 2 4 4 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 f( ) ? f( ? ) ? f( )? f( ) ? ; ----------------------3 分 16 2 8 2 8 8 2 2 1 1 n ?1 ?n (2)由(1)可猜测: f (2 ) ? f ( n ) =n ( ) --------------------------5 分 2 2
即二面角 A ? PD ? C 的余弦值为 下用数学归纳法证明:

1 ( ) 0 ? 1,? n=1 时,命题成立。 2 1 1 k ?1 ?k 假设 n=k 时,命题成立,即: f (2 ) ? f ( k ) =k ( ) ,---------------------7 分 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 k ?1 1 则 n=k+1 时,左边= f ( ? k ) ? f ( k ) ? k f ( ) ? ? k ? ( ) ? k ? 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
当 n=1 时,左边= f (2 ) ? f ( ) ? 1, 右式= 1
?1

1 2

-5-

1 1 1 ? k ? ( ) k ? ( ) k ? (k ? 1) ? ( ) ( k ?1) ?1 --------------------------------------10 分 2 2 2
? n=k+1 时,命题成立。
? 综上可知:对任意 n∈ N 都有 f (2 ) ? f (
?n

1 ) =n 2n

1 ( ) n ?1 。-----------------11 分 2

f(2 ) 所以:an= = n

-n

n

1n-1 2 1 n ?1 = ( ) 。-------------------------------------------12 分 n 2

20.解: (1)记“该考生在第一次抽到理科题”为事件 A , “该考生第二次和第三次均抽到文 科题”为事件 B ,则 P ( A) ?

4 4 , P ( AB ) ? . ???????????2 分 7 35

所以该考生在第一次抽到理科题的条件下,第二次和第三次均抽到文科题的概率为

P( B A) ?

P( AB) 1 ? . ????????????????????????5 分 P( A) 5

(2) X 的可能取值为:0,10,20,30,则

1 1 3 1 2 1 3 1 1 13 1 ? ? ? , P( X ? 10) ? C 2 ? ? ? ? ( )2 ? ? , 3 3 4 12 3 3 4 3 4 36 2 3 1 2 1 4 2 1 P( X ? 20) ? C 2 ? ( ) 2 ? ? C2 ? ? ? ? , 3 4 3 3 4 9 1 13 4 1 P( X ? 30) ? 1 ? ? ? ? .????????????????????9 分 12 36 9 9 P ( X ? 0) ?

? X的分布列为:
X p 0 10 20 30

1 12

13 36

4 9

1 9

????????????????????????????????????10 分

95 .??????????????????????12 分 6 p 21.解: (1)∵椭圆的右焦点 F (1,0) ,? ? 1 ,即 p ? 2 . 2
∴ X 的数学期望为 E ( X ) = ∴抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x ???????????????????????4 分 ( 2 )要求 M 点到 y 轴距离最小值,只要求出 M 点到抛物线准线的距离最小值即可 . 过 A、B、M点分别作抛物线准线的 垂线,垂足分别为 A?、B?、M ? ,设焦点为 F.

? MM ? ?

AA? ? BB? 2

?

AF ? BF 2

?

AB 2

?

5 ,当且仅当线段 AB 过焦点 F 时取等号.∴ 2

p 5 3 ? ? 1 ? ;????????8 分 2 2 2 3 2 设此时中点 M 的坐标为( x0 , y0 ) ,则 x 0 ? ,设 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y 2 ) ,则 y1 ? 4 x1 , 2
M 点到 y 轴的最短距离为 MM ? ?
-6-

2 y2 ? 4 x2 ,两式相减得:

y 2 ? y1 ( y 2 ? y1 ) ? 4 ,即 k AB ? 2 y0 ? 4 , x2 ? x1



y0 ? 0 3 ? 2 y 0 ? 4 ,∴ y0 ? ?1 ,∴此时 M 点坐标为 ( ,?1) ????????12 分 2 x0 ? 1

22. 解: (1)由 k ? e 得 f ( x) ? e x ? ex ,所以 f ?( x) ? e x ? e .

, ? ?) ,????????2 分 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x ) 的单调递增区间是 (1 1) 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x ) 的单调递减区间是 (??,
(2)由 f ( ? x ) ? f ( x ) 可知: f (| x |) 是偶函数. 于是 f (| x |) ? 0 对任意 x ? R 成立等价于 f ( x) ? 0 对任意 x ? 0 成立???5 分 由 f ?( x) ? e x ? k ? 0 得 x ? ln k . ???????4 分

1] 时, f ?( x) ? e x ? k ? 1 ? k ? 0( x ? 0) . 此 时 f ( x) 在 [0, ? ?) 上 单 调 递 ①当 k ? (0,
增. 故 f ( x) ? f (0) ? 1 ? 0 ,符合题意.????????????????6 分

, ? ?) 时, ln k ? 0 . ②当 k ? (1
当 x 变化时 f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )
f ( x)

(0, ln k )

ln k
0
极小值

(ln k, ? ?)

?
单调递减

?
单调递增

? ?) 上, f ( x) ≥ f (ln k ) ? k ? k ln k . 由此可得,在 [0,
?1 ? k ? e . 依题意得: k ? k ln k ? 0 ,又 k ? 1,
综合①,②得,实数 k 的取值范围是: (0,e) .?????????????8 分 (3)

F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? ex ? e? x ,
x1 ? x2

? F ( x1 ) F ( x2 ) ? e

? e ?( x1 ? x2 ) ? e x1 ? x2 ? e ? x1 ? x2 ? e x1 ? x2 ? e ?( x1 ? x2 ) ? 2 ? e x1 ? x2 ? 2

????????????????????????????????????9 分

? F (1) F (n) ? en?1 ? 2 ,

-7-

F (2) F ( n ? 1) ? e n ?1 ? 2 F (n) F (1) ? e n ?1 ? 2.
由此得:[ F (1) F (2) 故 F (1) F (2)

F (n)]2 ? [ F (1) F (n)][ F (2) F (n ?1)] [ F (n) F (1)] ? (en?1 ? 2) n
n ?1

F (n) ? (e

? 2) ,n ? N? .??????????????12 分

n 2

-8-



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