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江苏省高中数学必修五第三章:复习小结 (三课时)教案



课题: 不等式》复习小结 (三课时) 《 个教案 课型: 复习课 月 日 编写时时间: 年 月

第 日

课时

总序第 年

执行时间:

教学目标: 批 1.会用不等式(组)表示不等关系; 2.熟悉不等式的性质,能应用不等式的性质求解“范围问题” ,会用作差法比较大 注 小;

3.会解一元二次不等式,熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系; 4.会作二元一次不等式(组)表示的平面区域,会解简单的线性规划问题; 5.明确均值不等式及其成立条件,会灵活应用均值不等式证明或求解最值。 教学重点:不等式性质的应用,一元二次不等式的解法,用二元一次不等式(组) 表示平面区域,求线性目标函数在线性约束条件下的最优解,基本不等式的应用。 教学难点:利用不等式加法法则及乘法法则解题,求目标函数的最优解,基本不等 式的应用。 教学用具:投影仪 教学方法:讲练结合法 教学过程:

1.本章知识结构

2.知识梳理
(一)不等式与不等关系 1、应用不等式(组)表示不等关系; 不等式的主要性质: (1)对称性: a ? b ? b ? a (2)传递性: a ? b, b ? c ? a ? c (3)加法法则: a ? b ? a ? c ? b ? c ; a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (4)乘法法则: a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc

a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd
(5)倒数法则: a ? b, ab ? 0 ?
n

1 1 ? a b
n

(6)乘方法则: a ? b ? 0 ? a ? b (n ? N * 且n ? 1) (7)开方法则: a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? N * 且n ? 1)

1

2、应用不等式的性质比较两个实数的大小; 作差法 3、应用不等式性质证明 (二)一元二次不等式及其解法 一元二次不等式的解法 一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0或ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的解集: 设 相 应 的 一 元 二 次 方 程 ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的 两 根 为 x1、x2 且 x1 ? x2 ,

? ? b 2 ? 4ac ,则不等式的解的各种情况如下表:(让学生独立完成课本第 86 页的
表格)

??0

??0

??0

二次函 数
y ? ax2 ? bx ? c y ? ax2 ? bx ? c y ? ax2 ? bx ? c y ? ax2 ? bx ? c

(a ? 0) 的 图象

一元二次 方程
ax2 ? bx ? c ? 0

有两相异实 根
x1 , x2 ( x1 ? x2 )

有两相等 实根
x1 ? x 2 ? ? b 2a

无实 根

?a ? 0?的根

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

2

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x x

1

? x ?x 2 ?

? ?

(三)线性规划 1、用二元一次不等式(组)表示平面区域 二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所 有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线) 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点( x, y ),把它的坐标( x, y )代入

Ax+By+C, 所得到实数的符号都相同, 所以只需在此直线的某一侧取一特殊点 x0,y0), ( 从 Ax0+By0+C 的正负即可判断 Ax+By+C>0 表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当 C≠0 时,常把原点作为此特殊点)
3、线性规划的有关概念: ①线性约束条件:在上述问题中,不等式组是一组变量 x、y 的约束条件,这组 约束条件都是关于 x、y 的一次不等式,故又称线性约束条件. ②线性目标函数: 关于 x、y 的一次式 z=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析 式,叫线性目标函数. ③线性规划问题: 一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为 线性规划问题. ④可行解、可行域和最优解: 满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解. 由所有可行解组成的集合叫做可行域. 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解. 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤: (1)寻找线性约束条件,线性目标函数; (2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域; (3)在可行域内求目标函数的最优解

a?b 2 a?b ? ab (当且仅当 a ? b时取" ?"号). 1、如果 a,b 是正数,那么 2 a?b 2、基本不等式 ab ? 几何意义是“半径不小于半弦” 2
(四)基本不等式 ab ?

3.典型例题
1、用不等式表示不等关系 例 1、某电脑用户计划用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软 件和盒装软件,根据需要,软件至少买 3 片,磁盘至少买 2 盒,写出满足上述不等 关系的不等式。

3

例 2、咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料用奶粉、咖啡、糖,分别为 9g、4g、3g;乙 种饮料用奶粉、咖啡、糖,分别为 4g、5g、5g.已知买天使用原料为奶粉 3600g,咖 啡 2000g,糖 3000g。写出配制两种饮料杯数说所满足的所有不等关系的不等式。

1、 比较大小 例 3 (1)( 3 + 2 ) (2) 3 - 2 ) ( (3)
2 2

6+2 6 ; ( 6 -1) ;
2

1 5?2

1 ; 6? 5
log 1 b
2

(4)当 a>b>0 时,log 1 a
2

(5) (a+3)(a-5) (6) ( x2 ? 1)2

(a+2)(a-4)

x4 ? x2 ? 1

2、 利用不等式的性质求取值范围 例 4 如果 30 ? x ? 42 , 16 ? y ? 24 ,则 (1) x ? y 的取值范围是 , (2) x ? 2 y 的取值范围是 ,

(3) xy 的取值范围是

, (4)

x 的取值范围是 y

2 例 5 已知函数 f ( x) ? ax ? c ,满足 ?4 ? f (1) ? ?1, ?1 ? f (2) ? 5 ,那么 f (3)

的取值范围是

.

[思维拓展]已知 ?1 ? a ? b ? 5 ,?1 ? a ? b ? 3 ,求 3a ? 2b 的取值范围。 ([-2,0])

4

3、 解一元二次不等式 例 6 解不等式: (1) 2 x ? 7 x ? 4 ? 0 ; (2) ? x ? 8 x ? 3 ? 0
2 2

例 7 已知关于 x 的方程(k-1)x +(k+1)x+k+1=0 有两个相异实根,求实数 k 的取值范 围

2

4、 二元一次方程(组)与平面区域

?x ? y ? 6 ? 0 ?x ? y ? 0 ? 例 8 画出不等式组 ? 表示的平面区域。 ?y ? 3 ?x ? 5 ?

5、 求线性目标函数在线性约束条件下的最优解

?x ? 2 y ? 2 ? 例 9 已知 x、y 满足不等式 ?2 x ? y ? 1 ,求 z=3x+y 的最小值。 ? x ? 0, y ? 0 ?

?2 x ? y ? 300 ? x ? 2 y ? 250 ? [思维拓展] 已知 x、y 满足不等式组 ? ,试求 z=300x+900y 的最大值 x?0 ? ?y ? 0 ?
时的整点的坐标,及相应的 z 的最大值。

6、 利用基本不等式证明不等式 例 8 求证 (a ? b )(c ? d ) ? (ac ? bd )
2 2 2 2 2

5

7、 利用基本不等式求最值 例 9 若 x>0,y>0,且

2 8 ? ? 1 ,求 xy 的最小值 x y

[思维拓展] 求 f ( x ) ? 4 x ?

9 (x>5)的最小值. x?5

教学后记:

w w w . k s 5 u

6

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