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2015届高考数学大一轮复习 课时训练31 等比数列及其前n项和 理 苏教版



课时跟踪检测(三十一) 等比数列及其前 n 项和
(分Ⅰ、Ⅱ卷,共 2 页) 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1.(2013· 镇江期末)在等比数列{an}中,Sn 为其前 n 项和,已知 a5=2S4+3,a6=2S5+3, 则此数列的公比 q 为________. 2.已知等比数列{an}的各项均为正数,若 a1=3,前三项的和为 21,则 a4+a5+a6= ________

. 3.在数列{an}中,an+1=can(c 为非零常数),前 n 项和为 Sn=3n+k,则实数 k 的值为 ________. 4.(2014· 江西省七校联考)设各项都是正数的等比数列{an},Sn 为前 n 项和, 且 S10=10, S30=70,那么 S40=________. 5. (2014· 盐城二模)已知在等比数列{an}中, a1a2a3=5, a7a8a9=40, 则 a5a6a7=________. 6.(2013· 南通三模)已知三个数 x+log27 2,x+log92,x+log32 成等比数列,则公比为 ________. 1 7.在等比数列{an}中,若 a1= ,a4=-4,则|a1|+|a2|+?+|a6|=________. 2 a2 012+a2 014 8. (2014· 常州调研)已知数列{an}的前 n 项的和为 Sn, 若 Sn=3n-1(n∈N*), 则 a2 013 的值为________. 9.(2014· 苏北四市质检)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 Sn+1=pSn+q(p,q 为常数, n∈N*),且 a1=2,a2=1,a3=q-3p. (1)求 p,q 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)是否存在正整数 m,n 使 Sn-m 2m < m 成立?若存在,求出所有符合条件的有序数 Sn+1-m 2 +1

对(m,n);若不存在,请说明理由.

10.设数列{an}的各项都为正数,其前 n 项和为 Sn,对于任意正整数 m,n,Sm+n= 2a2m?1+S2n?-1 恒成立. (1)若 a1=1,求 a2,a3,a4 及数列{an}的通项公式; (2)若 a4=a2(a1+a2+1),求证:数列{an}是等比数列.

第Ⅱ卷:提能增分卷 1.(2013· 南京、盐城一模)记等比数列{an}的前 n 项积为 Tn(n∈N*),若 am-1· am+1-2am =0,且 T2m-1=128,则 m=________. 2.(2014· 苏中三市、连云港、淮安调研)各项均为正数的等比数列{an}中,a2-a1=1.当 a3 取最小值时,数列{an}的通项公式 an=________. 3.(2014· 南京、盐城一模)若数列{an}是首项为 6-12t,公差为 6 的等差数列,数列{bn} 的前 n 项和为 Sn=3n-t,其中 t 为实常数. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)若数列{bn}是等比数列,求证:对于任意的 n(n∈N*),均存在正整数 cn,使得 bn+1 =acn,并求数列{cn}的前 n 项和 Tn; (3)设数列{dn}满足 dn=an· bn.若{dn}中不存在这样的项 dk, 使得“dk<dk-1”与“dk<dk+1” 同时成立(k≥2,k∈N*),求实数 t 的取值范围.

4.(2014· 苏北三市统考)已知 a>0,b<0,且 a+b≠0,令 a1=a,b1=b,且对任意的正 1 1 3 1 1 整数 k,当 ak+bk≥0 时,ak+1= ak- bk,bk+1= bk;当 ak+bk<0 时,bk+1=- ak+ bk,ak 2 4 4 4 2
+1

3 = ak. 4 (1)求数列{an+bn}的通项公式; (2)若对任意的正整数 n,an+bn<0 恒成立,问:是否存在 a,b,使得{bn}为等比数列?

若存在,求出 a,b 满足的条件;若不存在,请说明理由; 3 (3)若对任意的正整数 n,an+bn<0,且 b2n= b2n+1,求数列{bn}的通项公式. 4

答 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1.解析:由已知 a5=2S4+3,a6=2S5+3, 两式相减得 a6-a5=2a5,即 a6=3a5,



所以 q=3. 答案:3 2.解析:由题意 an=a1qn 1(q>0),


a1+a1q+a1q =21, ? ? a1+a2+a3=21,即?a1=3, ? ?q>0, 即 1+q+q2=7,解得 q=2. 所以 a4+a5+a6=(a1+a2+a3)q3=21×8=168. 答案:168 3.解析:依题意得,数列{an}是等比数列,a1=3+k,a2=S2-S1=6,a3=S3-S2=18, 则 62=18(3+k),由此解得 k=-1. 答案:-1 4.解析:依题意,数列 S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30 成等比数列,因此有(S20-S10)2 =S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(70-S20),故 S20=-20 或 S20=30;又 S20>0,因此 S20= 30,S20-S10=20,S30-S20=40,故 S40-S30=80,S40=150. 答案:150 3 3 12 5.解析:由条件得 a2= 5,a8= 40,于是 q6=2,故 a5a6a7=a3 2q =5×4=20. 解析:20 6.解析:由条件得 (x+log92)2=(x+log272)(x+log32), 1 4 1 展开得 x2+log32· x+ (log32)2=x2+ log32· x+ (log32)2, 4 3 3 1 解得 x=- log32, 4 1 - log32+log92 4 从而公比 q= 1 - log32+log272 4 1 1 - log32+ log32 4 2 = =3. 1 1 - log32+ log32 4 3 答案:3 1 3 1 7.解析:由题意得-4= · q ,故 q=-2,从而|a1|+|a2|+?+|a6|= +1+2+4+8+16 2 2 63 = . 2

2

63 答案: 2 a2 013 +3a2 013 3 a2 012+a2 014 8. 解析: 依题意可知数列{an}为等比数列, 且公比 q=3, 从而 = a2 013 a2 013 1 10 = +3= . 3 3 10 答案: 3 9.解:(1)由题意知
?S2=pa1+q, ?3=2p+q, ? ? ? 即? ?S3=pS2+q, ? ? ?3+q-3p=3p+q,

1 ? ?p=2, 解得? ? ?q=2. 1 (2)由(1)知,Sn+1= Sn+2. 2 1 当 n≥2 时,Sn= Sn-1+2, 2 1 ①-②,得 an+1= an(n≥2). 2 1 1 1 又 a2= a1,所以 an+1= an(n∈N*),所以数列{an}是首项为 2,公比为 的等比数列,所 2 2 2 1 以 an= n-2. 2 1 2?1- n? 2 1 (3)由(2)得 Sn= =4(1- n). 1 2 1- 2 假设存在符合条件的 m,n. Sn-m 2m 则由 < m , Sn+1-m 2 +1 1 4?1- n?-m 2 2m 得 < m , 1 2 +1 4?1- n+1?-m 2 即 即 2n?4-m?-4 2m < , 2n?4-m?-2 2m+1 2 1 > . 2n?4-m?-2 2m+1 ① ②

因为 2m+1>0,所以 2n(4-m)-2>0, 所以 m<4,且 2<2n(4-m)<2m 1+4.(*)


因为 m∈N*,所以 m=1 或 2 或 3. 当 m=1 时,由(*)得 2<2n×3<8, 所以 n=1; 当 m=2 时,由(*)得 2<2n×2<12, 所以 n=1 或 2; 当 m=3 时,由(*)得 2<2n<20, 所以 n=2 或 3 或 4. 综上可知, 存在符合条件的所有有序数对(m, n)为(1,1),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3),(3,4). 10.解:(1)由条件得 1+Sm+n= 2a2m?1+S2n?. 在①中,令 m=1 得 1+Sn+1= 2a2?1+S2n?. 令 m=2 得 1+Sn+2= 1+Sn+2 ③÷ ②得 = 1+Sn+1 记 2a4?1+S2n?. a4 (n∈N*). a2 ② ③ ①

a4 =q,则数列{1+Sn}(n≥2,n∈N*)是公比为 q 的等比数列. a2


所以 1+Sn=(1+S2)qn 2(n≥2,n∈N*). 当 n≥3 时,1+Sn-1=(1+S2)qn 3.


④ ⑤ (*)

④-⑤得 an=(1+S2)qn 3(q-1)(n≥3,n∈N*),


在①中,令 m=n=1 得 1+S2= 2a2?1+S2?. 所以(1+S2)2=2a2(1+S2). 则 1+S2=2a2. 所以 a2=1+a1. 因为 a1=1,所以 a2=2. 在①中,令 m=1,n=2 得 1+S3= 2a2?1+S4?, 则(4+a3)2=4(4+a3+a4). 在①中,令 m=2,n=1 得 1+S3= 2a4?1+S2?. 则(4+a3)2=8a4. 由⑥⑦解得 a3=4,a4=8.则 q=2. 由 an=(1+S2)qn 3(q-1)(n≥3,n∈N*)得






an=4×2n 3· (2-1)=2n 1(n≥3,n∈N*),
- -

因为 a1=1,a2=2 也适合上式, 所以 an=2n 1(n∈N*).


(2)证明:在①中,令 m=2,n=2, 得 1+S4= 2a4?1+S4?, 则 1+S4=2a4,所以 1+S3=a4. 又 1+S3= 2a2?1+S4?, 则 1+S3= 2a2?1+S3+a4?, 所以 a4= 2a2· 2a4, 则 a4=4a2,q=2. 代入(*)得 an=(1+S2)2n 3(n≥3,n∈N*).


由条件 a4=a2(a1+a2+1)得 a1+a2+1=4. 因为 a2=1+a1,所以 a1=1,所以 a2=2,则 an=4×2n 3=2n 1(n≥3,n∈N*),
- -

因为 a1=1,a2=2 也适合上式, 所以 an=2n 1(n∈N*).


所以数列{an}是等比数列. 第Ⅱ卷:提能增分卷
2 1.解析:因为{an}是等比数列,所以 am-1am+1=a2 m.又因为 am-1am+1-2am=0,即 am- m 1 2am=0,所以 am=2(am=0 舍去).又 T2m-1=a1a2?a2m-2a2m-1=a2 =128=27,所以 2m- m


1=7,解得 m=4. 答案:4
2 2.解析:法一:由 a2 =a1a3,a2-a1=1 及 an>0 得 a3=

?a1+1?2 1 =a1+ +2≥4,当且 a1 a1

仅当 a1=1 时取等号,此时 a2=2,则 an=2n 1.


a1+1 法二:设公比为 q(q>0),则由条件得 a1q-a1=1,即 q= ,从而 a3=a1q2,以下同 a1 解法一. 答案:2n
-1

3.解:(1)因为{an}是等差数列, 所以 an=(6-12t)+6(n-1) =6n-12t(n∈N*). 因为数列{bn}的前 n 项和为 Sn=3n-t, 所以当 n≥2 时,

bn=(3n-t)-(3n 1-t)=2· 3n 1.
- -

? ?3-t,n=1, 又 b1=S1=3-t,故 bn=? n-1 ?2· 3 ,n≥2. ?

(2)证明:因为{bn}是等比数列, 所以 3-t=2· 31 1,


解得 t=1. 从而 an=6n-12,bn=2· 3n 1(n∈N*).


由于 bn+1=2· 3n=6· 3n =6(3n 1+2)-12


-1

令 cn=3n 1+2∈N*,


则 acn=6(3n 1+2)-12=bn+1,


所以命题成立. 从而数列{cn}的前 n 项和 1-3n 1 n 1 Tn=2n+ = · 3 +2n- . 2 1-3 2
?6?3-t??1-2t?,n=1, ? (3)由题意得 dn=? n ?4?n-2t?×3 ,n≥2. ?

3 n + 当 n≥2 时,dn+1-dn=4(n+1-2t)· 3n 1-4(n-2t)×3n=8[n-(2t- )]· 3. 2 3 7 ①若 2t- <2,即 t< 时,dn+1>dn(n∈N*,n≥2). 2 4 由题意得 d1≤d2, 即 6(3-t)(1-2t)≤36(2-2t), -5- 97 -5+ 97 7 解得 ≤t≤ < . 4 4 4 所以 t∈?

?-5- 97 -5+ 97?; ? , 4 4 ? ?

3 7 9 ②若 2≤2t- <3,即 ≤t< 时, 2 4 4 dn+1>dn(n∈N*,n≥3). 而 d1>d2≥d3,由题意得 d2=d3, 即 4(2t-2)×32=4(2t-3)×33, 7 解得 t= ; 4 3 m 3 m 5 ③若 m≤2t- <m+1,即 + ≤t< + (m∈N,m≥3)时,dn+1≥dn(n∈N*,n≥m+1), 2 2 4 2 4 而 dn+1≤dn(n∈N*,2≤n≤m).

由题意得 dm=dm+1, 即 4(2t-m)· 3m=4(2t-m-1)· 3m 1,


2m+3 解得 t= . 4 综上所述,t 的取值范围是
? -5- 97 -5+ 97 2m+3 ?t| ≤t≤ 或t= 4 4 4 ?

(m∈N,m≥2). 4.解:(1)当 an+bn≥0 时, 1 1 3 an+1= an- bn,bn+1= bn, 2 4 4 1 1 3 1 所以 an+1+bn+1= an- bn+ bn= (an+bn); 2 4 4 2 1 1 3 又当 an+bn<0 时,bn+1=- an+ bn,an+1= an, 4 2 4 3 1 1 1 所以 an+1+bn+1= an- an+ bn= (an+bn), 4 4 2 2 1 因此数列{an+bn}是以 a+b 为首项, 为公比的等比数列, 2 1?n-1 所以 an+bn=(a+b)? ?2? . 3 (2)因为 an+bn<0,所以 an+1= an, 4 3?n-1 所以 an=a? ?4? , 1?n-1 bn=(a+b)? ?2? -an 1?n-1 ?3?n-1 =(a+b)? ?2? -a?4? . 假设存在 a,b,使得{bn}能构成等比数列, 2b-a 4b-5a 则 b1=b,b2= ,b3= , 4 16 故? 2b-a?2 ?4b-5a? ? 4 ? =? 16 ?b,

化简得 a+b=0, 与题中 a+b≠0 矛盾.故不存在 a,b,使得{bn}为等比数列. 3 (3)因为 an+bn<0 且 b2n= b2n+1, 4 1 1 所以 b2n=- a2n-1+ b2n-1, 4 2

3 1 1 所以 b2n+1=- a2n-1+ b2n-1 4 4 2 1 3 1 =- a2n-1+ b2n-1- b2n-1, 4 4 4 3 1 所以 (b2n+1-b2n-1)=- (a2n-1+b2n-1). 4 4 1?2n-2 由(1)知 a2n-1+b2n-1=(a+b)? ?2? , a+b 1 2n-2 所以 b2n+1-b2n-1=- ( ) , 3 2 b2n-1=b1+(b3-b1)+?+(b2n-1-b2n-3) a+b ? ?1?2 ?1?4 =b- ·1+ + +?+ 3 ? ?2? ?2?

?1?2n-4? ?2? ?
4?a+b? ? ?1?n-1? =b- · ?1-?4? ?, 9 3 b2n= b2n+1 4 3 ?a+b? ? ?1?n? = b- ·1- , 4 3 ? ?4? ? 所以 bn= +b? ? ?1?n-1? ·1-?4? ,n为奇数, ?b-4?a9 2 ? ? ?3 ?a+b? ? ?1?n? ?4b- 3 · ?1-?4?2?,n为偶数.



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