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2.3.1直线与平面垂直的判定



2.3.1直线与平面垂直的判定

实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例,你能举出 几个吗?

旗杆与地面垂直

实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例,你能举出 几个吗?

大桥的桥柱与水面垂直

引入新课 一条直线与一个平面垂直的意义是什么?
A

α

B

旗杆AB所在直线 直线垂直于平面内的 与地面内任意一条过点 B的直线垂直.

任意一条直线.B的直线B1C1也垂直. 与地面内任意一条不过点

直线与平面垂直
如果直线 l 与平面? 内的任意一条直线都垂直, 我们说直线 l 与平面 ? 互相垂直, 记作 l ? ? . 画直线与平面垂直时,通常把直线画成表示平面 的平行四边形的一边垂直,如图所示.
平面 ? 的垂线

垂足

l
P

直线 l 的垂面

?
直线与平面的 一条边垂直

直线与平面垂直 思考:
1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线都垂 直,则直线 l 和平面 α互相垂直( )

?

l
C

?

B

2. a ? ? , b ? ? ? a ? b

直线 l 垂直于平面α ,则直线 l 垂直于 平面α中的任意一条直线

(?)

线线垂直

线面垂直

直线与平面垂直 除定义外,如何判定一条直线与平面垂直呢?
A A 如图,准备一块三角形的纸片,做一个试验: A

l
C

A
D

?
B B
D D

P
C C

? C ?

B B

D

当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时,AD所在直 过 ?ABC 的顶点 A 翻折纸片,得到折痕 AD ,将翻 线与桌面所在平面 ? 垂直. 折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC于桌面接触)

直线与平面垂直
(1)有人说,折痕AD所在直线与桌面所在平面 ? 上的一条直线垂直,就可以判断AD垂直平面 ? ,你 同意他的说法吗? (2)如图,由折痕 AD ? BC ,翻折之后垂直关 系不变,即 AD ? CD , AD ? BD .由此你能得到什 么结论?
A
C

A

D

B

D

C

?

B

直线与平面垂直判定定理

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直.

? ? ? a ?? ?? l ?? ? b ?? a ?b ? A ? ?
线线垂直

l?a l ?b

l

b

?
线面垂直

A

a

线不在多,相交则行

直线与平面垂直判定定理

能否说成“一条直线与一个平面内的两条直线都 垂直,则该直线与此平面垂直.”
l

? a ?? ? ? l ? ? b ?? ? a // b ? ?

l?a ? l ?b ?

A

?

a

b

直线与平面垂直判定定理

想一想

判断下列命题是否正确?

(1)若一条直线与一个三角形的两条边垂直, 则这条直线垂直于三角形所在的平面.( ) (2)若一条直线与一个平行四边形的两条边 垂直,则这条直线垂直于平行四边形所在 的平面.( ) (3)若一条直线与一个梯形的两边垂直,则这 条直线垂直于梯形所在的平面.( )

典型例题
例1 如图,已知 a // b, a ? ? ,求证

b ? ?.
b
n

证明:在平面 ? 内作 a 两条相交直线m,n. 因为直线 a ? ?, 根据直线与平面垂直的定义知
a ? m, a ? n.

?

m

又因为 b // a 所以 b ? m, b ? n. 又 m ? ? , n ? ? , m, n 是两条相交直线, 所以 b ? ? .

随堂练习
1、如图,在三棱锥V—ABC中,VA=VC, AB=BC,求证:VB⊥AC。
V

?

A

.

D

C

B

随堂练习
如图,直四棱柱 A?B?C?D? ? ABCD (侧棱与底面垂直 的棱柱成为直棱柱)中,底面四边形 ABCD 满足什么 条件时,A?C ? B?D? ?
A? D?

底面四边形 ABCD 对角 线相互垂直.

B?

C?

A D B
C

直线与平面所成的角
斜线 P 垂线

第2个 空间角

找垂线
得射影



?



?
斜线在平面上的射影

平面的一条斜线和它在平 面内的射影所成的锐角,叫做 这条直线和这个平面所成的角

一条直线垂直于平面,它们所成的角是直角 一条直线和平面平行,或在平面内,它们所 成的角是0 ?的角

直线和平面所成角的范围是[0?,90?]

例3练习 在正方体ABCD—A1B1C1D1 中, 1. 两直线与一个平面所成的角相等,它们平行吗 ? 求直线 A1B与平面A1B1CD所成的角 2.两平行直线和一个平面所成的角相等吗?

D1
A1
Q

C1

D1
A1

C1 B1 F

B1
O

D
1

C A

D
O

C
B E
1

A

B

变式:(1)求直线AC与平面A1B1CD所成的角 (2)E,F分别是BC,CC1的中点,求EF与面ACC1A1 所成的角.

知识小结
1.直线与平面垂直的概念 2.直线与平面垂直的判定 (1)利用定义;垂直与平面内任意一条直线

(2)利用判定定理.
线线垂直 线面垂直

3.直线与平面所成的角; 找垂线,得射影 4.数学思想方法:转化的思想 空间问题
平面问题

课后作业
1、如图,已知PA⊥平面ABC, AC⊥BC,O、D分别为AB、AC的 中点,求证:OD⊥平面PAC。 2、在Rt△ABC中,∠B=90°, P为△ABC所在平面外一点, PA⊥平面ABC,PA=BC=1, PB=2,
(1)求PB与平面ABC所成的角; (2)求AC与平面PAB所成的角.

P

A D

O

B C

P A B C

典型例题
例1 一旗杆高8 m,在它的顶点处系两条长10 m的 绳子,拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点 (与旗杆脚不在同一条直线上).如果这两点与旗杆 脚距6 m,那么旗杆就与地面垂直.为什么? 解:如图,旗杆PO=8 m,两绳长 P PA=PB=10 m,OA=OB=6 m.

因为 A,O,B 三点不共线, 所以 A,O,B 三点确定平面. 所以 OP ? OA, OP ? OB.

O A B

又因为 PO2 ? OA2 ? PA2 , PO2 ? OB2 ? PB2 又因为: OA ? OB ? O, 所以: OP ? ? . 因此,旗杆OP与地面垂直.

判断题
(1) l (2) (3)

m ? ? , n ? ? , l ? m, l ? n ? l ? ? (× )
l ∥ m , m ∥ n, l ? ? ? n ? ?
( )

? ? ? l 与? 相交

(



)



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