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第六章第四五节定积分的换元法与分部法


第四节 定积分的换元法

不定积分

换元积分法
分部积分法

定积分

换元积分法
分部积分法

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一、定积分的换元法
定理1. 设函数 2) 在[? , ? ] 上 则

单值函数

满足:

1 ? ( t ) ? C [? , ? ] , ? (? ) ? a , ? ( ? ) ? b ; 1)

? (t ) ? ?(t )

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? (t ) ? ?(t )
说明: 1) 当? < ? , 即区间换为[ ? ,? ] 时, 定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .

3) 换元公式也可反过来使用 , 即

? (t ) ? ?(t )
或配元

? ? f ( x) d x (令 x ? ? (t ) )
a

b

? (t ) ? ?(t )

? (t ) d ? (t )
配元不换限
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例1

计算 ? cos x sin xdx.
5 0

? 2

解法一 令 t ? cos x ,

dt ? ? sin xdx ,

? x ? ? t ? 0, 2

x ? 0 ? t ? 1,

?0
?

? 2

cos 5 x sin xdx
0 5
6 1

t 1 ? ? ?1 t dt ? ? . 60 6
解法二

?

2

0

cos x sin xdx ? ? ? cos5 xd cos x
5
2

?

0

? 1 ? ?? cos 6 ? 6

1 1 ?2 x? ? 0 ? ? 6 6 ?0
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?

例2

计算
e

?

e

1

1 dx x 1 ? ln x

?

1

1 e 2 dx ? d (ln x ? 1) ? 1 x 1 ? ln x 2 1 ? ln x

? 2 1 ? ln x

e 1

? 2 2 ?2

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例3

计算

?

4

1

1 dx 1? x
当x ? 1时t ? 1; 当x ? 4时t ? 2

解 设 x ? t , dx ? 2tdt
4

2 2t 1 ?1 1 ? x dx ? ?1 1 ? t dt 2 1 ? t ?1 2 1 ? 2? dt ? 2? [1 ? ]dt 1 1 1? t 1? t

? 2[t ? ln |1 ? t |] ? 2[2 ? ln 3 ? (1 ? ln 2)] 3 ? 2(1 ? ln ) 2
2 1
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例4. 计算 解: 令 x ? a sin t , 则 dx ? a cos t d t , 且

. 当 x ? 0 时, t ? 0 ; x ? a 时, t ? π 2
2 2 cos t dt a ∴ 原式 = ?0
π 2

y

y? a ?x

2

2

a ? 2

2

?0 (1 ? cos 2 t ) d t
π 2

π 2

a 1 ? ( t ? sin 2t ) 2 2 0

2

O

a x

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例5

计算 ?0

?

sin x ? sin xdx .
3 5



? f ( x ) ? sin x ? sin x ? cos x ?sin x ?
3 5

3 2

??

?

0

sin x ? sin xdx ? ? cos x ?sin x ? dx
3 5
0
3 2
? 3 2

?

3 2

? ? cos x ?sin x ? dx ? ?? cos x ?sin x ? dx ??

? 2 0 ? 2 0

?sin x ?
5 2

3 2
? 2

d sin x ? ?? ?sin x ? d sin x
2 ? ?sin x ? 5
2
5 ? 2
? 2

2 ?

3 2

2 ? ?sin x ? 5

0

4 ? . 5
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例6.
(1) 若 (2) 若 证:
a 0

偶倍奇零

则?

a

?a

f ( x ) dx ? 2 ? f ( x ) dx
0

a

则?
a a

a

?a

f ( x ) dx ? 0
a

??a f ( x) dx ? ??a f ( x) dx ? ?0 f ( x) dx
? ? f (?t ) d t ? ? f ( x) dx ? ? [ f ( ? x ) ? f ( x ) ] dx
0 0 a 0

令 x ? ?t

?

f ( ? x) ? f ( x)时 f ( ? x) ? ? f ( x)时
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例* 若 f ( x ) 在[0,1]上连续,证明 (1) ? f (sin x )dx ? ? f (cos x )dx ;
0 0
? 2 ? 2

? ? (2) ? xf (sin x )dx ? ? f (sin x )dx . 0 2 0 ? x sin x dx . 由此计算 ? 2 0 1 ? cos x
?

? 证 (1)设 x ? ? t 2 ? x ? 0? t ? , 2

? dx ? ?dt ,
? x ? ? t ? 0, 2

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? x ? ?t 2

? dx ? ?dt ,

? x ? 0? t ? , 2
0

? x ? ? t ? 0, 2

?0

? 2

f (sin x )dx ? ? ??
2

? ? ? ?? f ?sin? ? t ?? dt ? ? 2 ??

? ? f (cos t )dt ? ? f (cos x )dx;
0 0

? 2

? 2

(2)设 x ? ? ? t ? dx ? ? dt ,

x ? 0 ? t ? ?,
? 0

x ? ? ? t ? 0,

?0 xf (sin x )dx ? ? ?? ( ? ? t ) f [sin( ? ? t )]dt
? ? ( ? ? t ) f (sin t )dt ,
0
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?

?0 xf (sin x )dx
?

?

? ? ? f (sin t )dt ? ? tf (sin t )dt
0 0 ?

?

?

? ? ? f (sin x )dx ? ? xf (sin x )dx , 0 0 ? ? ? ? ? xf (sin x )dx ? ? f (sin x )dx. 0 2 0

?0

?

x sin x ? ? sin x dx ? ? dx 2 2 2 0 1 ? cos x 1 ? cos x

? ? 1 ? ? ?? ? d (cos x ) ? ? ?arctan(cos x )?0 2 2 0 1 ? cos x 2 2 ? ? ? ? ? ? (? ? ) ? . 4 2 4 4
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作业
P243 1 (3) , (10)
2(1) ,(2)

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第五节 定积分的分部积分法
定理. 设 u ( x) , v( x) ? C1[a , b] , 则 b

a

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例1. 计算 解

? 2 ln 2 ? 1

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例2. 计算 解

?
?

?

0

x cos xdx

?

?

0

x cos xdx
0

? ? xd sin x

? x sin x 0 ? ? sin xdx

?

?

? cos x 0 ? ?2
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?

0

例3. 计算 解: 原式 = x arcsin x
1 2

0

??

1 2

x 1? x

0

d x 2

?1 π 1 1 2 ? ? ? 2(1 ? x ) 2 d (1 ? x 2 ) 12 2 0 1 1 π ? ? (1 ? x 2 ) 2 2 12 0 π 3 ? ?1 ? 12 2

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例4. 计算

?e
0

1

x

dx

解 令 x ? t , 则x ? t 2 , dx ? 2tdt

当x ? 0时,由 x ? t , 得t ? 0, 当x ? 1时, 由 x ? t , 得t ? 1

?e
0

1

x

dx ? 2? te dt ? 2 ? te ? ? 2? e dt ? ? 0 0 0
t t

1

t 1

1

? ? ? ? 2? te ? 2 e ? ?0 ? ? 0 ? 2(e ? 0) ? 2(e ? 1) ? 2
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t 1

t 1

例5. 求 解:

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例6. 证明
n ?1 ? n ?3 ? ? ? 3 ? 1 ? π , n n?2 4 2 2
证: 令 t ? π ? x , 则
n π n sin x d x ? ? sin ( ? t ) d t ? cos txd dtx ?0 ?π ? 2
2 π 2

n 为偶数 n 为奇数

2 n

0

π π 2 2

0



n?2 ? u ? ( n ? 1 ) sin x cos x , 则

v ? ? cos x n ?1 ? I n ? [? cos x ? sin x]
0

π 2

0

? (n ? 1) ? sin n ? 2 x cos 2 x dx
0

π 2

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I n ? (n ? 1) ? sin
0

π 2

n?2 n?2

x cos x dx x (1 ? sin x) dx
2

2

? (n ? 1) ? sin

π 2

? (n ? 1) I n?2
?1 I 由此得递推公式 I n ? nn n?2

0

于是

3 1 ?I 2 m ? 1 2 m ? 3 ? I ? ? ? I I 2 m ? 2 m 22 ? m ?2 2 2 m ?4 4 2 0 m ? m ?2 m?2 ? ? 4?2? I I 2m?1 ? 22 I I ? 2 m ?3 m ? 1 m ?1 22 m ? 1 5 3 1



I 0 ? ? dx ?
0

π 2

π 2

,

I1 ? ? sin x dx ? 1
0

π 2

故所证结论成立 .
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作业
P233 1 (1) , (9)

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