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第二章 第一节 函数及其表示 课下作业


第二章

第一节

函数及其表示

题组一

函数与映射的概念 ( )

1.设 f: x→x2 是从集合 A 到集合 B 的映射, 如果 B={1,2}, A∩B 为 则 A.? B.{1} C.?或{2} D.?或{1}

解析:由已知 x2=1 或 x2=2,解之得 x=± 或 x=± 2.若 1∈A,则 A∩B={1},若 1 1?A,则 A∩B=?.故 A∩B=?或{1}. 答案:D 2.下列各组函数中,表示同一函数的是 A.y=
5

(

)

x 与 y=

5

x

2

B.y=lnex 与 y=elnx C.y=

? x ? 1? ? x ? 3 ?
x?1

与 y=x+3

D.y=x0 与 y=

1 x
0

解析:对于命题 A,对应关系不同;对于命题 B,定义域不同;对于命题 C,定义域 1 不同;对于命题 D,y=x0(x≠0)与 y= 0 (x≠0) 完全相同. x 答案:D 3.已知两个函数 f (x)和 g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表:

X f (x)

1 2

2 3

3 1

x g( x )

1 3

2 2

3 1

则方程 g [f (x)]=x 的解集为 A.{1} B.{2} C.{3} D.?

(

)

解析:当 x=1 时,g[f(1)]=g(2)=2,不合题意; 当 x=2 时,g[f(2)]=g(3)=1,不合题意; 当 x=3 时,g[f(3)]=g(1)=3,符合题意. 答案:C

题组二

函数的表示方法

1 4.已知函数 f (x)的图象是两条线段(如图, 不含端点), f [f ( )]= 则 3 A.- 1 3 1 B. 3 C.- 2 3 2 D. 3
?1? x ? 0 0? x?1 .

(

)

? x ? 1, 解析:由图象知 f(x)= ? ? x ? 1,

1 1 2 ∴f ( )= -1=- , 3 3 3 1 2 2 1 ∴f [f ( )]=f (- )=- +1= . 3 3 3 3 答案:B 5.已知 f (
1? x 1? x )=

1? x 1? x

2 2

,则 f(x)的解析式为 B. f (x)= ? D. f (x)= ?
2x 1? x
x 1? x
2

(

)

A. f (x)=

x 1? x
2x 1? x
2

2

2

C. f (x)=

解析:由 f (
1? t 1? t
2 2

1? x 1? x

)=

1? x 1? x

2 2

,令 t=

1? x 1? x



则 x=


1 ?( 1? t 1? t 1? t 1? t



1? x 1? x

)

2

? 1 ?(
2t

? )
2

2t 1? t
2

,

即 f(t)=

1? t 2x

2

,

∴f(x)=

1? x

2

.

答案:C 6.已知函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且 f (x)=2f (
1 x
1 x

)

x -1,则 f(x)=

.

解析:考虑到所给式子中含有 f (x)和 f (
1 x 1 x

),故可考虑利用换元法进行求解.
1 x

在 f (x)=2f (

) x-1,用

代替 x,得 f (

)=2f (x)

1 x

-1,将 f (

1 x

)=

2 f( x) x



1 代入 f (x)=2f ( 2 1 答案: x+ 3 3

1 x

) x-1 中,可求得 f (x)=

2 1 x+ . 3 3

题组三

分 段 函 数

? x ? 2, x ≤ 0 , 则不等式 f (x)≥x 2 的解集为 7.已知函数 f (x)= ? ? x ? 2, x ? 0 ?

(

)

A.[-1,1]

B.[-2,2]

C.[-2,1]

D.[-1,2]

? x ? 2≥ x2 解析:当 x≤0 时,不等式 f (x)≥x2 化为 x+2≥x2,即 ? ,所以-1≤x≤0; ?x≤ 0 ?? x ? 2≥ x2 当 x>0 时,不等式 f (x)≥x2 化为-x+2≥x2,即 ? 所以 0<x≤1. x >0 ?

综上可得不等式的解集为[-1,1]. 答案:A
? x ? 2( x ≥ 2 ) , 则不等式 x· 8.已知函数 f(x)= ? f(x-1)<10 的解集是 ? ? 2( x < 2 )

.

?x≥ 3 , 解得 3≤x<5;当 解析:当 x-1≥2,即 x≥3 时,不等式等价于 ? ? x( x ? 3 )<10
? x<3 , 解得-5<x<3. x-1<2,即 x<3 时,不等式等价于 ? ? ? 2 x <10

综上可知不等式的解集为{x|-5<x<5}. 答案:{x|-5<x<5}
? x ? 2, x ≤ ? 1, ? ? 9.已知 f(x)= ? 2 x , ? 1< x < 2, 且 f(a)=3,求 a 的值. ? 2 x ? , x ≥ 2, ? 2

解:①当 a≤-1 时,f(a)=a+2, 由 a+2=3,得 a=1,与 a≤-1 相矛盾,应舍去. ②当-1<a<2 时,f (a)=2 a, 3 由 2a=3,得 a= ,满足-1<a<2. 2

③当 a≥2 时,f (a)=
a
2

a

2



2



2

=3,得 a=± 6,又 a≥2,∴a= 6.

3 综上可知,a 的值为 或 6. 2

题组四

函数及其表示的灵活应用

10.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行 驶路程 s 看作时间 t 的函数,其图象可能是 ( )

解析:画出曲线的切线,其切线的斜率的意义为速度.由图中切线斜率的变化规律可知 选 A. 答案:A f(2) f(4) f(6) f(2006) f(2008) f(2010) 11.如果 f(a+b)=f(a)· f(b), f(1)=2, 且 则 + + +…+ + + f(1) f(3) f(5) f(2005) f(2007) f(2009) = . f(2) =2, f(1)

解析:f(2)=f(1)f(1)=22,

f(3)=f(1)f(2)=23,f(4)=f(2)f(2)=24, f(4) f(2010) =2,… =2, f(3) f(2009) ∴原式=2× 1005=2010. 答案:2010 12.下面是一个电子元件在处理数据时的流程图:

(1)试确定 y 与 x 的函数关系式; (2)求 f(-3)、f(1)的值; (3)若 f(x)=16,求 x 的值.
?( x ? 2 )2 , x ≥ 1, ? 解:(1)y= ? 2 ? x ? 2, x <1. ?

(2)f(-3)=(-3)2+2=11;f(1)=(1+2)2=9. (3)若 x≥1,则(x+2)2=16, 解得 x=2 或 x=-6(舍); 若 x<1,则 x2+2=16, 解得 x= 14(舍)或 x=- 14. 即 x=2 或 x=- 14.


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