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等差数列定义及通项公式



等差数列的定义及通项公式

问题引入

?请从日历中挑几个数,构成一个你认为有意思的数列。

1.等差数列的定义 如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于 同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做 等差数列的公差,通常用字母 d 表示.

2.等差数列的通项公式 如果等差数列

{an}的首项为 a1,公差为 d,那么它的通 项公式是 3.等差中项 如果 a,A,b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差 中项. .

1.正确理解等差数列的定义 (1)注意定义中“从第 2 项起”这一前提条件的两层含 义,其一,第 1 项前面没有项,无法与后续条件中“与前一 项的差”相吻合;其二,定义中包括首项这一基本量,且必 须从第 2 项起保证使数列中各项均与其前面一项作差.

(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算 要求,它的含义也有两个:其一是强调作差的顺序,即后面 的项减前面的项;其二是强调这两项必须相邻. (3)注意定义中的“同一常数”这一要求,否则这个数 列不能称为等差数列.

2.怎样认识等差数列通项公式 (1)确定 a1 和 d 是确定通项的一般方法. (2)由方程思想,根据 an,a1,n,d 中任何三个量可求 解另一个量,即知三求一. (3)通项公式可变形为 an=dn+(a1-d),可把 an 看作自 变量为 n 的一次函数.

例 1 在等差数列{an}中,已知 a3=7,a5=11,求 a8.

[分析]
[解 ]

已知等差数列中的某两项求另外项,可利用待
设数列{an}的公差为 d,由题意知 ? ?a1=3 ,解得? ? ?d=2

定系数法求出 an,由 an 求另外一项.
? ?a1+2d=7 ? ? ?a1+4d=11

.

∴an=3+(n-1)×2=2n+1,∴a8=2×8+1=17.

? 等差数列的通项公式 在等差数列{an}中,首项 a1 与公差 d 是两个最基本的元 素; 有关等差数列的问题, 如果条件与结论间的联系不明显, 则均可化成有关 a1、d 的关系列方程组求解,但是,要注意 公式的变形及整体计算,以减少计算量.

? 变式训练 1 在等差数列{an}中,已知 a5=11,an=1,d=-2,求 n.

[解]

? ?a1+4d=11 由? ? d=1 ?a1+?n-1?·

? ?a1=19 ,解得? ? ?n=10

.

1 例 2 已知数列{an}满足 a1=4,an=4- (n≥2),bn= . an - 1 an-2 (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{bn}的通项公式.
[评析] 根据 bn 的结构,将条件变形,然后利用定义进行 1 }是等差数列,先求 an-2

4

证明.在求 {an}通项公式时,要用到 {

{

1 }的通项,再求{an}的通项公式. an-2

? 等差数列的判定与证明 等差数列的判定方法有以下二种: (1)定义法: an+1-an=d(常数)(n∈N*)?{an}为等差数列; (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}为等差数 列. 如果要证明一个数列是等差数列, 必须用定义法或等差 中项法.

? 变式训练 2 2an 已知数列{an},满足 a1=2,an+1= , an+2 1 (1)数列{a }是否为等差数列?说明理由; n (2)求 an.

例 3 成等差数列的四个数之和为 26,第二个数和第三 个数之积为 40,求这四个数.

[分析]

已知四个数成等差数列,有多种设法,但如果

四个数的和已知,常常设为 a-3d,a-d,a+d,a+3d 更 简单,再通过联立方程组求解.

[评析] 就本题而言, 若用两个基本量首项和公差表示, 建立方程组求解,计算量大,容易出错.通过巧妙地设解, 会使计算量明显降低,达到快速解题的目的.一般地,已知 三个数成等差数列且和已知,可设 a-d,a,a+d.四个数成 等差数列且和已知,可设 a-3d,a-d,a+d,a+3d.同样, 若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设中间三项为 a- d,a,a+d;若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设中 间两项为 a-d, a+d, 其余各项再根据等差数列的定义进行 对称设元.

? 等差中项问题 当三个数或四个数成等差数列且和为定值时, 可设出首 项 a1 和公差 d 列方程组求解, 也可采用对称的设法, 三个数 时,设 a-d,a,a+d;四个数时,设 a-3d,a-d,a+d, a+3d.利用和为定值.先求出其中某个未知量.

? 变式训练 3 设 x 是 a 与 b 的等差中项,x2 是 a2 与-b2 的等差中项, 则 a、b 的关系是( A.a=-b ) C.a=-b 或 a=3b D.a=b=0

B.a=3b

1.已知等差数列{an}的通项公式 an=3-2n, 则它的公差 为( ) A. 2 C.-2 B.3 D.-3

[答案]

C

2.△ABC 中,三内角 A、B、C 成等差数列,则角 B 等于( ) B.60° D.120°

A.30° C.90°

[解析] ∵A+C=2B,又 A+B+C=180° ,∴B=60° .
[答案] B

3. 数列{an}是首项为 2, 公差为 3 的等差数列, 数列{bn} 是首项为-2,公差为 4 的等差数列.若 an=bn,则 n 的值 是( ) A. 4 B.5 C. 6 D. 7

[解析] 2+3(n-1)=-2+4(n-1),∴n=5.
[答案] B

4.首项是 18,公差为 3 的等差数列的第________项开 始大于 100.
[解析] 由题意 an=18+3(n-1)=3n+15, 1 由 3n+15>100 得 n>28 . 3 ∵n∈N*,

∴n=29,即从 29 项开始大于 100.
[答案] 29

1 1 1 5.若 , , 成等差数列,求证:a2,b2,c2 b+c c+a a+b 成等差数列.

[证明]

1 1 2 由已知得 + = . b+c a+b a+c

2b+a+c 2 ∴ = , ?b+c??a+b? a+c ∴(2b+a+c)(a+c)=2(b+c)(a+b), ∴a2+c2=2b2.∴a2,b2,c2 成等差数列.

一、选择题 1.已知数列 3,9,15,…,3(2n-1),…那么 81 是它的 第几项( A.12 ) B.13 C.14 D.15

[解析] an=3(2n-1)=6n-3.由 6n-3=81 得 n=14.
[答案] C

2.在等差数列{an}中,a2=-5,a6=a4+6,则 a1 等于 ( ) A.-9 B.-8

C.-7 D.-4 [解析] 由 a6=a4+6,得 a6-a4=6=2d,∴d=3.

又 a2=a1+d=-5,∴a1=-8.
[答案] B

3.在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1,则 a101 的值为 ( ) A.49 C.51 B.50 D.52

[解析]

1 由 2an+1=2an+1,得 an+1-an= , 2

1 ∴{an}是首项 a1=2,公差 d= 的等差数列. 2 n+ 3 1 ∴an=2+ (n-1)= , 2 2 101+3 ∴a101= =52. 2 [答案] D

4.一个首项为 23,公差为整数的等差数列,如果前 6 项均为正数,第 7 项起为负数,则它的公差是( A.-2 C.-4 B.-3 D.-5 )

[解析]

设该数列的公差为 d,则由题设条件知:a6=a1

+5d>0,a7=a1+6d<0. 23 ? ?d>- 5 又∵a1=23,∴? ?d<-23 6 ? 23 23 ,即- <d<- . 5 6

又∵d 是整数,∴d=-4.故选 C.

[答案]

C

二、填空题 5.若 x≠y,数列 x,a1,a2,y 和 x,b1,b2,b3,y 各 a1-a2 自成等差数列,则 =________. b1-b2 x-y x-y a1-a2 4 [解析] 由于 a1-a2= , b1-b2= , 则 = . 3 4 b1-b2 3

4 [答案] 3

6.已知直线上的一列点 P1(1,a1)、P2(2,a2)、…Pn(n, an)、…,且 a1=-2,a2=-1.2,则数列{an}的通项公式 an =________.
[解析] 由题意,知数列{an}成等差数列,由 a1=-2, a2=-1.2 得公差 d=0.8,则 an=a1+(n-1)d=0.8n-2.8.
[答案] 0.8n-2.8

7.等差数列的首项为 2,从第 10 项起开始比 10 大,则 公差的取值范围是________.
? ?2+8d≤10 ? ? ?2+9d>10

[解析]

8 ,解得 <d≤1. 9

8 [答案] ( ,1] 9

三、解答题 5 8.在数列{an}中,an=lg 2n+1,判断该数列是否为等 3 差数列? 5 5 [解] an+1-an=lg 2n+3-lg 2n+1= 3 3
2n+1 3 5 1 lg( 2n+1 2× )=lg =-lg3(常数). 5 3 3 · 3

∴{an}是等差数列.

9.等差数列的 a1=-24,公差 d 为整数,且从第 10 项 开始为正数,求 d 和通项公式. [解] 设数列的通项公式为 an=-24+(n-1)· d
? ?a10>0 则由题意知? ? ?a9≤0 ? ?-24+9d>0 ,∴? ? ?-24+8d≤0



24 ∴ <d≤3.又 d 为整数, 9

∴d=3.

∴an=a1+(n-1)· d=-24+3(n-1)=3n-27. ∴通项公式为 an=3n-27.

10.如果一个数列的各项都是实数,且从第二项开始, 每一项与它前一项的平方差是相同的常数, 则称该数列为等 方差数列,这个常数叫做这个数列的公方差. (1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列,求 an 和 an-
1(n≥2)的关系式;

(2)若数列{an}既是等方差数列,又是等差数列,证明该 数列为常数列.

[解]

2 (1)由等方差数列的定义可知: a2 - a n n-1=p(n≥2).

(2)解法一:∵{an}是等差数列,设公差为 d,则 an-an
-1

2 =an+1-an=d(n≥2).又{an}是等方差数列,∴a2 - a n n-1=

2 a2 - a + n 1 n (n≥2) , ∴(an + an - 1)(an - an - 1) = (an + 1 + an)(an + 1 -

an),即 d(an+an-1-an+1-an)=-2d2=0,∴d=0,即{an} 是常数列.

解法二:∵{an}是等差数列,设公差为 d,则 an-an-1 =d(n≥2),即 an-1=an-d①, 又{an}是等方差数列,设公方差为 p′,
2 则 a2 n-an-1=p′(n≥2)②,

①代入②得,-d2+2dan-p′=0③, ∴-d2+2dan-1-p′=0(n≥2)④, 两式相减得 2d(an-an-1)=2d2=0, ∴d=0,即{an}是常数列.



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