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高中数学数列知识点总结



数列基础知识点和方法归纳
1. 等差数列的定义与性质 定义: an?1 ? an ? d ( d 为常数), an ? a1 ? ? n ? 1? d 等差中项: x,A,y 成等差数列 ? 2 A ? x ? y 前 n 项和 Sn ?

? a1 ? an ? n ? na
2

1

?

n ? n ? 1? 2

d

性质: ?an ? 是等差数列 (1)若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq; (2)数列 ?a 2 n ?1 ?, ?a 2 n ?, ?a 2 n ?1 ? 仍为等差数列,Sn,S2 n ? Sn,S3n ? S2 n …… 仍为等差数 列,公差为 n 2 d ; (3)若三个成等差数列,可设为 a ? d,a,a ? d (4)若 an,bn 是等差数列,且前 n 项和分别为 S n,Tn ,则
am S 2 m ?1 ? bm T2 m ?1

(5) ?an ? 为等差数列 ? Sn ? an 2 ? bn ( a,b 为常数,是关于 n 的常数项为 0 的二 次函数)
S n 的最值可求二次函数 S n ? an 2 ? bn 的最值;或者求出 ?an ? 中的正、负分界项,

? an ? 0 即:当 a1 ? 0,d ? 0 ,解不等式组 ? 可得 S n 达到最大值时的 n 值. ? an ?1 ? 0 ? an ? 0 当 a1 ? 0,d ? 0 ,由 ? 可得 S n 达到最小值时的 n 值. ? an ?1 ? 0

(6)项数为偶数 2n 的等差数列 ?an ?





S 2 n ? n(a1 ? a2 n ) ? n(a2 ? a2 n?1 ) ? ? ? n(an ? an?1 )( an , an?1为中间两项)
S 偶 ? S 奇 ? nd ,

S奇 S偶

?

an . a n ?1

(7)项数为奇数 2n ? 1 的等差数列 ?an ?





1

S 2 n?1 ? (2n ? 1)an (an为中间项) ,

S 奇 ? S 偶 ? an ,

S奇 S偶

?

n . n ?1

2. 等比数列的定义与性质 定义:
an ?1 ? q ( q 为常数, q ? 0 ), an ? a1q n ?1 . an

等比中项: x、G、y 成等比数列 ? G 2 ? xy ,或 G ? ? xy .
?na1 (q ? 1) ? 前 n 项和: Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? (要注意!) (q ? 1) ? ? 1? q

性质: ?an ? 是等比数列
· an ? a p · aq (1)若 m ? n ? p ? q ,则 am

(2) Sn,S2 n ? Sn,S3n ? S2 n …… 仍为等比数列,公比为 q n . 注意:由 S n 求 an 时应注意什么? n ? 1 时, a1 ? S1 ; n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 . 3.求数列通项公式的常用方法 (1)求差(商)法
1 1 1 如:数列 ?an ? , a1 ? 2 a2 ? …… ? n an ? 2n ? 5 ,求 an 2 2 2 1 解 n ? 1 时, a1 ? 2 ?1 ? 5 ,∴ a1 ? 14 2 1 1 1 n ? 2 时, a1 ? 2 a2 ? …… ? n?1 an?1 ? 2n ? 1 ? 5 2 2 2

① ②

①—②得:

?14 ( n ? 1) 1 n ?1 a ? a ? 2 ,∴ ,∴ a ? 2 ? n ?1 n n n 2n ? 2 ( n ? 2)

5 [练习]数列 ?an ? 满足 Sn ? Sn ?1 ? an ?1,a1 ? 4 ,求 an 3

注意到 an?1 ? Sn ?1 ? Sn ,代入得

S n ?1 ? 4 又 S1 ? 4 ,∴ ? S n ? 是等比数列, S n ? 4 n Sn ;

· 4n?1 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? …… ? 3

(2)叠乘法
a n 如:数列 ?an ? 中, a1 ? 3,n ?1 ? ,求 an an n ?1
2



a a 1 a2 a3 1 2 n ?1 3 ,∴ n ? 又 a1 ? 3 ,∴ an ? · …… n ? · …… a1 n a1 a2 an ?1 2 3 n n.

(3)等差型递推公式 由 an ? an?1 ? f (n),a1 ? a0 ,求 an ,用迭加法
? a3 ? a2 ? f (3) ? ? n ? 2 时, ? 两边相加得 an ? a1 ? f (2) ? f (3) ? …… ? f (n) …… …… ? an ? an ?1 ? f (n) ? ? a2 ? a1 ? f (2)

∴ an ? a0 ? f (2) ? f (3) ? …… ? f (n) [练习]数列 ?an ? 中, a1 ? 1,an ? 3 (4)等比型递推公式
an ? can ?1 ? d ( c、d 为常数, c ? 0,c ? 1,d ? 0 )
n ?1

? an ?1 ? n ? 2 ? ,求 an



an ?

1 n ? 3 ? 1? 2 )

可转化为等比数列,设 an ? x ? c ? an ?1 ? x ? ? an ? can ?1 ? ? c ? 1? x 令 (c ? 1) x ? d ,∴ x ?
d ? d d ? ,∴ ?an ? ,c 为公比的等比数列 ? 是首项为 a1 ? c ? 1? c ?1 c ?1 ?

∴ an ?

d d ? n ?1 d ? n ?1 d ? ? ? ? a1 ? · c ,∴ an ? ? a1 ? ? ?c ? c ?1 ? c ?1 ? c ?1 ? c ?1 ?

(5)倒数法 如: a1 ? 1,an ?1 ?
2an ,求 an an ? 2

由已知得:

a ?2 1 1 1 1 1 1 ? n ? ? ,∴ ? ? an ?1 2an 2 an an ?1 an 2

?1? 1 1 1 1 1 · ? ? n ? 1? , ∴ ? ? 为等差数列, ? 1 ,公差为 ,∴ ? 1 ? ? n ? 1? a1 an 2 2 2 ? an ?

∴ an ?

2 n ?1

a ? ( 附 : 公 式 法、利用 n

?

S1 ( n? 1)

Sn ? Sn?1 ( n ? 2 ) 、累加法、累乘法 . 构造等差或等 比

3

an ?1 ? pan ? q 或 an?1 ? pan ? f (n) 、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、

换元法) 4. 求数列前 n 项和的常用方法 (1) 裂项法 把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项. 如: ?an ? 是公差为 d 的等差数列,求 ?
1 k ?1 ak ak ?1
n

解:由 ∴?
?
n

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? d ? 0? ak· ak ?1 ak ? ak ? d ? d ? ak ak ?1 ?

n ? 1 1 1? 1 1 ? 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? …… ? ? ? ?? ak ?1 ? d ?? a1 a2 ? ? a2 a3 ? k ?1 ak ak ?1 k ?1 d ? ak ? an an ?1 ? ?

1? 1 1 ? ? ? ? d ? a1 an ?1 ?

[练习]求和: 1 ?

1 1 1 ? ? …… ? 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? …… ? n 1 an ? …… ? ……,Sn ? 2 ? n ?1

(2)错位相减法 若 ?an ? 为等差数列,?bn ? 为等比数列,求数列 ?an bn ? (差比数列)前 n 项和,可由
Sn ? qSn ,求 S n ,其中 q 为 ?bn ? 的公比.

如: Sn ? 1 ? 2 x ? 3x 2 ? 4 x3 ? …… ? nx n ?1
x · Sn ? x ? 2 x 2 ? 3x3 ? 4 x 4 ? …… ? ? n ? 1? x n ?1 ? nx n

① ②

①—② ?1 ? x ? Sn ? 1 ? x ? x 2 ? …… ? x n ?1 ? nx n
x ? 1 时, Sn

?1 ? x ? ? nx ?
n

n

?1 ? x ?

2

1? x

, x ? 1 时, Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? …… ? n ?

n ? n ? 1? 2

(3)倒序相加法 把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加.
S n ? a1 ? a2 ? …… ? an ?1 ? an ? ? 相加 2Sn ? ? a1 ? an ? ? ? a2 ? an ?1 ? ? … ? ? a1 ? an ?… S n ? an ? an ?1 ? …… ? a2 ? a1 ?
4

[练习]已知 f ( x) ?

x2 ,则 1 ? x2

?1? ?1? ?1? f (1) ? f (2) ? f ? ? ? f (3) ? f ? ? ? f (4) ? f ? ? ? ?2? ?3? ?4?
?1? ? ? 2 2 x ?1? ? x ? ? x ? 1 ?1 ? 由 f ( x) ? f ? ? ? 2 2 2 2 ? x ? 1? x ? 1 ? 1? x 1? x 1? ? ? ?x?
? ∴原式 ? f (1) ? ? f (2) ? ? ? 1 ?? ? f ? ? ? ? ? f (3) ? ? 2 ?? ? ? 1 ?? ? f ? ? ? ? ? f (4) ? ? 3 ?? ? 1 ? 1 ?? 1 f ? ?? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 2 ? 4 ?? 2
2

(附:a.用倒序相加法求数列的前 n 项和 如果一个数列{an},与首末项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写 与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加法。 我们在学知识时,不但要知其果,更要索其因,知识的得出过程是知识的源头,也是 研究同一类知识的工具, 例如: 等差数列前 n 项和公式的推导, 用的就是“倒序相加法”。 b.用公式法求数列的前 n 项和 对等差数列、等比数列,求前 n 项和 Sn 可直接用等差、等比数列的前 n 项和公式 进行求解。运用公式求解的注意事项:首先要注意公式的应用范围,确定公式适用于 这个数列之后,再计算。 c.用裂项相消法求数列的前 n 项和 裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项,使得前后项相抵消,留下有限项,从 而求出数列的前 n 项和。 d.用错位相减法求数列的前 n 项和 错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的形式。 即若在数列{an· bn}中,{an}成等差数列,{bn}成等比数列,在和式的两边同乘以公比, 再与原式错位相减整理后即可以求出前 n 项和。 e.用迭加法求数列的前 n 项和 迭加法主要应用于数列{an}满足 an+1=an+f(n),其中 f(n)是等差数列或等比数列的条 件下,可把这个式子变成 an+1-an=f(n),代入各项,得到一系列式子,把所有的式子加 到一起,经过整理,可求出 an ,从而求出 Sn。 f.用分组求和法求数列的前 n 项和 所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列, 也不是等比数列的数列, 若将这类数 列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并。 g.用构造法求数列的前 n 项和 所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析, 找出数列的通项的特征, 构造 出我们熟知的基本数列的通项的特征形式,从而求出数列的前 n 项和。)

5



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