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二次函数系数与图像的关系1



二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的 系数a,b,c,△与抛物线的 关系

昆明市第二中学 授课人:梁艳 2010年11月23日初三(1)班

1、二次函数的定义: 形如“y=ax2+bx+c (a、b、c为常数 ≠0 ,a )”的函数叫二次函数。注意:自 变量x的最高次项为 次, 变量的关系 2 是 整 式。
2、抛物线 y
(? b ,

? ax ? bx ? c(a≠0)的顶点
2
2

4 ac ? b

2a 4a 坐标为________ , 对称轴为直线_____a 2

)

x ? ?

b

2 如图是二次函数y=ax

+bx+c 的函数图象,你能从图中得到 哪些信息?

-3 -1

1

(1)a确定抛物线的开口方向: a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
二次函数图象位 c>0 c=0 c<0 置与a、b、c、 b 的正负关系 (3)a、b确定对称轴 x=- 2a 的位置:

ab>0 Δ>0

ab=0 Δ=0

ab<0 Δ<0

(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数:

y

(1)a确定抛物线的开口方向: a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
x

c=0

c<0
b x=- 2a 的位置:

0

(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0

ab<0 Δ<0

(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数:

(1)a确定抛物线的开口方向: a>0 a<0
y

(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
x 0

c=0

c<0
b x=- 2a

(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0

的位置: ab<0 Δ<0

(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数:

y

(1)a确定抛物线的开口方向: a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
x

?(0,c)
0

c=0 ab=0 Δ=0

c<0 的位置: ab<0 Δ<0

b (3)a、b确定对称轴 x=- 2a

ab>0 Δ>0

(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数:

y

(1)a确定抛物线的开口方向: a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:

0 (0,0)

?

c>0
x

c=0

c<0
b x=- 2a

(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0

的位置: ab<0 Δ<0

(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数:

y

(1)a确定抛物线的开口方向: a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0 c=0 c<0
b x=- 2a x

0

?(0,c)

(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0

的位置: ab<0 Δ<0

(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数:

(1)a确定抛物线的开口方向: a>0 a<0
b x=2a y

(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
x

c=0

c<0
b x=- 2a

0

(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0

的位置: ab<0 Δ<0

(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数:

b x=- 2a y

(1)a确定抛物线的开口方向: a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
x

c=0

c<0
b x=- 2a

0

(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0

的位置: ab<0 Δ<0

(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数:

y

(1)a确定抛物线的开口方向: a>0 a<0
b x=2a

(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
x

c=0

c<0
b x=- 2a

0

(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0

的位置: ab<0 Δ<0

(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数:

y

(1)a确定抛物线的开口方向: a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:

0

?(x ,0) ?(x ,0) (3)a、b确定对称轴
x
1 2

c>0

c=0

c<0
b x=- 2a

ab>0 Δ>0

ab=0 Δ=0

的位置: ab<0 Δ<0

(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数:

y

(1)a确定抛物线的开口方向: a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0 c=0 c<0
b x=- 2a x

0

?(x,0)

(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0

的位置: ab<0 Δ<0

(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数:

y

(1)a确定抛物线的开口方向: a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0 c=0 c<0
b x=- 2a

0

?

x

(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0

的位置: ab<0 Δ<0

(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数:

快速回答:
2+bx+c如图所示,试 抛物线y=ax

确定a、b、c、△的符号:
y

o

x

快速回答:
2+bx+c如图所示,试 抛物线y=ax

确定a、b、c、△的符号:
y

o

x

快速回答:
2+bx+c如图所示,试 抛物线y=ax

确定a、b、c、△的符号:
y

o

x

快速回答:
2+bx+c如图所示,试 抛物线y=ax

确定a、b、c、△的符号:
y

o

x

快速回答:
2+bx+c如图所示,试 抛物线y=ax

确定a、b、c、△的符号:
y

o

x

中考试题分析
(重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图 像如图所示,则点M(b,c/a)在 ( D) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D. 第四象限 a <0,b >0,c >0

中考试题分析
(绵阳)二次函数y=ax2+bx+c的 图像如图,则不等式bx+a>0 的解为 ( D) A.x > a/b B.x > -a/b C.x < a/b D.x < -a/b

a <0,b <0

若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两

个交点,则a的取值范围是( D )
A.a>0 C.a> 9/4 B.a>- 4/9 D.a<9/4且a≠0

抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点个数问 题与一元二次方程ax2+bx+c=0的根 的个数问题紧密联系.

(山西省)二次函数y=x2+bx+c 的图像如图所示,则函数值 y<0时,对应的x取值范围 是 -3<x<1 .

-3



探究练习: 若a>0, b>0, c>0,你能否画出 y=ax2+bx+c的大致图象呢?

0

0

0

要画出二次函数的大致图象,不但 要知道a,b,c的符号,还应该知道b2-4ac 的大小.

抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)中如 果已知: a < 0,b < 0,c = 0,.△ > 0, 判断图像经过哪些象限?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)中如果已 知: a > 0,b > 0,c < 0,.△ > 0, 判断图像经过哪些象限?

y

o

x

y

o

x

2+bx+c的系 已知:二次函数y=ax

数满足以下的关系: ①abc>0; ② b2-4ac > 0 ③ b=2a ④b<0 画出该二次函数 的大致图像.

y

-1 o

1

x

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几个特例:
1、当x=1 时, y=a+b+c
y

2、当x=-1时, y=a-b+c
3、当x=2时, y=4a+2b+c 4、当x=-2时, y=4a-2b+c
…………… …………… ● -2 -1 o 1 2 x

练习:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如上图所示, ③ ⑦ 那么下列判断正确的有(填序号) . ①、abc>0, ②、b2-4ac<0, ③、2a+b>0, ④、 a+b+c<0, ⑤、a-b+c>0,⑥、4a+2b+c<0,⑦、4a-2b+c<0.

已知二次函数y=ax2+bx+c的 图像如图所示,下列结论: ① a+b+c<0,②a-b+c>0; ③ abc>0;④b=2a 中正确个数为 ( A) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 当x= 1时,y=a+b+c a <0,b <0,c>0 当x=-1时,y=a-b+c x=- b/2a=-1

y

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示,下列判断不正确的是(④ ) ①、abc>0, ②、b2-4ac<0, ③、a-b+c<0, ④、4a+2b+c>0.

-1 o

2 x

(安徽)二次函数y=ax2+bx+c 的图像如图,则下列a、b、 c间的关系判断正确的是( D ) A.ab < 0 B.bc < 0 C.a+b+c > 0 D.a-b+c < 0

a <0,b <0,c <0

二次函数和一次函数
在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax2+c的图像大致为 ( B )
C

二次函数和一次函数
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=ax+c在 同一坐标系内的大致图象是( C )
y y y y x x x x

o (A)

o

o (C )

o (D)

(B)

二次函数和一次函数
(河北)在同一平面直角坐标系中,一次函 2 y ? ax ? bx 的图象可 数y=ax+b和二次函数 能为 ( A )

小结:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a,b,c,△ 与抛物线的关系 数 形 a
a决定开口方向:a>0时开口向上,

a<0时开口向下
b a、b同时决定对称轴位置:a、b同号时对称轴在y轴左侧 a、b异号时对称轴在y轴右侧 b=0时对称轴是y轴

c决定抛物线与y轴的交点:c>0时抛物线交于y轴的正半轴 c c=0时抛物线过原点 c<0时抛物线交于y轴的负半轴



△决定抛物线与x轴的交点:△>0时抛物线与x轴有两个交点 △=0时抛物线与x轴有一个交点 △<0时抛物线于x轴没有交点

对称是一种数学美,它展 示出整体的和谐与平衡之美, A 抛物线是轴对称图形,解题中 应积极捕捉,创造对称关系, 以便从整体上把握问题,由抛 物线捕捉对称信息的方式有: 0

B

1.从抛物线上两点的纵坐 标相等获得对称信息; A
2.从抛物线上两点之间的 线段被抛物线的对称轴垂 直平分获得对称信息.
0

B

课外作业:
1.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和 一次函数y2=mx+n的图象,观察 图象写出y2 ≥y1时,x的取值范围 是________;
2.若关于x的函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴有两个 交点,则a可取的值为 ; 3.已知抛物线y=ax2+bx+c (a<0)经过点(-1,0), 且满足4a+2b+c>0.以下结论:①a+b>0;②a+c>0;③ -a+b+c>0;④b2-2ac>5a2.其中正确的个数有( (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 )



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