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3.1.1数系的扩充和复数的概念(公开课)



学习目标 1.了解数系的扩充过程. 2.理解复数的基本概念 以及复数相等的充要条 件. 3.了解复数的代数表示 法.

目标解读
1.重点是利用复数的代数 形式进行分类和复数相 等的充要条件的应用. 2.难点是复数概念的理 解及复数相等的条件.

人们在狩猎、采集果实等劳动中,由于计数的 需要,就产生了1,2,3,4等数以及表示

“没 有”的数 0. 自然数的全体构成自然数集 N 为了表示各种具有相反意义的

量以及满足记数的需要,人们 又引进了负整,将数系扩充至 整数集Z. 为了解决测量、分配中遇到的 将某些量进行等分的问题,人 Q 们引进了分数,将数系扩充至 R 用方形的边长去度量它的对角线所得 有理数集Q. 的结果,无法用有理数表示,为了解 决这个矛盾,人们又引进了无理数.有 理数集与无理数集合并在一起,构成 实数集R.

Z

N

2 解方程x +1

=0



2 x =-1

发现此方程在实数范围内无解,说明现有的数集不能满足 我们的需求,那么我们必须把数集进一步扩充

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问题解决:
为了解决负数开平方问题,数学家大胆引入一个
新数 i ,把 i 叫做虚数单位,并且规定: (1) i 2??1 ; (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算时, 原有的加法与乘法的运算律 (包括交换律、结合律和分配律)仍然成立.

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观 察
下列这些数与虚数单位i经过了哪些运算?

2 ? i, 2i,  (2 ? 3)i, 2 ? 3i, 2 ? 3,    2 3   

a ? bi

知新

复数的概念

形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数, 通常用字
母z表示. 全体复数所形成的集合叫做复数集, 一般用字母C表示. 复数的代数形式

z ? a ? bi
实 部 虚 部

( a ? R, b ? R )
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思考 复数z=a+bi (a ∈ R、b ∈ R)能否表示实数? 实数 (b ? 0)
复数z=a+bi
(a ∈ R、b ∈ R)

虚数 (b ? 0) (纯虚数(a=0且b≠0))

判断
1、若a=0,则z=a+bi (a ∈ R、b ∈ R)为纯虚数. (假) 2、若z=a+bi (a ∈ R、b ∈ R)为纯虚数,则a=0. (真) 故a=0是z=a+bi (a ∈ R、b ∈ R)为纯虚数的

必要不充分

条件.
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说一说
完成下列表格(分类一栏填实数、虚数或

纯虚数)

2-3i
实部 虚部

0
0

2
-3

1 4 ? ? i 2 3 1 ? 2

6i
0
6
纯虚 数

i

2

-1

0

4 3

0
实数

分类

虚数 实数

虚数

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讨论

复数集与实数集、虚数集、纯虚数集

之间有什么关系?

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复数的分类

?实数(b ? 0) ? ?纯虚数(a ? 0,b ? 0) 1、复数z=a+bi ? ?虚数(b ? 0) ?非纯虚数(a ? 0,b ? 0) ? ?
2. 复数集、虚数集、实数集、 虚数集 复数集C 纯虚数集之间的关系
纯虚数集
实数集R

3. 复数中的实数能比较大小, 虚数不能比较大小。
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想一想

如果两个复数相等,那么它们应满

足什么条件呢?

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复数相等

知新

▲ 如果两个复数的实部和虚部分别相等,那

么我们就说这两个复数相等.即

a ? bi ? c ? di
思考

(a, b, c, d ? R)

?a ? c ?? ?b ? d

?a ? 0 若a ? bi ? 0(a、b ? R) ?? ?b ? 0
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说一说

1.若2-3i=a-3i,求实数a的值; 2.若8+5i=8+bi,求实数b的值; 3.若4+bi=a-2i,求实数a,b的值。

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例 1:
判断下列说法是否正确: (1)当 z∈C 时,z2≥0. (2)若 a∈R,则(a+1)i 是纯虚数. (3)若 a>b,则 a+i>b+i.

【解】 (1)错误.当且仅当z∈R时,z2≥0成立.若z= i,则z2=-1<0. (2)错误.当a=-1时,(a+1)i=(-1+1)i=0· i=0∈R. (3)错误.两个虚数不能比较大小.

变式 1

下列命题中,正确命题的个数是(

)

①复数-3i+5 的实部是-3,虚部是 5; ②若 x,y∈C,则 x+yi=1+i 的充要条件是 x=y=1; ③若 x2+y2=0,则 x=y=0; A.0 C.2 B.1 D.3

答案:A

例 2:

求使等式(2x-1)+i=y-(3-y)i 成 立的实数 x,y 的值.
解:根据复数相等的定义,得方程组
?2 x ? 1 ? y 得 ? ??(3 ? y ) ? 1

5 ? ?x ? 2 ? ? ?y ? 4

变式练习2:若(x-1)+i=(y+3)i,其中x, y∈R,则 2 x ? y 的值为________ 1 2
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例 3:
实数m取什么值时,复数 z ? m ? 1 ? (m ? 1)i 是 (1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?

变式 3

m2-m-6 实数 m 取何值时, 复数 z= +(m2-2m-15)i m+ 3

是:(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?

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当堂练习 见导学案1-6题

知识小结
实部 虚部

纯虚数

z ? a ? bi(a, b ? R)
代数 形式

a?0

非纯虚数 a ? 0

虚数
b?0

有 复数的定义: b=0 分 a ? bi 的数 关 把形如_______ 实数 类 概 念 叫做复数(a,b∈R),

其中

i

是虚数单位。
复数相等

虚数

单位

i

2=___ -1

a+bi=c+di (a, b,c,d?R)

a=c b=d

欢迎各位 批评指正

阅读:复数系是怎样建立的?

1545年意大利有名的数学 “怪杰”卡丹 第一次开始 讨论负数开平方的问题,当时复数被他称作“诡辩量”. 几乎过了100年,笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一 个 名字——虚数.但是又过了140年,欧拉还是说这种数

只是存在于“幻想之中”,并用i(imaginary,即虚幻 的 缩写)来表示它的单位.后来德国数学家高斯给出了复
数的定义,并把复数与直角坐标平面内的点一一对应起 来.1837年,爱尔兰数学家哈密顿用有序实数对(a,b) 定义了复数及其运算,并说明复数的加、乘运算满足 实数的运算律.这样历经300年的努力,数系从实数系向

复数系的扩充才得以大功告成.
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