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一道竞赛题及其推广的证明


●  专 题 研 究  婚 ●  ? 戮?   ●  遂竞赛题 簇撰 嘞谖    ◎ 陈 进 平  陈 停  ( 川 汶 川 阿 坝 师 范 高 等 专 科 学 校 数 学 系 6 3 0 )   四   20 0  【 摘要 】 a ,2… , > , 0 +。 +- +口 设 ln , 口 0 且 1 2 ?  =1 n   ? ,≥ 由() , 3 式 得  q ?   () 4  2  驴l 1 - 0 =一  口 且 , , 者>   口 一 卢 pn   南Ⅱ口   ≥ n  p ≥ ?   【 关键词 】 幂平均不 等式 ; 指数 函数 ; 和公 式; 西 不 求 柯   等 式  s= 主立 q  a  ̄ = i1 =  p - = 砉1n 号  一,     (   5) 、   . . .  i 1 = 1 _ £ S q : P  +P .      题 目 ( 94年 巴 尔 干 地 区 竞 赛 题 ) o ,   … , >0,   18 设  0, 。   由 西不 式,   ∑ ÷≥   柯 等 得∑  . i= 1   i= 1   i   (  6 ) 且   … -证 去≥ ?   l : ’  求     ≥   , 自然 地 , p≥1 q 在 , ≥1  , 由( ) 、5 式和( ) , 4式 () 6 式 得  运 用 无 穷 递 缩 等 比数 列 求 和公 式 与 幂 平 均 不 等 式 巧 妙  地 解 决 了这 个 竞 赛 题 . 国林 推 广 以 上 竞 赛 题 为 : 王   当p ≥l时 ,   i p > 1, n-上 R (+) 警詈(  . 一 )   ‘ . ㈩   ‘ n一 p   n  > , 从 ( ) 可 得  0则 7式 5 —≠一 , ≥ 可得()   1 式. B -l > 0时 洧   i 1     :—tlq立    ≥t  ? pu志—      成 P pn 一 q     引理 幂 平均 不 等 式 :  。 ,=12 3 … ,   <臼 若 >0 i , , ,  , J  . 当 仅 a :    ÷时上 几 不 式   且 当 。 一‘。 ,面 个 等 等 号成立 , 而原不等式成立. 从   常 弹  毕 .   则    (羔 堕 )( 吉笪 ≤  )取 号 且 古 等 当  , 仅 当 n个 正 数 全 相 等 时 成 立 .   本 用引理, ≥ ,≥ , 一 > 时, 证 文利 在P 1q 1 n 告 0 即   p 明了:   一 【 考文献】 参   [ ] 召, 1高 陈伟 锋 . 用 无 穷递 缩 等 比 数 列 求 和 公 式 解  利 类 竞 赛 题 [ ] 中学 数 学 ,0 7 4 . J. 20 ( )   定 理  设 ln , , O 且 1 Ⅱ +… +  =l n , 2… 0  > , + 2 口 , ≥2  , 且 p≥ 1 g , , ≥1 ≥1p   ,n一 >0, 有  [ ] 国林 . 道 竞赛 题及 其 推 广 的 证 明 [ ] 陕 西 师 范  2王 一 J. 大 学 中 学数 学教 学参 考 ,0 0 1 2下 旬 . 21 , —   窆 证明 。i : i   q ̄   = p a≥ 1 - .   () 1   设 P— 。  则  q  =t , , 口 堕 ( 1    2 一,

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