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2015年河北省高中数学竞赛试卷(高三年级组) word版含答案



2015 年河北省高中数学竞赛试卷(高三年级组)
(时间:8 月 30 日上午 8:30-11:30)
一、填空题

l n a) ? f ( l n 1、已知函数 f ( x) ? ln( 1 ? a 2 x 2 ? ax) ? 1 (a ? 0) , 则 f(

1 ) ? ____________. a


2、A,B 两点分别在抛物线 y 2 ? 6 x 和 ⊙C : ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 上,则 AB 的取值范围是 ____________. 3、若 tan? ? 3 tan β ? 0 ? ? ? ? ?

? ?

??

? ,则 ? ? ? 的最大值为____________. 2?

4、已知△ ABC 等腰直角三角形,其中∠C 为直角,AC=BC=1,过点 B 作平面 ABC 的垂线 DB,使得 DB=1,在 DA、DC 上分别取点 E、F,则△ BEF 周长的最小值为____________. 5、已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x ,对任意的 m ? ?? 2,2?, f (mx? 8) ? f (2 x ) ? 0 恒成立,则正 . 实数 ..x 的取值范围为____________. 6、已知向量 a,b,c 满足 | a |:| b |:| c |? 2 : k : 3(k ? N * ) ,且 b ? a ? 2(c ? b) ,若 ? 为 a,c 的夹 角,则 cos? 的值为____________. 7、现有一个能容纳 10 个半径为 1 的小球的封闭的正四面体容器,则该容器棱长最小值为 ____________. 8、将 10 个小球(5 个黑球和 5 个白球)排场一行,从左边第一个小球开始向右数小球,无 论数几个小球,黑球的个数总不少于白球个数的概率为____________. 二、解答题 9.( 本 小 题 满 分 14 分 ) 在 △ ABC 中 , 内 角 A,B,C 对 边 的 边 长 分 别 是 a,b,c , 向 量

p ? ?sin A ? sin C, sin B? ,向量 q ? (a ? c, b ? a) ,且满足 p ? q .
(Ⅰ)求△ ABC 的内角 C 的值; (Ⅱ)若 c=2,2sin2A+sin(2B+C)=sinC,求△ ABC 的面积.
2 10.(本小题满分 14 分)已知数列 ?an ?满足: a1 ? 2,an?1 ? an ? 2an .

(1)求证:数列 ?lg( an ? 1)?是等比数列,并求 ?an ?的通项公式; (2)若 bn ?

1 1 ,且数列 ?bn ?的前 n 项和为 Sn ,求证: Sn ? 1 . ? an an ? 2
x

11.(本小题满分 14 分)设 f ( x) ? e ? ax ? a .(e 是自然对数的底数) (Ⅰ)若 f ( x) ? 0 对一切 x ? ?1 恒成立,求 a 的取值范围;
? 2015 1008 ) ?e 2. 2016 1

(Ⅱ)求证: (

12.(本小题满分 14 分)已知:如图,两圆交于 A、B 两点,CD 为他们的一条外公切线,切点 分别为 C、D.过 A 任意做一条直线分别交两圆于 E、F,EC 交 FD 于 P. 求证:PB 平分∠EBF. P D F C A E

B 13.(本小题满分 15 分)设正数 x,y 满足 x3 ? y3 ? x ? y ,求使 x 2 ? λ y2 ? 1 恒成立的实数 ? 的 最大值. 14.(本小题满分 15 分)已知椭圆 C :

1 x2 ? y 2 ? 1及点 P (1, ) ,过点 P 作直线 l 与椭圆 C 交于 2 2

A、B 两点,过 A、B 两点分别作 C 的切线交于点 Q. (1)求点 Q 的轨迹方程; (2)求△ ABC 的面积的最小值.

2015 年河北省高中数学竞赛试卷(高三年级组)答案
1.【解析】

f ( x) ? f (? x) ? ln( 1 ? a 2 x 2 ? ax) ? ln( 1 ? a 2 x 2 ? ax) ? 2 ? ln(1 ? a 2 x 2 ? a 2 x 2 ) ? 2 ? 2 .
2.【解析】由于 AB ? AC ?1 ,则只需要考虑 AC 的范围.

AC ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? 6 x ? x 2 ? 2 x ? 4 ? ( x ? 1) 2 ? 3, 又x ? 0, 故 AC min ? 2,
故 AB 的取值范围为 ?1 , ? ?? . 3.【解析】 tan?α ? ? ? ?

2

tan? ? tan ? 2 tan ? ? ? 1 ? tan? tan ? 1 ? 3 tan2 ?

2 1 ? 3 tan ? tan ?

?

3 ? ? tan 3 6

π π ?0 ? β ? α ? , ?0 ? α ? ? ? . 2 2 ?α ? β ?

?

6

.

4.【解析】由题意可知, ?CDB ?

?
4

,且∠BDA 与∠CDA 之 D F E D

B2

? 和为 . 2

如图, 将侧面 BDA 和侧面 CDB 分别折起至面 B1DA 和 B2 DC , 且与侧面 ADC 位于同一个平面上.则△ BEF 周长的最小值即面

B1

AB1DB2C 上两点 B1 , B2 之间的线段长.
由 前 面 的 分 析 可 知 ,

B

C D

?B1 DB 2 ? ?B1 DA ? ?A
由余弦定理可得,

π π 3π ? D ?C C2 D ? ? B? , 2 4 4

A

? 2? ? B1B2 ? B1D 2 ? B2 D 2 ? 2 B1D ? B2 D ? cos?B1DB2 ? 1 ? 1 ? 2 ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? 2. ? ?
所以,△ BEF 周长的最小值为 2 ? 2 . 5.【解析】 f ( x) ? x ? 3x 为奇函数且为增函数
3

f (mx? 8) ? f (2x ) ? 0
等价于 f (mx? 8) ? ? f (2 ) ? f (?2 )
x x

即 m x ? 8 ? ?2

x

即 mx? 2 ? 8 ? 0 对任意的 m ? ?? 2,2?成立
x

x ? ?0 ? x ? 2 ?2 x ? 2 ? 8 ? 0 即? ,所以 ? ,即 0<x<2 x ? ?0 ? x ? 4 ?? 2 x ? 2 ? 8 ? 0
2 1 2 1 2 4 2 4 a ? c 所以 b ? a ? c ? a ? c , 3 3 9 9 9 40 24 16 64 2 ? cos ? ? [ , ] ,又 k ? N * ,所以 k=2,所以 又 | a |:| b |:| c |? 2 : k : 3 ,所以 k ? 9 9 9 9 1 cosα 的值为 ? . 6

6.【解析】由 b ? a ? 2(c ? b) 得 b ?

7.【解析】这 10 个小球成棱锥形来放,第一层 1 个,第 2 层 3 个,第 3 层 6 个,即每一条 棱是 3 个小球, 于是正四面体的一条棱长就应该是 4 倍的小球的半径加上 2 倍的球心到四面 体顶点的距离到棱长上的射影的长度,又球心到顶点的距离为 3,正四面体的高和棱所成角 的余弦值为

6 6 ,故容器棱长的最小值为 4 ? 2 ? 3 ? ? 4?2 6 . 3 3

8.【解析】法 1:如果只有 2 个小球(1 黑 1 白),则黑球的个数总不少于白球个数的概率

1 1 ;如果只有 4 个小球(2 黑 2 白),则黑球的个数总不少于白球个数的概率为 ;如果 2 3 1 只有 6 个小球(3 黑 3 白),则黑球的个数总不少于白球个数的概率为 ;以此类推,可知 4
为 将 10 个小球(5 个黑球和 5 个白球)排成一行,从左边第一个小球开始向右数小球.无论数 几个小球,黑球的个数总不少于白球个数的概率为 法 2:直接从 10 个小球入手分类讨论. 9.【解析】(Ⅰ)由题意 p ? q ,所以, ?a ? c??sin A ? sin C ? ? ?b ? a ?sin B ? 0 . 由正弦定理,可得 ?a ? c ??a ? c ? ? ?b ? a ?b ? 0 . 整理得 a ? c ? b ? ab .
2 2 2

1 ; 6

由余弦定理可得, cosC ?

π a 2 ? b2 ? c2 1 ? ,又 C ? ?0, ? ? ,所以, C ? 3 2ab 2

……6 分

(Ⅱ)由 2 sin 2 A ? sin?2B ? C ? ? sin C 可得, 4 sin A cos A ? sin ?B ? π ? A? ? sin ?B ? A?. 整理得, 4 sin A cos A ? sin?B ? A? ? sin?B ? A? ? 2 sin B cos A . 当 cos A ? 0 时, A ?

π π 2 3 ,此时, b ? 2 cot ? . 2 3 3

所以△ ABC 的面积为 S△ABC ?

1 2 3 bc ? . 2 3

……10 分

2 2 当 cos A ? 0 时,上式即为 sin B ? 2 sin A ,有正弦定理可得 b=2a,又 a ? b ? ab ? 4 ,解

之得, a ?

2 3 4 3 1 2 3 ,b ? ,所以△ ABC 的面积为 S△ABC ? ab sin C ? . 3 3 2 3 1 2 3 . absin C ? 2 3
2

综上所述,△ ABC 的面积为 S△ABC ?

……14 分

2 10.【解析】(1)由已知得 an?1 ? an ? 2an , an?1 ?1 ? ?an ?1? ,

因为 a1 ? 2 ,所以 an ? 1 ? 1 ,两边取对数得 lg?1 ? an?1 ? ? 2 lg?1 ? an ?, 即

lg?1 ? an?1 ? ?2, lg?1 ? an ?

故 ?lg?an ? 1??为以 lg3 为首项,2 为公比的等比数列, 即 lg?an ? 1? ? 2n?1 lg 3 ,即 an ? 32
n?1

?1 .
1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?, an ?1 2 ? ? an an ? 2 ?

……5 分

2 (2)法 1:由 an?1 ? an ? 2an 两边取倒数得

所以

?1 1 1 2 1 ? ? ,即 bn ? 2? ? ? ? ? ?, an ? 2 an an ?1 ? an an ?1 ?
1 ? ?1 ? 2n ? ,故 Sn ? 1 . ? 2 3 ?1 ?

……10 分

故 S n ? 2?

……14 分
n?1

法 2: bn ?

1
2n

3 ?1 3 ? 1

?

1
2n

?

2 ? 32
2n

3 ?1

? 2(

1 3
2 n?1

1 ? ?1 ) ,则 S n ? 2? ? 2n ? ?1. ?1 3 ?1 ? 2 3 ?1 ?

?

1

2n

11.【解析】(Ⅰ) f ( x) ? 0 ? ?x ? 1?a ? e ? a ?

ex ?x ? ?1? , x ?1

令 h( x ) ?

ex xex ,则 h?( x) ? , x ?1 ( x ? 1) 2

由 h?( x) ?

xex ? 0 得 x>0. ( x ? 1) 2

? ??上单调递增,h(x)在(-1,0)单调递减. 所以 h(x)在 ?0,
所以 h( x) ? h(0) ? 1?x ? ?1? ,由此得: a ? 1 .

又 x=-1 时, ?x ? 1?a ? e x 即为 0 ? a ? e ,此时 a 取任意值都成立.
?1

综上得: a ? 1 . (Ⅱ) (
? ? 2015 1008 2015 ? 2016 1 ) ?e 2 ? ?e ? 1? ? e 2016 . 2016 2016 2016
x

……8 分
1 1 1

由(Ⅰ)知,当 a=1 时 f ( x) ? 0 对一切 x ? ?1 恒成立,即 e ? x ? 1 (x=0 时取等号).
? 1 1 ? e 2016 . 取x?? ,得 1 ? 2016 2016 ? 2015 1008 ) ?e 2. 2016 1 1

即证得: (

……14 分 P C 1 5 3 A

12. 【证明】 如图, 连接 BA,BC,BD.由 A,B,E,C 共圆有∠1=∠CBA, 同理∠2=∠DBA; ……5 分 又∠1+∠2+∠EPF=180°, 所以∠CBD+∠CPD=∠1+∠2+∠EPF=180°, 故 P,C,B,D 四点共圆. 则∠CBP=∠3=∠4=∠DBF(弦切角等于圆周角). ……10 分 同理∠CBE=∠5=∠DBP. 所以∠EBP=∠EBC+∠PBC=∠DBP+∠FBD=∠FBP, 此即为 PB 平分∠EBF. ……14 分 13.【解析】由正数 x,y 满足 x3 ? y 3 ? x ? y ,知 x ? y ? 0 .令 t ?

D 2

4F

E

B

x ? 1. y
……5 分

x3 ? y 3 不等式 x ? λ y ? 1 等价于 x ? λ y ? , x? y
2 2
2 2

等价于

λ y2 ?

x3 ? y 3 x2 y ? y3 , ? x2 ? x? y x? y

等价于

λ?

x2 y ? y3 ?x ? y ? y 2 x2 ? y2 t 2 ?1 . ? xy ? y 2 t ? 1
……10 分

等价于

λ?

t 2 ?1 2 2 因为 f (t ) ? ? 2 ? (t ? 1) ? ? 2 ? 2 (t ? 1) ? ? 2?2 2 , t ?1 t ?1 t ?1
等号仅当 t ? 1 ?

2 ,即 t ? 1 ? 2 时成立, t ?1
……15 分

所以,实数 ? 的最大值为 2 ? 2 2 .

14.【解析】(1)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),Q( x0 , y0 ) ,

xx x1 x ? y1 y ? 1 过 Q,有 1 0 ? y1 y0 ? 1 ;……① 2 2 xx x x QB : 2 ? y2 y ? 1,有 2 0 ? y2 y0 ? 1 ,……② 2 2 xx 1 故直线 AB : 0 ? y0 y ? 1 过点 P (1, ) ,则有 2 2 x0 y0 ? ? 1 ? x0 ? y0 ? 2 ……③ 2 2
则 QA : 故 Q 的轨迹方程为 x+y=2. ……5 分

(2)对直线 AB,当斜率不存在时,即为 x=1,此时 A(1,

2 2 ), B(1,? ), Q(2,0) 2 2

1 2 S△ABQ ? ? 2 ?1 ? 2 2
斜率存在时,设直线 AB : y ?

1 1 ? k ( x ? 1) ? y ? kx ? ? k . 2 2

?x2 ? 2 y 2 ? 2 3 ? 2 2 2 联立,消掉 y 得 (2k ? 1) x ? 2k (1 ? 2k ) x ? (2k ? 2k ? ) ? 0 . ? 1 2 ? y ? kx ? ? k 2 ?

2k (2k ? 1) ? ? x1 ? x2 ? 2k 2 ? 1 ? 于是有 ? 3 2k 2 ? 2k ? ? 2 ? x1 x2 ? 2 2k ? 1 ?
又①-②,得到

x0 4k 2 ? ky 0 ? 0 与③式联立,可解得 Q( , ). 2 2k ? 1 1 ? 2k

……10 分



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