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5月信息(数学)



2014 年高考

五 月 信 息 专 递





咸阳市学科研究中心数学专家组

1

临近思绪
? 高考趋向: 真题: 题源:根植课本、稳定在部分往年陕西真题模型之中。 难度:较 2013 年试题容易。 立足:核心内容、凸现数学本质。 关注

:往年未考过的内容,主干知识体系的深度考查。 创新:选择最后一题,解答最后二题。 题型: 选择题:基础,减少计算量,将会有 1 道新颖题; 填空题:基本,稳定中渐变,可能有 1 道情景题; 解答题:常规,凸数学本质,一般有 2 道较难题。 ? 应试策略:
选择题:不择手段。准确、迅速;对照选支,巧思妙选;该算不算,巧判过 关; 填空题:直扑结果。稳、准、快;大胆猜想,精思快填;浅层次挖掘,从定 义、概念出发,找联系; 解答题:步步为营。模式识别、双向沟通、差异分析、合情变更。读一句、 思考一句、翻译一句、写一句。按步思考、分段得分。 解题就是探究关系:数量关系、图形关系、随机关系。 解题五字操作方法:建(坐标系) ,设(点坐标、方程、角度、参数) ,列(关 系式、方程、函数、不等式、数列) ;解(解方程、不等式、求函数最值) ,验(反 思、检验) 。

解题四字应试策略:看(阅读) 、想(联系) 、写(规范) 、悟(总 结) 。 知识网络是明线、思想方法是暗线。 想明白,说清楚,写规范。
2

信息传递
从 2006 年开始,陕西高考数学自主命题,特别是 2010 年至 2013 年的新课 程考题,已经呈现了一定的命题格局,形成了自主命题的特点。这对于我们作好 2014 年高考数学备考工作有一定启迪作用。 ? 往年高考真题背景 1.改编自课本经典的问题。例如:2012 年抛物线拱桥填空题;立体几何解 答题是三垂线定理和逆定理,这在课本例题习题里出现;2011 年三角函数解答 题为教材余弦定理的叙述与证明;2010 年文科三角解答是课本原题仅改数值而 成。2013 年数列解答题,直接取材于课本等差、等比数列求和公式推导。 2.类似于往年高考真题。例如:2012 年理科压卷题将函数、导数、不等式、 数列综合,有陕西 2006 年压卷题目的味道,还雷同于 2006 年广东压卷题;2012 年第 2 题考查函数性质是 1985 年全国高考题目的风格;2012 年理科第 7 题类似 于 2011 年北京理科 18 题里的函数;2012 年理科第 9 题与 2011 年重庆理科第 6 题有相近的已知条件。 3.改编自资料经典问题。例如:2012 年理科压卷题第 2 问类似于 2011 年 五月信息题;2011 年立体几何解答题是老教材《立体几何(甲种本) 》题目改造。 2013 年合情推理填空题,基本是资料原题。 4.改编自竞赛经典问题。例如:2011 年的植树填空题目是经典竞赛试题改 编; 2011 年理科 12 题一元二次方程整数根是初中数学竞赛的风格; 2010 年、 2013 年选择最后一题里的高斯函数是竞赛的考点。 5.根植于高等数学背景。例如:2010 年选择最后一题改编自《数学分析》 教材题目;2011 年函数曲线、点列、数列综合解答题目,取材于《计算数学》 内容;2012 年函数零点、不等式综合压卷题, 2013 年压卷题里的平均不等式, 联系着明显的高等数学背景。 ? 今年高考命题猜想 1.选择、填空试题里,也许各有一道“亮点题” ,显示命题人的设计艺术。 2.解答题设计简单明确,考查数学基础知识,体现数学核心内容。 三角题:关注三角形的三角函数; 数列题:注意数列和与通项之的关系,通项与前 n 项和; 立几题:从“斜”回归“直” ,可能较去年要简单些; 概率题:试题长度适当,控制阅读理解的上限。 解几题:突显几何味道、控制代数运算难度。 函数题: 压卷题目依然有深刻的背景, 有探究、 研究的空间, 体现选拔性。 3.课本是高考试题的直接来源,这是一条不会改变的命题规律,值得再次 关注。 4. 实际应用性的问题,是命题的趋向,体现浅而不难,新而有趣。 5.重视一些特殊术语的理解,诸如“任意、存在” , “唯一” , “不单调” , “恒 成立” 、 “有且仅有” 。

3

2014 年咸阳市高考理科数学临考模拟 第Ⅰ卷
有一项是符合题目要求的) 1.若函数 f ( x) ? x2 的定义域 M ? {0,1, 2} ,则该函数 值域 M 的真子集个数为 ( A.8 B.7 ) C.6 D. 4

选择题(共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只

2. 一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为 ( ) A.3 C. B.

3 2

3 4 1 D. 2

3.已知向量 a ? ( x ? 1, 2), b ? (4, y) ,则“ a ? b ”是“ x ? 1, y ? 0 ”的( ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 )

2i 3 4.复数 z ? (其中 i 为虚数单位) ,则下列命题中正确的是( 1? i
A.在复平面内复数 z 对应的点在第一象限 B.在复平面内复数 z 的共轭复数 z 对应的点在第三象限 C.复数 z 的模 z ? 1 D.若复数 z1 ? z ? m 是实数,则 m ? i

5.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?) 的图象如图所示,其中 A ? 0 , ? ? 0 , ? ? 则下列关于函数 f ( x ) 的说法中正确的是( A.对称轴方程是 x ? B. ? ? ? )

?
2



?
3

y

? 2 k? ( k ? Z )

1
x

?
6

?

C.最小正周期是 ? D.在区间 ? ?

? 6

O

5? 6

? 3? 5? ,? 6 ? 2

? ? 上单调递减 ?

4

6.在学校管乐队中 5 个儿童每人有他们自己的喇叭,他们中恰好有 3 人拿错喇叭回家而另 外 2 人拿对的种数是( ) A. 5 B. 10 C. 20 D. 30 7.二项展开式 ? x3 ?

? ?

2? 2? ? ? 的各项系数的绝对值之和为 729,则 ? x ? ? 展开式中的二次项 x? x? ?

n

n

的系数是( ) A . ? 60 B. 60 C . - 30 D. 30 8. 已知流程图如下图所示,该程序运行后,为使输出的 b 值为 16,则循环体的判断框内 ①处应填( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
p 区域 N 内 1,

ì 0 #x ? 9.已知区域 M 内的点 P ( x, y ) 满足:? í ? 0 #y ? ?

ì 0 #x p ? 的点 P ( x, y ) 满足: ? 则向区域 M 内投点,落 í ? ? ? 0 # y sin x, 在区域 N 内的概率是( )

A.

2 p

C. 2 ?

2

?

? 4 ? D. 2 ? 4
B.

10 .定义:若存在常数 k ,使得对定义域 D 内的任意两个实数 x1 , x2 ?x1 ? x2 ? ,均有

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? k 成 立 , 则 称 函 数 f ?x ? 在 定 义 域 D 上 满 足 利 普 希 茨 条 件 . 若 函 数 x1 ? x2

f ?x? ? x ?x ? 1? 满足利普希茨条件,则实数 k 的取值范围是(
A. ? , ?? ?

) D. ? , ?? ? ?6 ?

?1 ?2

? ?

B. ? , ?? ? ?3 ?

?1

?

C.

?1 ? , ?? ? ? ?4 ?

?1

?

第Ⅱ卷(非选择题
11.双曲线

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上.
x2 y 2 + = 1 的右焦点与抛物线 y 2 = 16 x 的焦点重合, 4 m

则实数 m = ______. 12.有一块直角三角形的土地,现在这块土地上划出一块矩形地 基建造游泳池(如图中阴影所示) ,请问:这块地基能达到的最大 面积是_______. 13.给出下列命题: ①命题“存在 x∈R,使得 x2+x+1<0”的非命题是“对任 意 x∈R,都有 x2+x+1>0”;
5

②独立性检验显示“患慢性气管炎和吸烟有关”, 这就是“有吸烟习惯的人, 必定会患 慢性气管炎”; ③某校有高一学生 300 人,高二学生 270 人,高三学生 210 人,现教育局欲用分层抽样 的方法,抽取 26 名学生进行问卷调查,则高三学生被抽到的概率最小. 其中错误的命题序号是________(将所有错误命题的序号都填上). 14.观察下列等式:
13 = 1; 1

13 + 23 = 3; 1+ 2 13 + 23 + 33 = 6; 1+ 2 + 3 13 + 23 + 33 + 43 = 10 ; 1+ 2 + 3 + 4

?, 则第 n 个等式为 .

15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分) A. (不等式选做题) 已知正实数 x, y 满足
x2 y 2 + = 1 ,则 x ? y 的最大值为 4 3

.

C B

B. (几何证明选做题)如图,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上 的射影为 D . AD ? 2 , AC ? 2 5 ,则圆 O 内接正方形的面积

A

D O

为 . C. (坐标系与参数方程选做题) 已知极坐标系的极点和直角坐标系的原点 重合,极轴和 x 的正半对称轴重合,两坐标系的单位长度一致。曲线C的极坐标方程方 程为 ? ? 2sin ? ,设点M为曲线C上任意一点,点N为直线 l : 3x - 4 y = 12 上任意一点, 则M,N两点间的距离的最小值是 .

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , 角 A、B、C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c , 且

2b cosB ? a cos C ? c cos A . (Ⅰ )求 B 的值; a?c (Ⅱ )求 的取值范围. b
17. (本小题满分 12 分)已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn ,单调递减的等比数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , a3 ? 5, S3 ? 9 , b2 ?1 ? a2 , T3 ? 14.

6

(I)求数列 ?an ? 的通项 an ; (II)设 M n ? lg b1 ? lg b2 ? ? ? lg bn , 求M n 的最大值及此时 n 的值. 18. (本小题满分 12 分)如图,底面为平行四边形的四棱柱 ABCD—A′B′C′D′,DD′⊥底面 ABCD, ∠DAB=60° , AB=2AD, DD′=3AD, E、 F 分别是 AB、 D′E 的中点. (Ⅰ )求证:DF⊥CE; (Ⅱ )求二面角 A—EF—C 的余弦值.

1 错误!未指定书签。9. (本小题满分 12 分)要从甲,乙两

名运动员中选拔一人参加跳水项目,对甲乙两人进行培训 . 现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽 取 6 次,得出成绩茎叶图如图所示. (Ⅰ)从平均成绩及发挥稳定性的角度考虑,你认为选派 哪名运动员更合适? (Ⅱ) 若将频率视为概率,对甲运动员在今后 3 次的比赛 成绩进行预测,记这 3 次成绩中高于 80 分的次数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望.

甲 9 8 4 1 5 3 7 8 9 5



0 3 5 2 5

20. (本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C : 离心率 e ?

x2 y 2 ? ? 1(a>b≥1) 的 a 2 b2

3 ,且椭圆 C 过点 P(2,1). 2
1 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)直线的 l 的斜率为 ,直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点.求△PAB 面积的最大值.

21. (本小题满分 14 分)设函数 f n ( x) ? x ?

x 2 x3 (?1) n ?1 x n ? ?L ? ? ln(1 ? x) , n ? N? . 2 3 n 1) 内的单调性,并说明理由; (I)判断函数 f n ( x) 在 (0, 1 1) 都成立. (II)求最大的整数 ? ,使得 | f n ( x) |? ? 对所有的 n ? N ? 及 x ? (0, n (注: ln 2 ? 0.6931 .)

7

2014 年咸阳市高考文科数学临考模拟 第Ⅰ卷
一项是符合题目要求的. 1.函数 f ( x) = A. ( 3 + x- 1 2 - x 的定义域为 (

选择题(共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中只有

)
,1) (1, 2 )

,2]

B. (1, 2 ]
2

C. ( -

D. ( -

,1) (1, 2 ]

2.命题“任意 x ? 0 ,都有 x ? x ? 0 ”的否定是( A. 存在 x ? 0 ,使得 x ? x ? 0
2

)
2

B. 存在 x ? 0 ,使得 x ? x ? 0 D. 任意 x ? 0 ,都有 x ? x ? 0
2

C. 任意 x ? 0 ,都有 x ? x ? 0
2

3.新定义运算:

a b c d

? ad ? bc ,则满足

i z ? ?2 的复数 z 是( ?1 z

)

?1 ? i A. 1 ? i B. 1 ? i C. D. ?1 ? i 4.在△ABC 中,角 A,B 所对的边长为 a,b,则“a=b”是“a cosA=b cosB”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
5. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生 产能耗 y (吨)的几组对应数据:根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方

x

3 2.5

4

5 4

6 4.5

y
? ?

t
) C. 3.5

程为 y ? 0.7 x ? 0.35, 则表中 t 的值为( A.3 B. 3.15

D. 3.75 b,则<a+b, a-b>=( )

6.设向量 a = ( cos a ,sin a ) ,b = ( cos b ,sin b ) ,|a+b| ? 1 ,且 a ? A. 60 B. 90 C. 120

D. 135

7.如右图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水, 容器中水面的高度 h 随时间 t 变化的图象可能是( )

h
A B

h
C

h

h
D

正 视图

侧 视图

O

t

O

t

O
8

t

O

t

俯 视图

A.

B.

C.

D.

8. 某程序框图如右图所示, 若 a ? 3 ,则该程序运行后, 输出的 x 值为( ) A.27 B.29 C.31 D.33 9. 已 知 集 合
M = {( x, y ) x2 + y 2 1}



N = {( x, y ) x + y

1} 一只蚂蚁在 M 内部爬行,若

不考虑蚂蚁的大小,则某时刻该蚂蚁爬行在区域 N 内 的概率是( )

? 2 ? C. 4
A.

B.

2 ? 4 D. ?

a x ,{ x y } 表示实数 x, y 10. 设 xi ( i = 1, 2,3, 4,5, ) 是非负实数, 且 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1 , 用m

中的最大者,则 S = max { x1 + x2 , x2 + x3 , x3 + x4 , x4 + x5 }的最小值等于( A.
1 2



B.

1 4

C.

1 3

D.

1 6

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上. 11.如果双曲线

x2 y2 ? ? 1 的离心率为 4,那么实数 m 的值是_________. m?6 m?2

12.某商品进货单价为 40 元,若销售价为 50 元,可卖出 50 个,如果销售单价每涨 1 元,销售量 就减少 1个,为了获得最大利润,则此商品的最佳售价应为 元.

13. PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,下图是据 北京某日早 7 点至晚 8 点甲、乙两个 PM2.5 监测点统计的数据(单位:毫克/立方米)列出的茎 . 叶图,则甲、乙两地浓度的中位数较低的是 甲 14.观察下列等式:
1 1 1骣 1 1÷ + = ? ÷; 桫 1创2 3 2 创 3 4 2? 2 12 ÷ 1 1 1 1骣 1 1÷ + + = ? ÷; 桫 1创2 3 2创 3 4 3创4 5 2 ? 2 20 ÷ 1 1 1 1 1骣 1 1÷ + + + = ? ÷;?, ? 1创2 3 2创 3 4 3创 4 5 4创 5 6 2桫 2 30 ÷

乙 1 2 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 6 1 9 2 9 8 2 2 3 6

9 6 3 3 3 6

则第 n 个等式为____

____.

3 1 1 4 7

9 9 9

15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的
9

第一题评阅记分) A. (不等式选做题) 已知实数 x, y 满足 1 ? x ? 2 ? y ? 4 , 则 x+y 的最小值为 .

B. (几何证明选做题)如图,PA 切⊙O 于点 A,PO 交⊙O 于 C,延长 PO 交⊙O 于点 B,PA=AB,PD 平分∠APB 交 AB 于点 D,则∠ADP= . C. (坐标系与参数方程选做题) 曲线C的参数方程为

? x ? 2sin ? , 设点A为曲线C上任意一点, 点B为直 (? 为参数) ? ? y ? 2 cos ?
线 l : 3x ? 4 y ? 15 ? 0 上任意一点,则A,B两点间的距离的最小值是 .

三、解答题(本大题共 6 小题共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? cos4 x ? 2sin x cos x ? sin 4 x . (I)若 x ? R ,求 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间; (II)设 x ? [ ?

? ?
4 6 ,

] ,求 f ( x ?

?
4

) 的值域.

17. (本小题满分 12 分)数列{ a n }满足 a1 ? 2a2 ? 22 a3 ? ? ? 2n?1 an ? n 2 (n ? N * ) . (I) 求数列{ a n }的通项 a n ; (II) 设数列{ a n }的前 n 项和S n ,求证: S n < 6 .

18. (本小题满分 12 分)在单位正方体 ABCD - A1B1C1D1 中, E, F 分别是 B1C1 , A1 D1 的中点, (I)求证:直线 BD ^ 直线 A1C ; (II) 求平面 ABEF 分割单位正方体 ABCD - A1B1C1D1 所得两个几何体的体积之间比.

1 错误!未指定书签。9. (本小题满分 12 分)实验高级中学为了解学生的视力情况,随机抽

查了一部分学生视力,将调查结果分组,分组区间为(3.9,4.2],(4.2,4.5],? ,(5.1,
10

5.4].经过数据统计处理,获得到如下频率分布表: 分组 (3.9,4.2] (4.2,4.5] (4.5,4.8] (4.8,5.1] (5.1,5.4] 合计 频数 3 6
y

频率 0.06
x
z

14 2
n

0.28 0.04 1.00

(I) 试求频率分布表中的未知量 n, x, y, z 的值; (II) 从样本中视力在(3.9,4.2]和(5.1,5.4]的所有同学中随机抽取 2 人,求 2 人的视 力差的绝对值高于 的概率.
1 2

25 1 2 2 ,圆 B: ( x ? 2) ? y ? ,动圆 4 4 1 P 与圆 A、圆 B 均外切,直线 l 的方程为 x ? a ( a ≤ ). 2
20. (本小题满分 13 分)已知圆 A: ( x ? 2) ? y ?
2 2

(I) 求动圆 P 的圆心的轨迹 C 的方程; (II)过圆心 B 的直线与曲线 C 交于 M、N 两点, (i)求|MN|的最小值; (ii)若 MN 的中点 R 在 l 上的射影 Q 满足 MQ⊥NQ,求 a 的取值范围. 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ln x 和 g ( x ) ? x ? (Ⅰ)求 f ( x ) 在 (1, f ?1?) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求 g ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若对任意的 x1 , x2 ? 1, e ,都有 g ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

a2 . x

? ?

11

理科参考答案: 一、选择题 1. B.2. C.3. B. 4. D. 5. D.6.C.7.B 8.B. 9.A. 10.A. 二、填空题 11. - 12. 15.A. 12.300. 13.①②③. 14.
7 . B.50. C.

13 + 23 + 33 + 鬃 ? n3 n ( n + 1) . = 1+ 2 + 3 + 鬃 ? n 2

11 . 5

三、解答题 16. (Ⅰ )由正弦定理及 2b cos B ? a cos C ? c cos A得

2sin B cos B ? sin A cos C ? sin C cos A ? sin( A ? C ) ? sin B ,

0 ? B ? ? , ?sin B ? 0, ? cos B ?
(Ⅱ )由正弦定理及(Ⅰ )得

1 ? ,? B ? . 2 3

a ? c sin A ? sin C ? ? b sin B
? ?

sin A ? sin(? ? sin

?
3

? A)

?
3

?

2 2 [sin A ? sin( ? ? A)] 3 3

2 2? 2? (sin A ? sin cos A ? cos sin A) 3 3 3 2 3 3 ( sin A ? cos A) 2 3 2 3 1 sin A ? cos A) 2 2

? 2(

? 2sin( ? A) 6 ? 2? ? ? 5? 1 ? ? sin( ? A) ? 1, 0? A? ,? ? ? A ? 2 6 3 6 6 6 ? a?c ?1 ? 2sin( ? A) ? 2 ,即 ? (1, 2]. 6 b
17. (I)设数列 ?an ? 首项为 a1 ,公差为 d ,因为 ? 解得

?

?a3 ? 5, ?S3 ? 9,

所以 ?

?a1 ? 2d ? 5, ?3a1 ? 3d ? 9,

a1 ? 1 d ? 2.

an ? 1 ? 2(n ?1) ? 2n ?1.
(II)设 {bn } 的公比为 q,由于 b2 ? a2 ? 1 ? 4 ? b1q ????①

12

T3 ?

b ?1 ? q 3 ?
1

1? q

? b1 ? b1q ? b1q 2 ? 14

????②

由①、②得 解得

2q2 ? 5 q? 2 ? , 0

1 q1 ? , q2 ? 2 . 2
∵等比数列 {bn } 单调递减,
1 ∴ q ? , b1 ? 8 . 2

1 ? bn ? 8 ? ( ) n ?1 ? 24 ? n. 2
∵ M n ? lg b1 ? lg b2 ?

? lg bn

? 1g 23 ? lg 22 ?
? [(3 ? 2) ?

? lg 24?n

? (4 ? n)]lg 2

n(7 ? n) lg 2 2 lg 2 7 49 ?? [(n ? )2 ? ]. 2 2 4 ?
由于 ?

lg 2 <0,所以,当 n=3 或 n=4 时,有 (M n ) max ? (3 ? 2 ? 1) lg 2 ? 6 lg 2. 2

18. (Ⅰ) AD ? AE, ?DAE ? 60 ?△DAE 为等边三角形, 设 AD ? 1,则 DE ? 1, CE ? 3, CD ? 2,??DEC ? 90 , 即 CE ? DE .

DD? ? 底面 ABCD , CE ? 平面 ABCD , ? CE ? DD' .
? ' ? CE ? 平面DD E ? ? CE ? DD ? CE ? DF . ?? ' ? DF ? 平面DD E ? ? ? ' DE DD ? D ? 1 (Ⅱ)取 AE 中点 H ,则 AD ? AE ? AB ,又 ?DAE ? 60 , 2
'

CE ? DE

所以,△ DAE 为等边三角形.则

DH ? AB , DH ? CD .
分别以 DH、DC、 DD ' 所在直线为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系,设 AD ? 1 ,则

13

D(0,0,0), E (

3 1 3 1 3 1 3 , ,0), A( , ? ,0), D '(0,0,3), F ( , , ), C(0, 2,0) . 2 2 2 2 4 4 2 3 1 3 3 3 , ? , ), AE ? (0,1, 0), CE ? ( , ? , 0) . 4 4 2 2 2

EF ? (?

设平面 AEF 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,则

? 3 1 3 x? y? z ?0 ?? , ? 4 4 2 ?y ? 0 ?
取 n1 ? (2 3,0,1) . ?????9 分 平面 CEF 的法向量为 n2 ? ( x, y, z) ,

? 3 1 3 x? y? z ?0 ?? ? 4 4 2 则? ,取 n2 ? (3 3,3,2) . 3 3 ? x? y ?0 ? ? 2 2
cos? ? n1 , n2 ?? n1 ? n2 n1 ? n2 ? 20 13 ? 40 ? 130 . 13

所以,二面角 A ? EF ? C 的余弦值为 ?

130 . 13

19. (I) x甲 = (78 ? 79 ? 81 ? 84 ? 93 ? 95)=85

1 6

1 x乙 = (75 ? 80 ? 83 ? 85 ? 92 ? 95) ? 85 6 1 133 2 2 2 2 2 2 2 s甲 = ?? 78-85? + ? 79-85? + ?81-85? + ?84-85? + ?93-85? + ?95-85? ? = ? 3 6? 1 139 2 2 2 2 2 2 2 s乙 ? ?? 75 ? 85? ? ?80 ? 85? ? ?83 ? 85? ? ?85 ? 85? ? ?92 ? 85? ? ?95 ? 85? ? ? ? ? 6 3
2 2 s甲 ? s乙

? 甲的发挥更稳定

? 选派甲更合适

(II)甲成绩高于 80 分的概率 P ?

2 3

? 可能取 0,1,2,3

? 2? 由题意得 ? ~ B ? 3, ? ? 3?

14

? 2? ?1? p ?? ? k ? ? C3k ? ? ? ? ? 3? ? 3?

k

3? k

, k ? 0,1,2,3
2 3

?

0

1

P

1 27

6 27

12 27

8 27

2 E ?? ? ? 3 ? ? 2 3
20. (Ⅰ)∵ e ?
2

c2 a 2 ? b2 3 ? ? , ∴ a 2 ? 4b2 , 2 2 a a 4

x2 y 2 则椭圆方程为 2 ? 2 ? 1, 即 x2 ? 4 y 2 ? 4b2 . 4b b
因为椭圆过点 P(2,1), 所以 b ? 2 , a ? 8
2 2

x2 y 于是,椭圆方程为 + =1 8 2 1 2 2 (Ⅱ)设 l 的方程为 y= x+m,代入椭圆方程中整理得 x +2mx+2 m -4=0, 2 所以

2

x1+x2=-2m,x1x2=2 m 2 -4,

? ? 4 m 2 -4(2 m 2 -4)>0 ? m 2 <4.
则|AB|= 1 2 2 1+ × (x1+x2) -4x1x2= 5( 4 ? m ) . 4

点 P 到直线 l 的距离 d=

|m| 1 1? 4

?

2|m| 5



因此 S△=

1 1 2|m| d|AB|= . 5 2 2
2

5(4 ? m 2 ) = m 2 ( 4 ? m 2 ) ≤

m2 ? 4 ? m2 =2 2

当且仅当 m =2 ? ?0,4? ,即 m=± 2时取得最大值 2. 21. (I)函数 f n ( x) 的导数 f n? ( x) ? 1 ? x ? x ?
2

? (?1) n ?1 x n ?1 ?

1 1? x

1 ? (?1)n?1 x n?1 ? (? x) 1 (?1) n?1 x n , ? ? 1 ? ( ? x) 1? x 1? x xn ? 0 ,则函数 f n ( x) 在 (0, 1) 内,当 n 为奇数时, f n? ( x) ? 1) 内单调递 故在 (0, 1? x xn ? 0 ,则函数 f n ( x) 在 (0, 1) 内单调递减. 当 n 为偶数时, f n? ( x) ? ? 1? x ?

15

(II)注意到对任意 n ? N , f n (0) ? 0 ,

?

1) , 由(I) ,对任意 x ? (0,
当 n 为奇数时, f n ( x) ? 0 ;当 n 为偶数时, f n ( x) ? 0 . 故当 n 为奇数时, n ? 1 为偶数, f n ?1 ( x) ? f n ( x) ? 即 f n ( x) ?

x n?1 ?0, n ?1

x n ?1 , n ?1 x n ?1 ; n ?1 x n ?1 . n ?1

而 f n ( x) ? 0 ,故 | f n ( x) |?

同理,当 n 为偶数时,仍有 | f n ( x) |?
?

x n ?1 . n ?1 1 1 x n ?1 1 ? . ? 1) ,故 又 x ? (0, ,即 | f n ( x ) |? n ?1 n n ?1 n ?1 1 ? 1) 都成立. 因此 ? ? 1 能够使得 | f n ( x ) |? ? 对所有的 n ? N 及 x ? (0, n 5 1 1 再注意到 | f 3 (1) |? ? ln 2 ? 2 ,故当 x 充分接近 1 时,必有 | f 3 ( x) |? 2 , 6 3 3 1 ? 1) 都成立. 这表明 ? ≥ 2 不能使得 | f n ( x ) |? ? 对所有的 n ? N 及 x ? (0, n 所以, ? ? 1 为满足要求的最大整数.
1) ,都有 | f n ( x) |? 所以对任意 n ? N 及 x ? (0,
文科参考答案 一、选择题 1. D. 2.B. 3. C. 二、填空题 11. ? 14. 4.A. 5. A. 6.B. 7.B. 8.C. 9.B. 10.C.

11 2

12. 70 .

13. 乙

1 1 1 1骣 1 1 ÷ + +鬃 ? = ? ÷ ? 1创2 3 2创 3 4 2 ( n + 2 )( n + 3 ) ÷ ( n + 1)( n + 2 )( n + 3 ) 2 ? 桫

15. A. 5 B. 45?.C. 1 三、解答题 16. (I) f ( x) ? cos x ? 2sin x cos x ? sin x
4 4

? cos 4 x ? sin 4 x ? 2sin x cos x ? ? cos 2 x ? sin 2 x ?? cos 2 x ? sin 2 x ? ? sin 2 x
.

? sin 2 x ? cos 2 x

?? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? . 4? ?
16

周期 T ? 令 2 k? ?

2? ?? 。 2

?
2

2 3? ?? ? 所以,单调递增区间为 ? k? ? , k? ? ? , k ? Z . 8 8? ?
(II) 因为 f ( x) ?

? 2x ?

?
4

?

?

? 2k? ,得 k? ?

3? ? ? x ? k? ? 8 8

?? ? 2 sin ? 2 x ? ? , 4? ?

所以

f (x ?

?
4

)?

? ? ? ? ? 3? ? ? 2s ( i nx 2 ) -,由 x ? [ ? , ] ,得知 2 x ? ? ?? , 4 6 4 4 ? 4 12? ?

由y?

?? 6? 2 ? 3? ? ? ? , 2 sin t , t ? ?? , ? 的图象可知, ? 1 ? sin? 2 x ? ? ? 4? 4 ? 4 12? ?

?? 3 ?1 ? ? ? 2 ? 2 sin? 2 x ? ? ? 4? 2 ?
所以,函数 f ( x ?

?

? 3 ? 1? ) 的值域 ?? 2 , ?. 4 2 ? ?
2

17. (I) 设数列 {2 n?1 an } 的前 n 项和为 T n ,则 Tn ? n ,所以
祆 Tn - Tn- 1 , n ? 2 2n 1, n 2 镲 2n- 1 an = 镲 = = 2n - 1(n 眄 镲 T1   n = 1 1,   n = 1 镲 铑 N* ) ,

2n ? 1 2 n ?1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 (II)由 S n ? 1 ? ? 2 ? ... ? n ? 2 ? n ?1 ① 2 2 2 2 5 7 2n ? 1 2 S n ? 2 ? 3 ? ? 2 ? ... ? n ? 2 ② 2 2 2 2 2 2 2n ? 1 由②-①得, S n ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ... ? n ? 2 ? n ?1 2 2 2 2 1 2(1 ? n?1 ) 2n ? 1 2 ? 2? ? n?1 1 2 1? 2
从而

an ?

= 6-

2n + 3 < 6, 2n- 1

于是, S n < 6 18. (I)连接 AC. 因为 A1 A ^ 平面 ABCD ,BD ? 平面 ABCD, 所以 A1 A ^ BD ,
17

在正方形 ABCD 中,因为 BD ^ AC , 而 AC ? 平面 A1 AC , A1 A ? 平面 A1 AC , 所以 BD ^ 平面 A1 AC ,而 A1C ? 平面 A1 AC , 于是 直线 BD ^ 直线 A1C . (II) 显然,平面 ABEF 分割单位正方体 ABCD - A1B1C1D1 所得两个几何体为三棱柱和四棱 柱,三棱柱 AA1 F - BB1 E 的体积为:
V1 = 1 1 创 1 ?1 2 2 1 , 4

所以,四棱柱 BCC1E - ADD1F 的体积为单位正方体体积减去三棱柱 AA1 F - BB1 E 的体积,得
V2 = 1 1 3 = 4 4

于是, V1 : V2 = 1 : 3 ,或者 3 :1. 19 . (I) 由 表 可 知 , 样 本 容 量 为 n , 由
y = 50 - 3 - 6 - 14 - 2 = 25 , z =

2 6 6 ? 0.04 , 得 n ? 50 , x = = = 0.12 , n 50 n

y 25 = = 0.5 n 50

(II) 设样本视力在(3.9, 4.2]的 3 人为 a , b, c , 样本视力在(5.1, 5.4]的 2 人为 d , e . 由题意从 5 人中任取两人的基本事件空间为:

? ? {(a, d ),(a, e),(b, d ),(b, e),(c, d ),(c, e),(a, b),(a, c),(b, c),( d , e)} ,
所以, n ? 10 ,且各个基本事件是等可能发生的. 设事件A表示“抽取的两人的视力差的绝对值高于 ”,则事件 A 包含的基本事件有:
1 2

(a, d ), (b, d ), (c, d ) , (a, e),(b, e),(c, e) 得 m ? 6 ,
于是

P ( A) ?

m 6 3 ? ? , n 10 5

3 . 5 5 1 20. (I) 设动圆 P 的半径为 r , 则│PA│= r ? , │PB│= r ? , 所以│PA│-│PB│=2. 2 2
答:抽取的两人的视力差的绝对值高于 0.5 的概率为 故点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点,实轴长为 2 的双曲线的右支,其方程为 x ?
2

y2 ? 1( x ≥ 3

1). (II)(i)设直线 MN 的方程为 x ? m y ? 2 ,代入双曲线方程,得

?3m

2

? 1 y 2 ? 12my ? 9 ? 0 .

?

18

?3m 2 ? 1 ? 0, 3 3 ? ?m? 由 ? ? ? 0, 解得 ? . 3 3 ? y y ? 0, ? 1 2
设 M ?x1 , y1 ?, N ?x2 , y 2 ?, 则有函数

MN ? f (m) ? 1 ? m y1 ? y2 ?
2

6 ? m 2 ? 1? 1 ? 3m
2

? 4 ? ? 2? ? 1 ? ,m 2 ? 0 时, MN min ? 6 . 2 ? 1 ? 3m ?

(ii) 由(i)知 R?

6m ? 6m ? ? 2 ? , Q? a, . , 2 2 ? 2 ? ? 1 ? 3m 1 ? 3m ? ? 1 ? 3m ?
1 MN . 2

由 MQ ? NQ ,知 RQ ?

所以

2 3 m2 ? 1 3m2 ? 1 2 ? a ? a ? g ( m ) ? ? 1? ,从而,得函数 . 2 2 2 3m ? 1 1 ? 3m2 1 ? 3m 1 ? 3m
3 3 ?m? ,所以 a ? ?1 . 3 3
1 , 则 f ' ?1? ? 2 . x

?

?

因为 ?

' 21.(Ⅰ) f ?1? =1, f ? x ? ? 1 ?

所以, f ( x ) 在 (1, f ?1?) 处的切线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 . (II) g ? x ? ? 1 ?
'

a2 ' , ( x ? 0 )令 g ? x ? ? 0 则 x ? a 或 x ? ? a , x2

令 g ? x ? ? 0 , 则 ? a ? x ? 0或0 ? x ? a .
'

当 a ? 0 时,函数 g ? x ? 的增区间为 ? ??, ?a ? 和 ? a, ?? ? ,减区间为 ? ?a,0 ? 和 ? 0, a ? ; 当 a ? 0 时,函数 g ? x ? 的增区间为 ? ??, a ? 和 ? ?a, ?? ? ,减区间为 ? a, 0 ? 和 ? 0, ?a ?
' (Ⅲ )因为当 x ??1, e? 时 , f ? x ? ? 1 ?

1 ? 0 ,所以 y ? f ? x? 在 x ??1, e? 为 增函数 , x

fmax ? x ? ? f ? e ? ? 1 ? e 。
对任意的 x1 , x2 ? 1, e ,都有 g ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒成立,等价于对任意的 x ? 1, e
2 2

? ?

? ?

1 ? e ? ?1 ? e ? a2 ? g ? x ? ? x ? ? 1 ? e ,即 a 2 ? ? x 2 ? ?1 ? e ? x ? ? ? x ? 恒成立, ? ? 2 ? 4 x ?
1? e ?1 ? e ? , 于是, a ? 1 ? e 或 a ? ? 1 ? e 。 ? ?1, e ? ,所以, a 2 ? 因为 2 2 2 4
2

19

编后结语 ? 高考临近 再提个醒 回归教材,读题做题;强化热点,修补失误; 胸怀真题,稳中应变;特征识别,模式转换; 读联写悟,建设列解;整理知识,完善结构; 感悟思想,浅层挖掘;平和心态,笑傲高考。 ? 大胆猜想 小心求证
在小品《不差钱》里有这样一段情境: 小沈阳说:“人生最痛苦的事情是,人死了,钱没花完。” 赵本山说:“人生最最痛苦的事情是,人活着,钱没了。” 对于数学高考,可以做这样的类比: “考生最痛苦的事情是,人在考场,题不会做。” “考生最最痛苦的事情是,人在考场,题会做,但做错了。”

? 推理运算 要讲道理
9 对 3 说,我除了你,还是你; 4 对 2 说,我除了 2,还是 2; 1 对 0 说,我除了你,一切都变得毫无意义; 0 对 1 说,我除了你,就只有孤独的自己。

? 高考经历 我想试试
那个说“我想试试”的小孩/ 他将登上山巅/ 那个说“我不成”的小孩/ 在山下 停步不前/ “我想试试”每天办成很多/ “我不成”就真一事无成/ 因此你务必说“我 想试试”/ 将“我不成”弃于埃尘。 ---------- Rossetti(英国女诗人)

? 守望信念 梦想成真
带着信念去追求,带着希望去寻找。请相信:当自己的知识积累达到了一定 的量,自己的知识网络构建到一定的规模,自己的思维层次达到了一定的高度, 其数学学习成绩的提升也就不在话下。 带着理想去梳理,带着自信去高考。请相信:风雨忧愁,你与数学共同分担, 阳光灿烂,你与数学一起走过. 只要你努力去做了,去想了,去反思了,到时候, 数学必将成就你的人生。

20

21



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