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福建版2016届高三上学期第一次月考 数学(理)



第一次月考数学理试题【福建版】
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分 本试卷分第 I 卷 (选择题) 和第 II 卷 (非选择题) , 第 II 卷第 21 题为选考题, 其他题为必考题. 本 试卷满分 150 分.考试时间 120 分钟. 参考公式: 样本数据 x1,x2, …,xn 的标准差 s=

1 ?( x1 ? x )2 ? (

x2 ? x )2 ? … ? ( xn ? x )2 ? ? n?
1 Sh 3
S ? 4?R2 , V ?

其中 x 为样本平均数

锥体体积公式 V=

其中 S 为底面面积,h 为高 其中 S 为底面面积,h 为高

柱体体积公式 V=Sh 球的表面积、体积公式

4 3 ?R 3

其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上. ) ??? ? ??? ? 1.如图,在复平面内,若复数 z1 , z2 对应的向量分别是 OA, OB ,
y

则复数 z1 ? z2 所对应的点位于

A

A.第一象限 x O B.第二象限 B C.第三象限 第1题 D.第四象限 2. 一个简单几何体的主视图、侧视图如图所示,则其俯视图不可能为 .... ① 长、宽不相等的矩形; ② 正方形;③ 圆;④ 三角形. 其中正确的是 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 3.命题“对任意 x ? R ,均有 x -2 x+5 ? 0 ”的否定为
2

A.对任意 x ? R ,均有 x -2 x+5 ? 0
2

第2题

B.对任意 x ? R ,均有 x -2 x+5 ? 0
2

C.存在 x ? R ,使得 x -2 x+5 ? 0
2

D.存在 x ? R ,使得 x -2 x+5 ? 0
2

4. 对具有线性相关关系的变量 x , y ,有一组观测数据( xi , yi ) (i=1,2,…,8) ,其回归直线 方程是: y ? 1 x ? a ,且 x1 ? x2 ? x3 ? ... ? x8 ? 3( y1 ? y2 ? y3 ? ... ? y8 ) ? 6 ,则实数 a 的值是
6

A.

1 16

B.

1 8

C.

1 4

D.

11 16

5. 已知 l , m 为两条不同的直线, ? 为一个平面。若 l // ? ,则“ l // m ”是“ m // ? ”的 A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
2

6 . 已知在各项均不为零的等差数列 ?an ? 中, 2a3 ? a7 ? 2a11 ? 0 ,数列 ?bn ? 是等比数列,且

b7 ? a7 ,则 b6 ? b8 等于
A.2 B. 4 C. 8 D. 16 7. 已知正方体的棱长为 2,在正方体的外接球内任取一点,则该点落在正方体内的概率为 A.

2 4?

B.

2 3 3?

C.

3

?

D.

1 8?

8. 执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 9,则判断框内 m 的取值范围是 A. (42,56] B. (56,72] C. (72,90] D. (42,90) 9 . 已 知 向 量

? ? 3? a ? ? sin ? , cos 2? ? , b ? ?1 ? 2sin ? , ?1? , ? ? ? , 8 a ? b ? ? , 若 ?2 2 5 则 tan ? 的值为 3 4 A. B. 4 3 3 4 C. ? D. ? 4 3
10 . 已 知 集 合

? ?, ?

M ? ?( x, y) y ? f ( x)?

, 若 对 于 任 意 ( x1 , y1 ) ? M , 存 在 ( x2 , y 2 ) ? M , 使 得

x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 成立,则称集合 M 是“ ? 集合”. 给出下列 4 个集合:

? M ? ?( x, y ) y ? ? ①


1? ? x?

② ④

M ? ( x, y) y ? e x ? 2

?

?

M ? ?( x, y) y ? cos x?

M ? ?( x, y) y ? ln x?

其中所有“ ? 集合”的序号是 A. ①②④ B. ②③ C. ③④ D.①③④

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置.

x2 y 2 ? 1(a ? 0) 的一个焦点,则此双曲线的实轴长 11. 已知抛物线 y ? 20 x 的焦点是双曲线 2 ? 9 a
2





12. 设变量 x 、 y 满足约束条件

?2 x ? y ? 2 ? ? x ? y ? ?1 ?x ? y ? 1 ?

,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为



1 a ( ax ? ) 6 (3x 2 ? 1)dx ? ? 160 x 0 13. 若二项式 的展开式中的常数项为 ,则 =



14. 已知 f ( x) ? 4 x ?1 , g ( x) ? 4? x .若偶函数 h( x) 满足 h( x) ? mf ( x) ? ng ( x) (其中 m , n 为常 数) ,且最小值为 1,则 m ? n ? . 15.对于 30 个互异的实数,可以排成 m 行 n 列的矩形数

示的 5 行 6 列的矩形数阵就是其中之一.将 30 个互异的实 x1 行 n 列的矩形数阵后,把每行中最大的数选出,记为 y1 ? a1 , a2 , ???am ,并设其中最小的数为 a ;把每列中最小的数 ? z1 b1 , b2 , ???bn ,并设其中最大的数为 b .

x2 y2 ? ? z2

? ? ? x6 数 排 成 m ? ? ? y6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? z6

阵, 右图所

选出, 记为

两位同学通过各自的探究,分别得出两个结论如下: ① a 和 b 必相等; ② a 和 b 可能相等; ③ a 可能大于 b ; ④ b 可能大于 a . 以上四个结论中,正确结论的序号是_______(请写出所有正确结论的序号) . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的 500 名志愿者 中随机抽取 100 名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分 组区间是: ?20,25?, ?25,30?, ?30,35?, ?35,40?, ?40,45? .

(Ⅰ)求图中 x 的值并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在 ?35,40? 岁的人数; (Ⅱ)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名参加中心广场的宣传活动,再 从这 20 名中采用简单随机抽样方法选取 3 名志愿者担任主要负责人.记这 3 名志愿者中“年龄 低于 35 岁”的人数为 X ,求 X 的分布列及数学期望. 17. (本小题满分 13 分) 某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) (? ? 0, ? ? 表并填入的部分数据如下表:

?
2

) 在某一个周期内的图象时, 列

x

x1

1 3

x2

7 3

x3

?x ? ?
A sin(?x ? ? )

0 0

?
2

?
0

3? 2

2?

3

? 3

0

(Ⅰ)请写出上表的 x1 、 x2 、 x3 ,并直接写出函数的解析式; (Ⅱ)将 f ( x ) 的图象沿 x 轴向右平移

2 个单位得到函数 g ( x) 的图象, P 、 Q 分别为函数 g ( x) 图象 3 的最高点和最低点(如图) ,求 ?OQP 的大小.

18. ( 本小题满分 13 分) 如图直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? CC1 ? 2, 面A 1BC . (I)求证: BC ? 平面 ABB1 A 1;

AB ? BC , D 是 BA1 上一点,且 AD ? 平

E (Ⅱ)在棱 BB1 是否存在一点 E ,使平面 AEC 与平面 ABB1 A 1 的夹角等于 60 ,若存在,试确定
点的位置,若不存在,说明理由.
A1 B1 C1

?

D
B A
C

19. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 ,过 F1 的直线 l 与 2 2 a b

椭圆 C 交于 M , N 两点,且 ?MNF2 的周长为 8 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)过原点 O 的两条互相垂直的射线与椭圆 C 分别交于 A , B 两点,证明:点 O 到直线 AB 的距离为定值,并求出这个定值.

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? x2 . (I)若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax 在定义域内为增函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)在(1)的条件下,若 a ? 1 , h( x) ? e3x ? 3ae x , x ?[0,ln 2] ,求 h( x) 的极小值; (Ⅲ)设 F ( x) ? 2 f ( x) ? 3x2 ? kx(k ? R) ,若函数 F ( x) 存在两个零点 m, n(0 ? m ? n) ,且满足

2x0 ? m ? n ,问:函数 F ( x) 在 ( x0 , F ( x0 )) 处的切线能否平行于 x 轴?若能,求出该切线方程,
若不能,请说明理由.

21. 本题有(1) 、 (2) 、 (3)三个选答题,每小题 7 分,请考生任选 2 小题作答,满分 14 分.如果 多做,则按所做的前两题记分. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 把曲线 x ? 2 y ? 1 先进行横坐标缩为原来的一半,纵坐标保持不变的伸缩变换,再做关于 x 轴
2 2

的反射变换变为曲线 C ,求曲线 C 的方程. (2) (本小题满分 7 分)选修 4 一 4:坐标系与参数方程

在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为: ?

?x ? t ( t 为参数) ,以 O 为原点, Ox 轴为 ? y ? 1 ? kt

极轴,单位长度不变,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为: ? sin 2 ? ? 4cos? ①写出直线 l 和曲线 C 的普通方程。 ②若直线 l 和曲线 C 相切,求实数 k 的值。 (3) (本小题满分 7 分)选修 4 一 5:不等式选讲 设函数 f(x)=|x-4|+ x ? 3 , (Ⅰ)求 f(x)的最小值 m
2 2 2 (Ⅱ)当 a ? 2b ? 3c ? m (a,b,c∈R)时,求 a ? b ? c 的最小值.

参考答案
一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

2 4 10 , x 2 ? , x3 ? ……………………3 分 3 3 3 ? ? ……………………6 分 所以f ( x) ? 3sin( x ? ) 2 3 ? 2 (Ⅱ)将 f ( x ) 的图像沿 x 轴向右平移 个单位得到函数 g ( x ) ? 3 sin x …………7 分 2 3
17.解: (Ⅰ) x1 ? ? 因为 P 、 Q 分别为该图像的最高点和最低点, 所以 P(1, 3), Q(3, ? 3) …………………………………………9 分 所以 OP ? 2, PQ ? 4, …………………………………………10 分

OQ ? 12,? cos? ?
所以 ? ?

OQ2 ? PQ2 ? OP 2 3 ………………12 分 ? 2OQ ? QP 2

?
6

…………………………………………13 分

法 2: 可以得?POx ? 60o , ?P ? 60o , ?QOx ? 30o 所以? =30o

??? ? ???? QP ? QO (?2, 2 3) ? (?3, 3) 3 ? 法 3:利用数量积公式 cos ? ? ??? , 所以? =30o ? ???? ? 2 4 ? 12 ? 9 ? 3 QP ? QO

19.解: (I)由题意知, 4a ? 8 ,所以 a ? 2 .

1 因为 e ? 2

b 2 a 2 ? c2 3 ? 1 ? e2 ? , 所以 2 ? 2 a a 4

所以 b2 ? 3 .

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 . ------4 分 4 3

(II)由题意,当直线 AB 的斜率不存在,此时可设 A( x0 , x0 ) , B( x0 , ? x0 ) . 又 A , B 两点在椭圆 C 上,

x0 2 x0 2 12 ? ? 1 , x0 2 ? . 所以 7 4 3
所以点 O 到直线 AB 的距离 d ?

12 2 21 ? . --------6 分 7 7

当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m .

所以 (k ? 1)
2

4m2 ? 12 8k 2 m2 ? ? m2 ? 0 .-----------11 分 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k

整理得 7m 2 ? 12(k 2 ? 1) ,满足 ? ? 0 . 所以点 O 到直线 AB 的距离

d?

| m| k ?1
2

?

12 2 21 为定值. ? 7 7

--------13 分

2 20.解: (Ⅰ) g ( x) ? f ( x) ? ax ? ln x ? x ? ax, g ?( x) ?

1 ? 2 x ? a. x 1 由题意,知 g ?( x) ? 0, x ? (0, ??) 恒成立,即 a ? (2 x ? ) min .…… 2 分 x
又 x ? 0, 2 x ?

1 2 ? 2 2 ,当且仅当 x ? 时等号成立. x 2

故 (2 x ? ) min ? 2 2 ,所以 a ? 2 2 . ……4 分

1 x

m 2(u ? 1) ? (0,1) ,⑤式变为 ln u ? ? 0(u ? (0,1)). n u ?1 2(u ? 1) (u ? (0,1)) , 设 y ? ln u ? u ?1
设u ?

y? ?

1 2(u ? 1) ? 2(u ? 1) (u ? 1) 2 ? 4u (u ? 1) 2 ? ? ? ? 0, u (u ? 1)2 u(u ? 1)2 u(u ? 1) 2
2(u ? 1) 在 (0,1) 上单调递增, u ?1

所以函数 y ? ln u ?

2(u ? 1) m ? 0. 也就是, ln ? 因此, y ? y |u ?1 ? 0 ,即 ln u ? u ?1 n

2(

m ? 1) n ,此式与⑤矛盾. m ?1 n

所以 F ( x) 在 ( x0 , F ( x0 )) 处的切线不能平行于 x 轴.……14 分
?1 ? 21. (1)解:先伸缩变换 M= ? 2 0 ? , 后反射变换 N= ? 1 0 ? ,得 ? ? ? ? ? 0 ?1? ? 0 1?
1 ? ?1 0? =? A=NM= ? 1 0 ? ? 2 ? ??2 ? ? ? 0 ?1? ? ? 0 1? ? 0 ? 0? ? ?1 ?
2

……………4 分

在 A 变换下得到曲线 C 为 4 x ? 2 y ? 1 。
2

……………………………7 分



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