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2015-2016学年高中数学 2.2等差数列(第2课时)学案设计 新人教A版必修5


第二章 2.2 2.2

数列

等差数列

等差数列(第 2 课时)
学习目标

在理解等差数列定义、如何判定等差数列及学习等差数列通项公式的基础上,掌握等差 中项的定义及应用,明确等差数列的性质,并运用其进行一些等差数列的相关计算.

合作学习
一、设计问题,创设情境 在上一节我们已经学习了等差数列,掌握了等差数列的定义、 通项公式与公差,作为一类 特殊的数列,是否具有某些特殊的性质?又如何去证明或判定一个数列是等差数列呢?

二、信息交流,揭示规律 1.对于三个数成等差数列,我们定义等差中项 在如下的两个数之间,插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列. (1)2,( ),4; (2)-12,( ),0; (3)a,( ),b. 2.等差中项定义 由三个数 a,A,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时 A 叫做 a 与 b 的等差 中项. 符号表示:2A=a+b? A= . 【思考】(1)在等差数列{an}中,是否有 2an+1=an+an+2 成立?等差数列又可以怎么叙述? 从第 2 项起,每一项是它的前一项和后一项的等差中项. (2)等差中项可应用于判断一个数列是否为等差数列. 3.等差数列的性质 问题 1:列举几个数列,观察数列的特点,研究公差与数列单调性的关系.

性质 1:若数列{an}是等差数列,公差为 d.若 d>0,则{an}是递增数列;若 d<0,则{an}是递 减数列;若 d=0,则{an}是常数列. 问题 2:探究等差数列{an}中任意两项 an,am 之间的关系.它们之间的关系可表示为 . 由此也可得到等差数列通项公式的另一种表示:an=am+(n-m)d

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公差的另一种表示:d=, 性质 2:an=am+(n-m)d,d=. 问题 3:在等差数列{an}中,若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq 一定成立吗?特别地,m+n=2k,则 am+an=2ak 成立吗?

性质 3:在等差数列{an}中,若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq. 三、运用规律,解决问题 4.已知数列{an}的通项公式为 an=pn+q,其中 p,q 为常数,那么这个数列一定是等差数列 吗?证明你的结论.

5.已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2·a4·a6=45,求数列{an}的通项公式.

四、变式训练,深化提高 6.三个数成等差数列,其和为 15,其平方和为 83,求此三个数.

7.已知 a,b,c 成等差数列,求证:b+c,c+a,a+b 也成等差数列.

五、反思小结,观点提炼








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二、信息交流,揭示规律 1.(1)3 (2)-6 (3) 2. 问题 1:略 问题 2:an=am+(n-m)d 分析:证明等式,可以考虑从等号的两侧证明,能够利用的是前面掌握的等差数列的通项 公式. 解:由等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d,得 am=a1+(m-1)d. an-am=[a1+(n-1)d]-[a1+(m-1)d]=(n-m)d, ∴an=am+(n-m)d. 即等式成立. 问题 3:am+an=ap+aq 一定成立;当 m+n=2k 时,am+an=2ak 成立. 三、运用规律,解决问题 4.证明:取数列{an}中的任意相邻两项 an 与 an-1(n>1), 求差得 an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p, 它是一个与 n 无关的常数,所以{an}是等差数列. 5.解:∵a1+a7=2a4,∴a1+a4+a7=3a4=15,由此得到 a4=5. 又∵a2·a4·a6=45,∴a2a6=9,即(a4-2d)(a4+2d)=9,∴(5-2d)(5+2d)=9.得 d=±2. 当 d=2 时,an=a4+(n-4)d=2n-3; 当 d=-2 时,an=a4+(n-4)d=13-2n. 四、变式训练,深化提高 6.解:设这三个数分别为 x-d,x,x+d. 则解得 ∴相应地,所求三个数为 3,5,7 或 7,5,3. 7.证明:∵a,b,c 成等差数列,∴2b=a+c. ∴(b+c)+(a+b)=a+2b+c=a+(a+c)+c=2(a+c), ∴b+c,c+a,a+b 成等差数列. 说明:如果 a,b,c 成等差数列,常化成 2b=a+c 的形式去运用;反之,如果求证 a,b,c 成等 差数列,常改证 2b=a+c 成立. 五、反思小结,观点提炼 略

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