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《空间向量及其运算--数量积》课件(新人教A版-选修2-1)



新课标人教版课件系列

《高中数学》
选修2-1

3.1.3《空间向量及其运算 --数量积》

教学目标
⒈掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法; ? ⒉掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法 及运算律; ? ⒊掌握两个向量数量积的主要用途,会用它解决 立体几何中的一些简单问题. ? 教学重点

:两个向量的数量积的计算方法及其应 用. ? 教学难点:两个向量数量积的几何意义. ? 授课类型:新授课. ? 课时安排:1课时.
?

一、几个概念

教学过程

1) 两个向量的夹角的定义

a
O

A

a
B

b
被唯一确定了,并且a, b?=?b, a? ?

b

范围:? ? a, b? ? ? 在这个规定下,两个向 0 量的夹角就

如果?a, b? ?

?

2

, 则称a与b互相垂直,并记作: b a?

2)两个向量的数量积
设OA ? a, 则有向线段 OA的长度叫做向量 a的长度或模 , 记作: a 已知空间两个向量 a, b,则 a b cos? a, b?叫做向量 a, b的数量积, 记作: ? b,即 a a ? b ? a b cos? a, b?

注意: ①两个向量的数量积是数量,而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。

3)射影
已知向量AB a和轴l, l上与l同方向的单位向量。作 A在 = e是 点 l上的射影A1 , 作点B在l上的射影B1,则A1 B1叫做向量AB在轴l上的 或在e方向上的正射影,简称 射影。 A1 B1 ? AB cos? a, e? ? a ? e
B

e
A1 B1

l
A

???? 注意: 是轴l上的正射影A1B1是一个可正可负的实数, AB ???? 它的符号代表向量 AB 与l的方向的相对关系,大小代表

在l上射影的长度。

4)空间向量的数量积性质 ? ?
对于非零向量 a

, b,有:

1) a ? e ? a cos? a, e? 2) a ? b ? a ? b ? 0 3) a ? a ? a
注意: ①性质2)是证明两向量垂直的依据; ②性质3)是求向量的长度(模)的依据;
2

5)空间向量的数量积满足的运算律

1) (? a ) ? b ? ? (a ? b) 2) a ? b ? b ? a (交换律) 3) ? (b ? c) ? a ? b ? a ? c (分配律) a

注意: 数量积不满足结合律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

二、 课堂练习
2 1.已知 a ? 2 2 , b ? , a ?b ? ? 2 2 则a , b所夹的角为 ________ .
2.判断真假: 1 若a ? b ? 0, 则a ? 0, b ? 0 ) 2) ( a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 3) p 2 ? q 2 ? ( p ? q ) 2 4) p ? q ? p ? q ? p 2 ? q 2 ( ) ( ) ( ) ( )

3.如图:已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都 等于1,点 E、F 分别是 AB、AD的中点。 计算:1 EF ? BA (2) EF ? BD (3) EF ? DC (4) EF ? AC ()

A E B C F D



、典型例题

例1:已知m,n是平面?内的两条相交直线,直线l与?的交点为B,且 l⊥m,l⊥n,求证:l⊥? 分析:由定义可知,只需证l与平面内 任意直线g垂直。 l

l
g

g n n m

m

要证l与g垂直,只需证l· g=0 而m,n不平行,由共面向量定理知, 存在唯一的有序实数对(x,y)使得 g=xm+yn
要证l· g=0,只需l·g= xl· m+yl· n=0 而l· m=0 ,l· n=0



l· g=0



、典型例题
证明:在?内作不与m、n重合的任一条 直线g,在l、m、n、g上取非零向 量l、m、n、g,因m与n相交,得向量 m、n不平行,由共面向量定理 可知,存在唯一的有序实数对(x,y), 使 g=xm+yn, l·=xl·+yl· g m n ∵ l·=0,l·=0 m n ∴ l·=0 g ∴ l⊥g ∴ l⊥g 这就证明了直线l垂直于平面?内的 任一条直线,所以l⊥?

例1:已知m,n是平面?内的两条相交直线,直线l与?的交点为B,且 l⊥m,l⊥n,求证:l⊥?

l

l
g

g n n m

m

例2:已知:在空间四边形OABC中,OA⊥BC, OB⊥AC,求证:OC⊥AB
O
证明:由已知 OA ? B C , ? AC OB

所以 OA ? BC ? 0 , OB ? AC ? 0 OA ? (OC ? OB ) ? 0
A

C B

OB ? (OC ? OA) ? 0
所以 OA? OC ? OA? OB OB? OC ? OB? OA
所以 OA ? OC ? OB ? OC ? 0 (OA ? OB ) ? OC ? 0 BA ? OC ? 0

所以 OC ? AB

巩固练习:利用向量知识证明三垂线定理
在?内的射影, ? ? , 且a ? OA a 求证: ? PA a
证明:在 a上取非零向量 a 而PO ? ? ,? PO ? a ? PO ? a ? 0 又OA ? a,? OA ? a ? 0
?

已知:PO, PA分别是平面 的垂线,斜线, 是PA ? OA

P a O A

又PO, OA相交,得 PO, OA不平行,由共面向量 定理可知,存在唯一的 有序实数对 ? x, y ?, 使 PA ? x PO ? yOA ? PA ? a ? PO ? a ? OA ? a ? 0 ? a ? PA,即a ? PA.

例3 如图,已知线段 AB 在平面 ? 内,线段 AC ? ? ,线段 BD ? AB ,线段 DD? ? ? , DBD? ? 30? ,如 ?

D 果 AB ? a , AC ? BD ? b ,求 C 、 之间的距离。
解:由 AC ? ? ,可知 AC ? AB .
C D b b a D'

??? ??? ? ? 由?DBD? ? 30?知 ? CA , BD ?? 120?.

??? 2 ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? 2 ? ? ? | CD | ? CD?CD ? (CA ? AB ? BD ) ??? 2 ??? 2 ??? 2 ??? ??? ? ? ? ? ? ?| CA | ? | AB | ? | BD | ?2CA?AB ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? 2CA?BD ? 2 AB ?BD ? b 2 ? a 2 ? b 2 ? 2b 2 cos120? ? a 2 ? b2

?

A

B

? CD ? a 2 ? b2

例4

AB 已知在平行六面体 ABCD ? A?B?C?D?中, ? 4 ,

AD ? 3 , AA? ? 5 , ?BAD ? 90? , ?BAA? ? ?DAA? ? 60?,

求对角线 AC? 的长。
D' C'

A'

B'

???? ??? ??? ???? ? ? ? 解: AC ? AB ? AD ? AA? ???? 2 ??? ??? ???? 2 ? ? ? ?| AC ? | ? ( AB ? AD ? AA? ) ??? 2 ??? 2 ???? 2 ? ? ?| AB | ? | AD | ? | AA? | ??? ??? ??? ???? ??? ???? ? ? ? ? ? 2( AB ?AD ? AB ?AA? ? AD?AA? )
? 42 ? 32 ? 52 ? 2(0 ? 10 ? 7.5) ? 85 ???? ? ?| AC? |? 85

D

C

A

B

BD 1.已知线段 AB 、BD在平面 ? 内, ? AB ,线段 AC ? ?

,如果 AB ? a , BD ? b , AC ? c ,求 C 、D 之间的距离.
C

解:∵
D a b B

c

??? 2 ??? ??? ??? 2 ? ? ? ? | CD | ? (CA ? AB ? BD ) ??? 2 ??? 2 ??? 2 ? ? ? ?| CA | ? | AB | ? | BD | ? a 2 ? b2 ? c 2

?

A

? CD ? a 2 ? b2 ? c 2

2.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于

a ,点 M、N 分别是边 AB、CD 的中点。
MN 求证: ? AB , MN ? CD 。
A

M

D B N C

???? ???? ??? ???? ? ? 证明:因为 MN ? MA ? AD ? DN ??? ???? ??? ???? ???? ???? ? ? ? 所以 AB ?MN ? AB ?( MA ? AD ? DN ) ??? ???? ??? ???? ??? ???? ? ? ? ? AB ?MA ? AB ?AD ? AB ?DN 1 1 1 ? ? a2 ? a2 ? a2 ? 0 2 4 4

?MN ? AB
同理,MN ? CD

3.已知空间四边形 OABC , OB ? OC , ?AOB ? ?AOC ? ?
OA ,求证: ? BC。
O

A

C

??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? OA?BC ? OA?(OC ? OB ) ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? OA?OC ? OA?OB ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ?| OA | ? | OC | cos ? ? | OA | ? | OB | cos ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ?| OA | ? | OB | cos ? ? | OA | ? | OB | cos ? ?0

证明:∵

B

? OA ? BC

4.如图,已知正方体 ABCD ? A?B?C?D? ,CD? 和 DC?相交于
AO 点 O ,连结 AO,求证: ? CD?。
A' D'

B'

C'

O

A

D

B

C

已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a , 点 E、F、G 分别是 AB、AD、DC 的中点,求下列向量的 数量积:

作 业 讲 评

??? ??? ? ? (1) AB?AC ;   (2) ??? ??? ? ? (4) EF ?BC ;   (5)
A

??? ??? ? ? AD?DB ;   (3) ??? ??? ? ? FG?BA ;   (6)

??? ??? ? ? GF ?AC ; ??? ??? ? ? GE? GF .

F E

D B G

C

课堂小结
1.正确分清楚空间向量的夹角。 2.两个向量的数量积的概念、性质 和计算方法。 作业:P106 4,



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