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自主招生递推数列求通项专题



1、递推方法:用枚举法求初始值,建立递推关系,利用递推关系求解。 例 1、将圆分成 n(n ? 2) 个扇形 S1 , S2 ,?, Sn ,现用 m(m ? 2) 种颜色给这些扇形染色,每个扇 形恰染一种颜色,并且要求相邻的扇形的颜色互不相同,问有多少种不同的染色方法? 解析: 利用递推关系 f(m,n+1)=(m-2)f(m,n)+(m-1)f m,n-1),结合初值 f(m

,1)=m,f(m,2)=m(m-1), ( 利用特征根法,即可算出 f(m,n)=(m-1)^n+(-1)^n*(m-1)

例 2、用 1,2,3 组成 n 位数,如果要求没有 2 个 1 相邻,问:这样的 n 位数共有多少个?
an ?1 ? 2an ? 2an ?1 , a1 ? 3, a2 ? 8. ? ? ? 1 ? 3, c1 ? c2 ? 2 / 3, c1 ? c2 ? 1. an ?1 ? (2 / 3 ? 1) / 2 ? (1 ? 3) n ? (1 ? 2 / 3) / 2 ? (1 ? 3) n

2、几类常见递推问题 ①多项式(或含指数式)线性一阶递推数列 基本形式: an ? pan?1 ? f (n) , (n ? 2, p为常数,f (n)是k次多项式或含杂指数式) 基本方法: an ? g (n) ? p(an?1 ? g (n ? 1)) ,其中: pg (n ? 1) ? g (n) ? f (n)
2 a1 ? 1, an ? an?1 ? n2 ? 15,(n ? 2), 求an .解析:令gn ? an2 ? bn ? c ? q ? ?3, b ? 2, c ? 59 3 练习 1、
n 练习 2、 a1 ? 2, an ? 4an?1 ? 2 ,(n ? 2) ,求 an

1 1 解析:an ? ?2n ? 4(an ?1 ? ?2n?1 ) 3 3

总结一下:我们现在都会解决什么问题: (1)、线性问题基本能处理; 、非线性问题怎么处理? (2) ②非线性转线性求解
2 n 练习 3、在数列 {a n } 中, a1 ? 1,a n a n ?1 ? 2 ,则a n =



练习 4、在数列 {a n } 中, 练习 5、在数列 {a n } 中,

a1 ? 1, a n ?1 ?

an , n ? 1,2,3? 5a n ? 6 ,则 a n ?



1 a1 ? ,a n ? 3a n a n?1 ? 4a n ?1 ? 0,则a n ? 2



总结:由非线性转线性的方法 (1)取对数; (2)取倒数; (3)同除; (4)移项,找相同结构 ③分式线性递推数列
an ?1 ? aan ? b aa ? b , c ? 0, ad ? bc ? 0(非常数), a1 ? 1 (非定点) can ? d ca1 ? d

基本形式:

基本方法:称方程

x?

ax ? b cx ? d 的根为该数列的不动点,
1 1 2c ? ? an ?1 ? p an ? p a ? d

若该数列只有唯一不动点 p ,则



若该数列有两个不同的不动点 p, q ,则

an ?1 ? p a ? pc an ? p ? ? an ?1 ? q a ? qc an ? q



练习 6、 a1 ? 1, an?1an ? 4(an?1 ? 1), n ? 1, 2,3,?, 求an
解析: an ?1an ? 4(an ?1 ? 1) ? ( x ? 2) 2 ? 0 an ?1 ? ?4 an ? 4

1 1 2 ? ? an ?1 ? 2 an ? 2 ?4

1 1 1 1 1 2 n ? ? ? ??? ? n ? 2 ? a1 ? , an?1 ? an (2 ? an?1 ), n ? 1, 2,3,? 2 a1 a2 an 3 练习 7、设 2 ,证明:

解析:an ?1 ? an (2 ? an ?1 ) ? x( x ? 1) ? 0 an ?1 ? 2an ? an an ?1 an ?1 ? an an ?1 ? 2an an ?1 ? 2an an ? 1

an ?1 ? 1 2 ? 1 an ? 1 ? ? an ?1 2 an an ?1 ? 1 1 an ? 1 1 a ?1 2 1 3 1 1 1 1 a ?1 1 1 ? ? , ? a1 ? ? n ? 1 ? , ? ? 2, ?1 ? 1 ? ? ? , ? n ? n ?1 ? 1? ? ? n ?1 an ?1 2 an 2 3 an an 2 a1 a1 2 2 an ?1 an ?1 2 ??
n

1 1 1 1 ? n ? ( ? ... ? ) ? ?? n ?1 n 2 a1 an n 2

1 a1 ? , 2 an?1 ? an (2 ? an ), n ? 1, 2,3,? 。求数列的通项公式 an 练习 8、
解析:an ?1 ? an (2 ? an )
2 an ?1 ? 1 ? 2an ? an 2 ? 1 ? ?(an ? 1)2 ? bn ?1 ? ?bn ? ?b12 n , b1 ? ?

1 2

④二阶常系数线性递推 练习 9、数列

{a n }

中,

a1 ? 1,a2 ? 2,an? 2 ? 3an?1 ? 2an

,求

an an

练习 10、数列 基本形式:

{a n }

中,

a1 ? 1,a2 ? 2,an? 2 ? 2an?1 ? 3an

,求

xn? 2 ? pxn?1 ? qxn (n ? 1, 2,?, p, q为常数,q ? 0)

[特征方程的根,特征根法得到的

解是大学叫齐次方程的解]
?B ? A ? p ? BA ? q 基本方法:构造 xn? 2 ? Axn?1 ? B( xn?1 ? Axn ) ,系数 A, B 可由方程组 ? 解得,则得到

{xn ?1 ? Axn } 为等比数列,公比为 B ,其首项为 x2 ? Ax1 ,就得到了一个一阶线性递推:
xn ?1 ? Axn ? ( x 2 ? Ax1) B n ?1

⑤关注其它方法 练习 11、数列
解析:an ?

{a n }

中, a1 ? 1 ,

1 3 an ? an ?1 ? n 2 2 ,求 a n

1 3 an ?1 ? n 2 2 1 1 1 an ? c n ? (an ?1 ? c n ?1 ) 2 2 2 3 an ? an ?1所以此路是不通的 2 但是:两边同乘2n , 2n an ? 2n ?1 an ?1 ? 3是等差数列

练习 12、已知数列

{a n }

中,

an ? 0

Sn ?


1 1 (a n ? ) 2 an

(n ? N ),求
*

an



分析:方法(一)当 n ? 2 时,由

Sn ?

1 1 1 1 (an ? ) S n ?1 ? (a n ?1 ? ) 2 an 得 2 a n ?1 ,

a n ? a n ?1 ?
两式相减,得:

1 1 ? a n a n ?1

猜想 an=√n-√(n-1) 证明:①当 n=1 时,S1=a1=1,1/2(a1+1/a1)=1,命题成立

②假设 n=k 时,命题成立,即 ak=√k-√(k-1) 则当 n=k+1 时, a(k+1)=S(k+1)-Sk=1/2[a(k+1+1/a(k+1)-ak-1/ak)] 即 a(k+1)-1/a(k+1)=-(ak+1/ak)=-2√k 即 a(k+1)^2+2√k*a(k+1)-1=0(解一元二次方程) 解得 a(k+1)=√(k+1)-√k(舍去负根) ,命题也成立 综上,an=√n-√(n-1) 下面是我的解法: Sn=1/2(an+1/an)① S(n-1)=1/2(a(n-1)+1/a(n-1))② ①-②,得 an=1/2(an-a(n-1)+1/an-1/a(n-1)) 即 an+(a(n-1)+1/a(n-1))-1/an=0 an^2+2S(n-1)an -1=0 由 an>0 解得 an=√(S(n-1)^2+1)-S(n-1)=1/[√(S(n-1)^2+1)+S(n-1)] 代入①式得 Sn=√(S(n-1)^2+1) Sn^2=S(n-1)^2+1 所以{Sn^2}为首项 1 公差为 1 的等差数列 Sn^2=n 即 Sn=√n an=Sn-S(n-1)=√n-√(n-1) (原题少了条件 an>0,否则所求数列不唯一 例 3、将 n ? 3 棱锥 S ? A1 A2 ? An 的各顶点染色,每个顶点染一种颜色,同一棱的两端点不同 色,今有 m(m ? 3) 种颜色可供使用,问有多少种不同的染色方法。 (仿例 1)

例 4、一个递增的整数数列,如果它的第 1 项为奇数,第 2 项为偶数,第 3 项为奇数,第 4

项为偶数, 依此类推, 则称它为交错数列, 空集也当作一个交错数列。 每项取自集合 {1, 2,?, n} 的交错数列的个数记为 A(n) ,求 A(20) 。 例 5、在平面上,一个椭圆将平面分为两部分,两个椭圆最多将平面分成 6 部分,问 10 个 椭圆最多把平面分成几个部分? (其实主要是看增加了几个交点, 平面切割空间则看最多增 加多少交线,直线增加 n 个交点,增加 n+1 个部分,封闭曲线增加 n 个交点,增加 n 个部 分:此题可以扩展为椭球切割空间。面切割空间与线切割平面的结果是一样的)
解析:初中竞赛题:一条直线将一个平面分割成两个部分,两条直线能分割成四个部分,那么 n 条直线能 把平面分割成多少个部分?

该题是考查归纳推理的,由 a2-a1=4,a3-a2=8,a4-a3=12, 可推测 an-a(n-1)=4(n-1), 所以 an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+...+(an-a(n-1)) =2+4+8+12+...+(4n-4) =2+[4+4(n-1)](n-1)/2=2n^2-2n+2. 例 6、整数 1,2,……, n 的排列满足:每个数,要么大于它前面的所有的数,要么小于它 前面的所有的数,试问有多少个这样的排列? (这题用递推就不好使了) 解析:按 n 个步骤进行,第一步排第 n 个位置上的数有两种可能:n 或 1,第二步排第 n-1 个位置上的数也有两种可能:若第一个排 n,则第二步排 n-1;若第一步排 1,则第二步排 n 或 2,以后每一步都与此类似,由乘法原理知,所求排列.共有 2 的 n 次方种



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