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辽宁省抚顺市第一中学2016届高三上学期10月月考数学文试题



抚顺市第一中学 2016 届高三 10 月月考 数学(文科)试题
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、 选择题: 本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的.
1. 已知全集 U ? R , A ? {x || x |? 2} , B ? {x | x ? 4 x ? 3 ? 0} ,则 A ? (CU

B ) 等于(
2



A. {x |1 ? x ? 3}
2

B. {x | ?2 ? x ? 1}

C. {x |1 ? x ? 2}

D. {x | ?2 ? x ? 3} )

2. 若复数 (a ? 1) ? ( a ? 1)i ( i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a ? ( A. ?1 B.-1 C.0 D.1 )

3.下列有关命题的说法正确的是(

A.命题“若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为: “若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ” B. “ x ? ?1 ”是“ x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件 C.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题 D.命题“ ?x ? R 使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R 均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 ” 4.已知函数 f ( x) ? A. (?1, 6)

2x ?1 2 ,则不等式 f ( x ? 2) ? f ( x ? 4) ? 0 的解集为( x 2 ?1
C. (?2,3) D. (?3, 2) )



B. (?6,1)
3

5.函数 f ( x) ? ln x ? x ? 9 的零点所在的区间为( A. (0,1) B. (1, 2) C. (2,3) D. (3, 4)

6. 已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? m 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为 是其图像的 一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是( A. y ? 4sin(4 x ? )

?
2

,直线 x ?

?
3

?
6

)

B. y ? 2sin(2 x ?

?
3

)?2

C. y ? 2sin(4 x ?

?
3

)?2

D. y ? 2sin(4 x ?

?
6

)?2
???? ? ????

7. 在 ?ABC 中, 且 CA ? CB ? 3 , 点 M 满足 BM ? 2 MA , 则 CM ? CB 等于 ( C ? 900 , A.2 B.3 C.-3 D.6

???? ? ??? ?



8. 已知数列 {an } 中, a3 ? 2 , a7 ? 1 ,若 {

1 } 为等差数列,则 a19 ? ( an ? 1



A.0

B.

1 2

C.

2 3

D.2

9. 函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的图象如图所示,为了得到 y ? sin ? x 的图象,只需把 y ? f ( x) 的图象上所有 点( )

A.向右平移 C.向左平移

? ?
6

个单位长度 个单位长度

B.向右平移 D.向左平移

?
12

个单位长度 个单位长度

?

6

12

10. 某流程图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是( A .



f ( x) ?

| x| x

B .

f ( x) ? ln( x 2 ? 1 ? x)

C .

f ( x) ?

e x ? e? x e x ? e? x

1 ? x2 D. f ( x ) ? | x ?3| ? | 4? x |

11. 已 知函 数 f ( x) ?

x3 mx 2 ? (m ? n) x ? 1 ? 的 两 个 极值点 分 别 为 x1 , x2 , 且 x1 ? (0,1) , 3 2

x2 ? (1, ??) ,点
若函数 y ? log a ( x ? 4)(a ? 1) 的图象上存在区域 D 内的点, 则 P(m, n) 表示的平面区域为 D, 实数 a 的取 值范围是( A. (1,3] ) B. (1,3) C. [3, ??) D. (3, ??)

12.定义在 (0, ??) 上的单调减函数 f ( x) ,若 f ( x) 的导函数存在且满足 等式成立的 是( ) B. 2 f (3) ? f (4) C. 3 f (4) ? 4 f (3)

f ( x) ? x ,则下列不 f ' ( x)

A. 3 f (2) ? 2 f (3)

D. 2 f (3) ? 3 f (4)

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 .

14.设 a ? cos 4200 ,函数 f ( x) ? ?

? ax , x ? 0 ?log a x, x ? 0

,则 f ( ) ? f (log 2 ) 的值等于

1 4

1 6

.

15.双曲线

x2 y 2 b2 ? 1 ? ? 1 的离心率是 2 ,则 的最小值是 ( a ? 0, b ? 0) a 2 b2 3a

.

16. 若关于 x 的函数 f ( x) ?

tx 2 ? 2 x ? t 2 ? sin x (t ? 0) 的最大值为 M ,最小值为 N ,且 x2 ? t
.

M ? N ? 4 ,则实数 t 的值为

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.)

17.(本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 是斜三角形,内角 A、B、C 所对的边的长分别为 a、b、c,若 c sin A ? 3a cos C . (Ⅰ)求角 C; (Ⅱ)若 c ?

21 ,且 sin C ? sin( B ? A) ? 5sin 2 A ,求 ?ABC 的面积.

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x(a ? R ) . (Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的极值. 19. (本小题满分 12 分) 如图, 多面体 ABCDEF 中, 底面 ABCD 是菱形,?BCD ? 600 , 四边形 BDEF 是正方形, 且 DE ? 平面 ABCD. (Ⅰ)求证: CF / / 平面 AED; (Ⅱ)若 AE ?

2 ,求多面体 ABCDEF 的体积 V.

20. (本小题满分 12 分) 已知点 M 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上,以 M 为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆的右焦点 F. a 2 b2

(Ⅰ)若圆 M 与 y 轴相切,求椭圆的离心率; (Ⅱ)若圆 M 与 y 轴相交于 A,B 两点,且 ?ABM 是边长为 2 的正三角形,求椭圆的方程. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

a ( x ? 1) . x ?1

(Ⅰ)若函数 f ( x) 在 (0, ??) 上为单调增函数,求 a 的取值范围;

(Ⅱ)设 m, n ? R ,且 m ? n ,求证:

?

m?n m?n . ? ln m ? ln n 2

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,延长 BA 和 CD 相交于点 P, (Ⅰ)求

PA 1 PD 1 ? , ? . PB 4 PC 2

AD 的值; BC

(Ⅱ)若 BD 为圆 O 的直径,且 PA ? 1 ,求 BC 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 2 t ? x? ? 2 已知在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程是 ? (t 是参数) ,以原点 O ?y ? 2 t ? 4 2 ? ? 2
为极点,x 轴正半轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程 ? ? 2 cos(? ? (Ⅰ)判断直线 l 与曲线 C 的位置关系; (Ⅱ)设 M 为曲线 C 上任意一点,求 x ? y 的取值范围. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x | ?2 . (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)若存在实数 x,使得 f ( x) ?| x | ? a ,求实数 a 的取值范围.

?
4

).

2016 届高三 10 月考数学(文科) 参考答案与评分标准 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 D 5 C 6 D 7 B 8 A 9 A 10 B 11 B 12 A

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13、3 14、8 15、

2 3 3

16、 2

由(1) (2)解得 a ? 1, b ? 5 ,∴ S ?ABC ? 分

1 1 3 5 3 .??????12 ab sin C ? ?1? 5 ? ? 2 2 2 4

a ,??????2 分 x 2 (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? x ? 2 ln x , f ' ( x) ? 1 ? , ( x ? 0) x
18.解:函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f ' ( x) ? 1 ? ∴ f (1) ? 1 , f (1) ? ?1 ,??????4 分
'

∴ y ? f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 1 ? ?( x ? 1) , 即 x ? y ? 2 ? 0 ??????6 分 (Ⅱ)由 f ' ( x) ? 1 ?
'

a x?a , x ? 0 可知: ? x x

①当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 , 函数 f ( x) 为 (0, ??) 上的增函数, 函数 f ( x) 无极值; ?????? 8分 ②当 a ? 0 时,由 f ( x) ? 0 ,解得 x ? a ;
'

∵ x ? (0, a ) 时, f ( x) ? 0 , x ? (a, ??) 时, f ( x) ? 0
' '

∴ f ( x) 在 x ? a 处取得极小值,且极小值为 f (a ) ? a ? a ln a ,无极大值. ??????10 分 综上:当 a ? 0 时,函数 f ( x) 无极值. 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 x ? a 处取得极小值 a ? a ln a ,无极大值. ??????12 分 19.(Ⅰ)证明:∵ABCD 是菱形,∴ BC / / AD , 又 BC ? 平面 ADE, AD ? 平面 ADE,∴ BC / / 平面 ADE. ??????2 分 又 BDEF 是正方形,∴ BF / / DE . ∵ BF ? 平面 ADE, DE ? 平面 ADE, ∴ BF / / 平面 ADE. ??????4 分 ∵ BC ? 平面 BCF, BF ? 平面 BCF, BC ? BF ? B , ∴平面 BCF//平面 AED. 由于 CF ? 平面 BCF,知 CF / / 平面 AED. ??????6 分 (Ⅱ)解:连接 AC,记 AC ? BD ? O . ∵ABCD 是菱形,∴ AC ? BD ,且 AO ? BO . 由 DE ? 平面 ABCD, AC ? 平面 ABCD, DE ? AC . ∵ DE ? 平面 BDEF, BD ? 平面 BDEF, DE ? BD ? D ,

∴ AC ? 平面 BDEF 于 O, 即 AO 为四棱锥 A-BDEF 的高. ??????8 分 由 ABCD 是菱形, ?BCD ? 600 ,则 ?ABD 为等边三角形,由 AE ?

2 ,则 AD ? DE ? 1 ,

AO ?


3 1 3 3 , S BDEF ? 1 , VBDEF ? S BDEF ? AO ? , V ? 2VBDEF ? .??????12 2 3 6 3

20.解: (Ⅰ)设 M ( x0 , y0 ) ,圆 M 的半径为 r,依题意得 x0 ? c ? r ?| y0 | 将 x0 ? c 代入椭圆方程得: | y0 |?

b2 b2 ,所以 ? c ,又 b 2 ? a 2 ? c 2 , a a

从而得 c 2 ? ac ? a 2 ? 0 ,两边除以 a 2 得: e 2 ? e ? 1 ? 0 ??????4 分 解得: e ?

?1 ? 5 5 ?1 ,因为 e ? (0,1) ,所以 e ? .??????6 分 2 2

(Ⅱ)因为 ?ABM 是边长为 2 的正三角形,所以圆 M 的半径 r ? 2 , M 到圆 y 轴的距离 d ? 3 ,又由(1)知: r ?

b2 , d ? c ,??????8 分 a

所以, c ?

3,

b2 ? 2 ,又因为 a 2 ? b 2 ? c 2 ,解得: a ? 3 , a

b 2 ? 2a ? 6 ,??????10 分

x2 y 2 ? ? 1 .??????12 分 所求椭圆方程是: 9 6
21.解: (Ⅰ) f ( x) ?
'

1 a( x ? 1) ? a ( x ? 1) , ? x ( x ? 1) 2

?

( x ? 1) 2 ? 2ax x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 . 因为 f ( x) 在 (0, ??) 上为单调增函数, ? x( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2
'

所以 f ( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立.
2

??????2 分

即 x ? (2 ? 2a ) x ? 1 ? 0 在 (0, ??) 上恒成立. 当 x ? (0, ??) 时,由 x ? (2 ? 2a ) x ? 1 ? 0 ,
2

得 2a ? 2 ? x ? 设 g ( x) ? x ?

1 . x

1 , x ? (0, ??) ,??????4 分 x

g ( x) ? x ?

1 1 ? 2 x? ? 2. x x
1 ,即 x ? 1 时, g ( x) 有最小值 2. x

所以当且仅当 x ?

所以 a 的取值范围是 (??, 2] .??????6 分 (Ⅱ)假设 m ? n

m?n m?n , ? ln m ? ln n 2 m m m ?1 ?1 2( ? 1) m n 只需证 n ,即证 ln ? . ? n m m 2 n ln ?1 n n
要证 分 设 h( x) ? ln x ? 所以 h(

m ? 1) m n 只需证 ln ? ? 0 .??????8 m n ?1 n 2(

2( x ? 1) m . 由(Ⅰ)知 h( x) 在 (1, ??) 上是单调增函数,又 ? 1 , x ?1 n

m ) ? h(1) ? 0 . n m 2( ? 1) m 即 ln ? n ? 0 成立. m n ?1 n

所以

m?n m?n .??????12 分 ? ln m ? ln n 2

22.(Ⅰ)由 ?PAD ? ?PCB , ?A ? ?A ,得 ?PAD 与 ?PCB 相似, 设 PA ? x, PD ? y 则有

x y ? ? y ? 2x , 2 y 4x

所以

AD x 2 .??????5 分 ? ? BC 2 y 4

(Ⅱ) ?C ? 900 ,

PA ? 4, PC ? 2 2, BC ? 2 2 .??????10 分
23.解: (Ⅰ)直线 l 的普通方程为 x ? y ? 4 2 ? 0 ,

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