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广东省揭阳市第一中学2013届高三上学期第二次段考数学试题(word版)



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广东省揭阳市第一中学 2013 届高三上学期第二次段考数学试题 (word 版)
一、选择题(单项选择题,每小题 5 分,共 50 分) 1、 复数 z ?

2?i i ( 为虚数单位) 在复平面内对应的点所在象限为??????????? 2?i
B

.第二象限 全 集 C.第三象限 D.第四象限

( ) A.第一象限 2 、 已 知

U ?{


y | ?y2 l

o

x? g

x,

1 ? 1 } ?,y, P x 1 2

y ? 则{

| x

,

CU P =?????????(
A. [ , ??)

1 2

B. (0, )

1 2

C. (0, ??)

D. (??, 0] ? [ , ??)

“ 3、 ?2 ? a ? 2” 是“实系数一元二次方程 x ? ax ? 1 ? 0 有虚根”的?????????
2



) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要

条件. 4、要得到函数 y ? 2sin 2 x 的图像,只需要将函数 y ? 3sin 2x ? cos 2x 的图像???? ( ) A、向左平移

? 个单位 12

? ? ? 个单位 B、向右平移 个单位 C、向左平移 个单位 D、向右平移 12 6 6

5、 在等差数列 {an } 中,已知 a4 ? a8 ? 16 ,则该数列前 11 项和 S11 ? ??????????? ( ) A.58 B.88 C.143 D.176

6、若正数 x, y 满足 x ? 3 y ? 5 xy ,则 3x ? 4 y 的最小值是??????????????? ( A.6 ) B.5 C.

24 5
2 2

D.

28 5

7、在△ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 a ? b ? 3bc ,sin C ? 2 3 sin B , 则 A ? ?( A. 60
0

) B. 150
0

C. 30

0

D. 120

0

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??? ??? ??? ? ? ? ??? ?

8、在 ?ABC 所在的平面上有一点 P ,满足 PA ? PB ? PC ? AB ,则 ?PBC 与 ?ABC 的面 积 之 比 是?????????????????????????????????????? ??( ) A.

1 3

B.

1 2

C.

3 4

D.

2 3

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

tan 20? ? tan 40? ? tan120? 9、计算: =_______________. tan 20? tan 40?
? x ? 4 y ? 3 ? 0, ??? ??? ? ? ? 10、已知点 P 的坐标 ( x, y ) 满足: ?3 x ? 5 y ? 25, 及 A(2, 0) ,则 OA ? OP ( O 为坐标原点) ? x ? 1 ? 0. ?

的最大值是

_ .

11、已知函数 f ( x ) 在 R 上满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x2 ? 8x ? 8 ,则曲线 y ? f ( x) 在点

(1, f (1)) 处的切线方程是__________.
12、在 V ABC 中, AB ? BC ? 3 , V ABC 的面积 S ? [ _________. 13、在数列 {an } 中, an ? n2 ? 2? n(? ? R) ,若 {an } 是单调递增数列,则 ? 的取值范围为 ___________. 14 、 已 知 不 等 式 x ? log m x ?
2

??? ??? ? ?

??? ? ??? ? 3 3 , ] ,则 AB 与 BC 夹角的取值范围是 2 2

1 2 ? 0 在 x ? (0, ) 时恒成立,则 m 的取值范围是 4 2

__________________. 三、解答题(共 6 大题,共 80 分,写出详细解答过程) 15、设 {an } 是公比 q 大于 1 的等比数列, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,已知 S3 ? 7 ,且

a1 ? 3,3a2 , a3 ? 4 构成等差数列. (1)求数列 {an } 的通项公式;
(2)令 bn ? ln a3n?1 (n ? N ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 16、已知函数 f ( x ) ? 2 sin( ωx ? 期为 ? . (1)求 ? 的值;
?

? ? ) sin( ωx ? ) (其中 ? 为正常数, x ? R )的最小正周 6 3

(2)在△ ABC 中,若 A ? B ,且 f ( A) ? f ( B ) ?

BC 1 ,求 . 2 AB

17、 设函数 f ( x ) 的定义域为 R , 对任意的实数 x, y 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ; x ? 0 当
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时, f ( x) ? 0 ,且 f (1) ? 1 .

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(1)判断并证明 f ( x ) 在 (??, ??) 上的单调性; (2)若数列 {an } 满足: 0 ? a1 ? 1,且 2 ? an?1 ? f (2 ? an ) ,证明:对任意的 n ? N ,
?

0 ? an ? 1
18、已知向量 a ? (cos

?

3 3 ? x x ? x,sin x), b ? (cos , ? sin ), x ? [0, ] , 2 2 2 2 2

(1)求 a ? b 及 | a ? b | ; (2)若函数 f ( x) ? a ? b ? 2? | a ? b | 的最小值为 ? 19、已知函数 f ? x ? ? ln x ?

? ?

? ?

? ?

? ?

3 ,求 ? 的值. 2

1 2 ax ? x , a ?R. 2

(1)求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)是否存在实数 a ,使得函数 f ? x ? 的极值大于 0 ?若存在,求 a 的取值范围;若不存 在,说明理由. 20 、 设 曲 线 C : x2 ? y 2 ? 1 上 的 点 P 到 点 An ? 0, an ? 的 距 离 的 最 小 值 为 dn , 若

a0 ? 0 , an ? 2dn?1 , n ? N*
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求证:

a a a1 a3 a a ? ? ? ? 2 n?1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n ; a3 a5 a2 n?1 a4 a6 a2 n? 2
*

(3) 是否存在常数 M ,使得对 ?n ? N ,都有不等式: 理由.

1 1 1 ? 3 ? ? ? 3 ? M 成立?请说明 3 a1 a2 an

揭阳第一中学 2012—2013 学年度第一学期阶段考试
高三级数学科参考答案( ) 一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8

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答案 D A A

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C B B C D

二、填空题
9、 13、

? 3

10、

10 14、

11、

y ? 2x ?1

12、

[ , ] 6 4

? ?

3 (?? , ) 2

1 ? m ?1 4

15、 (1) 解: 由已知得 ?

?a1 ?aq ? 1 2 7 ? ? a1 ? a2 ? a3 ? 7 ? 1 aq , ? 即 , 结合 q ? 1 2 aq ?(a1 ?aq ? 7? 6 1 ?( a1 ? 3) ? ( a3 ? 4) ? 6a2 ? 1

解得 ?

? a1 ? 1 ?q ? 2


an ? a1qn?1 ? 2n?1 ?????????????????????????????6
分 (2)由(1)得, bn ? ln a3n?1 ? ln 23n ? 3n ln 2 ,∴ bn?1 ? bn ? 3ln 2 ,∴ {bn } 是 以 b1 ? 3ln 2 为首项,公差 d ? 3ln 2 的等差数列, ∴ Tn ? b1 ? b2 ? ... ? bn ? 即

n(b1 ? bn ) n(3ln 2 ? 3n ln 2) ? 2 2

Tn ?

3n(n ? 1) ln 2 ??????????????????????????? 2

??12 分 16、 (1) f ( x ) ? 2 sin(ωx ? 解: ∵

? ? ? ? ?? ? ) sin(ωx ? ) ? 2 sin(ωx ? ) cos?(ωx ? ) ? ? 6 3 6 3 2? ?

? ? ? ? 2 sin( ωx ? ) cos( ωx ? ) ? sin( 2ωx ? ) . ?????4 分 6 6 3 2? ? ? ,∴ ? ? 1 . ????6 分 ∵ f (x) 的最小正周期为 ? , ? 为正常数,∴ 2ω ? (2)由(1)可知 f ( x ) ? sin(2 x ? ) .设 x 是三角形的内角,则∵ 0 ? x ? ? , 3 ? ? 5? ∴ ? ? 2x ? ? . 3 3 3 1 ? 1 ? ? ? 5? ? 令 f ( x) ? ,得 sin( 2 x ? ) ? ,∴ 2 x ? ? 或 2 x ? ? ,解得 x ? 3 2 3 6 3 6 4 2 7? 或x ? . 12 1 由已知, A , B 是△ ABC 的内角, A ? B 且 f ( A) ? f ( B ) ? , 2

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∴A? 分 由 正 弦

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?????10

? 7? ? ,B ? ,∴ C ? ? ? A ? B ? . 4 12 6
定 理





? 2 s i n BC s A i 4 ? 2 ? n2 . ? ? ? 1 AB s C s i i n n 6 2

??????????12 分

17、解: (1) f ( x ) 在 (??, ??) 上单调递增,证明如下: 设任意 x1 , x2 ? (??, ??) , 且 x1 ? x2 ,则 ∵

x1 ? x2 ? 0





f ( x1 ? x2 ) ? 0



∴ f ( x1 ) ? f [( x1 ? x2 ) ? x2 ] ? f ( x1 ? x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x2 ) 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∴ f ( x ) 在 (??, ??) 上单调递增. ??????6 分

? ? 2 ( 2 ) 在 f ( x? y) ? f ( x)? f ( y) , 令 x ? y ? 1 , 得 f ( 2 )? f (1) f (1) . 令 中 x? y?0,
得 f (0) ? f (0) ? f (0) , ∴ f (0) ? 0 . 令 y ? ? x , 得 f (? x) ? f ( x) ? 0 即 ,

f ( ? x) ? ? f ( x)


2 ? an?1 ? f (2 ? an ) ? 2 ? an?1 ? f (2) ? f (?an ) ? 2 ? an?1 ? 2 ? f (an ) ? an?1 ? f (an )
下 面 用 数 学 归 纳 明:??????????????????????????9 分 ①当 n ? 1 时, 0 ? a1 ? 1,不等式成立;
? ②假设当 n ? k (k ? N ) 时, 不等式成立, 0 ? ak ? 1 , 即 则∵ f ( x ) 在 (??, ??) 上





单调递增, ∴ f (0) ? ak ?1 ? f (ak ) ? f (1) ,∴ 0 ? ak ?1 ? 1 ,即当 n ? k ? 1 时不等式也成立. 综上①②,由数学归纳法原理可知对任意的 n ? N , 0 ? an ? 1 ??????14 分 18、解: (1) a ? b ? cos
?

? ?

3x x 3x x cos ? sin sin ? cos 2 x ??????2 分 2 2 2 2

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? ? 3x x 3x x | a ? b |? (cos ? cos )2 ? (sin ? sin )2 ? 2 ? 2cos 2 x ? 2 cos 2 x 2 2 2 2 ? ? ? ∵ x ? [0, ] ,∴ | a ? b |? 2 cos2 x ? 2cos x ??????6 分 2
( 2 ) 由 ( 1 ) 可
2



f(

?

x)

?

?c

x

2

o

?s ?x

2

?

4 x

?? c

xo 2 ?

? s

x

∵ x ? [0,

?
2

] ,∴ 0 ? cos x ? 1

??????8 分

①当 ? ? 0 时,当且仅当 cos x ? 0 时, f ( x ) 取得最小值-1,不合题意;
2 ②当 0 ? ? ? 1 时,当且仅当 cosx ? ? 时, f ( x ) 取得最小值 ?1 ? 2? ,由 已知

?1 ? 2? 2 ? ?

3 , 2 1 2 3 , 2

解得 ? ?

③当 ? ? 1 时,当且仅当 cos x ? 1 , f ( x ) 取得最小值 1 ? 4? ,由已知 1 ? 4? ? ?

5 ,这与 ? ? 1 矛盾. ??????????????????13 分 8 1 综上所述, ? ? 即为所求. ??????14 分 2
解得 ? ? 19. 解: (1) 函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0,??? , f ? ? x ? ? 2分 ① 当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 为 ? 0,??? ② 当 a ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 0 得 ?

1 ax 2 ? x ? 1 ? ax ? 1 ? ? . x x

???

1? x ,∵ x ? 0, ∴ f ' ? x ? ? 0 ,∴ 函数 f ? x ? 单调递增区间 x

ax 2 ? x ? 1 ? 0 ,即 ax 2 ? x ? 1 ? 0 , ? ? 1 ? 4a . x

(ⅰ)当 ? ? 0 ,即 a ? ?

1 2 时,得 ax ? x ? 1 ? 0 ,故 f ? ? x ? ? 0 , 4

∴ 函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0,??? . (ⅱ) ? ? 0 , a ? ? 当 即

1 1 ? 1 ? 4a 2 时, 方程 ax ? x ? 1 ? 0 的两个实根分别为 x1 ? , 4 2a

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x2 ? 1 ? 1 ? 4a . 2a

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若?

1 ? a ? 0 ,则 x1 ? 0, x2 ? 0 ,此时,当 x?? 0, ??? 时, f ? ? x ? ? 0 . 4

∴函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0,??? , 若 a ? 0 ,则 x1 ? 0, x2 ? 0 ,此时,当 x ? ? 0, x2 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,当 x ? ? x2 , ?? ? 时,

f ? ? x ? ? 0,
∴函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0,

? ? ?

1 ? 1 ? 4a 2a

? ? 1 ? 1 ? 4a ? , ?? ? . ?, ? ? ? 单调递减区间为 ? 2a ? ? ? ? 1 ? 1 ? 4a ? ? ,单调递减区间 ? ? 2a ? ?

综上所述,当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0,

为?

? 1 ? 1 ? 4a ? , ?? ? ;当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0,??? ,无单调递 ? ? 2a ? ?

减区间. ?8 分 (2)由(1)得当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 在 ? 0,??? 上单调递增,故函数 f ? x ? 无极值; 当 a ? 0 时 , 函 数 f ? x ? 的 单 调 递 增 区 间 为 ? 0,

? 1 ? 1 ? 4a ? ? ,单调递减区间为 ? ? 2a ? ?

? 1 ? 1 ? 4a ? , ?? ? , ? ? ? 2a ? ?
∴ f ? x ? 有极大值,其值为 f ( x2 ) ? ln x2 ?

1 2 1 ? 1 ? 4a ax2 ? x2 ,其中 x2 ? . 2 2a x2 ? 1 . 2

2 2 ∵ ax2 ? x2 ? 1 ? 0 ,即 ax2 ? x2 ? 1 , ∴ f ( x2 ) ? ln x2 ?

设函数 h( x) ? ln x ? ∴ h( x) ? ln x ?

x ?1 1 1 ( x ? 0) ,则 h' ( x) ? ? ? 0 , 2 x 2

x ?1 在 ? 0,??? 上为增函数,又 h(1) ? 0 ,则 h( x) ? 0 ? x ? 1 , 2 x ?1 ? 0 ? x2 ? 1 . ∴ f ( x2 ) ? ln x2 ? 2 2


1 ? 1 ? 4a ?1 , 结 合 a ? 0 解 得 0 ? a ? 2 , ∴ 实 数 a 的 取 值 范 围 为 2a

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?0, 2? .

???14 分

20. 解(1)设点 P ? x, y ? ,则 x 2 ? y 2 ? 1,∴

| PAn |? x ? ? y ? an ?
2

2

a ? 2 ? an ? ? 2? y ? n ? ? , 2? 2 ?
2 2

∵ y?R , ∴ 当 y ?

2 an 2 ? an 时, | PAn | 取得最小值 dn ,且 dn ? , 2 2 2 2 ? an 1 1 an ?1 , 将 d n ? an ?1 代入 dn ? 2 2 2

又 an ? 2dn?1 ,∴ an?1 ? 2dn ,即 d n ? 得
2 2 ? an 1 an?1 ? 2 2

2 2 2 两边平方,得 an?1 ? an ? 2 ,又 a0 ? 0 , a1 ? 2 ,
2 2 2 2 ∴数列 an 是首项为 a1 ? 2 ,公差为 d ? 2 的等差数列, ∴ an ? a1 ? (n ?1)d ? 2n ,

? ?

∵ an ? 2dn?1 ? 0 ,∴ an ? 2n .???????????????6 分 (2)∵ ? 2n ? 2?? 2n ?1? ? 2n ? 2n ?1? ? ?2 ? 0 ,∴ ? 2n ? 2?? 2n ?1? ? 2n ? 2n ?1? ∴ ∴

? 2n ? 2 ?? 2n ? 1? ?

2n ? 2n ? 1? ,∴ a2n?2 a2n?1 ? a2n?1a2n ∴

a2 n?1 a ? 2n , a2 n?1 a2 n? 2

a a a1 a2 a3 a4 ? , ? ,?, 2 n?1 ? 2 n a3 a4 a5 a6 a2 n ?1 a2 n ? 2

将以上 n 个不等式相加,得

a a a1 a3 a a ? ? ? ? 2 n?1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n .???????10 分 a3 a5 a2 n?1 a4 a6 a2 n? 2
1 1 ,当 k ? 2 时, ? 3 ak 2 2 ? k 3 1 1 1 1 1 ? ? ? ? , 3 k ? k 2 ? 1? k ? k ? 1? k ? k ? 1? ? k ? 1?? k ? 1? k
(Ⅲ)由(1)得

1 2 2 ? ? ? k ?1 ? k ?1 , k 2 k k ?1 ? k ? 1 1 1 1 1 1 ∴ , ∴ ? ? k ?1 ? k ?1 ? ? k ?1 k ?1 ? k ? 1?? k ? 1? k ? k ? 1?? k ? 1?


?

?

1 k3

?

1 1 ? , k ?1 k ?1
n



?
k ?2

1

n 1 ? 1 1 1 1 ? 1 ? ?? ? ? ? ? 1? ? ? 1? 3 k ?1 k ?1 ? 2 k k ?1 2 k ?2 ? k

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n

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1 1 1 n 1 1 1 ? 1 ? 1 2 ? ? ? a3 2 2 2 2 ? 3 ? 2 2 ? 2 2 ?1 ? 2 ? ? 4 ? 2 . ? ? i ?1 i k ?2 k
1 1 1 1 2 * ,对 ?n ? N ,都有不等式: 3 ? 3 ? ? ? 3 ? M 成立.(M 取 ? a1 a2 an 4 2

∴存在常数 M ?

值不唯一)??14 分

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