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二次函数复习1



2013.12

二次函数的概念
? 形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数,叫做二次函数,其中,是自变量, 分别是函数表达式的二次项系数,一次项 系数和常数项。
? ? ? ? 二次函数的特殊形式: y=ax2 y=ax2+c y=a(x-h)2+k

y=a(x 开口 对 顶 最值 方向 称 点 h)? +k 轴 a>0 向上 x=h (h,k) x=h时, 有最小 值y=k a<0 向下 x=h (h,k) x=h时, 有最大 值y=k

增减情况

x<h时, y随x的增大而减 小; x>h时,y随x的增大而 增大. x<h时, y随x的增大而增 大; x>h时, y随x的增大而 减小.

|a|越大开口越小.
返回

函数的图象及性质
抛物线 开口方 向
a>0向上 a<0向下

对称轴

顶点 坐标

最 值

增 减 性

y = ax2 y = ax2 + k y = a(x – h )2

y轴

(0,0) (0,k)

a>0向上 a<0向下 a>0向上 a<0向下 a>0向上 a<0向下

y轴

直线x=h ( h , 0 ) 直线x=h (h,k)

y = a(x – h )2 + k

各种形式的二次函数的关系
左 右 平 移

y = a( x – h )2 + k

上 下 平 移

y = ax2 + k
上下平移

y = a(x – h )2
左右平移

y=

ax2

结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k与 y = ax2形状相同,位置不同。

1)若抛物线y=-x2向左平移2个单位,再向 下平移4个单位所得抛物线的解析式是 ________ 2)如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移 得到抛物线y=2x2 3) 将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平 移得到抛物线y=2(x+2)2-1
4). 若抛物线y=2(x-1)2+3沿x轴方向平移后,经过(3,5), 求平移后的抛物线的解析式_______

5指出下面函数的开口方向,对称轴, 顶点坐标,最值。
1) y=2(x+3)2+5 2) y=4(x-3)2+7 3) y=-3(x-1)2-2 4) y=-5(x+2)2-6

6对称轴是直线x=-2的抛物线是( )
A y=-2x2-2 B y=2x2-2 C y=-1/2(x+2)2-2

C

D y=-5(x-2)2-6

小测试

1. 抛物线的顶点为(3,5) 此抛物线的解析式可 设为( ) Ay=a(x+3)2+5 Cy=a(x-3)2-5 By=a(x-3)2+5 Dy=a(x+3)2-5

2.抛物线c1的解析式为y=2(x-1)2+3抛物线c2与 抛物线c1关于x轴对称,请直接写出抛物线c2的 解析式_____ 3.二次函数y=a(x-m)2+2m,无论m为何实数,图 象的顶点必在( )上
A)直线y=-2x上 C)y轴上 B)x轴上 D)直线y=2x上

你答对了 吗?
1.B 2.y=-2(x-1)2-3 3.D 4. y3> y1 > y2

4.对于抛物线y=a(x-3)2+b其中a>0,b 为常数,点 ( 3 ,y1) 点( 5 ,y2)点(8,y3)在该抛物线上,试比 较y1,y2,y3的大小

5抛物线y=(x-3)2的开口方向 ,对称轴是 ,顶 点坐标为 ,在对称轴左侧,即x 时,y随x增大 而 ;在对称轴右侧,即x 时,y随x增大而 , 当x= 时,y有最 值为 . 6函数y=5(x-3)2-2的图象可由函数y=5x2的图象沿 x轴向 平移 个单位,再沿y轴向 平移 个单 位得到. 7二次函数y=a(x+k)2+k(a≠0),无论k取什么实数, 图象顶点必在( ). A.直线y=-x上 B.x轴上 C.直线y=x上 D.y 轴上

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
b 2 4ac ? b ? a( x ? ) ? 2a 4a
2

b 对称轴为:直线x ? ? , 2a 2 ? b 4ac ? b ?? 顶点坐标是: , ? 2a 4a ?

? ? ? ?

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 最值

y=ax2+bx+c(a>0)
? b 4ac ? b 2 ? ?? ? 2a , 4a ? ? ? ?

y=ax2+bx+c(a<0)
? b 4ac ? b 2 ? ?? ? 2a , 4a ? ? ? ?

直线x ? ?

b 2a

直线x ? ?

b 2a

向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

当x ? ?

b 4ac ? b 时, 最小值为 2a 4a

2

b 4ac ? b 2 当x ? ? 时, 最大值为 2a 4a

1将函数y=-x2-2x化为y=a(x-h) 2+k的形式
为 .

2函数y=-2x2+8x-8的顶点坐标为

.

3函数y=2x2+8x-8的对称轴为

.

4若所求的二次函数的图象与抛物线y=2x2- 4x-1有相 同的顶点,并且在对称轴左侧,y随x的增大而增大, 在对称轴右侧,y随x的增大而减小,则所求的二次 函数的解析式为( ) A.y=-x2-2x-4 B.y=ax2-2ax+a-3(a>0) C.y=-x2-4x-5 D.y=ax2-2ax+a-3(a<0)

5.若b<0,则函数y=2x2+bx-5的图象的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

6设抛物线y=x2-4x+c的顶点在x轴上,则c为
7二次函数y=ax2+bx+c经过点(3,6)和-1,6) ,则对 称轴为 . 8如图,在同一坐标系中,函数y=ax+b与 y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是( )
y y y y

.

o

x

o x

o x

o

x

A

B

C

D

9已知二次函数y=(m-2)x2+(m+3)x+m+2的图 象过点(0,5). (1)求m的值,并写出二次函数的表达式; (2)求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴.

10已知抛物线y=x2-(a+2)x+9的顶点坐标在坐标轴 上,求a 11若抛物线y=(m2-2)x2+2mx+1的对称轴经过点 (-1,3),求m 12把y=x2-2x+3向左平移2个单位,再向下平移2 个单位,求所得的抛物线



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