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排列组合中的 分堆问题

平均分组问题
理论部分:平均分成的组,不管它们的顺序如何, 理论部分:平均分成的组,不管它们的顺序如何, 都是一种情况,所以分组后要除以A( A(m,m),即m!, 都是一种情况,所以分组后要除以A( ) ! 其中m表示组数 表示组数。 其中 表示组数。 abcd分成平均两组 _____多少种分法 多少种分法? 例如 把abcd分成平均两组 有_____多少种分法? 2 2 C4 C2 3 2 cd ab A2 bd ac ad bc 这两个在分组时只能算一个 bc ad bd ac cd ab

一:均分不安排工作的问题
例1:12本不同的书 : 本不同的书 平均分成三堆有多少种不同的分法? (1)按4∶4∶4平均分成三堆有多少种不同的分法? ) ∶ ∶ 平均分成三堆有多少种不同的分法 分成四堆有多少种不同的分法? (2)按2∶2∶2∶6分成四堆有多少种不同的分法? ) ∶ ∶ ∶ 分成四堆有多少种不同的分法 4 4 4 C 12C 8 C 4 (1) 3 A3

12! 4!·8!

8! 4!·4!

1 3!

5775

2 6 2 2 C 12C 10C 8 C 6 (2) 3 A3

二:分堆安排工作的问题
:(1) 本不同的书按 本不同的书按2∶ ∶ 平均分给甲 平均分给甲、 例2:( )6本不同的书按 ∶2∶2平均分给甲、 :( 丙三个人,有多少种不同的分法? 乙、丙三个人,有多少种不同的分法? 方法:先分再排法。 方法:先分再排法。分成的组数看成元 素的个数· 素的个数 (1)均分的三组看成是三个元素在三 ) 个位置上作排列
2 C6 (1) 2 2 C4 C2 3 A3 3 A3 2 2 2 C6 C4 C2

:(1) 本不同的书按 例2:( )6本不同的书按 :( 2∶2∶2平均分给甲、乙、丙三个 平均分给甲、 ∶ ∶ 平均分给甲 有多少种不同的分法? 人,有多少种不同的分法?
(1) 2 C6 2 C4 2 C2

90

二:分堆安排工作的问题(续) 分堆安排工作的问题 续
支笔按3: : : : 分给 分给A、 、 、 例2(2)12支笔按 :3:2:2:2分给 、B、C、 ( ) 支笔按 D、E五个人有多少种不同的分法? 五个人有多少种不同的分法? 、 五个人有多少种不同的分法 方法:先分再排法。分成的组数看成元素的个数 方法:先分再排法。分成的组数看成元素的个数· (2)均分的五组看成是五个元素在五个位置上作 ) 排列

2 3 2 2 3 C 12C 9 C 6 C 4 C 2 (2) 3 2 A3 A2

5 A5

练习1 练习
1:12本不同的书平均分成四组有多少 种不同分法? : 本不同的书平均分成四组有多少 种不同分法?

C C C C 4 A4

3 12

3 9

3 6

3 3

练习2 练习
2:10本不同的书 10本不同的书 (1)按2∶2∶2∶4分 2∶2∶2∶4分 成四堆有多少种不同 的分法? 的分法? (2)按2∶2∶2∶4分 2∶2∶2∶4分 给甲、 给甲、乙、丙、丁四 个人有多少种不同的 分法? 分法?

(1) (2)

C CCC 3 A3 C CCC
2 10 2 8 2 6

2 10

2 8

2 6

4 4

4 4

非均分组问题(例3)
(1)6本不同的书按1∶2∶3分成三堆有多少种不 本不同的书按1∶2∶3分成三堆有多少种不 1∶2∶3 同的分法? 同的分法? 1∶2∶3分给甲 分给甲、 (2)按1∶2∶3分给甲、乙、丙三个人有多少种 不同的分法? 不同的分法? 注意:( :(1 注意:(1)非均分问题只要按比例分完再用乘法 原理作积 (2)分组安排工作要把组数当作元素个数再作排 列。

(1) C C C
1 6 2 5

1 6

2 5

3 3

( 2) C C C ? P
3 3

3 3

非均分组问题(例4)
有六本不同的书分给甲、 有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学,按下条 丙三名同学, 各有多少种不同的分法? 件,各有多少种不同的分法? (1)每人各得两本; )每人各得两本; (2)甲得一本,乙得两本,丙得三本; )甲得一本,乙得两本,丙得三本; (3)一人一本,一人两本,一人三本; )一人一本,一人两本,一人三本; (4)甲得四本,乙得一本,丙得一本; )甲得四本,乙得一本,丙得一本; (5)一人四本,另两人各一本 )一人四本,另两人各一本· (1) 2 2 2 C6C4 C2 (2) C 1 C 2 C 3 6 5 3 1 2 3 (3) C 6 C 5 C 3 4 (4) C 6 1 (5) A 3 1 C2 1 C1 1 C2 1 C1

3 A3

4 C6

练习3 练习
练习: 本不同的书分给甲 本不同的书分给甲、 练习:12本不同的书分给甲、乙、丙三人按下列条 种不同的分法? 件,各有多少 种不同的分法? (1)一人三本,一人四本,一人五本; )一人三本,一人四本,一人五本; (2)甲三本,乙四本,丙五本; )甲三本,乙四本,丙五本; 丙各五本; (3)甲两本,乙、丙各五本; )甲两本, (4)一人两本,另两人各五本 )一人两本,另两人各五本· 3 4 5 3 (1) C 12 C 9 C 5 A 3 (2) C 3 C 4 C 5 9 5 12 5 5 2 (3) C 12 C 10 C 5 5 5 1 2 (4) A 3 C 12 C 10 C 5

小结
平均分组问题

理论部分:平均分成的组, 理论部分:平均分成的组,不管它们 的顺序如何,都是一种情况, 的顺序如何,都是一种情况,所以 分组后要除以P( ),即m!,其中 P(m,m) 分组后要除以P( ! 其中m 表示组数。 表示组数。



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