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2014高三数学一轮复习:2.9函数与方程



[备考方向要明了]
考 什 么 怎 么 考 高考对本节内容的考查主要体现在以下 几个方面: (1)结合函数与方程的关系,求函数的零 点;

1.结合二次函数的
图象,了解函数 的零点与方程根

的联系,判断一
元二次方程根的存 在性及根的个数.

(2)结合根的存在性定理或函数的图象,

r />对函数是否存在零点及零点个数(方程是 否存在实数根及方程根的个数)进行判断;

2.根据具体函数的
图象,能够用二 分法求相应方程的

(3)利用零点(方程实根)的存在性求相关
参数的值或范围,如2012年高考T18.

近似解.

[归纳 1.函数的零点 (1)定义:

知识整合]

使函数y=f(x)的值为0的实数x称为函数y=f(x)的零点.

(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点
间的关系: 方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与 x轴 有交 点?函数y=f(x)有 零点 .

(3)函数零点的判定(零点存在性定理):如果函数y= f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,且 f(a)· f(b)<0 ,则函数y=f(x)在区间 (a,b) 上有零点. [探究] 1.函数的零点是函数y=f(x)与x轴的交点吗?

是否任意函数都有零点? 提示:函数的零点不是函数y=f(x)与x轴的交点,而 是y=f(x)与x轴交点的横坐标,也就是说函数的零点不是

一个点,而是一个实数;并非任意函数都有零点,只有
f(x)=0有根的函数y=f(x)才有零点.

2.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,则y=f(x)在 区间[a,b]上的图象是否一定是一条不间断的曲线,且有 f(a)· f(b)<0呢? 提示:不一定.由图(1)(2)可知.

3.函数零点具有哪些性质? 提示:对于任意函数,只要它的图象是连续不间断 的,其函数零点具有以下性质:

(1)当它通过零点且穿过x轴时,函数值变号;
(2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ=0 Δ<0

二次函数y= ax2+bx+c (a>0)的图象 (x 0) 1, (x2,0) , _____ (x1,0)

与x轴的交点

无交点

零点个数

两个

一个

零个

3.二分法的定义

对于在区间[a,b]上连续不断且

f(a)· f(b)<0

的函数y=

f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二 , 使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的 方法叫做二分法.

[自测

牛刀小试]

1.(教材习题改编)下列函数图象与x轴均有交点,其中不 能用二分法求图中函数零点的是________.

解析:由图象可知,图③所对应的零点左右两侧的函数 值的符号是相同的,不能用二分法求解. 答案:③

2.根据表格中的数据,若判定方程ex-x-2=0的一个根 所在的区间(k,k+1)(k∈Z),则k=________. x ex x+2 -1 0.37 1 0 1 2 1 2.72 3 2 7.39 4 3 20.09 5

解析:令f(x)=ex-x-2,则 f(-1)=0.37-1<0,f(0)=1-2<0, f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.39-4>0,

即f(1)f(2)<0,
所以方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为(1,2). 所以k=1. 答案:1

3.若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数 g(x)=bx2-ax-1的零点是________.
解析: ∵函数 f(x)=x2-ax-b 的两个零点为 2 和 3,
?2+3=a, ? ∴? ?2×3=-b, ?

即 a=5,b=-6.

∴g(x)=bx2-ax-1=-6x2-5x-1, 1 1 令 g(x)=0,得 x=- 或- . 2 3 1 1 答案:- ,- 2 3

4.函数 f(x)=3ax+1-2a 在区间(-1,1)上存在零点,则实 数 a 的取值范围是________.
解析:∵f(x)=3ax+1-2a 在区间(-1,1)上有零点, 且 f(x)为一次函数, ∴f(-1)· f(1)<0,即(1-5a)(1+a)<0. 1 ∴a> 或 a<-1. 5 1 答案:a> 或 a<-1 5

确定函数零点所在的区间
[例 1] (1)(2013· 唐山模拟)设 f(x)=ex+x-4,则函

数 f(x)的零点在(k,k+1)(k∈Z)上,则 k=________. 2 (2)(2013· 朝阳模拟)函数 f(x)=2 -x-a 的一个零点
x

在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范围是________.

[自主解答]

(1)∵f(x)=ex+x-4,∴f′(x)=ex+

1>0,∴函数f(x)在R上单调递增.∵f(1)=e+1-4=e -3<0,f(2)=e2+2-4=e2-2>0,f(1)f(2)<0. (2)由条件可知f(1)f(2)<0,即(2-2-a)(4-1-a)<0, 即a(a-3)<0,解得0<a<3.

[答案] (1)1

(2)(0,3)

若方程xlg(x+2)=1的实根在区间(k,k+1)(k∈Z)内,

则k为何值? 解:由题意知,x≠0,则原方程即为 lg(x 1 +2)=x,在同一直角坐标系中作出函数 y= 1 lg(x+2)与 y=x的图象,如图所示,由图象 可知,原方程有两个根,一个在区间(-2,-1)上,一个在 区间(1,2)上,所以 k=-2 或 k=1.

判断函数零点所在区间的方法 判断函数在某个区间上是否存在零点,要根据具体题 目灵活处理.当能直接求出零点时,就直接求出进行判断; 当不能直接求出时,可根据零点存在性定理判断;当用零 点存在性定理也无法判断时可画出图象判断.

1.(2013· 武汉模拟)函数 f(x)=e-x-4x-3 在下列区间上 有零点的是________.
? 3 1? ?- ,- ? ① 4 2? ? ? 1 ? ③?-4,0? ? ? ? 1 1? ?- ,- ? ② 2 4? ?







? 1? ④?0,4? ? ?

.

解析:易知函数 f(x)在 R 上是单调减函数. 对于①, 注意到
? 3? ? 3? ? 1? 3 3 1 f?-4?=e -4×?-4?-3=e >0, ?-2?=e - f 4 4 2 ? ? ? ? ? ?

? 1? 1 ?- ?-3=e -1>0,因此函数 4× 2 2 ? ? ? 3 1? 在区间?-4,-2?上; ? ?

f(x)=e x-4x-3 的零点不



对于②,注意到

? 1? ? 1? ? 1? 1 1 ?- ?>0,f?- ?=e -4×?- ?-3=e - f 2 4 4 ? ? ? 4? ? 4?

? 1 1? 1 2<4 -2<0,因此在区间?-2,-4?上函数 f(x)=e-x-4x 4 ? ?

-3 一定存在零点; 对于③,注意到
-x

? 1? f?-4?<0,f(0)=-2<0,因此函数 ? ?

f(x)=e

-4x-3

? 1 ? 的零点不在区间?-4,0?上; ? ?

对于④,注意到

?1? 1 1 1 ? ?=e -4× -3=e - f(0)=-2<0,f 4 4 4 4 ? ?

1 - 4<4 -4<0,因此函数 f(x)=e x-4x-3 的零点不在区间 4
? 1? ?0, ?上. 4? ?

答案:②

2.已知[x]表示不超过实数 x 的最大整数,g(x)=[x]为取整 2 函数,0 是函数 f(x)=ln x-x的零点, g(x0)等于_____. x 则 1 解析:∵函数 f(x)的定义域为(0,+∞),∴函数 f′(x)=x
2 + 2>0,即函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增.由 f(2)=ln 2 x 2 -1<0,f(e)=ln e- >0,知 x0∈(2,e),∴g(x0)=[x0]=2. e

答案:2

判断函数零点个数

[例2]

(1)(2012· 天津高考)函数f(x)=2x+x3-2在区间

(0,1)内的零点个数是________. ?ln x-x2+2x?x>0?, ? (2)函数 f(x)=? 的零点个数为_____. ?4x+1?x≤0? ? [自主解答] 令 f(x)=0,即 2x+x3-2=0,
则 2x-2=-x3. 在同一坐标系中分别画出 y=2x-2 和 y= -x3 的图象,由图可知两个图象在区间(0,1)内只有一个交 点,故函数 f(x)=2x+x3-2 在区间(0,1)内有一个零点.

1 (2)当 x≤0 时,函数有零点 x=- ; 4 当 x>0 时,作出函数y=ln x,y=x2-2x 的图象,观察图象可知两个函数的图象 (如图)有 2 个交点,即当 x>0 时函数 f(x) 有 2 个零点.故函数 f(x)的零点的个数为 3.

[答案] (1)1

(2)3

求函数零点个数的两种方法 判断函数零点的个数,通常可用数形结合法,直 接求解法.在解题时,可结合题目条件灵活运用这两 种方法.

?1,x>0, ? 3.(2012· 深圳模拟)已知符号函数 sgn(x)=?0,x=0, ?-1,x<0, ?
函数 f(x)=sgn(x-1)-ln x 的零点个数为________.



解析:依题意得,当 x-1>0,即 x>1 时,f(x)=1-ln x, 令 f(x)=0 得 x=e>1;当 x-1=0,即 x=1 时,f(x)=0- ln 1=0;当 x-1<0,即 x<1 时,f(x)=-1-ln x,令 f(x) 1 =0 得 x= <1.因此,函数 f(x)的零点个数为 3. e

答案:3

根据函数零点的存在情况求参数
[例 3] 定义域为 R 的偶函数 f(x)满足对?x∈R,有 f(x+

2)=f(x)-f(1),且当 x∈[2,3]时,f(x)=-2x2+12x-18,若函数 y=f(x)-loga(x+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,则 a 的取值 范围是________. [自主解答] 在方程 f(x+2)=f(x)-f(1)中, x=-1 得 f(1) 令
=f(-1)-f(1), 再根据函数 f(x)是偶函数可得 f(1)=0, 由此得 f(x +2)=f(x)=f(-x),由此可得函数 f(x)是周期为 2 的周期函数, 且其图象关于直线 x=1 对称,又当 x∈[0,1]时,x+2∈[2,3],所 以当 x∈[0,1]时,f(x)=f(x+2)=-2(x+2)2+12(x+2)-18=

2x2+4x-2=-2(x-1)2,根据对称性可知函数 f(x)在[1,2]上的解 析式也是 f(x)=-2(x-1)2,故函数 f(x)在[0,2]上的解析式是 f(x) =-2(x-1)2, 根据其周期性画出函数 f(x)在[0, +∞)上的部分图 象(如图),结合函数图象,只要实数 a 满足 0<a<1 且-2<loga(2 1 3 3 +1)<0 即可满足题意, 0<a<1 且 log3a<- =log3 , 0<a< . 故 即 2 3 3

[答案]

3 0<a< 3

已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路 (1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式 确定参数范围;

(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题 加以解决; (3)数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系

中,画出函数的图象,然后观察求解.

e2 4.已知函数 f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ x (x>0). (1)若 y=g(x)-m 有零点,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异 实根. e2 解:(1)法一:∵g(x)=x+ x ≥2 e2=2e,

等号成立的条件是 x=e, ∴g(x)的值域是[2e,+∞). 因而只需 m≥2e,则 y=g(x)-m 就有零点.

e2 法二: 作出 g(x)=x+ x (x>0)的大致图象如图: 可知若使 y=g(x)-m 有零点,则只需 m≥2e.
(2)若 g(x)-f(x)=0 有两个相异的实根,即 g(x)与 f(x)的图象有两个不同的交点, e2 作出 g(x)=x+ x (x>0)的大致图象. ∵f(x)=-x2+2ex+m-1

=-(x-e)2+m-1+e2. ∴其图象的对称轴为 x=e,开口向下, 最大值为 m-1+e2. 故当 m-1+e2>2e,即 m>-e2+2e+1 时,g(x)与 f(x)有两个交点,即 g(x)-f(x)= 0 有两个相异实根. ∴m 的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).

?1个口诀——用二分法求函数零点的方法

用二分法求零点近似值的口诀为:定区间,找中点,
中值计算两边看.同号去,异号算,零点落在异号间.周 而复始怎么办?精确度上来判断. ?3种方法——函数零点个数的判断 判断函数零点个数的常用方法有:

(1)解方程法:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个
解就有几个零点;

(2)零点存在性定理法:利用定理不仅要求函数在区 间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)· f(b)<0,还必须结 合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称

性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质;
(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数 问题.先画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中 交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.

?4个结论——有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则

f(x)至多有一个零点. (2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数 值保持同号. (3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,

也可能不变号.
(4)函数零点的存在定理只能判断函数在某个区间上的 变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数

在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上
存在零点的充分不必要条件.

数学思想——利用数形结合思想解决与方程的根有关的问题

在解决与方程的根或函数零点有关的问题时,如果 按照传统方法很难奏效时,常通过数形结合将问题转化 为函数图象的交点的坐标问题来解决.

[典例] “*”:

(2012· 福建高考)对于实数 a 和 b,定义运算

?a2-ab,a≤b, ? a*b=? 2 ?b -ab,a>b. ?

设 f(x)=(2x-1)*(x-1),且关

于 x 的方程 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根 x1, x2,x3,则 x1x2x3 的取值范围是________.

[解析]

由 定 义 可 知 , f(x) = (2x - 1)*(x - 1) =

??2x-1?2-?2x-1??x-1?,x≤0, ? ? ??x-1?2-?2x-1??x-1?,x>0, ?



?2x2-x,x≤0, ? f(x)=? ?-x2+x,x>0. ?

作出函数 f(x)

的图象,如图所示,关于 x 的方程 f(x)=m 恰有三个互不相等的实根 x1,x2,x3,即函 1 数 f(x)的图象与直线 y=m 有三个不同的交点,则 0<m< .不 4 妨设从左到右交点的横坐标分别为 x1,x2,x3.

当 x>0 时,-x2+x=m,即 x2-x+m=0, ∴x2+x3=1,
?x2+x3? ?2 ∴0<x2x3<? ? 2 ? ,即 ? ?

1 0<x2x3< ; 4

1 ? 2 ?2x -x= 1- 3 4 得 x= 当 x<0 时,由? , 4 ?x<0, ? 1- 3 ∴ <x1<0. 4 3-1 ∴0<-x1< . 4

3-1 ∴0<-x1x2x3< . 16 1- 3 ∴ <x1x2x3<0. 16

[答案]

?1- ? ? 16 ?

? 3 ? ,0? ?

[题后悟道]

(1)解决本题的关键有以下三点: ①根据新定义正确求出函数 f(x)的解析式, 并准确画出其图象. ②利用一元二次方程根与系数的关系及基本不等式确定 x2x3 的范围. ③正确确定 x1 的取值范围.

(2)函数 y=f(x)有零点?方程 f(x)=0 有实根?函数 y=f(x)的 图象与 x 轴有交点.在解决函数与方程的问题时,要注意这三者 之间的关系,在解题中充分利用这个关系与实际问题的转化.

[变式训练]
1. 若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x), x∈[- 且 ?lg x,x>0, ? ?0,x=0, 2 1,1]时,f(x)=1-x ,函数 g(x)=? ? 1 ?-x,x<0, ? 程 f(x)-g(x)=0 在区间[-5,5]上的解的个数为 ________.

则方

解析:依题意得,函数f(x)是以2为周期的函数,在同一

坐标系下画出函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象,结合图
象得,当x∈[-5,5]时,它们的图象的公共点共有8个, 即方程f(x)-g(x)=0在区间[-5,5]内的解的个数是8.

答案:8

?2 ? ,x≥2, 2. 已知函数 f(x)=?x 若关于 x 的方程 f(x)=k ??x-1?3,x<2. ? 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是________.

解析:画出函数f(x)的图象如图所示,根据图象可知当
k∈(0,1)时,方程f(x)=k有两个不同的实根.

答案:(0,1)

1.(2012· 郑州模拟)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2) =f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数y=f(x)- log3|x|的零点个数是________.

解析:由题意可知,函数y=f(x)是周期为2的偶函数, 在同一直角坐标中作出函数y=f(x)和y=log3|x|的图象,

如图所示,结合图象可以知函数的零点有4个.
答案:4

2.判断下列函数在给定区间上是否存在零点. 1 (1)f(x)=x-x,x∈(0,1). (2)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]. 1 解:(1)法一:令 f(x)=x-x=0,解得 x=± 1,

又∵± 1?(0,1), 1 ∴f(x)=x-x,x∈(0,1)不存在零点.

1 法二:画出函数 f=x与 y=x 的图象,如右图所示, 由图象观察可知此函数在(0,1)不存在零点. (2)函数 f(x)=log2(x+2)-x 的图象在 [1,3]上连续. 又 f(1)=log23-1>log22-1=0. f(3)=log25-3<log28-3=0. ∴f(1)· f(3)<0. 故函数 f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]存在零点.

3.设函数f(x)=log2(2x+1),g(x)=log2(2x-1),若关于x 的函数F(x)=g(x)-f(x)-m在[1,2]上有零点,求m的 取值范围. 解:法一:令 F(x)=0,即 g(x)-f(x)-m=0.
所以有 m=g(x)-f(x)=log2(2x-1)-log2(2x+1)
? 2 ? 2x-1 ? ? =log2 x =log2?1-2x+1?. 2 +1 ? ?

∵1≤x≤2,∴3≤2x+1≤5. 2 2 2 1 2 3 ∴ ≤ x ≤ , ≤1- x ≤ . 5 2 +1 3 3 2 +1 5

? 2 ? 1 3 ? ? ∴log2 ≤log2?1-2x+1?≤log2 , 3 5 ? ?

1 3 即 log2 ≤m≤log2 . 3 5 m
? 1 3? 的取值范围是?log23,log25?. ? ?

法二:log2(2x-1)=m+log2(2x+1). ∴log2(2x-1)=log2[2m· x+1)]. (2 ∴2x-1=2m· x+1). (2 2m+1 ∴2x(1-2m)=2m+1,2x= , 1-2m



?2m+1? ? x=log2? ?1-2m ?. ? ?

?2m+1? ? ∵1≤x≤2,∴1≤log2? m ?≤2. ?1-2 ? ?

2m+1 1 3 m ∴2≤ ≤4,解得 ≤2 ≤ , 3 5 1-2m 1 3 即 log2 ≤m≤log2 . 3 5 m
? 1 3? 的取值范围是?log23,log25?. ? ?



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