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高中数学 (4.2.3 直线与圆的方程的应用)示范教案 新人教A版必修2


张喜林制

4.2.3

直线与圆的方程的应用

整体设计 教学分析 直线与圆的方程在生产、 生活实践以及数学中有着广泛的应用.本小节设置了一些例题, 分别说明直线与圆的方程在实际生活中的应用,以及用坐标法研究几何问题的基本思想及其 解题过程. 三维目标 (1)理解直线与圆的位置关系的几何性质; (2)利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系; 用坐标法解决几何问题的步骤: 第一步: 建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素 ,将平面几何问题转化为 代数问题;第二步:通过代数运算,解决代数问题;第三步:将代数运算结果“翻译”成几 何结论. (3)会用“数形结合”的数学思想解决问题.让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆的方 程的应用,培养学生分析问题与解决问题的能力. 重点难点 教学重点:求圆的应用性问题. 教学难点:直线与圆的方程的应用. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.如图 1,某城市中的高空观览车的高度是 100 m,

图1 在离观览车约 150 m 处有一建筑物,某人在离建筑物 100 m 的地方刚好可以看到观览车, 你根据上述数据,如何求出该建筑物的高度?要解决这个问题 ,我们继续研究直线与圆的方 程的应用,教师板书课题:直线与圆的方程的应用. 思路 2.同学们,前面我们学习了圆的方程、直线与圆的位置关系、圆和圆的位置关系,那么 如何利用这些关系来解决一些问题,怎样解决?带着这些问题我们学习直线与圆的方程的应 用.教师板书课题:直线与圆的方程的应用. 推进新课 新知探究 提出问题 ①你能说出直线与圆的位置关系吗? ②解决直线与圆的位置关系,你将采用什么方法? ③阅读并思考教科书上的例 4,你将选择什么方法解决例 4 的问题? ④你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗? ⑤你能利用“坐标法”解决例 5 吗?
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活动:学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教 师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,发散思维.①学生回顾学习的直线 与圆的位置关系的种类;②解决直线与圆的位置关系,可以采取两种方法;③首先考虑问题 的实际意义,如果本题出在初中,我们没有考虑的余地,只有几何法,在这里当然可以考虑用 坐标法,两种方法比较可知哪个简单;④回顾圆的定义可知确定一个圆的方程的条件;⑤利 用“坐标法”解决问题的关键是建立适当的坐标系,再利用代数与几何元素的相互转化得到 结论. 讨论结果:①直线与圆的位置关系有三类:相交、相切、相离. ②解决直线与圆的位置关系,将采用代数和几何两种方法,多数情况下采用圆心到直线的距 离与半径的关系来解决. ③阅读并思考教科书上的例 4,先用代数方法及坐标法,再用几何法,作一比较. ④你能分析一下确定一个圆的方程的要点,圆心坐标和半径,有时关于 D、 E、 F 的三个独立的 条件也可. ⑤建立适当的坐标系,具体解法我们在例题中展开. 应用示例 思路 1 例 1 讲解课本 4.2 节例 4,解法一见课本.

图2 解法二:如图 2,过 P2 作 P2H⊥OP.由已知,|OP|=4,|OA|=10. 2 2 2 2 2 2 在 Rt△AOC 中,有|CA| =|CO| +|OA| 设拱圆所在的圆的半径为 r,则有 r =(r-4) +10 . 解得 r=14.5. 2 2 2 在 Rt△CP2H 中,有|CP2| =|CH| +|P2H| . 2 2 2 2 因为|P2H|=|OA2|=2,于是有|CH| =r -|OA2| =14.5 -4=206.25. 又|OC|=14.5-4=10.5,于是有|OH|=|CH|-|CO|= 206.25 -10.5≈14.36-10.5=3.86. 所以支柱 A2P2 的长度约为 3.86 cm. 点评:通过课本解法我们总结利用坐标法解决几何问题的步骤是:第一步:建立适当的平面 直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素 ,将平面几何问题转化为代数问题;第二 步:通过代数运算,解决代数问题;第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论. 把两种解法比较可以看出坐标法通俗易懂,几何法较难想,繁琐,因此解题时要有所选择. 变式训练 已知圆内接四边形的对角线互相垂直,求证:圆心到一边的距离等于这条边所对边长的 一半.

2/8

图3 解:如图 3,以四边形 ABCD 互相垂直的对角线 CA、 DB 所在直线分别为 x 轴、 y 轴,建立适当的 平面直角坐标系,设 A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d). 过四边形 ABCD 的外接圆的圆心 O1 分别作 AC、BD、AD 的垂线,垂足分别为 M、N、E, 则 M 、 N 、 E 分 别 为 线 段 AC 、 BD 、 AD 的 中 点 , 由 线 段 的 中 点 坐 标 公 式 , 得

x O =xm=
1

a?c b?d a d , y O =yn= ,xE= ,yE= . 1 2 2 2 2

所以|O1E|= (

a c a 2 b d d 2 1 2 ? ? ) ?( ? ? ) ? b ? c2 . 2 2 2 2 2 2 2
1 |BC|. 2

又|BC|= b 2 ? c 2 ,所以|O1E|=

点评:用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素、点、直线、圆.将几 何问题转化为代数问题,然后通过代数运算解决代数问题,最后解释代数运算结果的几何意 义,得到几何问题的结论. 例 2 有一种大型商品,A、B 两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后回 运的运费是:每单位距离 A 地的运费是 B 地运费的 3 倍,已知 A、B 两地相距 10 km,居民选 择 A 或 B 地购买这种商品的标准是: 包括运费和价格的总费用较低.求 A、 B 两地的售货区域 的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点. 活动: 学生先审题,然后思考或讨论,学生有困难教师可以提示引导,建立适当的坐标系,这里 以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中点为原点建立直角坐标系较简单,假设一点距 A 地近,且 费用低,列方程或不等式. 解:以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中点为原点建立直角坐标系,则 A(-5,0),B(5,0).设某 地 P 的坐标为(x,y),且 P 地居民选择 A 地购买商品的费用较低,并设 A 地的运费为 3a 元/km, 则 B 地运费为 a 元/km.由于 P 地居民购买商品的总费用满足条件:价格+A 地运费≤价格+B 地运费,
2 2 2 2 即 3a ( x ? 5) ? y ≤a ( x ? 5) ? y ,整理得(x+

25 2 2 15 2 ) +y ≤( ). 4 4

所以以点 C(-

25 15 ,0)为圆心, 为半径的圆就是两地居民购货的分界线.圆内的居民从 A 地 4 4

购货费用较低,圆外的居民从 B 地购货费用较低,圆上的居民从 A、 B 两地购货的总费用相等, 因此可以随意从 A、B 两地之一购货. 点评:在学习中要注意联系实际,重视数学在生产、生活和相关学科中的应用,解决有关实际 问题时,关键要明确题意,掌握建立数学模型的基本方法. 思路 2 2 2 例 1 求通过直线 2x-y+3=0 与圆 x +y +2x-4y+1=0 的交点,且面积最小的圆的方程. 活动:学生思考或交流,教师提示引导,求圆的方程无非有两种方法:代数法和几何法. 解法一:利用过两曲线交点的曲线系, 2 2 设圆的方程为 x +y +2x-4y+1+λ (2x-y+3)=0,

? 2 ? 2 2 ) =(1+λ ) +(2+ ) -3λ -1, 2 2 5 5 2 19 2 2 2 ∵r = λ +λ +4= (λ + ) + , 4 4 5 5
配方得标准式(x+1+λ ) +(y-22

3/8

∴当 λ =-

2 19 时,半径 r= 最小. 5 5
2 2

∴所求面积最小的圆的方程为 5x +5y +6x-18y-1=0. 解法二:利用平面几何知识, 以直线与圆的交点 A(x1,y1),B(x2,y2)连线为直径的圆符合要求. 由?

?2 x ? y ? 3 ? 0, ? x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0,
2 2

消去 y,得 5x +6x-2=0.

2

∴判别式 Δ >0,AB 中点横坐标 x0=

x1 ? x 2 3 9 =- ,纵坐标 y0=2x0+3= , 5 5 2

即圆心 O′(-

3 9 , ). 5 5

又半径 r=

1 19 |x1-x2|? 1 ? 2 2 = , 2 5

∴所求面积最小的圆的方程是(x+

3 2 9 2 19 ) +(y- ) = . 5 5 5

点评:要熟练地进行圆的一般式与标准式之间的互化,这里配方法十分重要,方法二用到求弦 长 的 公 式 |AB|=|x1-x2|?

1? k 2 ; 对 于 圆 的 弦 长 , 还 可 以 利 用 勾 股 定 理 求 得 , 即

|AB|= r 2 ? d 2 ,其中 r 为圆半径,d 为圆心到弦的距离. 变式训练 设圆满足①截 y 轴所得弦长为 2,②被 x 轴分成两段弧,弧长之比为 3∶1,在满足条件 ①②的所有圆中,求圆心到直线 l:x-2y=0 的距离最小的圆的方程.

图4 解:关键确定圆心坐标和半径.如图 4. 设圆心 A(a,b),则半径 r= 2 |b|. 由截 y 轴的弦长为 2,知 a +1=r =2b , 又圆心 A 到 l 的距离 d=
2 2 2 2 2 2 2 2

1 5

|a-2b|,
2 2 2 2

∴5d =a +4b -4ab≥a +4b -2(a +b )=2b -a =1,当且仅当 a=b 时等号成立.

?a ? 1, ?a ? ?1, ?a ? b, ? ? ? 2 2 这里由 ?a ? 1 ? r , 解得 ?b ? 1, 或?b ? ?1, ?2b 2 ? r 2 , ? ? ? ?r ? 2 ? r ? 2 .
4/8

∴圆的方程为(x-1) +(y-1) =2 或(x+1) +(y+1) =2. 例2 已知 x,y 是实数,且 x +y -4x-6y+12=0,求(1)
2 2

2

2

2

2

y 2 2 的最值;(2)x +y 的最值;(3)x+y 的最 x

值;(4)x-y 的最值. 活动:学生思考或交流,教师引导,数形结合,将代数式或方程赋予几何意义. 2 2 解:(x-2) +(y-3) =1 表示以点 C(2,3)为圆心,1 为半径的圆. (1)

y 表示圆 C 上的点 P(x,y)与坐标原点 O(0,0)连线的斜率 k, x
2 3

故当 y=kx 为圆 C 的切线时,k 得最值. ∵

| 2k ? 3 | 1? k 2

=1,∴k=2±

3.
2 3



2 y 的最大值为 2+ 3 x
2 2

3 ,最小值为 2-

3.

(2)设 x +y 表示圆 C 上的点 P(x,y)与坐标原点 O(0,0)连结的线段长的平方,故由平面几何知 2 2 2 识,知当 P 为直线 OC 与圆 C 的两交点 P1、P2 时,OP1 与 OP2 分别为 OP 的最大值、最小值. ∴x +y 的最大值为( 22 ? 32 +1) =14+2 13 ,
2 2 2

最小值为( 22 ? 32 -1) =14-2 13 .
2

(3)令 x+y=m, 当直线 l:x+y=m 与圆 C 相切时,l 在 y 轴上截距 m 取得最值. ∵

| 2?3? m| 2

=1,∴m=5± 2 .

∴x+y 的最大值为 5+ 2 ,最小值为 5- 2 . (4)令 x-y=n, 当直线 l′:x-y=n 与圆 C 相切时,l′在 y 轴上截距的相反数 n 取得最值. ∵

| 2?3?n| 2

=1,∴n=-1± 2 .

∴x-y 的最大值为-1+ 2 ,最小值为-1- 2 . 点评:从“数”中认识“形”,从“形”中认识“数”,数形结合相互转化是数学思维的基本 方法之一.“数学是一个有机的统一体,它的生命力的一个必要条件是所有的各个部分不可 分离地结合.”(希尔伯特)数形结合的思维能力不仅是中学生的数学能力、数学素养的主要 标志之一,而且也是学习高等数学和现代数学的基本能力 .本题是利用直线和圆的知识求最 值的典型题目. 2 2 例 3 已知圆 O 的方程为 x +y =9,求过点 A(1,2)所作的弦的中点的轨迹. 活动:学生回想求轨迹方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,本题可利用平面几 何的知识. 解法一:参数法(常规方法)

5/8

设过 A 的弦所在的直线方程为 y-2=k(x-1)(k 存在时),P(x,y),则 ? (1+k )x +2k(2-k)x+k -4k-5=0. ∴x1+x2=
2 2 2

? x 2 ? y 2 ? 9, 消 y,得 ? y ? kx ? (2 ? k ),

2 k ( k ? 2) . k 2 ?1

k (k ? 2) ? x? 2 , ? ? k ?1 利用中点坐标公式及中点在直线上,得 ? (k 为参数). ? k ? 2 ?y ? ? k 2 ?1 ?
∴消去 k 得 P 点的轨迹方程为 x +y -x-2y=0,当 k 不存在时,中点 P(1,0)的坐标也适合方程. ∴P 的轨迹是以点(
2 2

1 5 ,1)为圆心, 为半径的圆. 2 2

解法二:代点法(涉及中点问题可考虑此法) 设过点 A 的弦 MN,M(x1,y1),N(x2,y2). ∵M、N 在圆 O 上,∴ ?
2 2 ? y1 ? y 2 ? x1 ? y1 ? 9, .∴相减得 (x ?(y1+y2)=0(x1≠x2). 1+x2)+ 2 2 x ? x ? x ? y ? 9 . 1 2 2 ? 2

设 P(x,y),则 x=

x1 ? x 2 y ? y2 ,y= 1 . 2 2

∴M、N、P、A 四点共线,

y1 ? y 2 y ? 2 = (x≠1). x1 ? x2 x ? 1

∴2x+

y?2 ?2y=0. x ?1
2 2

∴中点 P 的轨迹方程是 x +y -x-2y=0(x=1 时亦正确). ∴点 P 的轨迹是以点(

1 5 ,1)为圆心, 为半径的圆. 2 2

解法三:数形结合(利用平面几何知识) 由垂径定理知 OP⊥PA,故 P 点的轨迹是以 AO 为直径的圆.(下略) 点评:本题涉及求轨迹方程的三种间接方法.思路一,代表了解析几何的基本思路和基本方法, 即?

? f ( x, y) ? 0, 2 消 y(或 x)得关于 x(或 y)的一元二次方程 Ax +Bx+C=0,再利用求根公式、判 ? g ( x, y) ? 0,

别式、韦达定理等得解.思路二,又叫平方差法,要求弦的中点的轨迹方程时,用此法比较简 便. 基本思路是利用弦的两个端点 M(x1,y1)、 N(x2,y2)在已知曲线上,将点的坐标代入已知方程然 后相减,利用平方差公式可得 x1+x2、y1+y2、x1-x2、y1-y2 等.再由弦 MN 的中点 P(x,y)的坐标 满足 x=

x1 ? x 2 y ? y2 y ? y2 ,y= 1 ,以及直线 MN 的斜率 k= 1 (x1≠x2)等,设法消去 x1、x2、 2 2 x1 ? x2
6/8

y1、y2,即可得弦 MN 的中点 P 的轨迹方程.用此法对斜率不存在的情况,要单独讨论.思路三, 数形结合,利用平面几何知识等,有时能使求解过程变得非常简洁. 学好解析几何,要掌握特点,注意四个结合: ①数形结合:形不离数,数不离形,依形判断,就数论形; ②动静结合:动中有静,静中有动,几何条件——曲线方程——图形性质; ③特殊与一般结合:一般性寓于特殊性之中,特殊化与一般化是重要的数学思维方法; ④理论与实际结合:学以致用,创造开拓. 知能训练 课本本节练习 1、2、3、4. 拓展提升 某种体育比赛的规则是:进攻队员与防守队员均在安全线 l 的垂线 AC 上(C 为垂足),且 距 C 分别为 2a 和 a(a>0)的点 A 和 B,进攻队员沿直线 AD 向安全线跑动,防守队员沿直线方 向向前拦截,设 AD 和 BM 交于 M,若在 M 点,防守队员比进攻队员先到或同时到,则进攻队员失 败,已知进攻队员的速度是防守队员速度的两倍,且他们双方速度不变,问进攻队员的路线 AD 应为什么方向才能取胜?

图5 解:如图 5,以 l 为 x 轴,C 为原点建立直角坐标系,设防守队员速度为 v,则进攻队员速度为 2v, 设点 M 坐标为(x,y),进攻队员与防守队员跑到点 M 所需时间分别为 t1=
2 2 2 2 若 t1<t2,则|AM|<2|BM|,即 x ? ( y ? 2a ) ? 2 x ? ( y ? a ) .

| AM | | BM | ,t2= . 2v v

整理,得 x +(y-

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 a) >( a) ,这说明点 M 应在圆 E:x +(y- a) =( a) 以外,进攻队员方能 3 3 3 3

取胜.设 AN 为圆 E 的切线,N 为切点,在 Rt△AEN 中,容易求出∠EAN=30°,所以进攻队员的路 线 AD 与 AC 所成角大于 30°即可. 课堂小结 1.用坐标法解决几何问题的步骤:第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示 问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题; 第二步: 通过代数运算,解决代数问题; 第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论. 2.对于直线和圆,熟记各种定义、基本公式、法则固然重要,但要做到迅速、准确地解题,还 必须掌握一些方法和技巧.常用的有:(1)利用可再化简、对称、直交、平行等特点适当地选 择坐标系;(2)善于根据图形的已知条件和论证的目标,恰当地使用曲线的方程;(3)掌握直 线和圆的基本定义、基本概念、基本性质,有效运用它们来解题;(4)注意“平几”知识在简 洁、直观表达问题中的作用;(5)借助数形结合进行等价转化,减少思维量、运算量;(6)灵 活使用曲线系方程,方便快捷地解题; (7)根据背景的特点,巧用字母的替换法则; (8)充分运 用韦达定理进行转化与化归; (9)留心引参消参、 设而不求等在优化解题思路方面上的作用. 3.直线和圆在现实生活中有着十分广泛的应用,主要包括两大块: 一是直线与圆的直接应用, 它涉及到质量、重心、气象预报、购物选址、光的折射、直线型经验公式的选用等问题,这
7/8

部分涉及的知识内容比较简单,要熟练掌握直线和圆的方程形式;可以使我们更好地了解近 代数学的发展,从而有利于学生应用数学意识的培养. 作业 习题 4.2 B 组 2、3、5. 设计感想 本节课是在教师的引导下,对已学知识进行归纳、总结,以形成更系统、更完整的体系; 对已学知识进一步加深理解,强化记忆,是一个再认识,再学习的过程,对已掌握的技能、规 律、方法进行深化和进一步熟悉,提高学生分析、理解问题的能力. 例题设置目的在于“以点带面,举一反三”.能抓住问题的本质举一反三; 思路 1 通过新旧知 识联系,加强横向沟通,考查学生是否具有多角度思考问题、 利用不同的方法解决问题的能力, 重在应用.思路 2 注重在课堂上进行解题方法的讨论,有助于活跃学生思维,促进发散思维的 培养,提高思维灵活性,抓住数形结合的数学思想,总结解题规律,充分体现解析几何的研究 方法.

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