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导数后期补习1


导数后期补习(1) 一、导数的基本问题 1、已知函数 f ( x) ?

x ?1 ? ln( x ? 1) ,其中实数 a ? ?1 x?a

(Ⅰ) 若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ) 若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,试讨论 f ( x ) 的单调性. 2、已知函数 f ( x) ? ( x3 ? 3x2 ? ax ? b)e? x (I) 如 a ? b ? ?3 ,求 f ( x ) 的单调区间; (II) 若 f ( x ) 在 (??, ? ), (2, ? ) 单调增加,在 (? , 2), ( ? , ??) 单调减少,证明 ? ? ? <6. 3、已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 , a ? R . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)设函数 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 内是减函数,求 a 的取值范围. ? 4、设 a 为实数,函数 f ? x ? ? e ? 2x ? 2a, x ?R 。
x

? 2 ? 3

1? 3?

(Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间与极值; (Ⅱ)求证:当 a ? ln 2 ? 1且 x ? 0 时, e ? x ? 2ax ? 1。
x 2

一、与单调性最值相关的含参问题 1、已知函数 f ( x) ? x ? 2、已知函数 f(x)=

2 ? a(2 ? ln x), (a ? 0) ,讨论 f ( x) 的单调性. x

1 2 x -ax+(a-1) ln x , a ? 1 。 2

(1)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (2)证明:若 a ? 5 ,则对任意 x 1 ,x 2 ? (0, ??) ,x 1 ? x 2 ,有 3、已知函数 f ( x) ? ( x ? ax ? 2a ? 3a)e ( x ? R), 其中 a ? R
2 2 x

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 。 x1 ? x2

(1)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线的斜率;

2 时,求函数 f ( x ) 的单调区间与极值。 3 1 3 2 4、已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? x ? 3 ,其中 a ? 0 3
(2)当 a ? (1) 当 a, b 满足什么条件时, f (x) 取得极值? (2) 已知 a ? 0 ,且 f (x) 在区间 (0,1] 上单调递增,试用 a 表示出 b 的取值范围. 5、已知 a 是实数,函数 f ( x) ? (Ⅰ)求函数 ?(x) 的单调区间; (Ⅱ)设 g (a ) 为 ?(x) 在区间 ?0,2? 上的最小值。 (i)写出 g (a ) 的表达式; (ii)求 a 的取值范围,使得 ? 6 ? g (a) ? ?2 。

x ( x ? a) 。

1、已知函数 f ( x) ? (a ? 1) ln x ? ax2 ? 1 (I)讨论函数 f (x) 的单调性; (II)设 a ? ?1 .如果对任意 x1 , x2 ? (0,??) , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 | x1 ? x2 | ,求 a 的取 值范围。 2、设函数 f ( x) ? xekx (k ? 0) (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若函数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 内单调递增,求 k 的取值范围. 3、已知函数 f ( x) ? ln(ax ? 1) ?

1? x , x ? 0 ,其中 a ? 0 1? x
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? ? ? 若 f ( x) 在 x=1 处取得极值,求 a 的值; ? ?? ? 求 f ( x) 的单调区间;
(Ⅲ)若 f ( x ) 的最小值为 1,求 a 的取值范围。



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