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辽宁省营口市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 (Word版含解析)



辽宁省营口市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 60,每小题给出的四个选项中只有一个符合题意) 2 1. (5 分)已知集合 P={x|x ≤1},M={a}.若 P∪M=P,则 a 的取值范围是() A.(﹣∞,﹣1] B. D. (﹣∞,﹣ 1]∪ B. C.∪∪ D. 12. (5 分)三棱锥 P﹣ABC 中,D、E

分别为 PB、PC 的中点,记三棱锥 D﹣ABE 的体积 为 V1,P﹣ABC 的体积为 V2,则 V1:V2=() A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:8

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)直线 x﹣2y+b=0 与两坐标轴围成的三角形的面积大于 1,则 b 的取值范围是. 14. (5 分)已知点 在幂函数 y=f(x)的图象上,点 在幂函数

y=g(x)的图象上,若 f(x)=g(x) ,则 x=. 15. (5 分)已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB=6,BC=2 则棱锥 O﹣ABCD 的体积为. ,

16. (5 分)对于实数 a 和 b,定义运算“?”:a?b=

,设 f(x)=(3x﹣1)

?(x﹣1) .且关于 x 的方程 f(x)=m 恰有三个不相等的实数根 x1,x2,x3,则 x1+x2+x3 的取值范围是.

三、解答题(共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 2 17. (10 分)设函数 f(x)=x +ax+b 的值域为 A,关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为 B. (1)若 a=4,b=﹣2.c=3,求集合 A 与 B; (2)若 A=上是减函数,求实数 λ 的取值范围; (2)对任意 x∈,g(x)≤2 恒成立,求实数 λ 的取值范围.

辽宁省营口市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 60,每小题给出的四个选项中只有一个符合题意)
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1. (5 分)已知集合 P={x|x ≤1},M={a}.若 P∪M=P,则 a 的取值范围是() A. (﹣∞,﹣1] B. D. (﹣∞,﹣1]∪ B. C. ,解得 f(﹣1)=﹣3 所以 g(﹣1)=f(﹣1)﹣1=﹣3﹣1=﹣4, 故选:A. 点评: 本题考查函数奇偶性的性质, 利用函数奇偶性求值, 解题的关键是根据函数的奇偶 性建立所要求函数值的方程,基本题型. 8. (5 分)将一张坐标纸对折,使点(0,2)与点(﹣2,0)重合,点(7,3)与点(m,n) 重合,则 m﹣n=() A.﹣8 B. 8 C.﹣4 D.4 考点: 进行简单的合情推理. 专题: 计算题;推理和证明. 分析: 根据点的坐标关系,知已知的两点关于 y 轴对称,则折痕即为 y=﹣x 轴,进一步 根据关于 y=﹣x 轴对称,则横坐标,纵坐标交换位置,且改变符号,可得答案. 解答: 解:∵将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与(﹣2,0)重合, ∴折痕是 y=﹣x. ∴点(7,3)与点(﹣3,﹣7)重合, 故 m=﹣3,n=﹣7. 故 m﹣n=4 故选:D. 点评: 此题考查了两点对称的坐标规律:关于直线 y=﹣x 对称的点,横坐标与纵坐标交 换位置,且改变符号. 9. (5 分)已知函数 f(x)=丨 x﹣2 丨+1,g(x)=kx.若方程 f(x)=g(x)有两个不相 等的实根,则实数 k 的取值范围是() A.(0, ) B.( ,1) C.(1,2) D.(2,+∞)

2

考点: 函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 画出函数 f(x) 、g(x)的图象,由题意可得函数 f(x)的图象(蓝线)和函数 g (x)的图象(红线)有两个交点,数形结合求得 k 的范围. 解答: 解:由题意可得函数 f(x)的图象(蓝线) 和函数 g(x)的图象(红线)有两个交点, 如图所示:KOA= , 数形结合可得 故选:B. <k<1,

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点评: 本题主要考查函数的零点与方程的根的关系,体现了转化、数形结合的数学思想, 属于基础题. 10. (5 分)某三棱锥的三视图如图所示,该三梭锥的表面积是()

A.60+12

B.56+12

C.30+6

D.28+6

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 通过三视图复原的几何体的形状,利用三视图的数据求出几何体的表面积即可. 解答: 解:三视图复原的几何体是底面为直角边长为 4 和 5 的三角形, 一个侧面垂直底面,且此侧面为等腰三角形, 三棱锥的高为 4,底边长为 5,如图所示. 所以 S 底= ×4×5=10,S 后= ×5×4=10,S 右= ×4×5=10,S 左 = ×2 × =6 . .

几何体的表面积为:S=S 底+S 后+S 右+S 左=30+6 故选 C.

点评: 本题考查三视图与几何体的关系, 注意表面积的求法, 考查空间想象能力计算能力.

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11. (5 分)已知线段 PQ 的两个端点的坐标分别为 P(﹣1,6) 、Q(2,2) ,若直线 mx+y ﹣m=0 与线段 PQ 有交点,则实数 m 的取值范围是() A.(﹣∞,﹣2]∪∪ D. 考点: 直线的斜率. 专题: 直线与圆. 分析: 根据斜率公式,结合数形结合即可得到结论. 解答: 解:直线 mx+y﹣m=0 等价为 y=﹣m(x﹣1)则直线过定点 A(1,0) , 作出对应的图象如图: 则由图象可知直线的斜率 k=﹣m, 满足 k≥kAQ 或 k≤kAP, 即﹣m≥ 或﹣m≤ ,

则 m≤﹣2 或 m≥3, 故选:A

点评: 本题主要考查直线斜率的求解以及斜率公式的应用, 利用数形结合是解决本题的关 键. 12. (5 分)三棱锥 P﹣ABC 中,D、E 分别为 PB、PC 的中点,记三棱锥 D﹣ABE 的体积 为 V1,P﹣ABC 的体积为 V2,则 V1:V2=() A.1:2 B.1:3 C.1:4 考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由题意画出图形,把两个三棱锥的体积转化,由相似三角形的关系得到 S△ BDE: S△ PBC=1:4,从而得到答案. 解答: 解:如图, ∵D,E 为 PB,PC 的中点,∴ 则 ∵VP﹣ABC=VA﹣PBC=V2, VD﹣ABE=VA﹣BDE=V1,
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D.1:8

, ,

=

且三棱锥 A﹣PBC 与三棱锥 A﹣BDE 高相等, ∴V1:V2=S△ BDE:S△ PBC=1:4. 故选:C.

点评: 本题考查了棱锥的体积,考查了相似三角形面积比和相似比的关系,属中档题. 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)直线 x﹣2y+b=0 与两坐标轴围成的三角形的面积大于 1,则 b 的取值范围是(﹣ ∞,﹣2)∪(2,+∞) . 考点: 直线的截距式方程. 专题: 直线与圆. 分析: 由直线 x﹣2y+b=0 化为 =1, 可得直线在坐标轴上的截距分别为: b, ﹣ . 利



>1,解出即可. =1,

解答: 解:由直线 x﹣2y+b=0 化为

∴直线在坐标轴上的截距分别为:b,﹣ . ∴ >1,

∴|b|>2. 解得 b<﹣2 或 b>2. ∴b 的取值范围是(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) . 故答案为: (﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) . 点评: 本题考查了直线的截距式、三角形的面积计算公式、含绝对值不等式的解法,属于 基础题.

14. (5 分)已知点

在幂函数 y=f(x)的图象上,点

在幂函数

y=g(x)的图象上,若 f(x)=g(x) ,则 x=±1. 考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域.
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专题: 计算题;待定系数法. 分析: 由题意,可设 f(x)=x ,g(x)=x ,再由题设条件点 (x)的图象上,点
α β

在幂函数 y=f

在幂函数 y=g(x)的图象上,得到方程解出 α,β 的值,

即可得到两个函数的解析式,再由 f(x)=g(x) ,解方程求了 x 的值 解答: 解:由题意,可设 f(x)=x ,g(x)=x ∵点 象上 ∴ =2, =
α β

在幂函数 y=f(x)的图象上,点

在幂函数 y=g(x)的图

解得 β=﹣2,α=2 ∴f(x)=x ,g(x)=x ,又 f(x)=g(x) , 2 ﹣2 ∴x =x ,解得 x=±1 故答案为±1 点评: 本题考点是幂函数的应用,考查了幂函数的定义,求幂函数解析式的方法,求两个 函数交点坐标的方法, 解题的关键是理解幂函数的定义, 用待定系数法求出幂函数的解析式, 待定系数法是知道函数性质求函数解析式的常用方法, 其特点是设出函数解析式, 建立方程 求出待定的系数得到函数的解析式,本题考查了待定系数法,方程的思想,属于基础概念考 查题 15. (5 分)已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB=6,BC=2 则棱锥 O﹣ABCD 的体积为 8 . ,
2
﹣2

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由题意求出矩形的对角线的长, 结合球的半径, 球心到矩形的距离, 满足勾股定理, 求出棱锥的高,即可求出棱锥的体积. 解答: 解:矩形的对角线的长为: =2, 所以棱锥 O﹣ABCD 的体积为: =8 . ,所以球心到矩形的距离为:

故答案为:8 点评: 本题是基础题,考查球内几何体的体积的计算,考查计算能力,空间想象能力,常 考题型.

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16. (5 分)对于实数 a 和 b,定义运算“?”:a?b=

,设 f(x)=(3x﹣1)

?(x﹣1) .且关于 x 的方程 f(x)=m 恰有三个不相等的实数根 x1,x2,x3,则 x1+x2+x3 的取值范围是( ,1) .

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析: 由题意首先化简函数 f(x)= 解. 解答: 解:由题意, 当 x≤0 时,3x﹣1≤x﹣1; 则 f(x)=(3x﹣1)?(x﹣1) =(3x﹣1) (3x﹣1﹣x+1) =2x(3x﹣1) ; 当 x>0 时,3x﹣1>x﹣1; 则 f(x)=(3x﹣1)?(x﹣1) =(x﹣1) (﹣3x+1+x﹣1) =﹣2x(x﹣1) ; 则 f(x)= ; ;从而作函数的图象辅助求

作函数 f(x)=

的图象如下,

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不妨设 x1<x2<x3,易知 x2+x3=1; 而由 0<2x1(3x1﹣1)< 及 x1<0 解得, ﹣ <x1<0; 故 <x1+x2+x3<1; 故答案为: ( ,1) . 点评: 本题考查了学生对新定义的接受能力及函数的化简,属于基础题. 三、解答题(共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (10 分)设函数 f(x)=x +ax+b 的值域为 A,关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为 B. (1)若 a=4,b=﹣2.c=3,求集合 A 与 B; (2)若 A= 则 PB∥平面 EAC; (2)由 PA⊥平面 PCD, 则 PA⊥CD, 底面 ABCD 为矩形, 则 CD⊥AD, 又 PA∩AD=A, 则有 CD⊥平面 PAD, 由 CD?平面 ABCD, 则有平面 PAD⊥平面 ABCD.
2

点评: 本题考查空间直线和平面的位置关系, 主要考查线面平行的判定定理和面面垂直的 判定定理,注意定理的条件的全面性是解题的关键. 20. (12 分)已知直线 l1:ax+2y+a+4=0,l2:x+(a+1)y+5=0,l1∥l2,线段 AB 的两个端 2 2 点分别在指向 l1 与 l2 上运动,设 AB 中点 C 的坐标为(m,n) .求 m +n 的最小值. 考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由 l1∥l2 列式求得 a 的值,得到两条直线方程,由题意,点 C 在平行于 l1,l2 且到 2 2 l1,l2 距离相等的直线上,即直线 x﹣y+2=0 上.然后把 m +n 的最小值转化为点 O 到直线 x﹣y+2=0 的距离得答案. 解答: 解:由 l1∥l2,可知 ,解得 a=﹣2.

∴两条直线方程分别为 l1:x﹣y﹣1=0,l2:x﹣y+5=0.
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由题意,点 C 在平行于 l1,l2 且到 l1,l2 距离相等的直线上,即直线 x﹣y+2=0 上. m +n =|CO| (O 为坐标原点) .|CO|的最小值为点 O 到直线 x﹣y+2=0 的距离 d= ∴ .
2 2 2



点评: 本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系, 考查了数学转化思想方法, 训练 了点到直线的距离公式的应用,是中档题.

21. (12 分)已知函数 f(x)=loga (1)求实数 a 与 m 的值; (2)用定义证明函数 f(x)的单调性; (3)解不等式 f( )+1<0.

(a>0,且 a≠1)为奇函数,且 f(1)=﹣1.

考点: 函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明;对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由奇函数可得 f(0)=0,可得 m 值,再由 f(1)=﹣1 可得 a 值; (2)任取 x1,x2∈(﹣2,2) ,且 x1<x2,由对数的运算和不等式的放缩法可得作差 f(x1) ﹣f(x2)>0,可得结论; (3)不等式可化为 f( )<f(1) ,由单调性可得 1< <2,易解得答案.

解答: 解: (1)∵f(x)为奇函数,∴f(0)=logam=0, 解得 m=1,∴f(x)=loga ,

又 f(1)=﹣1,∴loga =﹣1,解得 a=3; (2)易得函数 f(x)=log3 的定义域为(﹣2,2) ,

任取 x1,x2∈(﹣2,2) ,且 x1<x2, 则 f(x1)﹣f(x2)=log3 ﹣log3

=log3

>log3

=log31=0,

∴函数 f(x)在(﹣2,2)单调递减; (3)不等式 f( 可化为 f( )+1<0 可化为 f( )<﹣1,

)<f(1) ,

由(2)知函数 f(x)在(﹣2,2)单调递减, ∴1< <2,解得﹣1<x<0,

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∴不等式 f(

)+1<0 的解集为{x|﹣1<x<0}.

点评: 本题考查函数的奇偶性和单调性, 涉及定义法判函数的单调性和单调性的应用, 属 中档题. 22. (12 分)已知函数 f(x)=3 ,f(a+2)=18,g(x)=λf(ax)﹣f(2ax) . (1)若函数 g(x)在区间上是减函数,求实数 λ 的取值范围; (2)对任意 x∈,g(x)≤2 恒成立,求实数 λ 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题;函数单调性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)由条件 f(a+2)=18 建立关于 a 的等量关系,求出 a,将 a 代入得 g(x)=λ?2 x ﹣4 ,g(x)在区间上是单调递减函数,可利用函数单调性的定义建立恒等关系,分离出 λ, x2 x1 求出 2 +2 的最值即可; (2)运用参数分离,任意 x∈,g(x)≤2 恒成立即为即有 λ≤ 在 x∈恒成立.令
x x

t=

=2 +

x

(0≤x≤1) ,运用基本不等式求出最小值,注意检验等号成立的条件,只要令

λ 不大于最小值即可. a+2 a 解答: 解: (1)由已知得 3 =18?3 =2?a=log32, x x 此时 g(x)=λ?2 ﹣4 设 0≤x1<x2≤1,因为 g(x)在区间上是单调减函数, x2 x1 x2+ x1 所以 g(x1)﹣g(x2)=(2 ﹣2 ) (﹣λ+2 2 )≥0 成立, x2 x1 ∵2 ﹣2 >0 x2 x1 x2 x1 0 0 ∴λ≤2 +2 恒成立,由于 2 +2 ≥2 +2 =2, 所以实数 λ 的取值范围是 λ≤2; (2)任意 x∈,g(x)≤2 恒成立即为 x x λ?2 ﹣4 ≤2 在 x∈恒成立, 即有 λ≤ 在 x∈恒成立.

令 t=
x

=2 +

x

(0≤x≤1) ,

由于 2 ∈, 则2 +
x

≥2
x

=2



当且仅当 2 =

,即有 x= 时,取得最小值 2



即有 λ≤2 . 则实数 λ 的取值范围是(﹣∞,2

].
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点评: 本题考查函数的单调性的判断和运用, 考查函数恒成立问题转化为求函数的最值问 题,以及基本不等式的运用,属于中档题.

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