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数学知识在高中物理解题中的运用



中学 物理 
?

V o 1 . 3 1  N o . 1 1  

2 0 1 3年 6月 

物 理与数 学 ?  

数 学 知 识 在 高 中 物 理 解 题 中 的 运 用 
杨 国慧  
( 扬州市 邗江 区公道 中学
物理和数 学是联 系最密 切的两 门学科 . 物理 离不 开数 
学, 只有数学才能最明确 、 最 简洁地表 达物理 思想 , 学生的数  学知识在物理课 中能发挥很大的作用 , 在教学过程 中我们不  难发现 , 数学成绩好的学生 , 其物理成 绩一般都不错 , 反之亦  然, 把握物理和数学之间的联系 , 有助于物理学科 的学习. 因  此, 运用数学知识解决高中物理 问题 已成 为高 中物理教材 的  个重要趋势. 笔者就高 中物理 教学 中融人 的数 学知识 , 结  合物理教学实际作以浅述.   1   在物理教学中渗透数学概念 


江苏 扬州

2 2 5 o o o )  

都会说是 一个抛 物线 , 而对 于为什么平抛物 体的轨迹是抛 物  线却全然 不知. 其实我们 知道 , 在平抛 物体受到空气 阻力时 ,   它的轨迹其实并不完全是抛 物线. 实际上 , 在得到  :r o t 和y  
1  


÷g t   后, 只需要对上述两个式子稍加变形就可得到轨迹 
二 


2  

方 程Y=   , 其中  是常数 , 令其为 n , 即有 Y=似  . 由于学 
Z , V0   Z V0  

生在数学 中早 已学习了抛 物线的相关知识 , 这时就会很 容易 
理解相关概念.   2   在 物 理 教 学 中 渗透 数 学 方 法 

物理学 中的很多概念 和数学 知识 中的一些概 念有着 类  似的定义 , 在给新的 物理 名词定 义时 , 教师完 全 可以先从 数  学的角度去分析. 例如 : 从 事物理 教学 的教 师都有 这样 的发  现, 在数学 中我们把 既有大 小又有 方向的量 叫向量 , 遵循 三  角形法则. 而在物理教学 中我们定 义力既有 大小 又有方 向 ,  
力的合成 要遵循平行四边形法则. 长度 、 质量、 温度 、 时 间、 能  量等物理量 , 只有 大小 , 没 有方 向, 在 物理 学 中叫做 标量. 物  理量有许多是矢量 , 如力 F 、 位移 s 、 速度 、 加速 度 a 、 动量 P、   电场强度 E、 磁感应强度 B等等. 标量除上述外还有 , 如功  、   功率 P 、 能量 E ( 包括动能与势能 , 势 能又包括重力势能 、 弹性  势能 、 分子势能 、 电势能等 ) .  

数学和物理相辅相成 , 数学对物理 的发展有着不 可替代  的作用 , 数学思 想方法 对 物理 学 的学 习有 着重 要的指 导 作  用. 高中物理 中用到的数学 方法有 很多 , 在 物理 学习 中能够  合理地融人数学方法 去解 决 物理 问题 , 对 于开发学 生思维 ,   引导学生推 理具有事半功倍的效果. 例如用 比例计算 法解决  物理难题 : 一辆汽车在紧急刹 车时做 匀减速 直线运动直到停 
止, 共 用时间 5   s , 则它在刹车过程 中前 两秒 内位移与后三秒  内位移 之比为? 刹车问题可 以看做 是反 向的速 度为零 的匀加 
1  

速直线运动, 所以根据公式 s=÷ - 。  可知: 刹车的后三秒 
二 

再如 , 物理上研究平 抛物体 的运 动轨迹时 , 大多数 学生 
● 匀带电平板周 围的场为匀强电场” . 此类 问题主要考查学生 

是反向初速度为零的匀加 

说 明 该解 可 能 是 对 的 

对物理学方法的使用, 培养其综合分析问题和灵活应变的能力.  
3   练 习巩 固 

( 2 )( 2 0 0 9年北京卷 ) 如 图6 所示为一个 内、 外半径分别 

( I ) ( 2 0 0 8 年北京卷 ) 如图5所示. 质量为 M、 倾 角为 0 的 
滑 块 A放 于水 平 地 面上 . 把 质 量 为 m的 滑块 B放 在 A的斜 面  上. 忽 略一 切 摩 擦 , 有 人 求 得 B 相对 地 面 的 加 速 度 a =  

为R   和  的圆环状均匀带 电平面 , 其单位 面积带 电量为  取环面 中心 0为原点 , 以垂 直于环 面的轴线为 轴. 设轴上任 
意点 P到 0点 的距离为 , P点 电场强度 的大小为 E . 下面 给  出 E的 四个表达式( 式中 k为静 电力常量 ) , 其 中只有一个 是  合理的 , 根据你 的判 断, E的合理表达式应为 
A . E :2  ̄ r  (  

者  

式 中 g 为 重 力 加 速 度 ? 对 于 上 述 解 , 某 同 学 首 先  

分析了等号右侧量的单位 , 没 发现 问题. 他 进~ 步利用特 殊 

+ 酸 

一  

+畦 

)  

条件对该解做了如下四项分析 和判断 , 所得结 论都是 “ 解 可  能 是对 的” , 但是 , 其 中有一项 是错误 的. 请你指 出该项  A . 当 0=0 。 时, 该解 给出 口=0 , 这符合常识 , 说明该解 
可 能是 对 的 

R  2  ‘ 南

一 南

 

B . 当 0=9 0 。 时, 该解给出 a:g, 这符合 实验结论 , 说明 
该 解 可 能 是 对 的 

叫   c 志 + 志  
D ? E   2 订   ‘ 赢 √   + 砥   赢 √   + 砖  
( 3 )( 2 0 1 2 年温州三模卷 ) 如 图7 所示 , A B为倾角为 的  斜面. 将小球 ( 视为质点 ) 从 A点 以初 速度 ' V 0 ( 与斜 面成 角 )   抛 出, 恰好 落在斜面底端 的 B点. 若不计 空气阻力 , 则A B间 
的距 离 s 应 为 
^  

c . 当  ≥m时, 该解 给出口=g s i n 0 , 这符合预期 的结果 ,  
说 明该解可能是对的 

D . 当m - ≥ M时 , 该解给 出o=—  , 这符合预期 的结果 ,  

V o   S l n  ̄ c o s (   一0 )  
= ———————。  ———一   .   =

2  c o s   s i n ( O t 一0 )  
————— ——_■——一  

A  

g c o s ‘ 0  
, 、 

g c o s ‘ 0  

2   2 s l 玎   c o s ( 口一0 )  
= — — — —— — —— 彳 — — — 一  

n  

2  s i n   c o s ( 口一0 )  
 

乙.  

U   S   = — — — — —— — —   —— —一

g c o s   0  

g s i n ‘ 0  

图6  

7  

参 考 答 案  1 . D  2 . B  3 . C  
?

7l ?  

2 0 1 3年 6月 

V o 1 . 3 1  N o . 1 1  

中学 物 理 

速直线运 动的前三秒 

上 的 时 间 t = 詈=  = 1   s , s =  z   = —   1 × 1 0 × 1 6   =  
1 2 8 0   I l l , 在s 的基础上 , 还应该加上物体向上运动的距离 s=  
1   1  

s   ÷ ? a t   ÷? a? 3   ÷ ? a ,  
刹车的前两秒是反向初速度为零的匀加速直线运动的后两秒 

÷n f 2 = 一   t   = 一 5   m . 从而求出 的物体刚 脱离气球时气球  
的高度为 1 2 7 5   m .  
3 . 3   图 象思 想 

s = s 郴 一 s 卵 = 争。 一 号? 。 = s a ,  
所 以刹车前两秒位移和后三秒位移之 比为 
8   9 =1 6   7   9 .  

图象 能是直观地描述物理过程的一种重要数学思想 , 它 

不仅能够将复杂的物理规律形象生动 的表现 出来 , 还能够将 
再如运用二次 函数方法去解决物理难题 : 一汽车 以速度  匀速行驶 , 司机发现前方同轨道上相距 s 处有另一动 车沿  同方 向以速度  ( 对地 、 且F 。>  : )做匀速运动 , 司机立即拉 


某 些 特 定 的 物 理量 之 间 的关 系鲜 明 地 表 示 出来 , 图 象 法 也 一 

直是物理学中常用 的解题方法 , 图象 问题 也是每年高考必考  的一个知识点. 运 用物理图象处理物理 问题是考察一个学生  识图能力和作 图能力的综合体现. 它 通常以定性作图为基础  ( 有时也需要定量作 出图线 ) , 当某些物理问题分析难度太大  时, 用 图象法处理常有化繁为简、 化难为易的功效.   案例 2   如 图 1中 , 试 分 析 
质 点在 A对应 的 时 刻 , 则 其 速 度 
口 、 加 速 度 口的 大 小的 变化 情 况是 
怎样 的?  
一  

动 紧急刹车 , 要使两车不相撞 , o应满足什么条件7  


2  

解  由题 知 :   前 =V 2 £ ,   后 =口 I £ 一   , £=s , £ 取任意值.  
由   △  =  前 +£一  后,   △  =U 2 t +s一(  I £ 一   )= _ a   t "+ (   2 一   1) £ +   .  

此式要求 t 无论为何值 , 都应有 缸 ≥ 0 , 由二次 函数性 质可  知, 这样即要求 函数有 
△=(   2一口 1 )   一2 a s≤ 0 ,  
,。 .   。 ,、2  

解  一个做匀 速圆周运 动 

B \ 

即  

口 ≥  z _ l _ _. ,  
zs  

3   在 物 理 教 学 中渗 透 数 学 思 想 

的物 体 在 一 条 直 径 上 的 投 影 所  做 的运动 即为简谐 运动 : R是匀 速 圆周运 动的半径 , 也 是简  谐运动的振幅 ;   是匀 速圆周运 动 的角速 度, 也叫做 简谐运 

随着物理课程改革 的不断深 人 , 运用数学思想解决高 中  物 理 问题 已成 为 高 中 物理 教 材 的 一个 重 要 趋 势. 在 物 理 教 学  中渗透数学思想是新教材的一个新体 现 , 在实际教学过程 中  应该引起高度重视并加以扩展. 物理学 中常用到的数学思想 
主要有 :  
3 . 1   逆 向思 维 思 想 

动的圆频率 ,  =   m;   是 t=0时匀速 圆周运动 的物体  偏离该直径的角度( 逆时针为正方向) , 叫做简谐运动的初 相  位. 在t 时刻 , 简谐运 动的位移 


R e o s ( ∞ £ +西) ,  

简谐 运 动 的速 度 
=一 ̄ R s i n ( ∞ £ +  ) ,  

逆 向思 维 是 解 答 物理 问题 的 一 种科 学 思 维 方法 , 我 们 常  常发现 , 在物理学中由于某些 问题 的复杂性 , 如果 运用常规 

简谐 运 动 的加 速 度 
a =~ (   ) R c o s ( ∞ t +  ) ,   由 图 象可 以看 出 ,  

的思维方法将会十分繁琐 , 甚 至解答 不 出, 但如果 采用逆 向  思维 , 即把 运 动 过程 的 “ 末 态 ”当 成 “ 初态 ” , 反 向研 究 问 题 ,   不但可以将 一些物理情境 简化 , 而且一些复杂 的物理公式也  得 以简化 , 从而使问题易于解决 , 收到事半功倍的效果.  
3 . 2   对称 思 想 

① 当质点位于 C点时 , 位移 等 于该质点的振幅 R, 加速  度 a达到 最大 , 而 速 度   为零 ;   ② 当质点位于 B点时 , 速度 最大 , 而加速度 a和位移 
都 为 零.   ③ 当质点位 于A点时 , 速度  =一 ̄ R s i n (   +西 ) , w R是 

对称思想就是利用事物在变化时存在的某种不变性 , 自   然界和 自然科学 中, 普遍存在 着优美和谐 的对称现象. 在 物 

定值, 由于 s i n ( (  +咖) 不 断减小 , 所以 一 w R s i n ( ∞   +  ) 将不  断增大 , 所 以 不断变大 ; 而加速度 a=一(   ) R e o s ( ∞ £ +  ) ,  

理解题的过程中 , 运用对称 思想有时 一眼就能够看 出答 案 ,   从而大大简化解题步骤. 如果我们站在科学思维 的角度来思 
考问题 , 对称性最突出的功能就是能够对学生 的直觉思维 能  力给与启迪 和培养. 用对称法解题 的关键是需要具有敏锐 的 

(  ) R是 固 定 值 ,而 C O 8 (  £+   )不 断 变 大 ,因 此 一   ( ∞   ) R e o s (   +( b )不断减 小 , 因此加 速度 a是减小的.  
高考物理试题 的解答离不开数学 知识和方法 的应用 , 借  助物理知识渗透考查数学能力是高考命题 的永恒 主题. 几乎 
所 有 的 物 理试 题 的求 解 过 程 基 本 上 就 是 转 化 为 数 学 问 题 求  解的过程 , 所 以选择 准确 的数学思 想解决 物理 问题 , 不 仅能 

洞察力 , 能够一眼看出并抓住 事物在某… 方面的对称性 , 毫  无疑问 , 这些对称性 往往就是通往答案的最佳途径.   就好比匀加速运动和匀 减速运动 , 就可 以把匀减速看成  是反方向的匀加速 , 它们遵循的规律是一样的.  
案例 1   气球以 1 0   m/ s 的速 度 匀速 竖 直上 升 , 从 气球 上  掉 下一 个物 体 , 经1 7   s 到 达 地 面。 求物 体 刚 脱 离气球 时 气 球 
的 高度 .  

够简化问题 , 而且对学生 思维 的拓展具有积极的引导作 用.  
4   结语  

物理离不开数学 , 只有数学才 能最明确 、 最简 洁地 表达  物理思想 , 学生的数 学知识在 物理课 中能发挥 很大 的作 用 ,   把握物理和数学之间的联 系, 有助于 物理学科 的学 习. 总而 
言之 , 要想 牢牢掌握一定 的高 中物理 知识 , 需要学生具 有扎  实 的数学基础知识 , 再 加上 正确的思 维方法与解 题技巧 , 教  师要培养学生 良好的思考习惯和一丝 不苟的运算习惯 , 最 终 


当物体脱离气球 的时候 , 它会向上运动 , 有一个 向上 的  速度, 我们 假设竖直 向下为正方 向, 那 么它的速度 V 0=一1 0  
m / s 、 加速度 a=g =1 0   m / s   , 这也就说 明了, 运动对称性的 

思维. 在解题的时候 , 我们 只需在 l 7   s 的基础上 , 减去物体 向  
?

定能取得事半功倍的效果.  

72 ?  



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