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广东省珠海市2014届高三9月开学摸底考试数学理试题



珠海市 2013 年 9 月高三摸底考试 理科数学试题
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.已知集合 A ? {x x ? 1} , B ? {x x 2 ? 2 x ? 0} ,则 A ? B ? ( A. {x x ? 0} 2.复数 B. {x x ?

1} ) B. 1 ? i C. 2 ? i D. 2 ? i )
2

) D. {x 0 ? x ? 2}

C. {x 1 ? x ? 2}

2i ?( 1? i

A. 1 ? i

( 3.下列函数中,既是偶函数又在区间 0, ??) 上单调递增的函数为(
A. y ? x
?1

B. y ? log 2 x
0

C. y ?| x |

D. y ? ? x )

4.在 ?ABC 中, A ? 60 ”是“ cos A ? “ A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

1 ”的( 2

C

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
A D B

5.如图,在 ?ABC 中,点 D 是 BC 边上靠近 B 的三等分点,则 AD ? (



(第 5 题)

A.

2 1 AB ? AC 3 3

B.

1 2 AB ? AC 3 3

C.

2 1 AB ? AC 3 3

D.

1 2 AB ? AC 3 3
) D. ?17 )

6 .已知 x , 满足约束条件 ,则 z ? 2 x +4 y 的最小值为( y A . ?14 B. ?15 C. ?16

7.一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示(单位: cm )则该组合体的体积为( A. 72000 cm C. 56000 cm
3

B. 64000 cm

3

50
3

D. 44000 cm

3

10 主视图

40 侧视图

20

20 20 俯视图

(第 7 题)

8. 对于函数 y ? f ( x) ,如果存在区间 [m, n] ,同时满足下列条件:① f ( x) 在 [m, n] 内是
单调的;②当定义域是 [m, n] 时, f ( x) 的值域也是 [m, n] ,则称 [m, n] 是该函数的“和谐 区间”.若函数 f ( x) ? A. ( , )

a ?1 1 ? (a ? 0) 存在“和谐区间”,则 a 的取值范围是( a x
B. (0,1) C. (0, 2) D. (1,3)



1 5 2 2

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,考生做答 6 小题,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡 相应位置. 9.不等式 3 x +1 ? x ? 1 ? 0 的解集是 .K$s5u

10.在二项式 ( x ? ) 的展开式中,含 x 项的系数是 ?80 ,则实数 a 的值为
2 5

a x



11.设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,则 12.直线 y ? ?

S4 ? a4



1 1 x ? b 是函数 f ( x) ? 的切线,则实数 b ? 4 x 0 13.在 ?ABC 中, AB =2 3 , AC =2 , C =60 ,则 BC ?
14. (几何证明选讲选做题)

. .

C A o B P

如图, 圆 O 的直径 AB ? 6,P是AB延长线上的一点,过P作圆的切线,

切点为C, 若?CPA ? 300 ,则CP长为

.

15. (极坐标选做题) 极坐标系中, 曲线 ? ? ?4cos ? 上的点到直线 ? cos ? ? 3 sin ? ? 8 的距离的最大值是 .

?

?

(第 14 题)

三、解答题:本题共有 6 个小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? cos x ? sin x cos x .
2

(1) f ( x) 的最小正周期和最小值;(2) ? ? ( 求 若

? ?

3? 2? 6 , cos? 求 , ) 且 f (? + ) ? 8 4 4 2

的值.

17. (本小题满分 12 分)某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件,其中 有 A、B、C 三种软件投入使用,经一学年使用后,团队调查了这个专业大一四个班的使用 情况,从各班抽取的样本人数如下表:

班级 人数

一 3

二 2

三 3

四 4

(1)从这 12 人中随机抽取 2 人,求这 2 人恰好来自同一班级的概率; (2)从这 12 名学生中,指定甲、乙、丙三人为代表,已知他们下午自习时间每人选择一款 软件,其中选 A、B 两个软件学习的概率都是

1 ,且他们选择 A、B、C 任一款软件都是相互 6

独立的。设这三名学生中下午自习时间选软件 C 的人数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

K$s5u

18. (本小题满分 14 分)在边长为 4cm 的正方形 ABCD 中,E、F 分别为 BC、CD 的中点, M、N 分别为 AB、CF 的中点,现沿 AE、AF、EF 折叠,使 B、C、D 三点重合,重合后的点 记为 B ,构成一个三棱锥. (1)请判断 MN 与平面 AEF 的位置关系,并给出证明; (2)证明 AB ? 平面 BEF ; (3)求二面角 M ? EF ? B 的余弦值.
A D
M B N F E

M

F N
A

B

E

C

19. (本小题满分 14 分) 若正数项数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n , 首项 a1 ? 1 , P 点 在曲线 y ? ( x ? 1) 上.
2

?

S n , S n ?1

?

(1)求 a2 , a3 ; (2)求数列 ?a n ?的通项公式 an ; (3)设 bn ? 值范围.

1 , Tn 表示数列 ?bn ?的前项和,若 Tn ? a 恒成立,求 Tn 及实数 a 的取 an ? an ?1

20. (本小题满分 14 分)已知点 A、B 的坐标分别是 (0, ?1) 、 (0,1) ,直线 AM、BM 相 交于点 M ,且它们的斜率之积为 ? (1)求点 M 轨迹 C 的方程; (2)若过点 D(0, 2) 的直线 l 与(1)中的轨迹 C 交于不同的两点 E、F , 试求 ?OEF 面积的取 值范围( O 为坐标原点) .

1 . 2

K$s5u

21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

1? x . ? ln x ( x ? 0 ) ax

(1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在 [ , 2] 上的最小值; (2)若函数 f ( x) 在 [ , +?) 上为增函数,求正实数 a 的取值范围; (3)若关于 x 的方程 1 ? x ? 2x ln x ? 2mx ? 0 在区间 ? , e ? 内恰有两个相异的实根,求 e 实数 m 的取值范围.

1 2

1 2

?1 ?

? ?

K$s5u

珠海市 2013 年 9 月高三摸底考试理科数学
试题与参考答案及评分标准 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.(集合)已知集合 A ? {x x ? 1} , B ? {x x 2 ? 2 x ? 0} ,则 A ? B ? ( A. {x x ? 0} 2.(复数的除法)复数 A. 1 ? i B. {x x ? 1} C. {x 1 ? x ? 2} ) C. 2 ? i D. 2 ? i )

D. {x 0 ? x ? 2}

2i ?( 1? i
B. 1 ? i

( 3.(函数的奇偶性与单调性)下列函数中,既是偶函数又在区间 0, ??) 上单调递增的函数
为( )
?1

A. y ? x

B. y ? log 2 x
0

C. y ?| x |

D. y ? ? x

2

4.(充要条件)在 ?ABC 中, A ? 60 ”是“ cos A ? “ A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

1 ”的( 2



B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 K$s5u

5.(向量)如图,在 ?ABC 中,点 D 是 BC 边上靠近 B 的三等分点,则 AD ? (

????



? 2 ??? 1 ???? AB ? AC 3 3 ??? 1 ???? ? 2 C. AB ? AC 3 3
A.

B.

? 1 ??? 2 ???? AB ? AC 3 3 ??? 2 ???? ? 1 D. AB ? AC 3 3

C

D A B

?x ? y ? 5 ? 0 ? 6.(线性规划)已知 x , 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 2 x +4 y 的最小值为( ) y ? y?0 ?
A . ?14 B. ?15 C. ?16 D. ?17

7.(三视图)一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示(单位: cm )则该组合体的体积为 ( )
3

A. 72000 cm C. 56000 cm

B. 64000 cm

3

50
3

D. 44000 cm

3

10 主视图

40 侧视图

20

20 20 俯视图

8. (信息题) 对于函数 y ? f ( x) , 如果存在区间 [m, n] , 同时满足下列条件: f ( x) 在 [m, n] ① 内是单调的;②当定义域是 [m, n] 时, f ( x) 的值域也是 [m, n] ,则称 [m, n] 是该函数的“和 谐区间” .若函数 f ( x) ? A. ( , )

a ?1 1 ,则 ? (a ? 0) 存在“和谐区间” a 的取值范围是( a x
B. (0,1) C. (0, 2) D. (1,3)



1 5 2 2

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生 只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 9.(绝对值不等式)不等式 3 x +1 ? x ? 1 ? 0 的解集是
2

0 ? x | ? 1? x ? ?



10.(二项展开式)在二项式 ( x ? ) 的展开式中,含 x 项的系数是 ?80 ,则实数 a 的值为
5

a x

2



11.(等比数列)设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,则 12.(导数)直线 y ? ?

S4 ? a4

15 8



1 1 1或-1 x ? b 是函数 f ( x) ? 的切线,则实数 b ? 4 x 0 13.(解三角形)在 ?ABC 中, AB =2 3 , AC =2 , C =60 ,则 BC ? 4
14. (几何证明选讲选做题) 如图, 圆 O 的直径 AB ? 6,P是AB延长线上的一点,过P作圆的切线,

. .

C A o B P

切点为C, 若?CPA ? 300 ,则CP长为

3 3

.

15. (极坐标选做题) 极坐标系中, 曲线 ? ? ?4cos ? 上的点到直线 ? cos ? ? 3 sin ? ? 8 的距离的最大值是

?

?

7

.

三、解答题:本题共有 6 个小题,12 分+12 分+14 分+14 分+14 分+14 分=80 分. 16.(三角函数)已知函数 f ( x) ? cos x ? sin x cos x
2

(1)求 f ( x) 的最小正周期和最小值; (2)若 ? ? (

? ?

3? 2? 6 , , ) 且 f (? + ) ? 8 4 4 2

求 cos? 的值. 解 : ( 1 )

f ( x) ? cos 2 x ? sin x cos x ?
分 所 以 T?

1 1 1 1 2 ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? ? sin(2 x ? ) ,?????4 2 2 2 2 2 4

2? ?? 2

, 当 s i n ?( 2 ? x

?

4

?时 , 1 f ( x) 有 最 小 值 )

1? 2 ??????????6 分 2
( 2 )

f (? +

3? 1 2 3? ? 1 2 1 2 2? 6 )? ? sin(2? + ? )? ? sin(2? +? ) ? ? sin 2? ? , 8 2 2 4 4 2 2 2 2 4




s


??

3 i ????????????????????????????????10 2

因为 ? ? ( 所

? ?

? 2? ? ,? ? , ) ,所以 2? ? ( , ? ) ,所以 2? ? 4 2 2 3 3


c ??
2分

1 ??????????????????????????????????1 o 2

17.(概率)某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件,其中有 A、B、C 三 种软件投入使用,经一学年使用后,团队调查了这个专业大一四个班的使用情况,从各班抽 取的样本人数如下表

班级 人数

一 3

二 2

三 3

四 4

(1)从这 12 人中随机抽取 2 人,求这 2 人恰好来自同一班级的概率. (2)从这 12 名学生中,指定甲、乙、丙三人为代表,已知他们下午自习时间每人选择一款 软件,其中选择 A、B 两个软件学习的概率每个都是

1 ,且他们选择 A、B、C 任一款软件都 6

是相互独立的。 设这三名学生中下午自习时间选软件 C 的人数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期 望。

解:(1)设“从这 12 人中随机抽取 2 人,这 2 人恰好来自同一班级”的事件为 M 则

P( M ) ?

2 2 C32 ? C2 ? C32 ? C4 13 ? ?????????????????????? 2 C12 66

???3 分 答 : 从 这 12 人 中 随 机 抽 取 2 人 , 这 2 人 恰 好 来 自 同 一 班 级 的 概 率 是

13 ??????????4 分 66
(2) ? ? 0 、、 、 ??????????????????????????????? 1 2 3 ???5 分 由 题 设

















C









2 ?????????????????????????6 分 3 1 1 ? P(? ? 0) ? ( )3 ? 3 27 2 2 1 1 P(? ? 1) ? C3 ( )2 ? ? 3 3 9 1 2 4 P(? ? 2) ? C32 ? ? ( )2 ? 3 3 9 2 3 8 ????????????????????????????? P(? ? 3) ? ( ) ? 3 27
???10 分

? 的分布列如下 ?
P
0
1 27

1
2 9


2
4 9

3
8 27
期 望 是

?
E? ? 0 ?
?12 分

1 2 4 8 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 ??????????????????? 27 9 9 27

18.(立几)在边长为 4cm 的正方形 ABCD 中,E、F 分别为 BC、CD 的中点,M、N 分别为 AB、CF 的中点,现沿 AE、AF、EF 折叠,使 B、C、D 三点重合,重合后的点记为 B ,构成一 个三棱锥. (1)请判断 MN 与平面 AEF 的位置关系,并给出证明;

(2)证明 AB ? 平面 BEF ; (3)求二面角 M ? EF ? B 的余弦值.
A D
M B N F E

M

F N
A

B

E

C

解: (1) MN 平行平面 AEF ??????????????????????????1 分 证明: 由题意可知点 M、N 在折叠前后都分别是 AB、CF 的中点 (折叠后 B、C 两 点重合) 所 以 平 行 MN AF ???????????????????????????????2 分 因 为

面 ? M ?N ? 面 ? A ?F ? M 平行 N ?

A

E

F

A, E 所 F 以 A F

MN









AEF ??????????????????4 分 (2)证明:由题意可知 AB ? BE 的关系在折叠前后都没有改变
因 为 在 折 叠前 AD ? DF , 由 于 折叠 后 AD与AB重合 , 点 D与F 重合 , 所 以

AB ? BF??5 分
? A ? B ? A ? B ? ? E ?B ? 面 ?B ? 面 F ? ?B ? E = ? B B
, B

E F
所 E





F以 F B

AB ?





B B F

E

BEF ????????????????????8 分
(3)解: 记EF的中点为G, 连接MF、BG、MG,

因为BE ? BF , ME ? MF , 所以BG ? EF 且MG ? EF ,
所以 ?MGB 是二面角 M ? EF ? B 的平面 角. ?????????????????10 分 因为 AB ⊥ 面BEF ,所以 ?MGB ? 90 .
0

在 ?BEF 中, BG ? 于是

2 ,由于 MB ? 2 ,所以 MG ? MB 2 ? BG 2 ? 6 ,

cos ?MGB ?

2 3 ? ?????????????????????????13 分 3 6

所以,二面角 M ? EF ? B 的余弦值为

3 ???????????????????14 分 3

19.(数列)若正数项数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,首项 a1 ? 1 ,点 P

?

S n , S n ?1 在曲线

?

y ? ( x ? 1) 2 上.
(1)求 a2 , a3 ; (2)求数列 ?a n ?的通项公式 an ; (3)设 bn ? 值范围. 解: (1)因为点 P

1 , Tn 表示数列 ?bn ?的前项和,若 Tn ? a 恒成立,求 Tn 及实数 a 的取 an ? an ?1

?

2 S n , S n ?1 在曲线 y ? ( x ? 1) 上,所以 Sn ?1 ? ( Sn ? 1) .
2

?

? a1 ? a2 ? ( a1 ? 1)2 ? 分别取 n ? 1 和 n ? 2 ,得到 ? , 2 ?a1 ? a2 ? a3 ? ( a1 ? a2 ? 1) ?


a1 ? 1





a2 ? 3



a3 ? 5 .?????????????????????????4 分
(2)由 Sn ?1 ? ( Sn ? 1) 得 S n ?1 ? S n ? 1 .
2

所以数列 所

? S ? 是以
n

S1 为首项,1 为公差的等差数列 Sn ?
1



+

S ( ?

n ,1 ?

)

1



Sn ? n2 ??????????????????????6 分
由公式 an ? ? 所

n =1 n=1 ? S1 ?1 ,得 an ? ? ? 2n ? 1 n ? 2 ? S n ? S n ?1 n ? 2


an ? 2n ? 1??????????????????????????????????8

分 (3)因为 bn ?

1 1 ,所以 bn ? 0 , ? an ? an ?1 (2n ? 1) ? (2n ? 1)

Tn ?

1 1 1 ? ? …… ? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1) ? (2n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 = (1 ? + ? + ? + ? + ? ) 2 3 3 5 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2 n ? 1 1 2n n 1 ?????????????????????? = ? ? ? 2 2n ? 1 2n ? 1 2 ? 1 n
????10 分 显 然

Tn

是 关 于

n 的 增 函 数 ,

所 以

Tn

有 最 小 值

T1 ?

1 ? ,?????????????12 分 1 3 2? 1
由 于

1

Tn ? a













1 a ? ,?????????????????????????13 分 3 1 于是 a 的取值范围为 {a | a ? } .???????????14 分 3
20. (圆锥曲线)已知点 A、B 的坐标分别是 (0, ?1) 、(0,1) ,直线 AM、BM 相交于点 M , 且它们的斜率之积为 ?

1 . 2

(1)求点 M 轨迹 C 的方程; (2)若过点 D(0, 2) 的直线 l 与(1)中的轨迹 C 交于不同的两点 E、F , 试求 ?OEF 面积的取 值范围( O 为坐标原点) . 解: (1)设点 M 的坐标为 ( x, y ) , ∵

k AM ? k BM ? ?

y ?1 y ? 1 1 ? ? ? ??????????????????????2 分 x x 2
整 理 , 得

1 2





x2 ? y 2 ? 1 ( x ? 0) , 这 就 是 动 点 M 2

的 轨 迹 方

程.??????????????4 分

( 2 ) 由 题 意 知 直 线 l 的 斜 率 存 在 , 设 l 的 方 程 为 y ? k ?x 2 ①???????????????5 分 将①代入

y F E D o x

x2 ? y 2 ? 1 得:K$s5u 2

(2k 2 ? 1) x 2 ? 8kx ? 6 ? 0 ????????????????6 分
由 ? ? 0 ,解得 k 2 ?

3 ?????????????????7 分 2
F ? x2 , y2 ?



E ? x1 , y1 ?







? ?8k 2 x1 ? x2 ? 2 , ? ? 2k ? 1 ? ?x x ? 6 ? 1 2 2k 2 ? 1 ?

② ????????????????????8 分

1 1 1 1 S?OEF ? S?OED ? S?OFD ? OD ? x1 ? OD ? x2 ? OD ? x1 ? x2 ? ? 2 ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 2 2 2 2
????10 分

?8k 2 6 16k 2 ? 24 x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ? x2 ? ( 2 ) 2 ? 4 ? 2 ? ? 2k ? 1 2k ? 1 (2k 2 ? 1) 2
2

3 16(k 2 ? ) 2 ? (2k 2 ? 1) 2

????11 分 令k ?
2

3 3 ? t (t ? 0) ,所以 k 2 ? t ? (t ? 0) 2 2




S?OEF ? x1 ? x2 ?

16t 4t t 1 1 2 ? ?2 2 ?2 ?2 ? 2 2 4 (2t ? 4) (t ? 2) t ? 4t ? 4 4?4 2 t? ?4 t


?13 分 所

S?O ? (
??14 分

2 ???????????????????????????????? E 2

0

21.(导数)已知函数 f ( x) ?

1? x ? ln x ax 1 (1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在 [ , 2] 上的最小值; 2

(2)若函数 f ( x) 在 [ , +?) 上为增函数,求正实数 a 的取值范围; (3)若关于 x 的方程 1 ? x ? 2x ln x ? 2mx ? 0 在区间 ? , e ? 内恰有两个相异的实根,求 e 实数 m 的取值范围. 解 : ( 1 ) 当

1 2

?1 ?

? ?

a ?1

f(

f '( x) ?

1 1 x ?1 ? ? 2 ,??????????????2 分 x x2 x 1 于是,当 x 在 [ , 2] 上变化时, f '( x), f ( x) 的变化情况如下表: 2 1 1 ( ,1) 1 2 (1,2) x 2 2
f '( x)
- 0 极小值 0 + 单调递增

1 ? x) x

?

l, ? n x

1

f ( x)

1 ? ln 2

单调递减

ln 2 ?

1 2
得 最 小 值















x ?1







f ( x)



0. ???????????????????4 分

(2) f '( x) ?

1 1 ax ? 1 ,因为 a 为正实数,由定义域知 x ? 0 ,所以函数的单调 ? 2 ? x ax ax 2 1 1 1 1 递增区间为 [ , +?) ,因为函数 f ( x) 在 [ , +?) 上为增函数,所以 0 ? ? ,所 a 2 a 2
以 a ? 2 ?????8 分

( 3 ) 方 程 1 ? x ? 2x l n x ? 2mx ? 0 区 间 ? , e ? 内 恰 有 两 个 相 异 的 实 根 ? 方 程 在 ?e ?

?1

?

?1 ? 1? x 1? x ? l n x ? m ? 0在区间 ? , e ? 内恰有两个相异的实根 ? 方程 ? ln x ? m 在 2x 2x ?e ? ?1 ? 1? x 区间 ? , e ? 内恰有两个相异的实根 ? 函数 g ( x) ? ? ln x 的图象与函数 y ? m e ? 2x ?
的图象在区间 ? , e ? 内恰有两个交点?????10 分 e

?1 ?

? ?

考察函数 g ( x) ?

?1 1 ? 1? x 1 1 2x ?1 ,在 ? , ? 为减函数,在 ? ln x , g ?( x) ? ? 2 ? ? 2 2x 2x x 2x ?e 2?

?1 ? ? 2 , e ? 为增函数 ? ?
???????????????????????????????????? ????12 分

1? e 1? e 1? e ? ln e ? ?1 ? ?0 2e 2e 2e 1 1? 1 2 ? ln 1 ? 1 ? ln 2 ? 0 g( ) ? 2 2? 1 2 2 2 1 1? 1 e ? ln 1 ? e ? 1 ? 1 ? e ? 3 ? 0 ? g (e) ??????????????? g( ) ? e 2? 1 e 2 2 e g (e) ?
???13 分 画函数 g ( x) ?

?1 ? 1? x 1? x ? ln x , x ? ? , e ? 的草图,要使函数 g ( x) ? ? ln x 的图象与函数 2x 2x ?e ?

1 1 ?1 ? y ? m 的图象在区间 ? , e ? 内恰有两个交点,则要满足 g ( ) ? m ? g ( ) K$s5u 2 e ?e ?





m













{m |

1 e?3 ? ln 2 ? m ? } ????????????????????14 分 2 2



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