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9.3两条直线的交点(二)




题: 9.3 两条直线的交点

教学目的: 1. 掌握判断两直线相交的方法; 会求两直线交点坐标; 2. 认识两直线交点与二元一次方程组的关系;? 3.体会判断两直线相交中的数形结合思想. 4.认识事物间的内在联系,用辩证的观点看问题. 教学重点:判断两直线是否相交. 教学难点:两直线相交与二元一次方程组的关系. 内容分析: ?在学生认识直线方程的基础上, 启发学生理解两直线 的交点与二元一次方程的解的相互关系.引导学生将两直线 交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方 程组解的问题.由此体会“形”的问题由“数”的运算来解 决,这也是“解析法”的实质,即用代数的方法来研究解决 平面内的几何问题,从而将数与形有机地结合在一起 教学过程: 一、复习引入: 1.特殊情况下的两直线平行与垂直. 当两条直线中有一条直线没有斜率时:
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(1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角都为 90°,互相平行; (2)当另一条直线的斜率为 0 时, 一条直线的倾斜角为 90°, 另一条直线的倾斜角为 0°,两直线互相垂直. 2.斜率存在时两直线的平行与垂直: 两条直线有斜率且不重合,如果它们平行,那么它们的 斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,则它们平行,即
l1 // l 2 ? k 1 = k 2 且 b1 ? b2

已知直线 l1 、 l 2 的方程为 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ,
l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ( A1 B1C1 ? 0, A2 B2C2 ? 0)

l1 ∥ l 2 的充要条件是

A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2

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⑵两条直线垂直的情形: 如果两条直线的斜率分别是 k 1 和 k 2 ,则这两条直线垂直的充要条件是 k1k 2 ? ?1 . 已知直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ,
l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,则 l1 ? l 2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 .

由直线方程的概念,我们知道,直线上的一点一定与二 元一次方程的一组解对应,那么,如果现在有两条直线相交 于一点,那么这一点与两条直线的方程又有何关系?如果我 们想要在已知两直线方程的前提下求出交点,又应如何?这

一交点是否与两直线方程有着一定的关系呢? 我们这一节就将研究这个问题 二、讲解新课: 两条直线是否相交的判断 设两条直线 l1 和 l 2 的一般式方程为
l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
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如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上, 交点的坐标一定是这两个方程的惟一公共解, 那么以这个解 为坐标的点必是直线 l1 和 l 2 的交点.因此, 两条直线是否有交 点,就要看这两条直线方程所组成的方程组:
? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 是否有惟一解 ? ? A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0
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三、讲解范例: 例 1 求下列各对直线的交点,并画图: (1) l1 :2 x +3 y =12, l 2 : x -2 y =4. (2) l1 : x =2, l 2 :3 x +2 y -12=0.
36 ? x? ? ?2 x ? 3 y ? 12 ? 7 得? . 解:(1)解方程组 ? ?x ? 2 y ? 4 ?y ? 4 ? 7 ?

∴交点坐标为(

36 4 , ) 7 7

(2)解方程组
?x ? 2 ?x ? 2 得? ? ?3x ? 2 y ? 12 ? 0 ? y ? 3

∴交点坐标为(2,3) 图形依次为:
4 2

4
4 3

4

3

(2,3)

2

2
(
2 4

2

1

36 4 , ) 7 7
-2
6 8

1

-2

0
-1

2

4

6

0
-1

2

4

6

8

2

4

6

-2

-2

-2

-2

(1)

(2)

2.判定下列各对直线的位置关系,如果相交,则求出交 点的坐标. (1) l1 :2 x - y =7 , l 2 :4 x +2 y =1; (2) l1 :2 x -6 y +4=0 , l 2 : y = ? ; 解:(1)解方程组
15 ? x ? , ? ?2 x ? y ? 7 ? 8 得? ? ?4 x ? 2 y ? 1 ? y ? ? 13 . ? ? 4
x 3 2 3

∴两直线交点为(

15 13 ,? ). 8 4

(2) l1 :2 x -6 y +4=0,
l 2 : x -3 y +2=0

∵ ?

2 1

?6 4 ? ?3 2

∴两直线重合.

四、课堂练习:
P262

1 (3),

2 (3)

五、小结 : 两直线相交的判断方法, 及求解两直线交点坐标.两直 线方程组成的二元一次方程组无解,则两直线平行;有无数 多个解,则两直线重合 六、课后作业:
P262
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1 , 2


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