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利用导数证明不等式的方法



龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 利用导数证明不等式的方法 作者:冯中秋 来源:《新课程· 中学》2015 年第 06 期 本文将系统总结在高考试题经常涉及的证明不等式的若干方法。首先我们可以把证明不等 式的问题在大的方向分为一个函数思想和两个函数思想,而对于一个函数思想,顾名思义就是 在证明不等式时,我们可以将不等式中涉及的所有形式都挪到不等式的同一侧,把这个整体看 成一个新的函数,并且在这种函数中经常涉及两类以上的基本初等函数,我们需要借助导数研 究其单调性、极值,进而去证明不等式成立。而在处理这类问题的时候,有些时候我们还需要 对函数进行一些简单的放缩。下面通过几个简单的实例来给大家介绍: 题目 2:P 是曲线 y=f(x)=ex 上的动点,Q 是曲线 y=g(x)=lnx 上的动点,求 PQ 的最 小值。 分析:本题主要考查反函数的相关知识,导数的几何意义,而在本题中所体现出的两类不 等式是我们在利用导数证明不等式问题中特别常用到的放缩手段。 解:因为 y=ex 与 y=lnx 互为反函数,而反函数的图象关于直线 y=x 轴对称,所以我们可 以转化为将直线 y=x 向上平移和向下平移,使得直线分别与 y=ex 与 y=lnx 相切,此时两个切 点之间的距离即为我们所要求的最小值。f′(x)=ex,令 f′(x)=ex=1 可得,切点坐标为(0, 1);同理可求 g′(x),令 g′(x)=1 可得,切点坐标为(1,0)。所以可以得到 PQ 的最小 值为。 注:我们主要是想从本题解答过程中得到一组不等式: (1)当 x>0 时,ex>x+1;变形:ex>x;ex-1>x (2)当 x>0 时,x-1>lnx;变形:x>lnx;x>ln(x-1) 下面通过一个实例体会该不等式的应用。 题目 3:已知 f(x)=lnx,g(x)=ex。求证:当 x>0 时,f(x) 分析:本题的基本思路仍然是一个函数的思想,但是在操作中必须进行适当的放缩才能证 明出该不等式。 解:F(x)=g(x)-f(x)-2=ex-lnx-2,则 F′(x)=ex-2;则 F′(x)单调递增,再根据零 点存在性判定定理知 F′(1)>0,F′()F(t)=et-lnt-2,下面我们必须能证明 F(t)=et-lnt2>0 恒成立即可。此时又回到本题最初的形式,在这种情况下我们可以对 F(t)=et-lnt-2 进行 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 放缩,其基本思想是此时 et 和 lnt 同时存在我们无法研究导数的零点,因此我们可以把二者之 一利用放缩的方式处理掉。具体操纵如下: F(t)=et-lnt-2>t+1-lnt-2=t-lnt-1(利用 ex>x+1 进行放缩),下面可以构造函数 g(t)=tlnt-1,下面我们可以证明 g(t)>0 恒成立即可。而我们知道 ex>x 也成立,但此时如果我们选 择 ex>x 进行放缩根本不能证出我们的结论;由此可以放缩必须要把握度,不能放得太多,也 不能放得太少。 另外,我们可以考虑将 lnt 处理掉,可以利用 lnt 与一次式之间的关系(x-1>lnx)进行放 缩,则 F(t)=et-lnt-2>et-t+1-2=et-t-1,下面可以构造函数 h(t)=et-t-1,只需证明 h(t)>0 恒成立即可。 除此之外,我们还经常涉及两个函数的思想来证明不等式的问题,其基本理念为: 若 f(x)min>g(x)max 成立,则 f(x)>g(x)恒成立; 若 f(x)


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