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2015年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷



2015 年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷
一、填空题(共 10 小题,每小题 6 分,满分 60 分。请直接将答案写在题中的 横线上) 1.设集合 ,从集合 中随机抽取一个元素,记

,则随机变量 的数学期望 。 ,其中 是定义在 上,最小正周期为 2 的函数。 2.已知 若 在区间 上的最大值为 1,则 在区间 上的最大值 为 。 3.

、 为椭圆: ( )的左、右焦点,若椭圆 。 的最小值 ( 。 , , 。则该四面体外接球半径 的对应点分别为 ,则 、 、。若 , , ) , 上存

在一点 ,使得 ,则椭圆离心率 的取值范围为 ,则 4.已知实数 x,y,z 满足 为 。 已知函数 5. 则数列 的前 100 项之和 6.如图,在四面体中 且 与平面 , 数列 中,

所成角的余弦值为

。 7.在复平面内,复数 、 、 ???? ? ???? ? OZ 2 ? 0 , , OZ1 ? 是 8.已知函数 值范围为 9.已知 的取值范围为 ? 10 . 若 s i n ? 9 为 。 。

的取值范围 , ( ),则 的取 ,则

恰有两个极值点 。 ,若 。 2? n ? 1 sin? … ? s i n? 9 9 2

4? t, an 则正整数 9

的最小值

二、解答题(共 5 小题,每小题 20 分,满分 100 分。要求写出解题过程) 11.求函数 12.已知过点 的最小值。 斜率为 的直线 交双曲线 : 于 、 两

点。 (1)求 的取值范围; (2)若 为双曲线 的右焦点,且

,求 的值。



13.如图, 、 分别为 相切,切点分别为 、 , (1)求证: ;

的内心、旁心, 与圆 、 为 与 的交点。

(2)若 为 中点,求证: 。 (旁心:三角形旁切圆的圆心,它是三角形一个内角的平 分线和其它两个内角的外角平分线的交点。)

14.在坐标平面内,横纵坐标都是整数的点称为整点,三个顶点都是整点 的三角形称为整点三角形。求以点 为内心且直角顶点在坐标原 点 的整点直角三角形 的个数。

15.若对任意的正整数 ,集合 ?m,m ? 1,m ? 2,…,m ? 99? 的任意 ( )元子集中,总有 3 个元素两两互素,求 的最小值。



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