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平面法向量的求解及应用



例谈平面法向量的求解方法及应用
郭兴甫 云南会泽一中 邮编:654200 平面法向量是空间向量中的一个重要内容, 是解决立体几何问题的强有力工 具,对解决线面平行,面面平行,二面角的大小,点面距离,线面角等问题具有 公式化, 程序化的作用, 本文举例说明怎样求一个平面的法向量及其法向量在解 决相关问题的应用,以期对同学们的学习有所帮助! 一、平面法向量的求解方法 z 例

1.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,棱长为 D1 C1 a, G、E、F分别为AA1、AB、BC 的中点,求 A1 B1 平面 GEF 的法向量. D y 解:如图 1 所示,以 D 为坐标原点建立空间 G C a a F 直角坐标系 D ? xyz ,则 E (a, ,0), F ( , a,0) , A E B 2 2 x ? ?? ? ?? 图1 a a a a a G ( a,0, ), 由此得 GE ? (0, ,? ), FE ? ( ,? ,0) 2 2 2 2 2 设平面 GEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ).则由 n ? GE , n ? FE 可得
1 ?1 ?? ?? ? y ? z ? 0, ? ? y ? z, ? n ? GE ? 0 ? 2 2 ?? ?? 令 y ? 1, 则z ? 1, x ? 1. ?? ? ?? ? n ? FE ? 0 ? 1 x ? 1 y ? 0, ? x ? y, ? ? 2 ?2
? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??

故平面 GEF 的一个法向量为 n ? (1,1,1). 评注:由上例可看出,在求平面 ? 的法向量时,应建立空间直角坐标系,求 平面 ? 内两个不共线的向量的坐标, 并设平面 ? 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ). 由法向量的定义可知法向量必需与 ? 内的向量垂直,进而得两个关于 x, y, z 的 三元一次方程令其中一个未知数为 1,进而可得另两个未知数,即得平面的法 向量 n . 二、平面法向量的应用 1.证明两平面平行 例 2 如图 2,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中 E、F、G、H、M、N 分别是正方体六个面的 中心,证明平面 EFG//平面 HMN 证明:建立如图 2 所示的空间直角坐 标系 D ? xyz ,设正方体的棱长为 2,易得:
?

? ??

? ??

z

D1

H N G

C1
B1
M E B C

A1
F D A

y

x

图2

E(1,1,0), F (1,0,1), G(2,1,1), H (1,1,2), M (1,2,1), N (0,1,1) .

? EF ? (0,?1,1), EG ? (1,0,1), HM ? (0,1,?1), HN ? (?1,0,?1) .

? ??

? ??

? ??

? ??

设 n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)分别是平面 EFG ,平面 HMN
?? ?? ? n ? EF ?? y1 ? z1 ? 0, ? ?? 令z1 ? 1, 则y1 ? 1, x1 ? ?1 的法向量,则由 ? 1 ? ? ?? x ? z ? 0 , 1 1 ? ?n ? EG ? 1

所以平面 EFG 的一个法向量 n1 ? (?1,1,1) 同理由 n2 ? HM , n2 ? HN 可得平面HMN的法向量n2 ? (?1,1,1)
? n1 ? n2 ,即 n1 // n2
? ? ? ?

?

?

? ??

?

? ??

?

即平面 EFG//平面 HMN
评注:证明两个平面平行可由以下方法去证明: (1)转化为相应的线线平行或线 面平行, (2) 求出两个平面的法向量, 然后证明这两个平面的法向量平行而获证。 这种方法过程虽复杂,但思路清晰,是解决立体几何问题常用方法. 2.求直线与平面所成的角 例 3 如图 3,已知点 P 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的 对角线 BD1 上,∠PDA=60° (1)求 DP 与 CC1 所成角的大小; (2)求 DP 与平面 AA1D1D 所成角的大小。 解: (1)略 (2)建立如图 3 所示的空间直角坐标系 D- xyz , 记 AB=1,则 A(1,0,0), C (0,1,0) .
? ??

z

D1 H P D A x 图3 B

C1 B1 C y

A1

连 接 BD, B1 D1 , 延 长 DP 交 D1B1 于 H , 设 DH ? (m, m,1) , 由 已 知 得

? DH , DA ?? 60? ,? DA? DH ? DA DH cos ? DA, DH ? 可得2m ? 2m 2 ? 1 解之
? ?? 2 2 2 , 故 DH ? ( , ,1) 2 2 2

? ?? ? ??

? ??

? ??

? ?? ? ??

? ?? ? ??

得m ?

又易知 DC ? (0,1,0) 为平面 AA1D1D 的一个法向量, 设 DP 与面 AA1D1D 所成

? ??



的角为 ? ,则 sin ? ? cos ? DH , DC ? ?

? ?? ? ??

DH ? DC DH DC
? ?? ? ??

? ??

? ??

?

1 , 2

故直线 DP 与面 AA1D1 D 所成的角为 30°. 评注:如图 4 所示若直线 AB 是平面 ? 的一条斜线, n 是 平面 ? 的一个法向量,直线 AB 与平面 ? 的夹角为 ? ,则

? ?? ? ?? ?
?

n B A 图4

AB ? n
? ?? ?

?

?

?

O

sin ? ? cos ? AB , n ? ?

.应用该公式可把求直线与平面所成

AB n

角的问题转化为求直线与平面法向量所成角的问题。 3.求二面角的大小 例 4.如图 5, 四棱锥 A—BCDE 中, 底面 BCDE 为矩形,侧面 ABC⊥底面 BCDE, BC=2,CD= 2 ,若 AB=AC=BC,求二面角 C-AD-E 的余弦值. 解:由于已知侧面 ABC 与底面 BCDE 垂直, 且 BCDE 为矩形。因为三角形 ABC 为等边 三角形,取 BC 的中点为 O,则有 AO⊥BC, 取 DE 的中点为 M,射线 OC,OM,OA 分别为
z
A

x轴,y轴,z轴 的正半轴建立如图所示的空间
O

B M D 图5

E

y

直角坐标系 O—xyz,因 BC=2,CD= 2 ,所以得到 A(0,0,
? ??

3), D(1, 2,0),C(1,0,0), E(?1, 2,0)
? ?? ? ??

x

C

则 AD ? (1, 2 ,? 3 ), CD ? (0, 2 ,0), DE ? (?2,0,0)
?? ?? ? ? n ? AD ? 0 ? ? x ? 2 y ? 3z ? 0 ?? 设 n ? ( x, y, z )为平面ACD 的一个法向量,则 ? ? ? ?? ? n ? CD ? 0 ? ? 2y ? 0 ?

?

? y ? 0, 令z ? 1, 则x ? 3, 可得 n ? ( 3,0,1)

?

?? ?? ? ?m? AD ? 0 ? x ? 2 y ? 3 z ? 0 ?? 又设 m ? ( x, y, z )为平面ADE的一个法向量,则? ? ? ?? ?m? DE ? 0 ?? 2 x ? 0 ?

?

? x ? 0. 令 z ? 2 , 则y ? 3, 可得 m ? (0, 3, 2 )

?

所以 cos ? m, n ??

? ?

m? n mn
? ?

?

?

?

3 ? 0 ? 0 ? 3 ? 1? 2 3 ? 0 ?1 3 ? 0 ? 2

?

10 . 10

设二面角 C-AD-E 的大小为 ? ,观察图形可知 ? 为钝角, 故 cos? ? ? cos ? m, n ?? ?
? ?

10 10

评注:在求二面角的大小时,可求两个半平面的法向量,由两个 法向量所成的角求得二面角的大小。即设二面角 ? —AB— ? 的大小为
? , n , m 为 ? , ? 的法向量,则 ? =< n , m >或 ? = ? ? < n , m >.
? ? ? ? ? ?



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