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2015年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷(word)



2015 年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,时量 120 分钟,满分 100 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 M={1,2},N={0,1,3},则 M∩N= ( ) A.{1} B.{0,1} C.{1,2} D.{1

,2,3} 2.化简(1-cos30° )(1+cos30° )得到的结果是( ) 3 1 A. B. C.0 D.1 4 4 3.如图,一个几何体的三视图都是半径为 1 的圆, 正视图 侧视图 则该几何体表面积( ) 4 A.π B.2π C.4π D. ? 俯视图 3 4.直线 x-y+3=0 与直线 x+y-4=0 的位置关系为( ) E A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交但不垂直 D C 5.如图,ABCD 是正方形,E 为 CD 边上一点,在该正方形中 随机撒一粒豆子,落在阴影部分的概率为( ) 1 1 1 3 A. B. C. D. 4 3 2 4 A B ? ? ? ? 6.已知向量 a ? ?1, 2 ?, ) b ? ? ?3, ?6?,若b ? ? a ,则实数 λ 的值为(
1 1 B.3 C. ? D.-3 3 3 7.某班有 50 名学生,将其编为 1,2,3,…,50 号,并按编号从小到大平均分成 5 组,现从该班抽取 5 名学生进行某项调查,若用系统抽样方法,从第一组抽取学 生的号码为 5,则抽取 5 名学生的号码是( ) A.5,15,25,35,45 B.5,10,20,30,40 C.5,8,13,23,43 D.5,15,26,36,46 8.已知函数 f(x)的图像是连续不断的,且有如下对应值表: x -1 0 1 2 3 f(x) 8 4 -2 0 6 则函数 f(x)一定存在零点的区间是( ) y A. (-1,0) B. (0,1) C.(1,2) D.(2,3) 2 9.如图,点(x,y)在阴影部分所表示的平面区域上, 则 z=y-x 的最大值为( ) O 2 x A.-2 B.0 C .1 D.2 10.一个蜂巢里有 1 只蜜蜂,第一天,它飞出去找回了 1 个伙伴;第二天,2 只蜜蜂 飞出去各自找回了 1 个伙伴;……;如果这个找伙伴的过程继续下去,第 n 天所 有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有蜜蜂的只数为( ) n-1 n n n A.2 B.2 C .3 D.4

A.

1

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 11.函数 f(x)= log(x-3)的定义域为 _________. 开始 ? 12.函数 y ? sin(2 x ? ) 的最小正周期为_______. 输入x 3 13.某程序框图如图所示,若输入的 x 值为-4, x ? 0? 否 是 则输出的结果为__________. 输出 x 输出 ? x 14.在 ΔABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 1 已知 c=2a,sinA= ,则 sinC=_______. 结束 2 2 2 2 15.已知直线 l:x - y +2=0,圆 C:x +y = r (r>0),若直线 l 与圆 C 相切, 则圆的半径是 r= _____. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 40 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 6 分) 学校举行班级篮球赛,某名运动员每场比赛得分记录的径叶图如下: (1)求该运动员得分的中位数和平均数; (2)估计该运动员每场得分超过 10 分的概率. 2 3578
3 012004

17.(本小题满分 8 分) 已知函数 f(x)=(x-m)2+2 (1)若函数 f(x)的图象过点(2,2),求函数 y=f(x)的单调递增区间; (2)若函数 f(x)是偶函数,求的 m 值.

18.(本小题满分 8 分) 已知正方体 ABCD- A1B1C1D1. (1)证明:D1A//平面 C1BD; (2)求异面直线 D1A 与 BD 所成的角.

D1 A1 B1

C1

D A B

C

2

19.(本小题满分 8 分) ? ? 已知向量 a ? (2sin x,1), b ? (2cos x,1), x ? R. ? ? ? (1)当 x= 时,求向量 a ? b 的坐标; 4 ? ? ? (2)设函数 f(x)= a ? b ,将函数 f(x)图象上的所有点向左平移 个单位长度得到 g(x) 4 ? 的图象,当 x∈[0, ]时,求函数 g(x)的最小值. 2

20. (本小题满 10 分) 已知数列{an}满足 a1=2,an+1=an+2,其中 n∈N*. (1)写出 a2,a3 及 an; 1 1 1 (2)记设数列{an}的前 n 项和为 Sn,设 Tn= + +? + ,试判断 Tn 与 1 的关系; S1 S2 Sn (3)对于(2)中 Sn, 不等式 Sn?Sn-1+4Sn -λ(n+1)Sn-1≥0 对任意的大于 1 的整数 n 恒成立, 求实数 λ 的取值范围.

3

2015 年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷参考答案 一、选择题 ABCAC DABDB 二 、填空题 11.(3,+∞); 12.π; 13.4; 14.1; 15. 2 三 、解答题(满分 40 分) 16.解:(1)中位数为 10;平均数为 9. …4 分 (2)每场得分超过 10 分的概率为 P=0.3. …6 分 17.解:(1) 依题,2=(2-m)2+2,解得 m =2, …2 分 2 ∴f(x)=(x-2) +2, ∴y=f(x)的单调递增区间是(2,+∞). …4 分 (2)若函数 f(x)是偶函数,则 f(-x)=f(x), …6 分 2 2 即(-x-m) +2=(x-m) +2,解得 m=0. …8 分 18.(1)证明:在正方体中,D1A∥C1B,又 C1B ?平面 C1BD, D1A ?平面 C1BD,∴D1A//平面 C1BD. …4 分 (2) 解:∵ D1A∥C1B,∴异面直线 D1A 与 BD 所成的角是∠C1BD. …6 分 又 ΔC1BD 是等边三角形. ∴∠C1BD=60° .∴D1A 与 BD 所成的角是 60° . …8 分

? ? ? ? 19.解:(1) 依题, a ? ( 2,1), b ? ( 2,1),?a+b ? (2 2, 2).
(2) 依题,f(x)=4sinxcosx+1=2sin2x+1,g(x)=2sin[2(x+ ∵x∈[0,

…4 分

? ],∴2x∈[0,π],∴当 2x=π 时,g(x)min=-1. 2

? )]+1=2cos2x+1, 4
…8 分

20.解:(1) 依题 a2= a1+2=4,a3= a2+2=6, 依题{an}是公差为 2 的等差数列,∴an =2n; …3 分 1 1 1 1 (2) ∵ Sn=n(n+1),∴ ? , ? ? Sn n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 1 1 ) ? 1? ∴Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? <1 …6 分 2 2 3 n n ?1 n ?1 (3) 依题 n(n+1)?(n-1)n+4n(n+1)-λ(n+1)(n-1)n≥0, 即(n-1)n+4-λ(n-1)≥0, 4 4 4 ? n ?1? ?1 ? 5 , 即 λ≤ n ? 对大于 1 的整数 n 恒成立,又 n ? n ?1 n ?1 n ?1 4 当且仅当 n=3 时, n ? 取最小值 5, 所以 λ 的取值范围是(-∞,5] …10 分 n ?1

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2015 年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,时量 120 分钟,满分 100 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 M={1,2},N={0,1,3},则 M∩N= ( )A A.{1} B.{0,1} C.{1,2} D.{1,2,3} 2.化简(1-cos30° )(1+cos30° )得到的结果是( )B 3 1 A. B. C.0 D.1 4 4 3.如图,一个几何体的三视图都是半径为 1 的圆, 正视图 侧视图 则该几何体表面积( )C 4 A.π B.2π C.4π D. ? 俯视图 3 4.直线 x-y+3=0 与直线 x+y-4=0 的位置关系为( )A E A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交但不垂直 D C 5.如图,ABCD 是正方形,E 为 CD 边上一点,在该正方形中 随机撒一粒豆子,落在阴影部分的概率为( )C 1 1 1 3 A. B. C. D. 4 3 2 4 A B ? ? ? ? 6.已知向量 a ? ?1, 2 ?, )D b ? ? ?3, ?6?,若b ? ? a ,则实数 λ 的值为(
1 1 B.3 C. ? D.-3 3 3 7.某班有 50 名学生,将其编为 1,2,3,…,50 号,并按编号从小到大平均分成 5 组,现从该班抽取 5 名学生进行某项调查,若用系统抽样方法,从第一组抽取学 生的号码为 5,则抽取 5 名学生的号码是( )A A.5,15,25,35,45 B.5,10,20,30,40 C.5,8,13,23,43 D.5,15,26,36,46 8.已知函数 f(x)的图像是连续不断的,且有如下对应值表: x -1 0 1 2 3 f(x) 8 4 -2 0 6 则函数 f(x)一定存在零点的区间是( )B y A. (-1,0) B. (0,1) C.(1,2) D.(2,3) 2 9.如图,点(x,y)在阴影部分所表示的平面区域上, 则 z=y-x 的最大值为( )D O 2 x A.-2 B.0 C .1 D.2 10.一个蜂巢里有 1 只蜜蜂,第一天,它飞出去找回了 1 个伙伴;第二天,2 只蜜蜂 飞出去各自找回了 1 个伙伴;……;如果这个找伙伴的过程继续下去,第 n 天所 有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有蜜蜂的只数为( )B n-1 n n n A.2 B.2 C .3 D.4

A.

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二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 11.函数 f(x)= log(x-3)的定义域为 _________. (3,+∞) 开始 ? 12.函数 y ? sin(2 x ? ) 的最小正周期为_______. π 输入x 3 13.某程序框图如图所示,若输入的 x 值为-4, x ? 0? 否 是 则输出的结果为__________.4 输出 x 输出 ? x 14.在 ΔABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 1 已知 c=2a,sinA= ,则 sinC=_______.1 结束 2 2 2 2 15.已知直线 l:x - y +2=0,圆 C:x +y = r (r>0),若直线 l 与圆 C 相切, 则圆的半径是 r= _____. 2 三、解答题:本大题共 5 小题,共 40 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 6 分) 学校举行班级篮球赛,某名运动员每场比赛得分记录的径叶图如下: (1)求该运动员得分的中位数和平均数; (2)估计该运动员每场得分超过 10 分的概率. 0 3578 16.解:(1)中位数为 10;平均数为 9. …4 分 1 012004 (2)每场得分超过 10 分的概率为 P=0.3. …6 分

17.(本小题满分 8 分) 已知函数 f(x)=(x-m)2+2 (1)若函数 f(x)的图象过点(2,2),求函数 y=f(x)的单调递增区间; (2)若函数 f(x)是偶函数,求的 m 值. 17.解:(1) 依题,2=(2-m)2+2,解得 m =2, …2 分 2 ∴f(x)=(x-2) +2, ∴y=f(x)的单调递增区间是(2,+∞). …4 分 (2)若函数 f(x)是偶函数,则 f(-x)=f(x), …6 分 2 2 即(-x-m) +2=(x-m) +2,解得 m=0. …8 分

18.(本小题满分 8 分) D1 C1 已知正方体 ABCD- A1B1C1D1. A1 B1 (1)证明:D1A//平面 C1BD; (2)求异面直线 D1A 与 BD 所成的角. D C 18.(1)证明:在正方体中,D1A∥C1B,又 C1B ?平面 C1BD, A D1A ?平面 C1BD,∴D1A//平面 C1BD. …4 分 B (2) 解:∵ D1A∥C1B,∴异面直线 D1A 与 BD 所成的角是∠C1BD. …6 分 又 ΔC1BD 是等边三角形. ∴∠C1BD=60° .∴D1A 与 BD 所成的角是 60° . …8 分

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19.(本小题满分 8 分) ? ? 已知向量 a ? (2sin x,1), b ? (2cos x,1), x ? R. ? ? ? (1)当 x= 时,求向量 a ? b 的坐标; 4 ? ? ? (2)设函数 f(x)= a ? b ,将函数 f(x)图象上的所有点向左平移 个单位长度得到 g(x) 4 ? 的图象,当 x∈[0, ]时,求函数 g(x)的最小值. 2 ? ? ? ? 19.解:(1) 依题, a ? ( 2,1), b ? ( 2,1),?a+b ? (2 2, 2). …4 分 ? (2) 依题,f(x)=4sinxcosx+1=2sin2x+1,g(x)=2sin[2(x+ )]+1=2cos2x+1, 4 ? ∵x∈[0, ],∴2x∈[0,π],∴当 2x=π 时,g(x)min=-1. …8 分 2 20. (本小题满 10 分) 已知数列{an}满足 a1=2,an+1=an+2,其中 n∈N*. (1)写出 a2,a3 及 an; 1 1 1 (2)记设数列{an}的前 n 项和为 Sn,设 Tn= + +? + ,试判断 Tn 与 1 的关系; S1 S2 Sn (3)对于(2)中 Sn, 不等式 Sn?Sn-1+4Sn -λ(n+1)Sn-1≥0 对任意的大于 1 的整数 n 恒成立, 求实数 λ 的取值范围. 20.解:(1) 依题 a2= a1+2=4,a3= a2+2=6, 依题{an}是公差为 2 的等差数列,∴an =2n; …3 分 1 1 1 1 (2) ∵ Sn=n(n+1),∴ ? , ? ? Sn n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 1 1 ) ? 1? ∴Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? <1 …6 分 2 2 3 n n ?1 n ?1 (3) 依题 n(n+1)?(n-1)n+4n(n+1)-λ(n+1)(n-1)n≥0, 即(n-1)n+4-λ(n-1)≥0, 4 4 4 ? n ?1? ?1 ? 5 , 即 λ≤ n ? 对大于 1 的整数 n 恒成立,又 n ? n ?1 n ?1 n ?1 4 当且仅当 n=3 时, n ? 取最小值 5, 所以 λ 的取值范围是(-∞,5] …10 分 n ?1

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