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2.1.1合情推理-归纳推理 2



2.1合情推理与演绎推理 2.1.1合情推理

歌德巴赫猜想: “任何一个不小于6的偶数都等于两个奇 奇数之和” 即:偶数=奇质数+奇质数

哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位 中学教师,也是一位著名的数学家,生于1690年, 1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年,哥 德巴赫在教学中发现,每个不小于6的偶数都是两 个素数(只能被和它本身整除的数)之和。如6=3 +3,12=5+7等等。 公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时 的大数学家欧拉(Euler),提出了以下的猜想: (a) 任何一个>=6之偶数,都可以表示成两个奇质 数之和。 (b) 任何一个>=9之奇数,都可以表示成三个奇质 数之和。

这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说 ,他相信这个猜想是正确的,但他不能证明。叙述如此简单的 问题,连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明,这个猜想便 引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今,许多数学家 都不断努力想攻克它,但都没有成功。当然曾经有人作了些具 体的验证工作,例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人对33×108以内且大过6之偶数 一一进行验算,哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明 尚待数学家的努力。 从此,这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注 意。200年过去了,没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数 学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代,才 有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛 选法证明,得出了一个结论:每一个比6大的偶数都可以表示 为(9+9)。这种缩小包围圈的办法很管用,科学家们于是从 (9十9)开始,逐步减少每个数里所含质数因子的个数,直到 最后使每个数里都是一个质数为止,这样就证明了“哥德巴赫

哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年 证明的,称为陈氏定理(Chen‘s Theorem) ? “任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然 数之和,而後者仅仅是两个质数的乘积。” 通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式。

歌德巴赫猜想: 即:偶数=奇质数+奇质数
“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇 奇数之和”
歌德巴赫猜想的提出过程:
3+7=10,3+17=20,13+17=30,

改写为:10=3+7,20=3+17,30=13+17.
6=3+3, 8=3+5, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=5+11, 18 =7+11, ?, 1000=29+971, 1002=139+863,



这种由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概栝出一般结论 的推理,称为归纳推理.(简称;归纳) 归纳推理的几个特点;
1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳 所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚 属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观 察、经验和实验的基础之上. 归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分 析的基础上.提出带有规律性的结论. 需证明

归纳推理的一般步骤:
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理; ⑵ 提出带有规律性的结论,即猜想; ⑶ 检验猜想。

例1:已知数列{an}的第1项a1=1且a n +1

an = 1 + an

(n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式.

例2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶
点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们 之间的关系.

多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体 正八面体 五棱柱 截角正方体

面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
4 5 5 4 5 6 6 8 9

尖顶塔

多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体 正八面体 五棱柱 截角正方体

面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
4 5 5 6 6 8 4 5 6 6 8 6 6 8 9 10 12 12

尖顶塔

猜想 F+V-E=2
多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体 正八面体 五棱柱 截角正方体 4 5 5 6 6 8 4 5 6 6 8 6 10

欧拉公式
6 8 9 10 12 12

面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)

7 7
9

15 15
16

10 9

尖顶塔



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