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直线.板块四.直线中的距离问题.学生版


板块四.直线中的距离问题

典例分析
两点间距离公式
【例1】 求函数 f ( x) ? x2 ? 4x ? 13 ? x2 ? 10x ? 26 的最小值.

【例2】 求函数 y ? x2 ? x ? 1 ? x2 ? x ? 1( x ? R) 的值域. 【例3】 在直线 l : 3x ? y ? 1 ? 0 上求两点 P 、 Q ,使得 P 到 A(4, 1) 和 B (0 , 4) 的距离之差的 绝对值最大; Q 到 A(4, 1) 和 C (3, 4) 的距离之和最小.

【例4】 在 x 轴和 y 轴上各求一点,使这点到点 A(3, ? 2) 和点 B(?5, 2) 的距离相等.

点到直线的距离公式
【例5】 点 P(?1, 2) 到直线 8 x ? 6 y ? 15 ? 0 的距离为( A. 2 B.


D.

1 2

C. 1

7 2

【例6】 点 P (2, ? 3) 到直线 l : x ? 1 的距离为

b) 是第二象限内的点,则它到直线 x ? y ? 0 的距离是( 【例7】 已知点 P(a ,



A. a 2 ? b 2

B. b ? a

C.

2 ( a ? b) 2

D.

2 (b ? a ) 2

【例8】 圆 C : x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 的圆心到直线 l : 3x ? 4 y ? 4 ? 0 的距离 d ? _____;

【例9】 直线 y ? x ? 6 上到 A(1, ?2) 距离最短的点是

( ,b) 【例10】 已知直线 l : x ? 2 y ? 5 ? 0 , 且 Pa

在直线 l 上, 求 (a ? 1)2 ? (2b ? 1)2 的最小值.

最小直线中的距离问题
【例11】 已知点 A(?3, 8) 和 B (2 , 2) ,求 x 轴上与点 A 、 B 距离之和最短的点的坐标,以

及对应的距离和的最小值.

【例12】 直线 l 过点 P(8, 4) ,与 x 轴正半轴交于 A ,与 y 轴正半轴交于 B , O 为坐标原

点.当 OA ? OB 取最小值时,求直线 l 的方程.

【例13】 已知点 A ?1 , ? 1? ,点 B ?3 , 5? ,点 P 是直线 y ? x 上动点,当 | PA | ? | PB | 的值最

小时,点 P 的坐标是



?x ≥1 ? 【例14】 设不等式组 ? x ? 2 y ? 3 ≥ 0 ,所表示的平面区域是 ?1 ,平面区域 ?2 与 ?1 关于直 ?y≥ x ?

线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 对称,对于 ?1 中的任意点 A 与 ?2 中的任意点 B , AB 的最小 值等于( 28 A. 5 )
B. 4 C.

12 5

D. 2

【例15】 已知点 A?3 , 5? 及直线 l : x ? 2 y ? 2 ? 0 , B 为 y 轴上的动点, C 为 l 上的动点,

在 △ ABC 的周长的最小值为




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