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【解析版】云南省玉溪市第一中学2013届第四次月考试卷 数学理



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玉溪一中 2013 届第四次月考试卷 理科数学
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.若复数 (1 ? ai) 2 ( i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a ? ( A. ? 1 【答案】A 【解析】

>2 (1? ai)2 ? 1? 2ai ? a2i2 ? 1? a2 ? 2ai ,要使复数是纯虚数,则有 1 ? a ? 0 且

) D.1

B. ? 1

C.0

2a ? 0 ,解得 a ? ?1 ,选 A.
2.已知 p : “ a, b, c 成等比数列”, q : “ b ? ac ”,那么 p 成立是 q 成立的( A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】D 【解析】 a, b, c 成等比数列,则有 b 2 ? ac ,所以 b ? ? ac ,所以 p 成立是 q 成立不充分条 件.当 a=b=c ? 0 时,有 B.必要不充分条件 D. 既不充分又非必要条件 )

b ? ac 成立,但此时 a, b, c 不成等比数列,所以 p 成立是 q 成立

既不充分又非必要条件,选 D. 3.已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (? ? 0, 0 ? ? ? π) 的图象 如图所示,则 ? 等于( A. ) C.

1 3

B. 1

2 3

D. 2

(第 3 题图 ) 【答案】C 【解析】由图象可知 选 C. 4.关于 x 的不等式 ( x ? a)( x ? b) ? 0 的解为 ?1 ? x ? 2 或 x ? 3 ,则点 P(a ? b, c) 位于
x?c

T 15? 3? 12? 2? 2 ? ? ? ? 3? ,所以 ? ? , ,所以 T ? 3? ,又 T ? 2 8 8 8 ? 3

(A)第一象限
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(B) 第二象限

(C) 第三象限

(D) 第四象限

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【答案】A

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【解析】由不等式的解集可知, ? 1, 3 是方程的两个根,且 c ? 2 ,不妨设 a= ? 1 , b=3 , 所以 a ? b=2 ,即点 P(a ? b, c) 的坐标为 (2, 2) ,位于第一象限,选 A. 5.在 ?ABC 中,若
a A cos 2 ? b B cos 2 ? c C cos 2

,则 ?ABC 的形状是(



A.等腰三角形 【答案】B

B.等边三角形

C.直角三角形

D.等腰直角三角形

【 解 析 】 由 正 弦 定 理 可 知 sin A ? cos

A B C ,sin B ? cos ,sin C ? cos , 由 2 2 2 A A A A A 1 sin A ? 2sin cos ? cos ,因为 cos ? 0 ,所以 sin ? ,因为 0 ? A ? ? ,所以 2 2 2 2 2 2

0?

A ? A ? ? ? ? ? ,所以 ? ,即 A ? .同理可得 B ? , C ? ,所以三角形为等边三角形, 2 6 3 3 3 2 2

选 B. 6.某学习小组共 12 人,其中有五名是“三好学生” ,现从该小组中任选 5 人参加竞赛,用

? 表示这 5 人中“三好学生”的人数,则下列概率中等于 C7 +C5C 7 的是( 5
C12

5

1

4



A. P ?? ? 1? 【答案】B
4 C1 C 7 5 5 P ?? ? 1? ? C12

B. P ?? ? 1?

C. P ?? ? 1?

D. P ?? ? 2 ?

P (? ? 0) ?

【解析】

,

C5 7 5 C12

5 1 4 ,所以 P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? C57 ? C5C7 ,选 B. 5 C12 C12

?? ? ?? ? 2 ?? ? ???? 1 ???? 7.如右图,在△ ABC 中, AN ? NC , P 是 BN 上的一点,若 AP ? m AB ? AC ,则实数 m 9 3

的值为( A. 【答案】A

) B

1 9

1 3

C. 1

D.

3

???? 1 ???? ???? 1 ???? ? ??? ? AN ? NC AN ? AC ??? 3 4 【解析】因为 ,所以 设 BP ? ? BN ,
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??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ???? ??? ? ??? ???? ? 则 AP ? AB ? BP ? AB ? ? BN ? AB ? ? ( AB ? AN )

??? ? ???? ??? ? ??? ? ? ? ? 2 ? (? ? 1) AB ? ? AN ? (? ? 1) AB ? AC ?? ? ?? ? 2 ?? ? ?? ? 4 ,又 AP ? m AB ? AC ,所以有 ? 4 9 ,即 9 ?? ? 1 ? m ?
8 ? ?? ? ? 9 ? ,选 A. ? 1 ?m ? ? 9 ?
8.定义行列式运算

a1 a2 a3 a4

= a1a4 ? a2 a3 .将函数 f ( x) ? )

sin 2 x cos 2 x

? 3 的图象向左平移 个 6 1

单位,以下是所得函数图象的一个对称中心是 (

?? ? ? ,0? A. ? 4 ?
【答案】B

( ,0) B. 2

?

?? ? ? ,0? C. ? 3 ?

?? ? ? ,0? D. ? 12 ?

【解析】 由行列式的定义可知

f ( x) ?

sin 2 x cos 2 x

? 3 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) ,函 1 3

的图象向左平移 数

? ? ? 个单位,得到的函数为 g ( x) ? 2sin[2( x ? ) ? ] ? 2sin 2 x ,所以有 6 3 6

g ( ) ? 2sin(2 ? ) ? 2sin ? ? 0 ,所以 ( ,0) 是函数 g ( x) 的一个零点,选 B. 2 2 2
?1 (x 为有理数) 9.函数 f ( x ) ? ? (x 为无理数) , 则下列结论错误的是 ( 0 ?
A. f ( x ) 是偶函数 C. f ( x ) 是周期函数 【答案】D 【解析】则当 x 为有有理数时,?x , x ? T 也为有理数,则 f (? x)=f ( x) , f ( x ? T )=f ( x) ; 则当 x 为有无理数时, ?x , x ? T 也为无理数,则 f ( x ? T )=f ( x) ,所以函数 f ( x ) 为偶函 数且为周期函数,所以 A,C 正确.当 x 为有有理数时, f ( f ( x)) ? f (1) ? x ,即 1 ? x ,所以方程 )

?

?

?

B.方程 f ( f ( x)) ? x 的解为 x ? 1 D.方程 f ( f ( x)) ? f ( x) 的解为 x ? 1

f ( f ( x)) ? x 的解为 x ? 1 ,C 正确.方程 f ( f ( x)) ? f ( x) 可等价变形为 f ( x )=1 ,此时与方程
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f ( x )=1 的解为 x 为有理数,故 D 错误,故选 D
10. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且满足 S15 ? 0, S16 ? 0, 则

S S1 S 2 , ,?, 15 中最大的项 a1 a2 a15



A.

S6 a6

B. S 7
a7

C. S 9
a9

D. S 8
a8

【答案】D 【解析】 S15 ? 由

15(a1 ? a15 ) 15(a1 ? a16 ) 15(a9 ? a8 ) =15a8 ? 0 , a8 ? 0 .由 S16 ? = ?0, 得 2 2 2

得 a9 ? a8 ? 0 ,所以 a9 ? 0 ,且 d ? 0 .所以数列 {an } 为递减的数列.所以 a1 ,?a8 为正,

a9 ,?an 为 负 , 且 S1,?S1 5 ? 0 , S16 ,?Sn ? 0 , 则 S8 ? S1, a1 ? a8,所以

S9 S S ? 0 , 10 ? 0? , 8 ? 0 , 又 a9 a10 a8

S8 S1 S ? ? 0 ,所以最大的项为 8 ,选 D. a8 a1 a8

11.函数 y ? f (x) 为定义在 R 上的减函数,函数 y ? f ( x ? 1) 的图像关于点(1,0)对称,

x, y 满足不等式 f (x 2 ? 2x) ? f (2 y ? y 2 ) ? 0 , M (1, 2), N ( x, y ) ,O 为坐标原点,则当
???? ???? ? 1 ? x ? 4 时, OM ? ON 的取值范围为 (
A. ? ,?? ? 12 【答案】D 【解析】因为函数 y ? f ( x ? 1) 的图像关于点(1,0)对称,所以 y ? f ( x) 的图象关于原点 对 称 , 即 函 数 y ? f ( x) 为 奇 函 数 , 由 B. ?0,3? ) C. ?3,12 ? D. ?0,12?

f (x 2 ? 2x) ? f (2 y ? y 2 ) ? 0 得

? x2 ? 2 x ? y 2 ? 2 y ? f ( x2 ? 2x) ? ? f (2 y ? y2 ) ? f ( y2 ? 2 y) ,所以 x2 ? 2x ? y2 ? 2 y ,所以 ?1 ? x ? 4 ,

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?( x ? y )( x ? y ? 2) ? 0 ? ?1 ? x ? 4

,画出可行域如图,

可得

=x+2y∈[0,12].故选 D.

12.在抛物线 y ? x 2 ? ax ? 5(a ? 0) 上取横坐标为 x1 ? ?4, x2 ? 2 的两点,过这两点引一条割 线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x 2 ? 5 y 2 ? 36 相切,则抛物线顶点的坐 标为( ) B. (0,?5) C. (2,?9) D. (1,?6)

A. (?2,?9) 【答案】A

【解析】 两点坐标为 (?4,11 ? 4a), (2, 2a ? 1) , 解: 两点连线的斜率 k= 对于 y ? x 2 ? ax ? 5(a ? 0) , y ' ? 2 x ? a , ∴2x+a=a﹣2 解得 x=﹣1 在抛物线上的切点为 (?1, ?a ? 4) ,切线方程为 (a ? 2) x ? y ? 6=0 直线与圆相切,圆心(0,0)到直线的距离=圆半径,即

解得 a=4 或 0(0 舍去) ,所以抛物线方程为 y ? x2 ? 4x ? 5 顶点坐标为 (?2,?9) ,故选 A. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.在 (1? x)5 ? (1? x)6 的展开式中,含 x 3 的项的系数是 【答案】-30
k k k k k k 【解析】(1? x)5 的展开式的通项为 C5 (?1) x ,(1? x)6 的展开式的通项为 C6 (?1) x ,所
3 3 3 3 3 3 3 以 x 3 项为 C5 (?1) x ? C6 (?1) x ? ?30 x ,所以 x 3 的系数为 ?30 .

14.对于满足 0 ? a ? 4 的实数 a ,使 x 2 ? ax ? 4 x ? a ? 3 恒成立的 x 取值范围是
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【答案】 (??, ?1) ? (3, ??)

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【 解 析 】 原 不 等 式 等 价 为 x 2 ? a x ? 4 x ? a ?3 ?0 , 即 x 2 ? a x ? 4 x ? a ?3 ?0 , 所 以
2 a( x? 1)? x ? 4x ? 3 ? 0 ,



f(

?) a

a? (

2

x ? 1

) ?, x

则 4x ?

函3 数

f(

?) a

a? (

2

x ? 1

) 表示直线,所以要使 f (a) ? a( x ?1) ? x2 ? 4x ? 3 ? 0 ,则有 ? x 4x ? 3

f (0) ? 0, f (4) ? 0 ,即 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 且 x 2 ? 1 ? 0 ,解得 x ? 3 或 x ? ?1 ,即不等式的解
析为 (??, ?1) ? (3, ??) . 15.过椭圆左焦点 F ,倾斜角为 离心率为

? 的直线交椭圆于 A , B 两点,若 FA ? 2 FB ,则椭圆的 3

2 【答案】 3

【解析】如图

,设椭圆的左准线为 l,过 A 点作 AC⊥l 于

C,过点 B 作 BD⊥l 于 D,再过 B 点作 BG⊥AC 于 G, 直角△ABG 中,∠BAG=60°,所以 AB=2AG,?① 由圆锥曲线统一定义得: ∵FA=2FB, ∴AC=2BD ?② ,

直角梯形 ABDC 中,AG=AC﹣BD= ①、②比较,可得 AB=AC,

又∵

∴ ,

2 故所求的离心率为 3 .

16.已知正三棱锥 P ? ABC,点 P, A, B, C 都在半径为 3 的球面上,若 PA, PB, PC 两两互相 垂直,则球心到截面 ABC的距离为________.

3 【答案】 3
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【解析】因为在正三棱锥 P ? ABC 中,PA,PB,PC 两两互相垂直,所以可以把该正三棱锥看 作为一个正方体的一部分, (如图所示) 此正方体内接于球, , 正方体的体对角线为球的直径, 球心为正方体对角线的中点.球心到截面 ABC 的距离为球的半径减去正三棱锥 P ? ABC 在面

ABC 上的高.已知球的半径为 3 , 所以正方体的棱长为 2, 可求得正三棱锥 P ? ABC 在面 ABC
上的高为

2 3 2 3 3 ,所以球心到截面 ABC 的距离为 3 ? . ? 3 3 3

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 17. (本题 12 分)在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 S n ,等比数列 ?bn ? 的各项均 为正数, b1 ? 1 ,公比为 q ,且 b2 ? S 2 ? 12 , q ? (1)求 a n 与 bn ; (2)设数列 ?cn ? 满足 cn ?

S2 . b2

1 ,求 ?c n ?的前 n 项和 Tn . Sn

18. (本题 12 分) 现有 4 个人去参加某娱乐活动, 该活动有甲、 乙两个游戏可供参加者选择, 为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出 点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (1)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率; (2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率; (3)用 X,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ξ =|X-Y|,求随机变量 ξ 的分布列与数学期望 Eξ .

19. (本题 12 分)如图 6,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AA1 ? AD ? 1 , E 为 CD 中点.
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(1)求证: B1 E ? AD1 ;

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(2)在棱 AA1 上是否存在一点 P ,使得 DP// 平面 B1 AE ?若存在,求 AP 的长;若不存在, 说明理由; (3)若二面角 A ? B1 E ? A1 的大小为 30°,求 AB 的长.

图6

20. (本题 12 分) (Ⅰ) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? ln x ? ax在 ( 0,1) 上是增函数,求 a 的取值范围; (Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下,设 g( x) ? e
2x

? aex ?1 , x ? ?0, ln 3? ,求 g (x) 的最小值.

21. (本题 12 分) 如图所示, 已知椭圆 C1 和抛物线 C2 有公共焦点 F (1,0) , C1 的中心和 C2 的 顶点都在坐标原点,过点 M (4,0) 的直线 l 与抛物线 C2 分别相交于 A, B 两点

(1)写出抛物线 C2 的标准方程;

(2)若 AM ?

1 MB ,求直线 l 的方程; 2

(3)若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 P 在抛物线 C2 上,直线 l 与椭圆 C1 有公共点,求椭 圆 C1 的长轴长的最小值.

请考生在第 22,23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题记分. 22. (本小题满分 10 分) 《选修 4-4:坐标系与参数方程》 在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线

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2

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? 2

x ? ?2 ? t ? C : ? sin ? ? 2a cos? (a ? 0) ,已知过点 P (?2,?4) 的直线 l 的参数方程为: ? 2 , ? ? y ? ?4 ? 2 t ? 2 ?

直线 l 与曲线 C 分别交于 M , N 两点. (Ⅰ)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)若 | PM |,| MN |,| PN | 成等比数列,求 a 的值.

23. (本小题满分 10 分) 《选修 4-5:不等式选讲》 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3 | . (Ⅰ)求不等式 f ( x ) ? 6 的解集; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ?| a ? 1 | 的解集非空,求实数 a 的取值范围.

玉溪一中 2013 届第四次月考试卷 理科数学答案 一. 1 A 2 D 3 C 4 A 5 B 6 B 7 A 8 B 9 D 10 D 11 D 12 A

13.-30

14.

(-∞,-1)∪ (3,+∞).15.

2 3

16.

3 3

17. 解:(1)设 ?an ? 的公差为 d .

?b2 ? S 2 ? 12, ?q ? 6 ? d ? 12, ? ? S2 6?d 因为 ? 所以 ? q? . q? , ? ? q b2 ? ?
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解得 q ? 3 或 q ? ?4 (舍) d ? 3 . ,

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n ?1 故 an ? 3 ? 3 ? n ? 1? ? 3n , bn ? 3 .

(2)由(1)可知, S n ? 所以 cn ?

n ? 3 ? 3n ? , 2

1 2 2?1 1 ? ? ? ? ? ?. Sn n ? 3 ? 3n ? 3 ? n n ? 1 ?

故 Tn ?

2 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 2 ? 1 ? 2n ?1 ?? 1 ? 2 ? ? ? 2 ? 3 ? ? … ? ? n ? n ? 1 ? ? ? 3 ? 1 ? n ? 1 ? ? 3 n ? 1 . 3 ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?

1 2 18. 解:依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲游戏的概率为 ,去参加乙游戏的概率为 . 3 3
i?1? i?2?4-i 设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai(i=0,1,2,3,4), P(Ai)=C4? ? ? ? . 则 ?3? ?3?

8 2?1? 2?2?2 (1)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率 P(A2)=C4? ? ? ? = . ?3? ?3? 27 (2)设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 B,则 B =A3∪A4, 由于 A3 与 A4 互斥,故

P(B)=P(A3)+P(A4)=C3? ?3? ?+C4? ?4= . 4 4 ?3? ?3? ?3? 9
1 所以,这 4 个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 . 9 (3)ξ 的所有可能取值为 0,2,4. 由于 A1 与 A3 互斥,A0 与 A4 互斥,故

?1? ?2?

?1?

1

P(ξ =0)=P(A2)= , P(ξ =2)=P(A1)+P(A3)= , P(ξ =4)=P(A0)+P(A4)= .
所以 ξ 的分布列是 ξ 0 8 27 2 40 81 4 17 81 17 81 40 81

8 27

P

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8 40 17 148 随机变量 ξ 的数学期望 Eξ =0× +2× +4× = 27 81 81 81 → → → 19. 解:(1)以 A 为原点,AB,AD,AA1的方向分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直

? ? 角坐标系(如图).设 AB=a,则 A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E? ,1,0?,B1(a,0,1), ?2 ?
a
→ → ? a → ?a ? → ? 故AD1=(0,1,1),B1E=?- ,1,-1?,AB1=(a,0,1),AE=? ,1,0?. ? 2 ? ?2 ?

a → → 因为AD1·B1E=- ×0+1×1+(-1)×1=0, 2
所以 B1E⊥AD1.

(2)假设在棱 AA1 上存在一点 P(0,0,z0), → 使得 DP∥平面 B1AE.此时DP=(0,-1,z0). 又设平面 B1AE 的法向量 n=(x,y,z).

?ax+z=0, ? → 因为 n⊥平面 B1AE,所以 n⊥AB1,n⊥AE,得?ax ? 2 +y=0. ?
→ 取 x=1,得平面 B1AE 的一个法向量 n=?1,- ,-a?. 2 ? ?

?

a

?

a 1 → 要使 DP∥平面 B1AE,只要 n⊥DP,有 -az0=0,解得 z0= . 2 2
1 又 DP?平面 B1AE,所以存在点 P,满足 DP∥平面 B1AE,此时 AP= . 2 (3)连接 A1D,B1C,由长方体 ABCD-A1B1C1D1 及 AA1=AD=1,得 AD1⊥A1D. 因为 B1C∥A1D,所以 AD1⊥B1C. 又由(1)知 B1E⊥AD1,且 B1C∩B1E=B1, → → 所以 AD1⊥平面 DCB1A1.所以AD1是平面 A1B1E 的一个法向量,此时AD1=(0,1,1). → 设AD1与 n 所成的角为 θ ,

则 cosθ = = → |n||AD1| 2

n·AD1



- -a 2 1+ +a 4

a

a2

.
2

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3a 2

因为二面角 A-B1E-A1 的大小为 30°, 3 , 2

所以|cosθ |=cos30°,即 2 解得 a=2,即 AB 的长为 2. 20. 解:(1) f ?( x) ? 2 x ? 上恒成立,即 a≤2x+

5a 1+ 4

2



1 1 ? a ,∵f(x) 在(0,1)上是增函数,∴2x+ -a≥0 在(0,1) x x

1 1 恒成立, ∴只需 a≤(2x+ )min 即可. ????4 分 x x

∴2x+

2 1 ≥ 2 2 (当且仅当 x= 时取等号) , ∴a≤ 2 2 ????6 分 2 x

(2) 设 e x ? t,? x ? ?0, ln3?,?t ? ? ,3? 1 . 设 h(t ) ? t ? at ? 1 ? (t ?
2

a 2 a2 ) ? (1 ? ) 2 4

,其对称轴为 t=

a ,由(1)得 a≤ 2 2 , 2

∴t=

a 3 ≤ 2 < ????8 分 2 2
a2 a a ≤ 2 ,即 2≤a≤ 2 2 时,h(t)的最小值为 h( )=-1, 4 2 2

则当 1≤



a <1,即 a<2 时,h(t)的最小值为 h(1)=-a ????10 分 2

a2 当 2≤a≤ 2 2 时 g(x) 的最小值为-1, 4
当 a<2 时 g(x) 的最小值为-a. ????12 分

21. 解: (1)

(2)设

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(3)

椭圆设为

消元整

22.
y2 ? 2ax, y ? x ? 2 .







Ⅰ ?????..5 分



? 2 t ? x ? ?2 ? ? 2 (Ⅱ)直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数), ? y ? ?4 ? 2 t ? 2 ?
代入 y 2 ? 2ax , 得到 t 2 ? 2 2 (4 ? a)t ? 8 (4 ? a) ? 0 , 则有 t1 ? t2 ? 2 2 (4 ? a), t1 ? t2 ? 8 (4 ? a) . 因为 | MN |2 ? | PM | ? | PN | ,所以 (t1 ? t2 )2 ? (t1 ? t2 )2 ? 4t1 ? t2 ? t1 ? t2 . 23. 解: (Ⅰ)原不等式等价于 解得
a ?1.

??????7 分

3 3 1 ? ? 1 ? ?x ? , ?? ? x ? , ?x ? ? , 或? 2 或? 2 2 2 ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6, ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6, ??(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6. ? ? ?
解之得

3 1 3 1 ? x ? 2, 或 ? ? x ? ,或 ? 1 ? x ? ? . 2 2 2 2
??????5 分

即不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? 2} .

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(Ⅱ)? f ?x ? ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? ?2 x ? 1? ? ?2 x ? 3? ? 4 .

? a ? 1 ? 4 ,解此不等式得 a ? ?3或a ? 5 .
(本题利用图像法或几何意义法仍然可解,请酌情给分.)

??????10 分

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