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2.3幂函数hjh



2.3 幂函数

我们先看下面几个具体问题:

思考:这些函 (1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她 数有什么共同 需要支付p= 元,这里p是w的函数; 的特征? (2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S= , 这里S是a的函数; (3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V= , 这里V是a的函数; (4) 如

果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方 形的边长 a ? ,这里a是S的函数; (5) 如果某人t 秒内骑车行进了1 km,那么他骑车的平 均速度v= km/s,这里v是t 的函数。

它们有以下共同特点:(1)都是函数; (2) 指数为常数. (3) 均是以自变量为底的幂;

一.幂函数定义

一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中 x是自变量,α是常数.
定义说明
(1) ? 为常量, (2)

y?x

?

? ? R.

中前面的系数为1.

(3)定义域没有固定,与 ? 的值有关.

判一判
判断下列函数是否为幂函数. (1) y=x4 1 ( 2) y ? 2 x (3) y= -x2

( 4) y ? 1
(5) y=2x2 (6) y=x3+2

一.求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性.

(1)
解:

y?x ?y? x
5 5

y ?2 x

2 5

2

?

定义域为: (??, ??)
f ( ? x) ? 5 ( ? x) 2 ? 5 x 2 ? f ( x)

对于任意 x ? R, 都有
2 5 是偶函数

? y?x

(2) 解:

y?x
y?x
4 3

3 ? 4

3 ? 4

?y?
?x?0

1
4

?

? ? x ?0 ? 3 ? ?x ? 0
? 3 4

x

3

即定义域为:

(0, ??)

则 y ? x 是非奇非偶函数

(3) 解:

y?x

?2

?

1 y?x ?y? 2 x 2 x ? 0 即x ? 0
?2

定义域为: {x | x ? 0} 对于任意 x ? (??,0) ? (0,??) 都有
f (? x) ? (? x) ? x ? f ( x)
?2 ?2

则 y ? x 是偶函数

?2

幂函数与指数函数的对比
名称

式子 指数函数: y=a x 幂函数: y= x a

a

x

y

底数 指数

指数 底数

幂值 幂值

判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看看未知数x是指数还是底数 指数函数 幂函数

在同一平面直角坐标系内作出幂函数y=x,y=x2, y=x3,y=x1/2,y=x-1的图象:

定义域:R 值 域: R 奇偶性: 奇函数

在R上是增函数 单调性:

定义域:

R

值 域: [0,??)

偶函数 奇偶性:
单调性: 在[0,??)上是增函数
在(??,0]上是减函数

定义域: 值 域:

R R

奇偶性: 奇函数

单调性:在R上是增函数

[0,??) 定义域:
[0,??) 值 域:
奇偶性: 非奇非偶函数 在[0,??)上是增函数 单调性:

{x x ? 0} 定义域:

{y 值 域:

y ? 0}

奇函数 奇偶性:
在(0,??)上是减函数 单调性:

在(??,0)上是减函数

在同一平面直角坐标系内作出幂函数y=x,y=x2, y=x3,y=x1/2,y=x-1的图象:

幂函数的性质
函数 性质

y=x R R 奇 增

y=x2 R [0,+∞) 偶

y=x3 R R 奇 增
(1,1)

y?x

1 2

y=x-1 {x|x≠0} {y|y≠0} 奇

定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点

[0,+∞) [0,+∞) 非奇 非偶 增

[0,+∞)增 (-∞,0]减

(0,+∞)减 (-∞,0)减

幂函数的性质
(1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义, 并且图象都通过点(1,1); (2) 如果α>0,则幂函数图象过原点, 并且在区间[0,+∞)上是增函数; (3) 如果α<0,则幂函数图象在区间 (0,+∞)上是减函数; (4) 当α为奇数时,幂函数为奇函数;
当α为偶数时,幂函数为偶函数.

幂函数的图象画法:

重 点

例1 将下列函数序号填在相应图象下面的 括号里。

(1) y=x
1

4 5

(2) y=x
2

4 3

(3) y=x
4

?

1 2

(4) y=x
4

?

1 3

2
1
2

-6
-4 -2 2 4 6

-4

-2

2

4

6

-1

-1

-2

-2

-4

-4

例2.比较下列两数的大小:

(1)1.5 ,1.7

0.8

0.8

解:因为 y ? x0.8 在 [0,??) 是增函数

又因1.5>1.7 则 1.50.8 ? 1.7 0.8

(2)?

?1.1

解:因为 y

与3.14

-1.1

?x
?1.1

?1.1

又因 所以 ?

? >3.14

在 [0,??) 减函数
?1.1

? 3.14

P78例1 证明幂函数 f ( x) ?

x 在[0,+∞)上是增函数.

证明:任取x1,x2∈ [0,+∞),且x1<x2,则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ?

x1 ? x2 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2
除了作差,还 有没有其它方
法呢?

因为x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0,

所以f ( x1 ) ? f ( x2 ),即幂函数f ( x) ? x在[0,??)上是增函数 .

例1 证明幂函数f(x)= x1/2 在[0,+∞)上是增函数.
证明2: 任取x1 ,x2 ∈ [0,+∞),且x1< x2 则x1/ x2<1 所以 所以 所以

x1 f ( x1 ) x1 ? ? ?1 f ( x2 ) x2 x2

f ( x1 ) ? f ( x2 )
f ( x) ? x在?0, ? ? ?为增函数

(1)作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有理化 的方式 (2)作商法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则推不出 f(x1)<f(x2)

练习: 已知幂函数的图象过点( 2, 解析式.

2 ) ,试求出此函数的
?

解:设f(x)=xa由题意得

2?2

? ? log 2

1 2 ? log 2 2 ? 2 1
2

1 2

f ( x) ? x
总结:

(1) 理解并掌握形如y=xa的形式就是幂函数的定义 (2) 充分理解并掌握幂函数的性质和特征

小结

(1) 幂函数的定义; (2) 幂函数的性质;

(3) 利用幂函数的单调性判别大小
作业:P82 4、5、6



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