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重庆市渝中区巴蜀中学2015届高三下学期第三次模拟数学(理)试卷



重庆市渝中区巴蜀中学 2015 届高考数学三模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.在复平面内,复数 A.第一象限 的对应点位于( B.第二象限
2

) C.第三象限 D.第四象限 )

2.已知全集 U=R,集合 A

={x|x ﹣2x>0},B={x|y=lg(x﹣1)},则(?UA)∩B 等于( A.{x|x>2 或 x<0} B.{x|1<x<2} C.{x|1≤x≤2} D.{x|1<x≤2}

3.已知向量 =(2,﹣1) , =(3,x) .若 ? =3,则 x=( A.6 B.5 C .4

) D.3

4.重庆一中学有三个年级共 430 人,其中初一年级有 160 人,初二年级人数是初三年级人 数的 2 倍, 为了解该校初中生对参加某项社会实践活动的意向, 拟采用分层抽样的方法进行 调查,在抽取的样本中有初一年级学生 32 人,则该样本中的初三年级人数为( ) A.32 B.36 C.18 D.86 5.一个几何体的俯视图是半径为 l 的圆,其主视图和侧视图如图所示,则该几何体的表面 积为( )

A.3π

B.4π

C.5π

D.7π

6.下列说法中正确的是( ) 2 2 A.若命题 p:?x∈R 有 x >0,则¬p:?x∈R 有 x ≤0 B.若 p 是 q 的充分不必要条件,则¬p 是¬q 的必要不充分条件 C.若命题 p:
2

>0,则¬p:

≤0

D.方程 ax +x+a=0 有唯一解的充要条件是 a=±

7.设等差数列{an}和等比数列{bn}首项都是 1,公差和公比都是 2,则 a +a +a =( )

A.24 8.给出计算 ( )

B.25

C.26

D.27

的值的一个程序框图如图,其中判断框内应填入的条件是

A.i>10

B.i<10

C.i>20

D.i<20

9.已知双曲线



=1 的左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1 作圆 x +y =a 的切线分别交

2

2

2

双曲线的左、右两支于点 B、C,且|BC|=|CF2|,则双曲线的渐近线方程为( ) A.y=±3x B.y=±2 x C.y=±( +1)x D.y=±( ﹣1)x 10.已知函数 f(x)满足 f(0)=1,且对于任意实数 x,y∈R 都有:f(xy+1)=f(x)f(y) ﹣f(y)﹣x+2,若 x∈[1,3],则 的最大值为( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11.根据如下样本数据 x 3 4 5 6 7 y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 得到的回归方程为 =bx+a.若 a=7.9,则 b 的值为__________.

12.已知 x 是三角形的内角,且 sinx﹣cos(x﹣π)= ,则 cos2x=__________.

13.要分配甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学去参加三项不同的教学活动,其中活动一和活动二 各要 2 人,活动三要 1 人,每人只能参加一项活动,且甲,乙两人不能参加同一活动,则一 共有___________种不同的分配方法.

一、考生注意: (14) 、 (15) 、 (16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则 按前两题给分. 14.过圆外一点 P 作圆的切线 PA(A 为切点) ,再作割线 PBC 与圆交于 B,C.若 PA=6, AC=8,BC=9,则 AB=__________.

一、选做题 15.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 与 θ= 点的直角坐标是__________. (φ 为参数,0≤φ≤π) .以 O (ρ>0)所表示的图形的交

一、选做题 2 16.已知关于 x 的不等式|x+2|+|x﹣2|≤a 解集为空集,则 a 的取值范围为__________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知函数 f(x)=2 cos x+2sinxcosx﹣m(x∈R) ,函数 f(x)的最大值为 2. (1)求实数 m 的值; (2) 在△ ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边是 a、 b、 c, . 若 A 为锐角, 且满足 ( f A) =0, sinB=3sinC, △ ABC 的面积为 ,求边长 a.
2

18. 退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势. 某机构为了解某城 市市民的年龄构成,从该城市市民中随机抽取年龄段在 20~80 岁(含 20 岁和 80 岁)之间 的 600 人进行调查,并按年龄层次[20,30) ,[30,40) ,[40,50) ,[50,60) ,[60,70) ,[70, 80]绘制频率分布直方图,如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”,[40, 60)为“中年人”,[60,80]为“老年人”.

(Ⅰ)若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替,试估算所调查的 600 人的平均年龄; (Ⅱ)将上述人口分布的频率视为该城市在 20﹣80 年龄段的人口分布的概率.从该城市 20 ﹣80 年龄段市民中随机抽取 3 人,记抽到“老年人”的人数为 X,求随机变量 X 的分布列和 数学期望. 19.在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AD∥BC,BC=2AD=4,AB=CD= ∠DBC=45° (1)证明:BD⊥平面 PAC; (2)若二面角 A﹣PC﹣D 的大小为 60°,求四棱锥 P﹣ABCD 的体积. ,

20.已知函数 f(x)=e ﹣ax﹣1(e 为自然对数的底数) ,a>0. (1)若 a=1,求函数 f(x)在 x=0 处的切线方程; (2)若 f(x)≥0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 a 的取值集合.

x

21.已知椭圆 C1:

+

=1(a>b>0)过点 A(1,

) ,其焦距为 2.

(1)求椭圆 C1 的方程; 2 2 (2) 已知 F1, F2 分别是椭圆的左右焦点, P 为直线 x=2 上一点. 直线 PF1, PF2 与圆 x +y =1 的另外一个交点分别为 M、N 两点,求证:直线 MN 恒过一定点.

22.已知数列{an}中,a1= ,an= (1)证明数列{

(n≥2,n∈N) .

﹣1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;
+

(2)证明:a1a2…an<2?n!. (注意:n!=1×2×3×…×n,n∈N ) .

重庆市渝中区巴蜀中学 2015 届高考数学三模试卷 (理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.在复平面内,复数 A.第一象限 的对应点位于( ) C.第三象限 D.第四象限

B.第二象限

考点:复数代数形式的乘除运算;复数的代数表示法及其几何意义. 专题:计算题. 分析:利用复数的除法运算,将复数 解答: 解:复数 ∴复数 故复数 = 表示出来,根据复数的几何意义,即可得到答案. ,

在复平面内对应的点为(1,﹣2) , 的对应点位于第四象限.

故选:D. 点评:本题考查了复数的代数表示法以及几何意义,考查了复数的代数形式的乘法运算,解 题时要认真审题.复数的几何意义是复数和复平面内的点是一一对应关系.属于基础题.

2.已知全集 U=R,集合 A={x|x ﹣2x>0},B={x|y=lg(x﹣1)},则(?UA)∩B 等于( A.{x|x>2 或 x<0} B.{x|1<x<2}C.{x|1≤x≤2} D.{x|1<x≤2}

2

)

考点:交、并、补集的混合运算. 专题:计算题. 分析:求出集合 A 中的一元二次不等式的解集,确定出集合 A,由全集 R,求出集合 A 的 补集,然后求出集合 B 中对数函数的定义域确定出集合 B,求出集合 A 补集与集合 B 的交 集即可. 2 解答: 解:由集合 A 中的不等式 x ﹣2x>0, 因式分解得:x(x﹣2)>0, 解得:x>2 或 x<0,所以集合 A={x|x>2 或 x<0},又全集 U=R, ∴CuA={x|0≤x≤2}, 又根据集合 B 中的对数函数可得:x﹣1>0,解得 x>1, 所以集合 B={x|x>1}, 则(CuA)∩B={x|1<x≤2}. 故选 D 点评: 此题属于以一元二次不等式的解法及对函数的定义域为平台, 考查了补集及交集的运 算,是一道基础题.也是 2015 届高考中常考的题型.

3.已知向量 =(2,﹣1) , =(3,x) .若 ? =3,则 x=( A.6 B.5 C .4

) D.3

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:由题意, =(2,﹣1) , =(3,x) . ? =3,由数量积公式可得到方程 6﹣x=3,解 此方程即可得出正确选项. 解答: 解:∵向量 =(2,﹣1) , =(3,x) . ? =3, ∴6﹣x=3,∴x=3. 故选 D 点评:本题考查数量积的坐标表达式,熟练记忆公式是解本题的关键,是基础题. 4.重庆一中学有三个年级共 430 人,其中初一年级有 160 人,初二年级人数是初三年级人 数的 2 倍, 为了解该校初中生对参加某项社会实践活动的意向, 拟采用分层抽样的方法进行 调查,在抽取的样本中有初一年级学生 32 人,则该样本中的初三年级人数为( ) A.32 B.36 C.18 D.86 考点:分层抽样方法. 专题:概率与统计. 分析:根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论. 解答: 解:∵一年级有 160 人,初二年级人数是初三年级人数的 2 倍, ∴一年级有 160 人,初二年级年级为 180 人,初三年级人数为 90 人,

在抽取的样本中有初一年级学生 32 人,则该样本中的初三年级人数为

人,

故选:C. 点评: 本题主要考查分层抽样的应用, 根据条件建立比例关系是解决本题的关键. 比较基础. 5.一个几何体的俯视图是半径为 l 的圆,其主视图和侧视图如图所示,则该几何体的表面 积为( )

A.3π

B.4π

C.5π

D.7π

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:根据几何体的三视图,得出该几何体是圆柱与半球的组合体,结合图中数据,求出它 的表面积. 解答: 解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是底部为圆柱,上部为半球的组合体, 且圆柱的底面圆半径为 1,高为 1,半球的半径为 1; 所以该组合体的表面积为 2π×1×1+π×1 + ×4π×1 =5π. 故选:C. 点评: 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题, 也考查了求几何体的表面积的应用问题, 是基础题目. 6.下列说法中正确的是( ) 2 2 A.若命题 p:?x∈R 有 x >0,则¬p:?x∈R 有 x ≤0 B.若 p 是 q 的充分不必要条件,则¬p 是¬q 的必要不充分条件 C.若命题 p:
2 2 2

>0,则¬p:

≤0

D.方程 ax +x+a=0 有唯一解的充要条件是 a=±

考点:命题的真假判断与应用. 专题:简易逻辑. 分析:A 项利用存在性和全称量词的否定来判断. B 项利用原命题和逆否命题同真假判断 C 项用不等式解集的补集思路处理. D 项考虑二次项系数为 0 的情况.

解答: 解:对于 A 项,若命题 p:?x∈R 有 x >0,则¬p:?x0∈R 有 x0 ≤0.故 A 错. 对于 B 项,p 是 q 的充分不必要条件,即 p?q,则¬q?¬p,∴¬p 是¬q 的必要不充分条 件.故 B 对. 对于 C 项,若命题 p: >0,则¬p:
2

2

2

≤0 或 x=0.故 C 错.

对于 D 项,当 a=0 时,方程 ax +x+a=0 为 x=0.为一次函数.也满足唯一解的条件.故 D 错. 故选:B 点评:本题主要考查逻辑用语中四种命题的判定和否定,基础题型. 7.设等差数列{an}和等比数列{bn}首项都是 1,公差和公比都是 2,则 a +a A.24 +a =( ) B.25 C.26 D.27

考点:等差数列与等比数列的综合. 专题:等差数列与等比数列. 分析:利用等比数列求出 b2,b3,b4,然后利用等差数列求解即可. 解答: 解:等比数列{bn}首项是 1,公比是 2, ∴b2=2,b3=4, b4=8, 等差数列{an}首项是 1,公差是 2, ∴a +a +a =a2+a4+a8=3a1+11d=3+11×2=25.

故选:B. 点评:本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用,考查计算能力.

8.给出计算 ( )

的值的一个程序框图如图,其中判断框内应填入的条件是

A.i>10

B.i<10

C.i>20

D.i<20

考点:循环结构. 专题:压轴题;图表型. 分析:结合框图得到 i 表示的实际意义,要求出所需要的和,只要循环 10 次即可,得到输 出结果时“i”的值,得到判断框中的条件. 解答: 解:根据框图,i﹣1 表示加的项数 当加到 时,总共经过了 10 次运算,则不能超过 10 次,

i﹣1=10 执行“是” 所以判断框中的条件是“i>10” 故选 A 点评: 本题考查求程序框图中循环结构中的判断框中的条件: 关键是判断出有关字母的实际 意义,要达到目的,需要对字母有什么限制.

9.已知双曲线



=1 的左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1 作圆 x +y =a 的切线分别交

2

2

2

双曲线的左、右两支于点 B、C,且|BC|=|CF2|,则双曲线的渐近线方程为( ) A.y=±3x B.y=±2 x C.y=±( +1)x D.y=±( ﹣1)x 考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:过 F1 作圆 x +y =a 的切线分别交双曲线的左、右两支于点 B、C,且|BC|=|CF2|,可 得|BF1|=2a,求出 B 的坐标,代入双曲线方程,即可求出双曲线的渐近线方程. 2 2 2 解答: 解: ∵过 F1 作圆 x +y =a 的切线分别交双曲线的左、 右两支于点 B、 C, 且|BC|=|CF2|, ∴|BF1|=2a, 设切点为 T,B(x,y) ,则利用三角形的相似可得
2 2 2

∴x=

,y=

∴B(





代入双曲线方程,整理可得 b=( +1)a, ∴双曲线的渐近线方程为 y=±( +1)x, 故选:C. 点评:本题考查双曲线的渐近线方程,考查学生的计算能力,比较基础. 10.已知函数 f(x)满足 f(0)=1,且对于任意实数 x,y∈R 都有:f(xy+1)=f(x)f(y) ﹣f(y)﹣x+2,若 x∈[1,3],则 的最大值为( )

A.

B.

C.

D.

考点:抽象函数及其应用. 专题:函数的性质及应用;不等式. 分析:利用赋值法,先令 y=x,x=y,两式相减得到 f(x)﹣f(y)+y﹣x=0,再令 y=0,求 出 f(x)=x+1,代入化简,利用基本不等式即可求出最值. 解答: 解:f(xy+1)=f(x)f(y)﹣f(y)﹣x+2,①, 交换 x,y 的位置得到 f(yx+1)=f(y)f(x)﹣f(x)﹣y+2,② 由①﹣②得 f(x)﹣f(y)+y﹣x=0, 再令 y=0, 则 f(x)﹣f(0)﹣x=0, ∵f(0)=1, ∴f(x)=x+1, ∴ = = ≤ ,当且仅当 x= ∈[1,3]取等号,

∴则

的最大值为



故选:A. 点评:本题主要考查了抽象函数式的解法,以及基本不等式的应用,属于中档题. 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11.根据如下样本数据 x 3 4 5 6 7 y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 得到的回归方程为 =bx+a.若 a=7.9,则 b 的值为﹣1.4.

考点:线性回归方程. 专题:概率与统计. 分析:由题意可得 和 ,由回归直线过点( , )可得 b 值,可得答案. 解答: 解:由题意可得 = (3+4+5+6+7)=5, = (4+2.5﹣0.5+0.5﹣2)=0.9, ∵回归方程为 =bx+a.若 a=7.9,且回归直线过点(5,0.9) , ∴0.9=5b+7.9,解得 b=﹣1.4, 故答案为:﹣1.4 点评:本题考查线性回归方程,涉及平均值的计算和回归方程的性质,属基础题.

12.已知 x 是三角形的内角,且 sinx﹣cos(x﹣π)= ,则 cos2x=﹣



考点:二倍角的余弦;三角函数的化简求值. 专题:三角函数的求值. 分析:条件即 sinx+cosx= ,平方可得 2sinxcosx=﹣ ,求得 sinx 的值,再利用二倍角的余 弦公式求得 cos2x 的值. 解答: 解:∵x 是三角形的内角,且 sinx﹣cos(x﹣π)=sinx+cosx= , 平方可得 2sinxcosx=﹣ ,∴sinx=
2



∴cos2x=1﹣2sin x=1﹣2× 故答案为:﹣ .

=﹣



点评:本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用,属于基础题. 13.要分配甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学去参加三项不同的教学活动,其中活动一和活动二 各要 2 人,活动三要 1 人,每人只能参加一项活动,且甲,乙两人不能参加同一活动,则一 共有 24_种不同的分配方法. 考点:排列、组合及简单计数问题. 专题:排列组合. 分析:间接法:先求出活动一和活动二各要 2 人,活动共有三要 1 人的方法种数,去掉甲, 乙两人参加同一活的方法种数即可. 解答: 解:由题意把甲、乙、丙、丁、戊 5 人分配去参加三项不同的活动, 其中活动一和活动二各要 2 人,活动三要 1 人共有 其中甲,乙两人参加同一活动 + =6 种方法, =30 种方法,

故符合题意得方法共 30﹣6=24 种, 故答案为:24. 点评:本题考查排列组合的应用,间接法是解决问题的关键,属中档题. 一、考生注意: (14) 、 (15) 、 (16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则 按前两题给分. 14.过圆外一点 P 作圆的切线 PA(A 为切点) ,再作割线 PBC 与圆交于 B,C.若 PA=6, AC=8,BC=9,则 AB=4.

考点:圆周角定理;相似三角形的判定. 专题:计算题. 分析:由已知中 PA 是圆的切线,PBC 是圆的割线,可得△ PAB∽△PCA,结合已知和相似 三角形对应边相等,先求出 PB 长,进而可得 AB 的长. 解答: 解:∵PA 是圆的切线,PBC 是圆的割线, ∴∠PAB=∠PCA, 又∴∠P=∠P, ∴△PAB∽△PCA, ∴PB:PA=PA:PC, 2 即 PA =PB?PC=PB?(PB+BC) , 即 36=PB?(PB+9) , 解得 PB=3, 又由 AB:AC=PA:PC 得:AB:8=6:12, 解得:AB=4, 故答案为:4. 点评: 本题考查的知识点是弦切角定理, 相似三角形的判定与性质, 难度不大, 属于基础题. 一、选做题 15.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 与 θ= 点的直角坐标是 . (φ 为参数,0≤φ≤π) .以 O (ρ>0)所表示的图形的交

考点:简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 专题:坐标系和参数方程. 分析:曲线 C 的参数方程为 (φ 为参数,0≤φ≤π) ,化为直角坐标方程,再化

为极坐标方程 ρ=2cosθ 解答: 解:曲线 C 的参数方程为 (y≥0) , 化为极坐标 ρ ﹣2ρcosθ=0,即 ρ=2cosθ
2

,联立

,解得即可得出.
2 2

(φ 为参数,0≤φ≤π) ,化为(x﹣1) +y =1,



联立

,解得

,ρ=1,

∴两图形的交点直角坐标为: 故答案为: .



点评:本题考查了参数方程化为直角坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化,考查了 推理能力与计算能力,属于中档题. 一、选做题 2 16.已知关于 x 的不等式|x+2|+|x﹣2|≤a 解集为空集,则 a 的取值范围为(﹣2,2) . 考点:绝对值不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用. 分析:利用绝对值的几何意义求出最小值,然后求解 a 的范围. 2 解答: 解:|x+2|+|x﹣2|≥|x+2+2﹣x|=4,关于 x 的不等式|x+2|+|x﹣2|≤a 解集为空集, 2 可得 a <4,解得 a∈(﹣2,2) . 故答案为: (﹣2,2) . 点评:本题考查绝对值不等式的解法,函数的最值的应用,考查计算能力. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 17.已知函数 f(x)=2 cos x+2sinxcosx﹣m(x∈R) ,函数 f(x)的最大值为 2. (1)求实数 m 的值; (2) 在△ ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边是 a、 b、 c, . 若 A 为锐角, 且满足 ( f A) =0, sinB=3sinC, △ ABC 的面积为 ,求边长 a.

考点:余弦定理;两角和与差的正弦函数;正弦定理. 专题:解三角形. 分析: (1)f(x)解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简,再利用两角和与差的正弦 函数公式化为一个角的正弦函数,利用正弦函数的值域表示出 f(x)的最大值,根据最大 值为 2 求出 m 的值即可; (2)由(1)确定出的 f(x)解析式,以及 f(A)=0,求出 A 的度数,利用正弦定理化简 sinB=3sinC,得到 b=3c,再利用三角形面积公式列出关系式,把 sinA 的值代入得到 bc=3, 联立求出 b 与 c 的值,利用余弦定理求出 a 的值即可. 解答: 解: (1) ∵f (x) =2 + ﹣m, = 时取得最大值,即 2+ ﹣m=2, cos x+2sinxcosx﹣m=
2

(cos2x+1) +sin2x﹣m=2sin (2x+



∴函数 f(x)在 2x+ 解得:m= ; (2)∵f(A)=0, ∴2sin(2A+

)=0,即 sin(2A+ ,

)=0,

由 A 为锐角,解得:A=

∵sinB=3sinC,由正弦定理得 b=3c①, ∵△ABC 的面积为 ,

∴S△ ABC= bcsinA= bcsin

=

,即 bc=3②,

联立①②,解得:b=3,c=1, ∵a =b +c ﹣2bc?cosA=3 +1 ﹣2×3×1×cos
2 2 2 2 2



∴a= . 点评:此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的 关键. 18. 退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势. 某机构为了解某城 市市民的年龄构成,从该城市市民中随机抽取年龄段在 20~80 岁(含 20 岁和 80 岁)之间 的 600 人进行调查,并按年龄层次[20,30) ,[30,40) ,[40,50) ,[50,60) ,[60,70) ,[70, 80]绘制频率分布直方图,如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”,[40, 60)为“中年人”,[60,80]为“老年人”.

(Ⅰ)若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替,试估算所调查的 600 人的平均年龄; (Ⅱ)将上述人口分布的频率视为该城市在 20﹣80 年龄段的人口分布的概率.从该城市 20 ﹣80 年龄段市民中随机抽取 3 人,记抽到“老年人”的人数为 X,求随机变量 X 的分布列和 数学期望. 考点:离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列. 专题:概率与统计. 分析: (Ⅰ)由频率分布直方图能估算所调查的 600 人的平均年龄. (Ⅱ)由频率分布直方图知“老年人”所点频率为 ,依题意,X 的可能取值为 0,1,2,3, 分别求出相应的概率,由此能求出随机变量 X 的分布列和数学期望. 解答: 解: (Ⅰ)由频率分布直方图估算所调查的 600 人的平均年龄为: 25×0.1+35×0.2+45×0.3+55×0.2+65×0.1+75×0.1=48(岁) . (Ⅱ)由频率分布直方图知“老年人”所点频率为 , ∴从该城市 20~80 年龄段市民中随机抽取 1 人,抽到“老年人”的概率为 , 依题意,X 的可能取值为 0,1,2,3, P(X=0)= ,

P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= ∴X 的分布列为: X 0 P EX= =

= = ,

, ,

1

2

3

= .

点评:本题考查频率分布直方图的应用,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法, 是中档题,解题时要认真审题,在历年 2015 届高考中都是必考题型之一. 19.在四棱锥 P﹣ABCD 中, PA⊥平面 ABCD,AD∥BC,BC=2AD=4,AB=CD= ∠DBC=45° (1)证明:BD⊥平面 PAC; (2)若二面角 A﹣PC﹣D 的大小为 60°,求四棱锥 P﹣ABCD 的体积. ,

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 专题:空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)在底面梯形中,通过求解直角三角形求得 DE=3,得到 BE=DE,进一步得到 AC⊥BD.再由 PA⊥平面 ABCD 得,PA⊥BD,由线面垂直的判定得答案; (2)法一、找出二面角 APCD 的平面角,求解直角三角形得到 AP= ,再求出四边形

ABCD 的面积,代入体积公式得答案; 解法二、由(1)知 AC⊥BD.以 O 为原点,OB,OC 所在直线为 x,y 轴,建立空间直角 坐标系 Oxyz,求出所用点的坐标,设点 P(0,﹣ ,t) (t>0) .由二面角 A﹣PC﹣D 的 大小为 60°,借助于空间向量求得 t,即得到 AP.再求出四边形 ABCD 的面积,代入棱锥体 积公式得答案. 解答: (1)证明:设 O 为 AC 与 BD 的交点,作 DE⊥BC 于点 E.由四边形 ABCD 是等 腰梯形得, CE= =1,DE= ,

∴BE=DE,从而得∠DBC=∠BCA=45°, ∴∠BOC=90°,即 AC⊥BD. 由 PA⊥平面 ABCD 得,PA⊥BD, ∴BD⊥平面 PAC; (2)解:法一、 作 OH⊥PC 于点 H,连结 DH.如图 1 所示. 由(1)知 DO⊥平面 PAC,故 DO⊥PC. ∴PC⊥平面 DOH,从而得 PC⊥OH,PC⊥DH. 故∠DHO 是二面角 APCD 的平面角,∴∠DHO=60°. 在 Rt△ DOH 中,由 DO= 在 Rt△ PAC 中, 解得 x= = ,得 OH= . = .

.设 PA=x,可得 .

,即 AP=

∵四边形 ABCD 为等腰梯形,且 BC=2AD=4,AB=CD= ∴ ∴ , ;



解法二、 由(1)知 AC⊥BD. 以 O 为原点,OB,OC 所在直线为 x,y 轴,建立空间直角坐标系 Oxyz,如图 2 所示. 由题意知各点坐标如下:A(0,﹣ ,0) ,B(2 ,0,0) ,C(0,2 ,0) ,D(﹣ , 0,0) . 由 PA⊥平面 ABCD,得 PA∥z 轴,故设点 P(0,﹣ ,t) (t>0) . 设 =(x,y,z)为平面 PDC 的法向量, 由 知 =(﹣ ,﹣2 ,0) , =(﹣ , ,﹣t) ) .

,取 y=1,得 =(﹣2,1,

又平面 PAC 的一个法向量为 =(1,0,0) , 于是 cosθ= = = ,

解得 t=

,即 AP=

. ,

∵四边形 ABCD 为等腰梯形,且 BC=2AD=4,AB=CD= ∴ ,





点评:本题主要考查空间线面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识,考查数形结合、 化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力,训练了利 用空间向量求空间角的问题,是中档题. 20.已知函数 f(x)=e ﹣ax﹣1(e 为自然对数的底数) ,a>0. (1)若 a=1,求函数 f(x)在 x=0 处的切线方程; (2)若 f(x)≥0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 a 的取值集合. 考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)求函数的导数,利用导数的几何意义即可求函数 f(x)在 x=0 处的切线方程; (2)根据不等式恒成立转化为求函数 f(x)的最小值,求函数的导数,利用导数进行求解 即可. x 解答: 解: (1)若 a=1,则 f(x)=e ﹣ax﹣1,有 f(0)=0, x f′(x)=e ﹣1, 所以斜率为 f′(0)=0,所以切线为 y=0. x (2)求导:f′(x)=e ﹣a, 令 f′(x)>0,解得 x>lna, 所以函数在(lna,+∞)递增, (﹣∞,lna)递减, 所以在 x=lna,取得最小值. 故 f(x)≥0 恒成立,等价于 f(x)min≥0, 即 f(lna)=a﹣alna﹣1≥0 成立. 令 h(a)=a﹣alna﹣1, h′(a)=﹣lna, 所以知 h(a)在(0,1)递增, (1,+∞)递减. 有 h(a)max=h(1)=0, 所以当 0<a<1 或 a>1 时,h(a)<0, 所以 a=1 时,f(x)≥0 对任意 x∈R 恒成立. 所以实数 a 的取值集合为{1}. 点评:本题主要考查导数的综合应用,以及函数切线的求解,利用导数的几何意义,求函数 的导数是解决本题的关键.
x

21.已知椭圆 C1:

+

=1(a>b>0)过点 A(1,

) ,其焦距为 2.

(1)求椭圆 C1 的方程; 2 2 (2) 已知 F1, F2 分别是椭圆的左右焦点, P 为直线 x=2 上一点. 直线 PF1, PF2 与圆 x +y =1 的另外一个交点分别为 M、N 两点,求证:直线 MN 恒过一定点.

考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由椭圆的定义求得椭圆方程.
2 2 2

(2)设 P(2,t) ,直线 PF1:

,由

得:9x +t (x +2x+1)=9,

根据题目条件求得. 解答: 解: (1)由题意知,c=1,左右焦点坐标为 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) 所以 2a=|AF1|+|AF2|=2 ,所以椭圆标准方程为

(2)设 P(2,t) ,直线 PF1:

,由

得:9x +t (x +2x+1)=9,

2

2

2

即(t +9)x +2t x+t ﹣9=0,﹣1×

2

2

2

2

,∴

,∴

同理可得:N(

) ,∴



直线 MN 的方程为:

,∴直线 MN 恒过定点 T(

) .

点评:本题主要考查椭圆方程的求法和直线与圆锥曲线的综合问题,属于中档题,再 2015 届高考中经常涉及.

22.已知数列{an}中,a1= ,an=

(n≥2,n∈N) .

(1)证明数列{

﹣1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;
+

(2)证明:a1a2…an<2?n!. (注意:n!=1×2×3×…×n,n∈N ) . 考点:数列递推式. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)由 an= (n≥2,n∈N) .两边取倒数:即可化为

=

,利用等比数列的通项公式即可得出;

(2)欲证原结论,只需证 < 数学归纳法证: ,即可得出. ?…?

?…? ≥

,先用 ﹣…﹣

解答: 证明: (1)由 an=

(n≥2,n∈N) .两边取倒数:

=



化为

=



∴数列 ∴ ﹣1=

是首项 ,

﹣1=﹣ ,公比 q= 等比数列,

∴an=



(2)欲证原结论,只需证 < 现先用数学归纳法证: ﹣…﹣ , (*) ?…?

?…? ≥



当 n=1 时,左右两边显然相等. 假设 n=k 时, 则 n=k+1 时, ( ﹣…﹣ ) , ?…? ?…? ≥ ﹣…﹣ ≥ ,

∵( + ?

﹣…﹣



=

﹣…﹣

=

﹣…﹣

+
*



﹣…﹣





由数学归纳法可知: (*)对于?n∈N 都成立.



﹣…﹣

=1﹣

=1﹣

> ,

故原命题成立. 点评:本题考查了“取倒数法”、等比数列的通项公式、“数学归纳法”、不等式的性质、“放 缩法”,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.



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