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指数与指数函数(word)



陕西省西安中学附属远程教育学校

§ 2.7
【知识梳理】 1.根式 (1)根式的概念

指数与指数函数

如果一个数的 n 次方等于 a(n>1 且 n∈N*), 那么这个数叫做 a 的 n 次方根. 也 就是,若 xn=a,则 x 叫做 a 的 n 次方根_,其中 n>1 且 n∈N*.式子 __根式_,这里 n 叫做_根指数_,a 叫做_被开方数_. (2)根式的性质 ①当 n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数, n 这时,a 的 n 次方根用符号 a表示. ②当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数 a n n 的正的 n 次方根用符号 a表示,负的 n 次方根用符号- a表示.正负两个 n n 次方根可以合写为± a (a>0). ③( n a)n=___a___. n an=__a___; ?a≥0? ?a<0? . n a叫做

④当 n 为奇数时,

?a n 当 n 为偶数时, an=|a|=? ?-a ⑤负数没有偶次方根. 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念

? ①正整数指数幂:an= a ? a ? ? ? (n∈N*). ??? ? a
n个

②零指数幂:a0=__1__(a≠0). 1 ③负整数指数幂:a-p=ap (a≠0,p∈N*).
m n ④正分数指数幂: a n = am(a>0,m、n∈N*,且 n>1).

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数学 第一轮复习 第二章函数与基本初等函数

第7节

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m n

⑤负分数指数幂: a

-



1
m

= n

1 am

(a>0,m、n∈N*,且 n>1).

a

n

⑥0 的正分数指数幂等于__0__,0 的负分数指数幂__没有意义__. (2)有理数指数幂的性质 ①aras=__ ar+s_(a>0,r、s∈Q); ②(ar)s=__ ars __(a>0,r、s∈Q); ③(ab)r=__ arbr __(a>0,b>0,r∈Q). 3.指数函数的图像与性质

y=ax 图像

a>1

0<a<1

定义域 值域

(1)_R_ (2)_ (0,+∞)_ (3)过定点_(0,1)_ (4)当 x>0 时,_ y>1_; (5)当 x>0 时,_0<y<1_; x<0 时,_ y>1_ (7)在(-∞,+∞)上是_减函数_

性质

x<0 时,_0<y<1_ (6)在(-∞,+∞)上是_增函数_

【基础自测】 1.(课本改编题)用分数指数幂表示下列各式. (1) x = x 3 ;
3 4 (2) ?a+b?3((a+b)>0)= ( a + b ) 4 ;

3

2

2

(3)

5 m3 =m 2 . m

1

2.(课本改编题)化简 [(-2 ) 6 ] 2 -(-1)0 的值为__7__. 3. 若函数 y=(a2-1)x 在(-∞, +∞)上为减函数, 则实数 a 的取值范围是_(- 2,
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-1)∪(1, 2)_. 4.若函数 f(x)=ax-1 (a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数 a=_ 3_. 5.已知 f(x)=2x+2-x,若 f(a)=3,则 f(2a)等于( B ) A.5 【例题精析】 题型一 指数式与根式的计算问题 例1 计算下列各式的值.
? 2 3

B.7

C.9

D.11

? 27 ? (1) ? ? ? 8 ? ?

+ (0 .0 0 2 ) 2 -10( 5-2)-1+( 2- 3)0;

-

1

(2)

1 -( 3-1)0- 9-4 5; 5+2
a b
1 4 1 2 4 3 2 3

(3)

ab
? 1 3

2 1

(a>0,b>0).

?a b ? a

b

3



? 27 ? (1)原式= ? ? ? 8 ? ?
2 1

?

2 3

? 1 ? ?? ? ? 500 ?

?

1 2



10 +1 5-2

8 ?3 ? 2 =? ? ? +500 27 ? ?

-10( 5+2)+1

4 167 =9+10 5-10 5-20+1=- 9 . (2)原式= 5-2-1- ? 5-2?2 =( 5-2)-1-( 5-2)=-1.
1 3 2 3 2 3 1

(3)原式=
3 1 1 3

?a b a b ?2 ab a
2 ? 1 3 1

b3

=a 2 6

-1

1

1 3

? 2-

1 3

b

=ab-1.

探究提高

根式运算或根式与指数式混合运算时, 将根式化为指数式计算较为

方便,对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示,如果有特殊要求,要 根据要求写出结果.但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又 含有负指数. 变式训练 1 计算下列各式的值:
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?7 ? (1) 1 .5 3 × ? ? ?6 ?
4 3 1

1

0

2

+8

0.25

× 2+( 2× 3) -

4

3

6

? 2 ?3 ? ? ?3?



(2)

a 8a 3b
2 2 3

a32

ab ? 4b 3
1

? 3 b? 3 ? ?× a (a>0,b>0). ÷ 1-2 a? ?
1



? 2 ?3 (1)原式= ? ? ?3?

1

1

1

1

×1+ (2

3

)4

× 2 4 +( 2 3 × 3 2 )

6

? 2 ?3 -? ? ?3?

=2+4×27=110.
1 1

(2)令 a 3 =m, b 3 =n, 则原式= = = m4-8mn3 2n? ? ? 2 2÷ 1- ?· m? m m +2mn+4n ?

m?m3-8n3? m2 · m2+2mn+4n2 m-2n m3?m-2n??m2+2mn+4n2? =m3=a. ?m2+2mn+4n2??m-2n?

题型二 指数函数的图像及应用 例2 xax (1)函数 y= |x| (0<a<1)图像的大致形状是 ( D )

(2)若函数 y=ax+b-1 (a>0 且 a≠1)的图像经过第二、三、四象限,则 a、b 的取值范围是_0<a<1、b<0__. (3)方程 2x=2-x 的解的个数是_1__. 探究提高 (1)与指数函数有关的函数的图像的研究,往往利用相应指数函数的图像,通过 平移、对称变换得到其图像. (2)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图像数形结 合求解. 变式训练 2 (1)函数 y= ex+e-x 的图像大致为( A ex-e-x )

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(2)k 为何值时,方程|3x-1|=k 无解?有一解?有两解? 解 函数 y=|3x-1|的图像是由函数 y=3x 的图像向下平移

一个单位后,再把位于 x 轴下方的图像沿 x 轴翻折到 x 轴上方 得到的,函数图像如图所示. 当 k<0 时,直线 y=k 与函数 y=|3x-1|的图像无交点,即方程 无解;当 k=0 或 k≥1 时,直线 y=k 与函数 y=|3x-1|的 图像有唯一的交点,所以方程有一解; 当 0<k<1 时,直线 y=k 与函数 y=|3x-1|的图像有两个 不同交点,所以方程有两解. 题型三 指数函数的性质及应用 例3 设 a>0 且 a≠1, 函数 y=a2x+2ax-1 在[-1,1]上的最大值是 14, a 的值. 求

解 令 t=ax (a>0 且 a≠1), 则原函数化为 y=(t+1)2-2 (t>0). ①当 0<a<1 时,x∈[-1,1], 1? ? t=ax∈?a,a?, ? ? 1? ? 此时 f(t)在?a,a?上为增函数. ? ? ?1? 所以 f(t)max=f?a? ? ? ?1 ? =?a+1?2-2=14. ? ? ?1 ? 所以?a+1?2=16, ? ?

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1 1 所以 a=-5或 a=3. 1 又因为 a>0,所以 a=3. ②当 a>1 时,x∈[-1,1], ?1 ? t=ax∈?a,a?, ? ? ?1 ? 此时 f(t)在?a,a?上是增函数. ? ? 所以 f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14, 解得 a=3(a=-5 舍去). 1 综上得 a=3或 3. 探究提高 指数函数问题一般要与其它函数复合. 本题可利用换元法将原函数化 为一元二次函数. 结合二次函数的单调性和指数函数的单调性判断出原函数的单 调性,从而获解. 由于指数函数的单调性取决于底数的大小,所以要注意对底数的分类讨论,避 免漏解. 变式训练 3 1 已知定义在 R 上的函数 f(x)=2x-2|x|.

3 (1)若 f(x)=2,求 x 的值; (2)若 2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取值范围. 解 (1)当 x<0 时,f(x)=0,无解; 1 当 x≥0 时,f(x)=2x-2x, 1 3 由 2x-2x=2,得 2·2x-3·x-2=0, 2 2 1 看成关于 2x 的一元二次方程,解得 2x=2 或-2,∵2x>0,∴x=1. (2)当 t∈[1,2]时, 1? 1? ? ? 2t?22t-22t?+m?2t-2t?≥0, ? ? ? ? 即 m(22t-1)≥-(24t-1),∵22t-1>0, ∴m≥-(22t+1),
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∵t∈[1,2],∴-(22t+1)∈[-17,-5], 故 m 的取值范围是[-5,+∞). 【课时训练】 A组 一、选择题 1.函数 y= 2
x

专项基础训练题组

的值域是(

B ) B.[1,+∞) D.[ 2,+∞)

A.[0,+∞) C.(-∞,+∞)

2.若关于 x 的方程|ax-1|=2a (a>0,a≠1)有两个不等实根,则 a 的取值范围(D) A.(0,1)∪(1,+∞) C.(1,+∞) B.(0,1) 1? ? D.?0,2? ? ?

3. 函数 f(x)=ax-b 的图像如图所示, 其中 a、 为常数, b 则下列结论正确的是( D ) A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 二、填空题 4.已知 a= 5-1 x 2 ,函数 f(x)=a ,若实数 m、n 满足 f(m)>f(n),则 m、n 的大小

关系为_m<n _. 5.若函数 f(x)= e - ( x- ? ) (e 是自然对数的底数)的最大值是 m,且 f(x)是偶函数,
2

则 m+μ=__1___. a 1 3 6.函数 f(x)=ax (a>0,a≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大2,则 a 的值为2或2. 7.已知函数 f(x)=ax+b (a>0 且 a≠1)的图像如图所示,则 a+b 的值是_-2_.

三、解答题

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第7节

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? 3? 8.(1)计算: [ ? 3 ? ? 8?
4

?

2 3

? 4? ? ?5 ? ? 9?
1

0 .5 -

2 3

+ (0 .0 0 8 )

? (0 .0 2 )

-

1 2

1

? (0 .3 2 ) 2 ] ? 0 .0 6 2 5

0 .2 5



(2)化简:
4b

a 3 ? 8a 3b
2 3 2

?2

3

ab ? a

3

? ?2 2 3 b ??a 3 ? ? a ?
1 2

? ?? ? ?

a
5

3

a
3

2

(式中字母都是正数).
1

a· a

2



? 8 ?3 (1)原式=[ ? ? ? 27 ?

? 49 ? 2 -? ? ? 9 ?

? 1000 ? 3 +? ? ? 8 ?

4 2 ? 625 ? 4 ÷ 50× 10 ]÷? ? ? 10 000 ?

?4 7 1 4 2? 1 × 10 ?÷ =?9-3+25× 5 2 ? ? 2 2 ? 17 ? =?- 9 +2?×2=9. ? ?
1 3 1 3 3 1 3 3

1

1 3

2 3

1

(2)原式=

a [? a ? ? ? 2 b ? ]
1 2 1 1 1 2

÷

a ? 2b
3

×

?a· ?2 a
1 1 1

? a 3 ? ? a 3 ·2 b 3 ? ? ? 2 b 3 ? ?
5

a

?a 2 · 3 ?5 a

1

1

1
1

= a 3 ( a 3 -2 b 3 )×
1 3 2

a
1 3

×

a6
1

a ? 2b
3

a6

= a ×a× a 3 =a2. B组 一、选择题 1.函数
?1? y= ? ? ?2?
x +2x
2

专项能力提升题组

的值域是(

D ) B.(0,+∞) ?1 ? D.?2,+∞? ? ? 令 F(x)=f(x)+x,x∈R.则 F(x)的值域为( C

A.R C.(2,+∞) ?1 ? ?x>0?, 2.设函数 f(x)=?x ?ex ?x≤0?, ? A.(-∞,1] C.(-∞,1]∪[2,+∞)

)

B.[2,+∞) D.(-∞,1)∪(2,+∞)

1 3. 若函数 f(x)=a|2x-4| (a>0, a≠1), 满足 f(1)=9, f(x)的单调递减区间是( B ) 则 A.(-∞,2]
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B.[2,+∞)
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C.[-2,+∞) 二、填空题

D.(-∞,-2]

4.函数 f(x)= a x + 2 x- 3 +m (a>1)恒过点(1,10),则 m=__9__. 5.函数 y=a2x-2 (a>0,a≠1)的图像恒过点 A,若直线 l:mx+ny-1=0 经过点 A,则坐标原点 O 到直线 l 的距离的最大值为_ 2_. 6.关于 x 的方程 ? 三、解答题 7.已知函数 f(x)=3x,f(a+2)=18,g(x)=λ·ax-4x 的定义域为[0,1]. 3 (1)求 a 的值; (2)若函数 g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数,求实数 λ 的取值范围. 解 (1)由已知得 3a+2=18?3a=2?a=log32. (2)此时 g(x)=λ·x-4x,设 0≤x1<x2≤1,因为 g(x)在区间[0,1]上是单调递减函 2 数,所以 g(x1)-g(x2)=( 2 x - 2 x )(λ- 2 x - 2 x )>0 恒成立,
1 2 2 1

2

? 3? ? ? 2?

x



2+3a 2 3 有负数根,则实数 a 的取值范围为-3<a<4. 5-a

即 λ< 2 x + 2 x 恒成立.由于 2 x + 2 x >20+20=2,所以,实数 λ 的取值范围是
2 1 2 1

λ≤2. 8.已知函数 f(x)= a (ax-a-x) (a>0,且 a≠1). a2-1

(1)判断 f(x)的单调性; (2)验证性质 f(-x)=-f(x),当 x∈(-1,1)时,并应用该性质求 f(1-m)+ f(1-m2)<0 的实数 m 的范围. 解 (1)设 x1<x2,x1-x2<0,1+ 所以 f(x1)-f(x2)= 1 a >0.若 a>1,则 ax1<ax2, 2 >0, ax1+x2 a -1
1 2

1 ? a ? ? ( a x - a x )·1+ax +x ?<0, a -1 ? 1 2?
2

即 f(x1)<f(x2),f(x)在(-∞,+∞)上为增函数; 同理,若 0<a<1,则 a x > a x ,
1 2

a <0, a -1
2

f(x1)-f(x2)=

a ? ( a x - a x )·1 ? ? a2-1 ?
1 2

1 a
x1 ? x 2

? ? ?

<0,

即 f(x1)<f(x2),f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.
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综上,f(x)在 R 上为增函数. (2)f(x)= a (ax-a-x), a -1
2

则 f(-x)=

a (a-x-ax), a2-1

显然 f(-x)=-f(x). f(1-m)+f(1-m2)<0, 即 f(1-m)<-f(1-m2) ?f(1-m)<f(m2-1), 函数为增函数,且 x∈(-1,1), 故解-1<1-m<m2-1<1, 可得 1<m< 2. 【方法归纳】 1.单调性是指数函数的重要性质,特别是函数图像的无限伸展性,x 轴是函数 图像的渐近线.当 0<a<1 时,x→+∞,y→0;当 a>1 时,x→-∞,y→0;当 a>1 时,a 的值越大,图像越靠近 y 轴,递增的速度越快;当 0<a<1 时,a 的 值越小,图像越靠近 y 轴,递减的速度越快. 1? ? ? 2. 画指数函数 y=ax (a>0, a≠1)的图像, 应抓住三个关键点: a)、(0,1)、-1,a?. (1, ? ? 3.在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中,要注意运用方程的观点处理 问题,通过解方程(组)来求值,或用换元法转化为方程来求解. 【课后作业】 1、复习课本习题 2、完成《步步高》 A组 B组 专项基础训练题目 专项能力提升题组

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