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湖北省襄阳市四校(襄州一中等)2014-2015学年高一上学期期中联考数学试题word版含答案



湖北省襄阳市四校(襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中) 2014-2015 学年高一上学期期中联考数学试题
一、选择题:本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 共 50 分. 在每小题给出的四个选项中, 有且只 有一项是符合题目要求的。
1.设集合 M ? x ?1 ? x ? 2 , N ? x x ? 2k ? 0 ,若 M ? N ,则 k 的取值

范围 ?

?

?

?

?

?

A.k ? 1.

B.k ? 1.

C.k ? 1.

D.k ? ?

1 2

2.下列四组函数中,表示同一函数的是 ?

?
B. f ? x ? ? x 2 , g ? x ? ?

A. f ? x ? ? x ? 1 x ? 1, g ? x ? ? x 2 ? 1

? x?
3

3

C. f ? x ? ? 2 x ? 1, x ? N , g ? x ? ? 2 x ? 1, x ? N

D. f ? x ? ? x , g ? x ? ? x 2

3.定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? ? 2 xy , f ?1? ? 2. 则 f ? 3? ? ?

?

A.12
4.下列各命题

B.3

C.6

D.16

①方程 3 x ? 2 ? y ? 1 ? 0 的解集是 ? , ?1?

?2 ?3

? 3 ②集合 x ? Z x ? x 用列举法表示为 ??1, 0,1? , ?,
2

?

?

③集合 M ? y y ? x ? 1 与集合 P ?
2

?

?

?? x, y ? y ? x ? 1? 表示同一集合
D.3

其中真命题的个数为 ?

?
C.2
C. ? ??, 0 ?

A.0
A. ? ??,1?

B.1
B. ? ??, 0?

5.当 0 ? x ? 2 时, a ? ? x 2 ? 2 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ?

?

D. ? 0, ?? ?

6.已知 f ? x ? 是 R 上的偶函数,且在区间 ? 0, ?? ? 上是增函数,则 f ? ?2 ? , f ? ?? ? , f ? 3.14 ? 的大小关系 是?

?
B. f ? 3.14 ? ? f ? ?? ? ? f ? ?2 ? D. f ? ?? ? ? f ? 3.14 ? ? f ? ?2 ?

A. f ? ?? ? ? f ? ?2 ? ? f ? 3.14 ? C. f ? ?2 ? ? f ? 3.14 ? ? f ? ?? ?

7.已知函数 f ? x ? ? ln x, g ? x ? ? lg x, h ? x ? ? log 3 x , 直线 y ? a ? a ? 0 ? 与这三个函数图像的交点的横坐标 分别为 x1 , x2 , x3 ,则 x1 , x2 , x3 的大小关系是 ?

?

A.x2 ? x3 ? x1

B.x1 ? x3 ? x2
x

C.x2 ? x1 ? x3

D.x3 ? x1 ? x2

8.根据表格中的数据,可以断定方程 e ? x ? 2 ? 0 的一个根所在的区间为 ?

?

x
e x?2
A. ? ?1, 0 ?
9.已知 f ? x ? ? ?
x

-1 0.37 1

0 1 2

1 2.72 3

2 7.39 4 5

3 20.09

B. ? 0,1?

C. ?1, 2 ?

D. ? 2,3 ?

? ?3 x ? 2 ? x ? 1? ,若 f ? ? f ?10 ? ? ? ? 4a. 则实数 a ? ? ? ? x ? a ? x ? 1?

?

A. ? 2

B.2

C.5

D.7

10.设 f ? x ? ? 3x ? 1 , c ? b ? a 且 f ? c ? ? f ? a ? ? f ? b ? ,则下列各式一定成立的是 ?

?

A.3c ? 3b

B.3c ? 3a ? 2

C.3c ? 3a ? 2

D.3c ? 3a ? 2

二、填空题:本大题共 5 小题 每小题 5 分, 共 25 分。请将答案填写在答题卷中的横线上.
11. 按复利计算利息的一种储蓄, 现存入本金 1000 元, 每期利率为 2.25%, 则 5 期后的本金和是___________. ( 1.0225 ? 1.093,1.0225 ? 1.118,1.0225 ? 1.143 )
4 5 6

?1 ? 2 x ? 1, ? x ? 0 ? 12.设函数 f ? x ? ? ? ,若 f ? x ? ? x .则 x 的取值范围是___________. ? 1 ? , ? x ? 0? ? ?x
13.函数 f ? x ? ? log 1 x ? 2 x ? 3 的单调递减区间为___________.
2 2

?

?

14. 函数 f ? x ? ? m ? m ? 1 x
2

?

?

m2 ? 2 m ?1

是幂函数,且当 x ? ? 0, ?? ? 时, f ? x ? 是减函数,则实数 m 等于

___________. 15. 已知函数 f ? x ? ? ?

? ?? 3a ? 1? x ? 2a ? x ? 1? 是 R 上的减函数,则实数 a 的取值范围是___________. log x ?????????????? x ? 1 ? ? ? ? a
算步骤。

三、解答题:本大题共 6 小题, 共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演 16.(本小题满分 12 分) 设集合 A ? ? x 2

? ?

x?2

1? ? ? , B ? x x 2 ? 1 ? 0 , U ? R. 2?

?

?

求:⑴ A ? B ;

⑵ ? CU A ? ? ? CU B ? .

17.(本小题满分 12 分) 求下列各式的值. (1) ? 2a 3 b 2 ?? ?6a 2 b 3 ? ? ? ?3a 6 b 6 ?

? ?

2

1

?? ??

1

1

? ? ? ?

1

5

? ?

; (2)

lg 27 ? lg 8 ? lg 1000 lg12 ? 1

18.(本小题满分 12 分) 设 f ? x ? ? ax ? ? b ? 8 ? x ? a ? 15 的两个零点分别是 ? 3 , 2
2

(1)求 f ? x ? 的解析式;

(2)当函数 f ? x ? 的定义域为 ?? 1,1? 时,求其值域.

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? log a ⑴求函数的定义域; ⑵讨论函数 f ? x ? 的奇偶性; ⑶判断函数 f ? x ? 的单调性,并用定义证明.

x ?1 ? a ? 1? x ?1

20.(本小题满分 13 分) 某场生产一种机器的固定成本(即固定投入)为 6 万元,但每生产一百台,需要另增加投入 0.5 万元.市 场对此产品的年需求量为 7 百台(年生产量可以多于年需求量) ,销售的收入函数为

R ? x? ? 7x ?

x2 ,其中 x 是产品年生产量(单位:百台).且 x ? N . ? 0 ? x ? 7 ? (单位:万元) 2

⑴把利润表示为年产量的函数; ⑵年产量是多少时,工厂所得利润最大? ⑶年产量是多少时,工厂才不亏本?

21.(本小题满分 14 分) 函数 f ? x ? ? ? x ? 的函数值表示不超过 x 的最大整数,如 ?1.6? ? 1, ? 2? ? 2 ,已知 0 ? x ? 4 . ⑴求函数 f ? x ? 的表达式; ⑵记函数 g ? x ? ? x ? f ? x ? ,在平面直角坐标系中作出函数 g ? x ? 的图像; ⑶若方程 g ? x ? ? log a ? x ?

? ?

1? ? ? 0 ? a ? 0且a ? 1? 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围. 2?

曾都一中 枣阳一中 2014—2015 学年上学期高一期中考试数学参考答案 襄州一中 宜城一中

三.解答题.

16. 解: ? A ? ? x 2

1? ? ? ? x 2 x ? 2 ? 2?1 2? ? ? A ? ? x x ? 2 ? ?1? ? ? x x ? 1????? 2分
x?2

?

?

?

B ? x x 2 ? 1 ? 0 ? ? x ?1 ? x ? 1????? 4分
(1) A ? B ? x x ? ?1 ---------------------------6 分 (2)? A ? x x ? 1 ? CU A ? x x ? 1 ???? 8分

?

?

?

?

?

?

?

?

? B ? ? x ?1 ? x ? 1?? CU B = ? x x ? ?1或x ? 1????10分

? CU A? ? ? CU B ? ? ? x x ? ?1??????12分
17. (1) 原式= ? 2 ? ? -6 ? ? ? -3? ? a 3 ? ?
3 2 3

2 1 1 ? ? 2 6
3 2

b2

1 1 5 ? ? 3 6

? 4a1b 0 ? 4a ??? 6分

(2) 原式= lg 3 ? lg 2 ? lg10 ??? 8分

lg ? 3 ? 4 ? ? 1

3 3 lg 3 ? 3lg 2 ? 2 ???10分 ?2 lg 3 ? lg 4 ? 1 3 ? lg 3 ? 2 lg 2 ? 1? 3 ?2 ? ???12分 lg 3 ? 2 lg 2 ? 1 2

b ?8 ? ?3 ? 2 ? ? ? ? a a ? ?3 18.解: (1)由条件可得 ? ,解得 ? ?b ? 5 .................4 分 ? a ? 15 ? ??3 ? 2 ? ? a ?
代入原式可得 f ( x) ? ?3 x ? 3 x ? 18 .................6 分
2

19.解: (1)使得函数 f ? x ? ? log a 则有

x ?1 有意义, x ?1

x ?1 ? 0 ,-解得: x ? ?1或x ? 1 .-------------------------2 分 x ?1

-1? ? ?1, ?? ? ----------------------------3 分 所以函数 f ? x ? 的定义域为 ? -?,
(2)由(1)可知函数 f ? x ? 的定义域关于原点对称,

?x ?1 x ?1 x ?1 ? x ?1 ? 且 f ? ? x ? ? log a ? log a ? log a ? ? ? f ? x? ? ? ? log a ?x ?1 x ?1 x ?1 ? x ?1 ?

-1

所以函数 f ? x ? 为奇函数.------------------------------------------7 分 (3)函数f ? x ? ? log a 证明:设 x2 ? x1 ? 1 ,

x ?1 在 ? ??, ?1? 和 ?1, ?? ? 上为减函数?????8分 x ?1

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? log a

x1 ? 1 x ?1 x x ? x ? x ?1 ? log a 2 ? log a 1 2 2 1 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 x2 ? x2 ? x1 ? 1

? 2 ? x2 ? x1 ? ? ? log a ?1 ? ? ????10分 ? ? x1 ? 1?? x2 ? 1? ? 2 ? x2 ? x1 ? ? x2 ? x1 ? 1, ? x2 ? x1 ? 0, ? x1 ? 1?? x2 ? 1? ? 0, ?1 ? ?1 ? x1 ? 1?? x2 ? 1?

? 2 ? x2 ? x1 ? ? 又? a ? 1, ? log a ?1 ? ? ? 0????11分 ? ? x1 ? 1?? x2 ? 1? ?

即f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x ? 在?1, +? ? 单调递减 又? f ? x ? 为奇函数,? f ? x ? 在? -?, -1? 上也为减函数---------------12 分
20.解 :设生产成本函数为 C ? x ? ? 6 ? 0.5 x ? x ? N ? ,当生产量 x ? 7 时,产品全部售出; 当生产量 x ? 7 时,只能售出 7 百台. ??????? 2分

? x2 ? 6 ? 6.5 x ? , ?0 ? x ? 7? ? ??????? 4分 ⑴ 利润 y ? R ? x ? ? C ? x ? ? ? 2 ? 18.5 ? 0.5 x , ? x ? 8? ? 2 x 1 121 2 ⑵ 若0 ? x ? 7,则y ? ? ? 6.5 x ? 6 ? ? ? x ? 6.5 ? ? 2 2 8 所以,当x ? 6或7时,y有最大值15.??????????? 6分
若x ? 8, 则y ? -0.5 x +18.5是减函数 所以,当x ? 8时,y有最大值14.5.??????????? 7分 综上,当年产量为6百台或7百台时,工厂所得的利润最大, 且最大利润为15万元. ????? 8分

x2 +6.5 x ? 6 ? 0, (3) 当0 ? x ? 7时,由y ? 0,即 ? 2 解得1 ? x ? 7, x ? N .??????????10分 当x ? 8时,y ? 0,即18.5 - 0.5 x ? 0, 解得7 ? x ? 37, x ? N ????12分 综上可得,当年产量x满足1 ? x ? 37, x ? Z时,工厂不亏本. ??13分

? 0, 0 ? x ? 1, ? 1,1 ? x ? 2, ? 21. 解: (1) f ? x ? ? ? ?2, 2 ? x ? 3, ? ? 3,3 ? x ? 4.??????? 4分

? x, 0 ? x ? 1, ? x ? 1,1 ? x ? 2, (2) g ? x ? ? x ? f ? x ? ? ? ? ? x ? 2, 2 ? x ? 3, ? ? x ? 3,3 ? x ? 4.??????? 6分
图象如图 1 所示:

------------8 分 (3) 方程 g ? x ? ? log a ? x ? 下图 2 可知:

? ?

1? 1? ? ? ? 0 仅有一个根等价于 g ? x ? 与 h( x) ? log a ? x ? ? 的图象仅有一个交点 . 由 2? 2? ?

当 0 ? a ? 1 时, h(1) ? log a

1 1 ? 1 ? log a a ,解得 ? a ? 1 ; ????11分 2 2

5 ? h(3) ? log a ? 1 ? 3 ? 2 当 a ? 1 时, h(2) ? log a ? 1 ? log a a或 ? 2 ?h(4) ? log 7 ? 1 a ? ? 2
解得 1 ? a ?

3 5 7 或 ? a ? . ??????13分 2 2 2

?1 ? ? 3 ? ? 5 7? 综上,a的取值范围是 ? ,1? ? ?1, ? ? ? , ? ????14分 ?2 ? ? 2 ? ? 2 2?



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