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二倍角公式教学设计



二倍角的正弦、余弦、正切公式教学设计
新郑一中高一数学组 韩耀芳 【学习目标】1 能从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式; 2 能熟练运用二倍角公式进行简单的求值、化简、恒等证明 【学习重点】二倍角的正弦、余弦、正切公式及二倍角余弦公式的两种变形. 【学习难点】倍角公式的正用,逆用及灵活地将公式变形应用。 一、 复习两角和的正弦、余弦、正切公式

(和学生一起复习两角和的正弦,余弦,正切公式,达到温故而知新)
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? tan(? ? ? ) ?
(T? ? ? )

(S? ? ? )
(C? ? ? )

二、 自主探究二倍角公式 我们已经学习了和角公式,还掌握了和角公式与差角公式可以互相化归 。那么,如何 把和角公式化归为二倍角公式呢 ? 现在研究二倍角,线索是两角和的正弦、余弦、正切公 式,请同学们自己先试一试发现“二倍角” 与 “两角和” 的内在联系 。让学生领悟到:

2? ? ? ? ?
在公式

(S? ? ? )



(C? ? ? )



(T? ? ? )

中,当? ?? 时,得到相应的一组公式:

s i n? 2?

________________

c o s? 2?

?? ________________ . ? ________________ . ___________ __ ___ ??

tan 2? ? ________________ 角?的范围是

?

?

☆ 阶段小结:倍角公式与两角和公式的内在联系是:令 ? ? ? (实现一般化归为特殊) 。 教师板书二倍角公式, 并让学生思考公式可以有哪些变形?并启发学生, 注意公式结构中等 号两边角度倍数的对比、系数的对比、幂次数的对比。 ★公式的变形

1 ? sin 2? ? _______________ ? (_________)2 .
1 ? cos 2? ? _______;1 ? cos 2? ? _______ . (升幂降角公式)

? sin 2 ? ? _______.cos2 ? ? _______.
★相对二倍角(突出二倍角的相对性)

(降幂升角公式)

sin ? ? _________ . (利用 ? 表示 ) . cos3? ? 2

3? ? ? ? 利用 表示? 2 ? ?

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 这两个形式今后常用) , sin 2 ? ? 2 2 三、 预习检测 (让学生应用二倍角公式解决一些简单的求值问题,以课堂提问的形式,检测学生课前的 预习效果)
( cos 2 ? ?
王新敞
奎屯 新疆

1、 (2010 陕西文数)函数 f ( x) ? 2 sin x cos x 是( A.最小正周期为 2π 的奇函数 C.最小正周期为π 的奇函数

)

B.最小正周期为 2π 的偶函数 D.最小正周期为π 的偶函数

2、 (2010 全国卷 2 文数)已知 sin ? ? A. ?

2 ,则 cos(? ? 2? ) ? ( 3 1 9
D.

)

5 3

B. ?

1 9

C.

5 3

3、下列各式中值为

3 的是( 2



A. 2 sin 150 cos150 C. 2 sin 2 150 ? 1
4、已知 tan 2? ?
四、 典例点拨

B. cos2 150 ? sin 2 150 D. 1 ? 2 cos2 150

4 , 则 tan ? ? 3



☆梯度一:给值求值题 在学生自学课本 133 页例 5 的基础上,完成例 1 和变式 1,目的是让学生运用公式,体 会二倍角的相对性。

3 ? ?? 例1、已知sin 2? ? , ? ? ? 0, ?, 求 sin 4? , cos 4? , tan4? 5 ? 2?
变式1、已知cos

?

4 ? ? 3? ? ? ? , ? ? ? , ?, 求: sin ? , cos? , tan?的值 2 5 2 ? 2 ?

☆梯度二:解三角形问题及角的拼凑变形 先让学生研究课本例 6 的解题方法,让后讨论一下两个题目,并找两名同学演板。 让学生体会所求角与已知角的关系,体会整体代换思想。

例2、在 ?ABC 中,已知 tan A ?

1 1 , tan B ? , 求 tan ? A ? 2 B ?的值。 7 3

鼓励学生一题多解,体会解题中的目标意识、整体意识、转化思想在解题中的应
?? 1 ?? 1 ? ? 变式2、已知tan?? ? ? ? , tan? ? ? ? ? ? , 求 tan?? ? ? ?的值 2? 2 2? 3 ? ?
☆梯度三:化简问题.灵活运用二倍角公式,体会“1”的妙用

例3、化简 1 ? sin10? ? 1 ? sin 10?
1 - sin 2? 变式3、若?是第二象限角,化简 cos ? ? sin ?
五、让学生总结学习心得与反思 六、课堂检测 1、已知 cos 2? ?

1 ? ,其中 ? ? ( ? ,0) ,则 sin ? 的值为( 2 4



A.

1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2


2、已知 sin ? ?

sin 2? 3 ?? ? ,且 ? ? ? , ? ? ,那么 的值为( 5 cos 2 ? ?2 ?

A. ?

3 2

B. ?

3 4

C.

3 2

D.

3 4


3、已知 sin ? ?

5 ,则 sin 4 ? ? cos4 ? ? ( 5
B. ?
3 5

A. ?

1 5

C.

1 5

D.

3 5

4、已知等腰三角形一个 底角的正弦值为 的顶角的正弦值,余弦 值及正切值。

5 ,求这个三角形 13

七、课堂作业:课本 P138 A 组 15,18,19 八、板书设计 标题 二倍角公式 例1 学生板书

变形公式



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