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高中导数及其应用自学材料




1.1

变化率与导数

1.1.1 1.1.2

变化率问题 导数的概念 2.会求函数

[学习目标] 1.通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景. 在某一点附近的平均变化率.(重点) 变化率及导数的概念.(易混点) 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.(重点、难点)

4.理解函数的平均变化率,瞬时

一、函数的平均变化率 1.函数的平均变化率 对于函数 y=f(x),给定自变量的两个值 x1、x2,当自变量 x 从 x1 变为 x2 时,函数值从 f(x1)变为 f(x2),我们把式子____________ 称为函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率.

2.平均变化率的几何意义 Δy f?x2?-f?x1? f?x1+Δx?-f?x1? 设 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是曲线 y=f(x)上任意不同的两点,函数 y=f(x)的平均变化率Δx= = 为割线 Δx x2-x1 AB 的________,如图 111 所示.

图 111 【答案】 f?x2?-f?x1? 1. 2.斜率 x2-x1

二、瞬时速度,导数的概念 1.瞬时速度 (1)物体在__________的速度称为瞬时速度. Δs s?t0+Δt?-s?t0? (2)一般地,设物体的运动规律是 s=s(t),则物体在 t0 到 t0+Δt 这段时间内的平均速度为 Δt = .如果 Δt 无限趋近于 Δt Δs Δs 0 时, Δt 无限趋近于某个常数 v,我们就说当 Δt 趋向于 0 时, Δt 的____是 v,这时 v 就是物体在时刻 t=t0 时的瞬时速度,即瞬时速 s?t0+Δt?-s?t0? Δs 度 v= lim Δt = lim . Δt Δt→0 Δt→0 2.导数的定义 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 lim f?x0+Δx?-f?x0? Δy = lim , 我们称它为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数, 记作____________________________, 即 f′(x0)= lim Δx Δx→0 Δx Δx→0

Δx→0

Δy lim __________________. Δx=Δ x→0 【答案】 1.(1)某一时刻 (2)极限 2.f′(x0)或 y′|x=x0 f?x0+Δx?-f?x0? Δx

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数值与 Δx 值的正、负无关.( ) )

(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1,x2]上变化快慢的物理量.( (3)在导数的定义中,Δx,Δy 都不可能为零.( 【解析】 )

(1)由导数的定义知,函数在 x=x0 处的导数只与 x0 有关,故正确.

(2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量.故错误. (3)在导数的定义中,Δy 可以为零,故错误. 【答案】 (1)√ (2)× (3)× )

2.如果函数 y=ax+b 在区间[1,2]上的平均变化率为 3,则 a=( A.-3 【解析】 【答案】 B.2 C.3 D.-2

Δy ?2a+b?-?a+b? 根据平均变化率的定义,可知Δx= =a=3. 2-1 C

3.函数 f(x)=x2 在 x=1 处的瞬时变化率是__________. 【解析】 ∵f(x)=x2.∴在 x=1 处的瞬时变化率是

f?1+Δx?-f?1? ?1+Δx?2-12 Δy li m Δx=li m =li m Δx Δx Δx→0 Δx→0 Δx→0 =li m (2+Δx)=2.
Δx→0

【答案】

2

1 4.函数 y=f(x)=x 在 x=-1 处的导数可表示为__________. 【解析】 【答案】 函数 y=f(x)在 x=-1 处的导数可表示为 f′(-1)或 y′|x=-1. f′(-1)或 y′|x=-1

预习完成后,请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中 问题 1 问题 2 问题 3 问题 4

求函数的平均变化率 (1)已知函数 y=f(x)=x2+1,则在 x=2,Δx=0.1 时,Δy 的值为( A.0.40 C.0.43 B.0.41 D.0.44 )

1 (2)已知函数 f(x)=x+ x,分别计算 f(x)在自变量 x 从 1 变到 2 和从 3 变到 5 时的平均变化率,并判断在哪个区间上函数值变化得 较快. 【思路探究】 (1)由 Δy=f(x+Δx)-f(x)=f(2+0.1)-f(2)可得.

Δy (2) 求Δx=x2-x1 → 求Δy=f?x2?-f?x1? → 计算Δx 【自主解答】 【答案】 B (1)Δy=f(2+Δx)-f(2)=f(2.1)-f(2)=2.12-22=0.41.

(2)自变量 x 从 1 变到 2 时,函数 f(x)的平均变化率为 f?2?-f?1? = 2-1 1 2+2-?1+1? 1 1 =2;

自变量 x 从 3 变到 5 时,函数 f(x)的平均变化率为 f?5?-f?3? = 5-3 1? 1 ? 5+5-?3+3? ? ? 14 =15. 2

1 14 1 因为2<15,所以函数 f(x)=x+ x在自变量 x 从 3 变到 5 时函数值变化得较快.

1.求函数平均变化率的三个步骤 第一步,求自变量的增量 Δx=x2-x1. 第二步,求函数值的增量 Δy=f(x2)-f(x1). 第三步,求平均变化率 Δy f?x2?-f?x1? = . Δx x2-x1

2.求平均变化率的一个关注点 求点 x0 附近的平均变化率,可用 f?x0+Δx?-f?x0? 的形式. Δx

(2015· 衡水高二检测)函数 y=x2+1 在[1,1+Δx]上的平均变化率是( A.2 C.2+Δx 【解析】 ∵Δy=(1+Δx)2+1-(12+1)=2Δx+Δx2, B.2x D.2+(Δx)2

)

2 Δy 2Δx+Δx ∴Δx= Δx =2+Δx,故选 C.

【答案】

C

求瞬时速度 1 (1)以初速度 v0(v0>0)垂直上抛的物体, t 秒时的高度为 s(t)=v0t-2gt2, 则物体在 t0 时刻的瞬时速度为__________. (2)某物体的运动方程为 s=2t3,则物体在第 t=1 时的瞬时速度是__________. 【思路探究】 【自主解答】 Δs Δs 先求出 Δt ,再求 lim Δt . Δt→0 1 1 1 2 (1)∵Δs=v0(t0+Δt)-2g(t0+Δt)2-(v0t0-2gt2 0)=v0Δt-gt0Δt- gΔt , 2

Δs 1 ∴ Δt =v0-gt0-2gΔt, Δs ∴ lim Δt =v0-gt0,即 t0 时刻的瞬时速度为 v0-gt0. Δt→0 (2)∵当 t=1 时,Δs=2(1+Δt)3-2×13 =2[1+(Δt)3+3Δt+3(Δt)2]-2 =2+2(Δt)3+6Δt+6(Δt)2-2 =2(Δt)3+6(Δt)2+6Δt,
3 2 Δs 2?Δt? +6?Δt? +6Δt Δs ∴ = =2(Δt)2+6Δt+6,∴ lim =6,则物体在第 t=1 时的瞬时速度是 6. Δt Δt Δt→0 Δt

【答案】

(1)v0-gt0 (2)6

1.求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求时间改变量 Δt 和位移改变量 Δs=s(t0+Δt)-s(t0). Δs (2)求平均速度 v = Δt . Δs (3)求瞬时速度,当 Δt 无限趋近于 0 时, Δt 无限趋近于常数 v,即为瞬时速度. Δy 2.求Δx(当 Δx 无限趋近于 0 时)的极限的方法 (1)在极限表达式中,可把 Δx 作为一个数来参与运算. Δy (2)求出Δx的表达式后,Δx 无限趋近于 0 就是令 Δx=0,求出结果即可.

若把本例(1)中的“v0”改为“v0=20”,求物体在 t=3 时刻的瞬时速度. 【解】 1 1 ? ? 因为 Δs=20(3+Δt)-2g(3+Δt)2-?20×3-2×32g? ? ?

1 =(20-3g)Δt-2g(Δt)2,

Δs 1 所以 Δt =20-3g-2gΔt, Δs 所以当 Δt 无限趋近于 0 时, Δt 无限趋近于 20-3g, 故物体在 t=3 时刻的瞬时速度为 20-3g.

求函数在某点处的导数 (1)求函数 f(x)=-x2+x 在 x=-1 附近的平均变化率,并求出在该点处的导数. (2)求函数 y=3x2 在 x=1 处的导数. 【思路探究】 【自主解答】 求函数 f(x)在任意点处的导数都应先求平均变化率,再求 f′(x0). (1)∵Δy=f(-1+Δx)-f(-1)=-(-1+Δx)2+(-1+Δx)+2=3Δx-(Δx)2,

2 Δy 3Δx-?Δx? ∴Δx= =3-Δx, Δx

∴f′(-1)= lim

Δx→0

Δy = lim (3-Δx)=3. Δx Δx→0

(2)∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=3(1+Δx)2-3=6Δx+3(Δx)2, Δy ∴Δx=6+3Δx, Δy ∴f′(1)= lim Δx= lim (6+3Δx)=6. Δx→0 Δx→0

1.通过本例(1)进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系,对于 Δy 与 Δx 的比值,感受和认识在 Δx 逐渐变小的过程中趋近于 一个固定的常数 A 这一现象. 2.用定义求函数在 x=x0 处的导数的步骤 (1)求函数的增量 Δy=f(x0+Δx)-f(x0); Δy (2)求平均变化率Δx; Δy (3)求极限,得导数为 f′(x0)= lim Δx. Δx→0 简记为:一差、二比、三趋近.

1 求函数 f(x)=x-x 在 x=1 处的导数. 【解】 ∵Δy=(1+Δx)- 1? 1 ? -?1-1? ? 1+Δx ?

=Δx+1-

1 Δx =Δx+ , 1+Δx 1+Δx 1 , 1+Δx

Δx Δx+ 1+Δx Δy ∴Δx= =1+ Δx

1 ? Δy ? ∴f′(1)= lim Δx= lim ?1+1+Δx?=2. ? Δx→0 Δx→0 ?

1.实例引出函数的平均变化率、瞬时速度、瞬时变化率的概念,进而形成导数的概念,体现了从特殊推向一般的思想和方法. 2.平均变化率的求法: 3.导数 f′(x0)= lim Δy y2-y1 = . Δx x2-x1

Δx→0

f?x0+Δx?-f?x0? ,注意分子、分母中增量符号的一致性. Δx

对导数的概念理解不清致误 设函数 y=f(x)在 x=x0 处可导,且 lim A.1 B.-1 1 C.-3 1 D.3 f?x0+Δx?-f?x0? 中,易忽略分子、分母中增量 Δx 符号的一致性. Δx f?x0-3Δx?-f?x0? =1,则 f′(x0)等于( Δx )

Δx→0

【易错分析】 【防范措施】

在导数的定义 f′(x0)= lim

Δx→0

函数在某一点的导数,是该点函数平均变化率的极限.函数在某一点自变量的增量,既可以是正数,也可以是

负数.导数是函数值的改变量与“相应”自变量改变量之比的极限值. 【解析】 ∵ lim f?x0-3Δx?-f?x0? Δx

Δx→0

f?x0-3Δx?-f?x0? = lim [ · (-3)] -3Δx Δx→0 =-3f′(x0)=1,

1 ∴f′(x0)=-3,故选 C. 【答案】 C

——[类题尝试]————————————————— 已知 f′(1)=-2,则 lim 【解析】 lim f?1-2Δx?-f?1? =__________. Δx

Δx→0

Δx→0

f?1-2Δx?-f?1? Δx

=(-2)× lim

Δx→0

f?1-2Δx?-f?1? -2Δx

=(-2)×(-2)=4. 【答案】 4

课时作业(一) 变化率问题

导数的概念

[学业水平层次] 一、选择题 1.函数 f(x)=x2-1 在区间[1,m]上的平均变化率为 3,则实数 m 的值为( A.3 C .1 【解析】 m2-1-?12-1? 由已知得: =3, m-1 B.2 D.4 )

∴m+1=3,∴m=2. 【答案】 B

2.一质点运动的方程为 s=5-3t2,若该质点在时间段[1,1+Δt]内相应的平均速度为-3Δt-6,则该质点在 t=1 时的瞬时速度是 ( ) A.-3 C .6 【解析】 由平均速度和瞬时速度的关系可知,
Δt→0

B.3 D.-6

v=s′(1)=li m (-3Δt-6)=-6. 【答案】 D )

Δy 3.已知函数 f(x)=2x2-4 的图象上一点(1,-2)及附近一点(1+Δx,-2+Δy),则Δx=( A.4 C.4+2Δx 【解析】 B.4x D.4+2(Δx)2 因为 Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-4-(2×12-4)=4Δx+2(Δx)2,

Δy 4Δx+2?Δx? 所以Δx= =4+2Δx. Δx 【答案】 C )

2

4.设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,且有 f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b 为常数),则( A.f′(x)=a C.f′(x0)=a 【解析】 ∵f′(x0)=li m f?x0+Δx?-f?x0? Δx B.f′(x)=b D.f′(x0)=b

Δx→0

aΔx+b?Δx?2 =li m =li m (a+bΔx)=a, Δx Δx→0 Δx→0 ∴f′(x0)=a. 【答案】 二、填空题 5.(2015· 太原高二检测)若 f′(x0)=1,则 lim
k→0

C

f?x0-k?-f?x0? =__________. 2k lim
k→0

【解析】

f?x0-k?-f?x0? 2k

f?x0-k?-f?x0? 1 1 1 =-2lim =-2f′(x0)=-2. -k k→0 【答案】 1 -2

6.汽车行驶的路程 s 和时间 t 之间的函数图象如图 112 所示.在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为 v 1, v 2, v 3,其三者的大小关系是________.

图 112 【解析】 s?t1?-s?t0? ∵ v 1= =kMA, t1-t0

s?t2?-s?t1? v 2= =kAB, t2-t1 s?t3?-s?t2? v 3= =kBC, t3-t2 由图象可知:kMA<kAB<kBC, ∴ v 3> v 2> v 1.

【答案】

v 3> v 2> v

1

7.(2014· 西宁高二检测)一物体位移 s 和时间 t 的关系是 s=2t-3t2,则物体的初速度是__________. 【解析】 物体的速度为 v=s′(t), s?t+Δt?-s?t? Δt

∴s′(t)= lim

Δt→0

2?t+Δt?-3?t+Δt?2-2t+3t2 = lim Δt Δt→0 = lim 2Δt-6tΔt-3Δt2 =2-6t. Δt

Δt→0

即 v=2-6t, 所以物体的初速度是 v0=2-6×0=2. 【答案】 三、解答题 8.已知某物体按照 s(t)=3t2+t+4(t 的单位:s,s 的单位:m)的规律做直线运动,求该物体在 4 s 附近的平均速度. 【解】 Δs s?4+Δt?-s?4? v = Δt = Δt 2

3?4+Δt?2+?4+Δt?+4-?3×42+4+4? = Δt =(25+3Δt)m/s. 即该物体在 4 s 附近的平均速度为(25+3Δt)m/s. 9.(2015· 聊城高二检测)求函数 y=x2+ax+b(a,b 为常数)的导数. 【解】 Δy ?2x+a?·Δx+?Δx? 因为 Δy=[(x+Δx) +a(x+Δx)+b]-(x +ax+b)=2x·Δx+(Δx) +a·Δx=(2x+a)·Δx+(Δx) ,故Δx= = Δx
2 2 2 2 2

Δy (2x+a)+Δx, lim Δx= lim (2x+a+Δx)=2x+a,所以 y′=2x+a. Δx→0 Δx→0 [能力提升层次] 1.若 f(x)=x3,f′(x0)=3,则 x0 的值是( A.1 C .± 1 【解析】 ) B.-1 D.3 3
3 2 3 ∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)3-x0 =3x2 0Δx+3x0(Δx) +(Δx) ,

Δy 2 ∴Δx=3x2 0+3x0Δx+(Δx) ,
2 2 ∴f′(x0)= lim [3x2 0+3x0Δx+(Δx) ]=3x0, Δx→0 2 由 f′(x0)=3 得 3x0 =3,∴x0=± 1.

【答案】

C

2.如果函数 y=f(x)在 x=1 处的导数为 1,那么lim
x→0

f?x+1?-f?1? =( 2x B.1 1 D.4

)

1 A.2 C .2 【解析】 所以lim
x→0

因为 f′(1)=1,所以lim
x→0

f?1+x?-f?1? =1, x

f?x+1?-f?1? 1 f?1+x?-f?1? 1 = lim =2. 2x 2 x→0 x A f?x0+Δx?-f?x0? f?x0-Δx?-f?x0? f?x0+2Δx?-f?x0? ,b= lim ,c= lim , Δx Δ x Δx Δx→0 Δx→0

【答案】

3.已知 f′(x0)>0,若 a= lim d= lim

Δx→0

Δx→0

f?x0+Δx?-f?x0-Δx? f?x?-f?x0? ,e= lim ,则 a,b,c,d,e 的大小关系为__________. 2Δx x→x0 x-x0 a= lim f?x0+Δx?-f?x0? =f′(x0), Δx

【解析】 b= lim c= lim

Δx→0

Δx→0

f?x0-Δx?-f?x0? f?x0-Δx?-f?x0? =- lim =-f′(x0), Δx -Δx Δx→0 f?x0+2Δx?-f?x0? f?x0+2Δx?-f?x0? = 2 lim =2f′(x0), Δx 2Δx Δx→0 f?x0+Δx?-f?x0-Δx? =f′(x0), 2Δx f?x?-f?x0? =f′(x0). x-x0

Δx→0

d= lim

Δx→0

e= lim x→x0

即 c>a=d=e>b. 【答案】 c>a=d=e>b

2 4.(2015· 南充高二检测)某一运动物体,在 x(s)时离开出发点的距离(单位:m)是 f(x)=3x3+x2+2x. (1)求在第 1 s 内的平均速度; (2)求在 1 s 末的瞬时速度; (3)经过多少时间该物体的运动速度达到 14 m/s? 【解】 (1)物体在第 1 s 内的平均变化率(即平均速度)为 f?1?-f?0? 11 = 3 m/s. 1-0

Δy f?1+Δx?-f?1? (2)Δx= Δx 2 11 3 2 ? 1 + Δ x ? + ? 1 + Δ x ? + 2 ? 1 + Δ x ? - 3 3 = Δx

2 =6+3Δx+3(Δx)2. Δy 当 Δx→0 时,Δx→6, 所以物体在 1 s 末的瞬时速度为 6 m/s. Δy f?x+Δx?-f?x? (3)Δx= = Δx 2 ?2 3 2 ? 3 2 ? x +x +2x? 3?x+Δx? +?x+Δx? +2?x+Δx?-?3 ? Δx 2 =2x2+2x+2+3(Δx)2+2x·Δx+Δx. Δy 当 Δx→0 时,Δx→2x2+2x+2, 令 2x2+2x+2=14,解得 x=2 s, 即经过 2 s 该物体的运动速度达到 14 m/s. 1.1.3 导数的几何意义

[学习目标] 1.了解导函数的概念,理解导数的几何意义. 2.会求导函数.(重点、难点) 3.根据导数的几何意义,会求曲线上 某点处的切线方程.(重点) 4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线,并会求其方程.(易混点)

一、导数的几何意义 1. 切线的概念: 如图 113, 对于割线 PPn, 当点 Pn 趋近于点 P 时, 割线 PPn 趋近于确定的位置, 这个确定位置的直线__________ 称为点 P 处的切线.

图 113 2.导数 f′(x0)的几何意义:导数 f′(x0)表示曲线 y=f(x)在点________________处的切线的斜率 k,即 k=__________. 3.切线方程:曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为________________. 【答案】 二、导函数 对于函数 y=f(x),当 x=x0 时,f′(x0)是一个确定的数,当 x 变化时,f′(x)便是一个关于 x 的函数,我们称它为函数 y=f(x)的 导函数(简称为导数),即 f′(x)=y′=______________. 【答案】 lim f?x+Δx?-f?x? Δx 1.PT 2.(x0,f(x0)) f′(x0) 3.y-y0=f′(x0)(x-x0)

Δx→0

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)导函数 f′(x)的定义域与函数 f(x)的定义域相同.( (2)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点.( (3)函数 f(x)=0 没有导函数.( 【解析】 ) ) )

1 1 (1)错,导函数的定义域和原函数的定义域可能不同,如 f(x)=x2,其定义域为[0,+∞),而其导函数 f′(x)= , 2 x

其定义域为(0,+∞). (2)错.直线与曲线相切时,直线与曲线的交点可能有多个.

(3)错.函数 f(x)=0 为常函数,其导数 f′(x)=0,并不是没有导数. 【答案】 (1)× (2)× (3)× )

2.已知函数 y=f(x)在点(2,1)处的切线与直线 3x-y-2=0 平行,则 y′|x=2 等于( A.1 【解析】 【答案】 B.-1 C.-3 D.3

由题意知 f′(2)=3,即 y′|x=2=3. D

3.已知函数 f(x)在 x0 处的导数为 f′(x0)=1,则函数 f(x)在 x0 处切线的倾斜角为__________. 【解析】 设切线的倾斜角为 α,则

tan α=f′(x0)=1,又 α∈[0° ,180° ), ∴α=45° . 【答案】 45°

4.若函数 f(x)在点 A(1,2)处的导数是-1,那么过点 A 的切线方程是__________. 【解析】 切线的斜率为 k=-1.

∴点 A(1,2)处的切线方程为 y-2=-(x-1), 即 x+y-3=0. 【答案】 x+y-3=0

预习完成后,请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中 问题 1 问题 2 问题 3 问题 4

求曲线在某点处的切线方程 1 4 已知曲线 C:y=3x3+3. (1)求曲线 C 在横坐标为 2 的点处的切线方程; (2)第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点?

【思路探究】

(1)先求切点坐标,再求 y′|x=2,最后利用导数的几何意义写出切线方程.

(2)将切线方程与曲线 C 的方程联立求解. 【自主解答】 Δy y′|x=2= lim Δx Δx→0 1 4 1 3 3 4 ? 2 + Δ x ? + - × 2 -3 3 3 3 = lim Δx Δx→0 1 = lim [4+2Δx+3(Δx)2]=4.
Δx→0

(1)将 x=2 代入曲线 C 的方程得 y=4.∴切点 P(2,4).

∴k=y′|x=2=4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0. y=4x-4, ? ? (2)由? 1 3 4 y= x +3, ? ? 3 可得(x-2)(x2+2x-8)=0.

解得 x1=2,x2=-4. 从而求得公共点为 P(2,4)或 M(-4,-20), 即切线与曲线 C 的公共点除了切点外,还有另一公共点(-4,-20).

1.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤: (1)求出函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0); (2)写出切线方程,即 y-y0=f′(x0)· (x-x0). π 特别注意:若在点(x0,y0)处切线的倾斜角为2,此时所求的切线平行于 y 轴,所以直线的切线方程为 x=x0. 2.曲线的切线与曲线的交点可能不止一个.

1 ?1 ? 求曲线 y=x 在点?2,2?处的切线的斜率. ? ? 1 1 -x x+Δx -1 Δy 1 因为 y′= lim = lim = lim 2 =- 2, Δx x Δx→0 Δx Δx→0 Δx→0 x +x·Δx

【解】

?1 ? 所以曲线在点?2,2?处的切线斜率为 ? ? 1 k=y′|x=2=-4.

求切点坐标 已知抛物线 y=2x2+1.求: (1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为 45° ? (2)抛物线上哪一点的切线平行于直线 4x-y-2=0? 【思路探究】 【自主解答】 设点的坐标 → 求出在该点处的导数 → 利用条件建立方程 → 求出点的坐标 设切点的坐标为(x0,y0),则

2 Δy=2(x0+Δx)2+1-2x0 -1=4x0·Δx+2(Δx)2.

Δy ∴Δx=4x0+2Δx. ∴f′(x0)= lim (4x0+2Δx)=4x0,
Δx→0

(1)∵抛物线的切线的倾斜角为 45° , ∴斜率为 tan 45° =1. 1 ?1 9? 即 f′(x0)=4x0=1 得 x0=4,该点为?4,8?. ? ? (2)∵抛物线的切线平行于直线 4x-y-2=0, ∴斜率为 4, 即 f′(x0)=4x0=4,得 x0=1,该点为(1,3).

1.本题关键是由条件得到直线的斜率,从而得知函数在某点处的导数,进而求出切点的横坐标. 2.根据切线斜率求切点坐标的步骤: (1)设切点坐标(x0,y0); (2)求导函数 f′(x); (3)求切线的斜率 f′(x0); (4)由斜率间的关系列出关于 x0 的方程,解方程求 x0; (5)点(x0,y0)在曲线 f(x)上,将(x0,y0)代入求 y0 得切点坐标.

本例中条件不变,求抛物线上哪一点的切线垂直于直线 x+8y-3=0? 【解】 ∵抛物线的切线与直线 x+8y-3=0 垂直.

∴抛物线的切线的斜率为 8. 由本例知 f′(x0)=4x0=8,∴x0=2,y0=9. 即所求点的坐标为(2,9).

求曲线过某点的切线方程 1 已知曲线 f(x)= x. (1)求曲线过点 A(1,0)的切线方程; 1 (2)求满足斜率为-3的曲线的切线方程. 【思路探究】 (1)点 A 不在曲线上,设切点坐标,写出切线方程,把 A(1,0)代入求出切点坐标,进而求出切线方程.

1 (2)设出切点坐标,由该点斜率为-3,求出切点,进而求出切线方程. 1 1 -x x+Δx -1 1 (1)f′(x)= lim = lim =- Δx x2. Δx→0 Δx→0 ?x+Δx?x

【自主解答】

1? ? 设过点 A(1,0)的切线的切点为 P?x0,x ?,① ? 0? 1 1 则 f′(x0)=-x2,即该切线的斜率为 k=-x2.
0 0

1? ? 因为点 A(1,0),P?x0,x ?在切线上, ? 0? 1 x0-0 1 所以 =-x2,② x0-1 0 1 解得 x0=2.故切线的斜率 k=-4. 故曲线过点 A(1,0)的切线方程为 y=-4(x-1), 即 4x+y-4=0. 1? 1 ? (2)设斜率为-3的切线的切点为 Q?a,a?, ? ? 1 1 由(1)知,k=f′(a)=-a2=-3,得 a=± 3. ? 3? ? 3? 所以切点坐标为? 3, ?或?- 3,- ?. 3 3 ? ? ? ? 1 故满足斜率为-3的曲线的切线方程为 y- 3 1 3 1 =- (x- 3)或 y+ =- (x+ 3), 3 3 3 3

即 x+3y-2 3=0 或 x+3y+2 3=0.

1.求曲线过已知点的切线方程的步骤:

2.若已知切线的斜率,则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标,根据点斜式写出切线方程.

求曲线 y=f(x)=x2+1 过点 P(1,0)的切线方程. f?a+Δx?-f?a? ?a+Δx?2+1-?a2+1? 【解】 设切点为 Q(a,a2+1), = =2a+Δx,当 Δx 趋于 0 时,(2a+Δx)趋于 2a,所以所求 Δx Δx ?a2+1?-0 切线的斜率为 2a.因此, =2a,解得 a=1± 2,所求的切线方程为 y=(2+2 2)x-(2+2 2)或 y=(2-2 2)x-(2-2 2). a-1

1.求曲线在点(x0,y0)处的切线方程 已知点(x0,y0)为切点,则先求出函数 y=f(x)在点 x0 处的导数,然后根据直线的点斜式方程,得切线方程 y-y0=f′(x0)(x-x0). 2.求曲线过点(x0,y0)的切线方程 已知点(x0,y0)不论在不在曲线上都不一定是切点,故先设出切点坐标,写出切线方程,然后利用已知点(x0,y0)在切线上,求出 切点坐标.进而求出切线方程. 3.若曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的导数 f′(x0)不存在,则切线与 y 轴平行或重合;若 f′(x0)>0,则切线与 x 轴正方向夹角是 锐角;若 f′(x0)<0,则切线与 x 轴正方向夹角为钝角;若 f′(x0)=0,则切线与 x 轴平行或重合. 4.根据导数的几何意义知,f′(x0)能反应曲线在 x=x0 处的升降及升降快慢程度,f′(x0)为正值,曲线在该点处上升,f′(x0)为 负值,曲线在该点处下降,|f′(x0)|越大,曲线在该点升降速度越快.

混淆曲线“在某点”与“过某点”的切线致误 已知曲线 y=2x2-7,求曲线过点 P(3,9)的切线方程. 【易错分析】 误认为点 P(3,9)就是切点而致误.

【防范措施】

(1)注意区分“在点 P”与“过点 P”,“过点 P”其切点未必是点 P.

?y0=f?x0?, (2)“过点 P(a, b)”时, 设出切点坐标 M(x0, y0), 利用切点 M 既在曲线上, 又在切线上, 联立方程组, 即? ?y0-a=f′?x0??x0-b?, 求出切点 M. 【解】 Δy y′= lim Δx Δx→0

2?x+Δx?2-7-?2x2-7? = lim = lim (4x+2Δx)=4x. Δx Δx→0 Δx→0 因为 2×32-7=11≠9,所以点 P(3,9)不在曲线上.
2 设所求切线的切点为 A(x0,2x2 0-7),则切线的斜率 k=4x0.又因为点 P(3,9),A(x0,2x0-7)都是切线上的点,

2x2 0-7-9 所以 k= =4x0,解得 x0=2 或 x0=4. x0-3 当 x0=2 时,k=8,切点为(2,1), 切线方程为 y-1=8(x-2),即 8x-y-15=0; 当 x0=4 时,k=16,切点为(4,25), 切线方程为 y-25=16(x-4),即 16x-y-39=0. 故所求的切线方程为 8x-y-15=0 或 16x-y-39=0. ——[类题尝试]————————————————— 求函数 y=x3-3x2+x 的图象上过原点的切线方程. 【解】
2 设切点坐标为(x0,y0),则 y0=x3 0-3x0+x0,

∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
3 =(x0+Δx)3-3(x0+Δx)2+(x0+Δx)-(x0 -3x2 0+x0) 2 =3x0 Δx+3x0(Δx)2-6x0Δx+(Δx)3-3(Δx)2+Δx,

Δy 2 ∴Δx=3x2 0+3x0Δx-6x0+1+(Δx) -3Δx, Δy ∴f′(x0)= lim Δx=3x2 0-6x0+1. Δx→0
2 2 ∴切线方程为 y-(x3 0-3x0+x0)=(3x0-6x0+1)(x-x0).

∵切线过原点,
3 3 2 ∴x0 -3x2 0+x0=3x0-6x0+x0, 3 即 2x0 -3x2 0=0,

3 ∴x0=0 或 x0=2, 故所求切线方程为 x-y=0 或 5x+4y=0.

课时作业(二) 导数的几何意义 [学业水平层次] 一、选择题 1.已知曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 2x-y+2=0,则 f′(1)=( A.4 【解析】 【答案】 B.-4 C.-2 D.2 )

由导数的几何意义知 f′(1)=2,故选 D. D )

2.(2015· 衡水高二检测)若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为 2x+y+1=0,则( A.f′(x0)>0 C.f′(x0)<0 【解析】 切线的斜率为 k=-2, B.f′(x0)=0 D.f′(x0)不存在

由导数的几何意义知 f′(x0)=-2<0,故选 C. 【答案】 C )

3.已知曲线 y=x3 在点 P 处的切线的斜率 k=3,则点 P 的坐标是( A.(1,1) C.(1,1)或(-1,-1) 【解析】
3

B.(-1,1) D.(2,8)或(-2,-8)

?x+Δx?3-x3 因为 y=x ,所以 y′= lim = lim [3x2+3x· Δx+(Δx)2]=3x2. Δ x Δx→0 Δx→0

由题意,知切线斜率 k=3,令 3x2=3,得 x=1 或 x=-1. 当 x=1 时,y=1;当 x=-1 时,y=-1. 故点 P 的坐标是(1,1)或(-1,-1). 【答案】 C )

4.(2015· 银川高二检测)若曲线 f(x)=x2 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则 l 的方程为( A.4x-y-4=0 C.4x-y+3=0 【解析】 设切点为(x0,y0), ?x+Δx?2-x2 = lim (2x+Δx)=2x. Δx Δx→0 B.x+4y-5=0 D.x+4y+3=0

∵f′(x)= lim

Δx→0

由题意可知,切线斜率 k=4,即 f′(x0)=2x0=4, ∴x0=2.∴切点坐标为(2,4),∴切线方程为 y-4=4(x-2).即 4x-y-4=0,故选 A. 【答案】 二、填空题 5.已知函数 y=f(x)的图象如图 114 所示,则函数 y=f′(x)的图象可能是__________(填序号). A

图 114

【解析】 【答案】

由 y=f(x)的图象及导数的几何意义可知,当 x<0 时 f′(x)>0,当 x=0 时 f′(x)=0,当 x>0 时 f′(x)<0,故②符合. ②

6.曲线 y=x2-2x+3 在点 A(-1,6)处的切线方程是__________. 【解析】 = lim 因为 y=x2-2x+3,切点为点 A(-1,6),所以斜率 k=y′|x=-1

Δx→0

?-1+Δx?2-2?-1+Δx?+3-?1+2+3? Δx

= lim (Δx-4)=-4.
Δx→0

所以切线方程为 y-6=-4(x+1),即 4x+y-2=0. 【答案】 4x+y-2=0

7.若曲线 y=x2+2x 在点 P 处的切线垂直于直线 x+2y=0,则点 P 的坐标是__________. 【解析】 设 P(x0,y0),则

?x0+Δx?2+2?x0+Δx?-x2 0-2x0 y′|x=x0= lim Δx Δx→0 = lim (2x0+2+Δx)=2x0+2.
Δx→0

因为点 P 处的切线垂直于直线 x+2y=0, 所以点 P 处的切线的斜率为 2, 所以 2x0+2=2,解得 x0=0,即点 P 的坐标是(0,0).

【答案】 三、解答题

(0,0)

8.(2015· 安顺高二检测)已知抛物线 y=f(x)=x2+3 与直线 y=2x+2 相交,求它们交点处抛物线的切线方程. 【解】
2 ?y=x +3, 由方程组? 得 x2-2x+1=0, y = 2 x + 2 , ?

?Δx+1?2+3-?12+3? 解得 x=1,y=4,所以交点坐标为(1,4),又 =Δx+2. Δx 当 Δx 趋于 0 时 Δx+2 趋于 2.所以在点(1,4)处的切线斜率 k=2. 所以切线方程为 y-4=2(x-1),即 y=2x+2. 9.试求过点 P(3,5)且与曲线 y=x2 相切的直线方程. 【解】 ?x+Δx?2-x2 Δy y′= lim Δx= lim =2x. Δx Δx→0 Δx→0

设所求切线的切点为 A(x0,y0). ∵点 A 在曲线 y=x2 上, ∴y0=x2 0, 又∵A 是切点, ∴过点 A 的切线的斜率 y′|x=x0=2x0, ∵所求切线过 P(3,5)和 A(x0,y0)两点, y0-5 x2 0-5 ∴其斜率为 = . x0-3 x0-3 x2 0-5 ∴2x0= , x0-3 解之得 x0=1 或 x0=5. 从而切点 A 的坐标为(1,1)或(5,25). 当切点为(1,1)时,切线的斜率为 k1=2x0=2; 当切点为(5,25)时,切线的斜率为 k2=2x0=10. ∴所求的切线有两条,方程分别为 y-1=2(x-1)和 y-25=10(x-5),即 y=2x-1 和 y=10x-25. [能力提升层次] 1.(2015· 天津高二检测)已知函数 y=f(x)的图象如图 115,则 f′(xA)与 f′(xB)的大小关系是( )

图 115 A.f′(xA)>f′(xB) C.f′(xA)=f′(xB) 【解析】 【答案】 B.f′(xA)<f′(xB) D.不能确定

由图象易知,点 A、B 处的切线斜率 kA、kB 满足 kA<kB<0.由导数的几何意义,得 f′(xA)<f′(xB). B f?1?-f?1-x? =-1,则过曲线 y=f(x)上点(1,f(1))处的切线斜率为( 2x B.-1 D.-2 ∵ lim f?1?-f?1-x? 1 f?1-x?-f?1? =2 lim =-1, 2x -x Δx→0 )

2.(2015· 天津高二检测)设 f(x)为可导函数,且满足 lim A.2 C .1 【解析】 ∴ lim

Δx→0

Δx→0

Δx→0

f?1-x?-f?1? =-2,即 f′(1)=-2. -x

由导数的几何意义知,曲线在点(1,f(1))处的切线斜率 k=f′(1)=-2,故选 D. 【答案】 D

3.(2015· 郑州高二检测)已知直线 x-y-1=0 与抛物线 y=ax2 相切,则 a 的值为________. 【解析】 设切点为 P(x0,y0). f?x0+Δx?-f?x0? Δx

则 f′(x0)= lim = lim

Δx→0

Δx→0

a?x0+Δx?2-ax2 0 Δx

= lim (2ax0+aΔx)=2ax0,即 2ax0=1.
Δx→0

又 y0=ax2 0,x0-y0-1=0,

?2ax0=21, 联立以上三式,得?y0=ax0, ?x0-y0-1=0,
【答案】 1 4

1 解得 a=4.

4.已知函数 f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公切线,求 a,b 的值. 【解】 = lim Δy 因为 f′(x)= lim Δx Δx→0 a?x+Δx?2+1-?ax2+1? =2ax, Δx

Δx→0

所以 f′(1)=2a,即切线斜率 k1=2a. Δy 因为 g′(x)= lim Δx Δx→0 ?x+Δx?3+b?x+Δx?-?x3+bx? = lim =3x2+b, Δ x Δx→0 所以 g′(1)=3+b,即切线的斜率 k2=3+b. 因为在交点(1,c)处有公切线, 所以 2a=3+b.① 又因为 c=a+1,c=1+b, 所以 a+1=1+b,即 a=b, ?a=3, 代入①式,得? ?b=3.

1.2

导数的计算

1.2.1

几个常用函数的导数

1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一) 1 [学习目标] 1.能根据定义求函数 y=c,y=x,y=x2,y= x,y= x的导数.(难点) 2.掌握基本初等函数的导数公式,并能进行 简单的应用.(重点、易混点)

一、几个常用函数的导数 原函数 f(x)=c(c 为常数) 导函数 f′(x)=____

f(x)=x f(x)=x2 1 f(x)= x f(x)= x 【答案】 0 1 1 2x -x2

f′(x)=____ f′(x)=______ f′(x)=______________ f′(x)= 1 2 x

二、基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)=c(c 为常数) f(x)=xα(α∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=a
x

导函数 f′(x)=______ f′(x)=__________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=____________ f′(x)=__________ 1 f′(x)=xln a 1 f′(x)= x ex

f(x)=ex f(x)=logax f(x)=ln x 【答案】 0 αxα-1 cos x -sin x axln a

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) 1 (1)若 y= 2,则 y′=2×2=1.( (2)若 f′(x)=sin x,则 f(x)=cos x.( 3 3 (3)若 f(x)=x2,则 f′(x)=2 x( 【答案】 (1)× (2)× (3)√ ) ) )

2.给出下列命题: 1 ①y=ln 2,则 y′= ; 2 1 2 ②y=x2,则 y′|x=3=-27; ③y=2x,则 y′=2xln 2;

1 ④y=log2x,则 y′=xln 2. 其中正确命题的个数为( A.1 B.2 ) C.3 D.4

2 2 【解析】 对于①,y′=0,故①错;对于②,∵y′=-x3,∴y′|x=3=-27,故②正确;显然③,④正确,故选 C. 【答案】 C ) 1 D.10ln 10

3.若函数 y=10x,则 y′|x=1 等于( 1 A.10 【解析】 【答案】 B.10 C.10ln 10

∵y′=10xln 10,∴y′|x=1=10ln 10. C

4.若 f(x)=x3,g(x)=log3x, 则 f′(x)-g′(x)=__________. 【解析】 1 ∵f′(x)=3x2,g′(x)=xln 3,

1 ∴f′(x)-g′(x)=3x2-xln 3. 【答案】 1 3x2-xln 3

预习完成后,请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中 问题 1 问题 2 问题 3 问题 4

利用导数公式求函数的导数

求下列函数的导数: 1 5 (1)y=x12;(2)y=x4;(3)y= x3;(4)y=3x;(5)y=log5x.

【思路探究】 【自主解答】

首先观察函数解析式是否符合求导形式,若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式. (1)y′=(x12)′=12x11;

4 ?1? (2)y′=?x4?′=(x-4)′=-4x-5=-x5; ? ? 3 3 2 5 (3)y′=( x3)′=(x5)′=5x-5; (4)y′=(3x)′=3xln 3; 1 (5)y′=(log5x)′=xln 5.

1.若所求函数符合导数公式,则直接利用公式求解. 2.对于不能直接利用公式的类型,一般遵循“先化简,再求导”的基本原则,避免不必要的运算失误. 1 3.要特别注意“ x与 ln x”,“ax 与 logax”,“sin x 与 cos x”的导数区别.

求函数在某点处的导数

质点的运动方程是 s=sin t, π (1)求质点在 t=3时的速度; (2)求质点运动的加速度. 【思路探究】 ?π? (1)先求 s′(t),再求 s′?3?. ? ?

(2)加速度是速度 v(t)对 t 的导数,故先求 v(t),再求导. 【自主解答】 π 1 ?π? (1)v(t)=s′(t)=cos t,∴v?3?=cos 3=2. ? ?

π 1 即质点在 t=3时的速度为2. (2)∵v(t)=cos t, ∴加速度 a(t)=v′(t)=(cos t)′=-sin t.

1.速度是路程对时间的导数,加速度是速度对时间的导数. 2.求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是:(1)先求函数的导函数;(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导 数值.

(1)求函数 f(x)=

1 3 x

在(1,1)处的导数;

?π 2? (2)求函数 f(x)=cos x 在? , ?处的导数. ?4 2 ? 【解】 ? 1 ? 1 1 4 1 ? (1)∵f′(x)=? ? 3 ?′=(x-3)′=-3x-3=- 3 , ? x? 3 x4 1 3 3 1 1 =-3.

∴f′(1)=-

(2)∵f′(x)=-sin x, π 2 ?π? ∴f′?4?=-sin 4=- 2 . ? ?

导数公式的应用 ?π 1? (2015· 长沙高二检测)求过曲线 f(x)=cos x 上一点 P?3,2?且与曲线在这点的切线垂直的直线方程. ? ? 【思路探究】 ?π? 求导数f′?x0? → 计算f′?3? → 所求直线斜率k=- ? ? 1 → 点斜式写出直线方程 ?π? f′?3? ? ?

【自主解答】

?π 1? 因为 f(x)=cos x,所以 f′(x)=-sin x,则曲线 f(x)=cos x 在点 P?3,2?的切线斜率为 ? ?

π 3 ?π? f′?3?=-sin 3=- 2 , ? ? 2 所以所求直线的斜率为3 3, 1 2 ? π? 所求直线方程为 y-2=3 3?x-3?, ? ? 2 2 3 1 即 y=3 3x- 9 π+2.

求曲线方程或切线方程时,应注意: (1)切点是曲线与切线的公共点,切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程;(2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率; (3)必须明确已知点是不是切点,如果不是,应先设出切点.

若将本例中点 P 的坐标改为(π,-1),求相应的直线方程.

【解】

∵f(x)=cos x,∴f′(x)=-sin x,

则曲线 f(x)=cos x 在点 P(π,-1)处的切线斜率为 f′(π)=-sin π=0. 所以所求直线的斜率不存在. 所以所求直线方程为 x=π.

由导数公式求函数的导数,减少了运算量,对于和导数有关的斜率、速度等问题,可以先利用公式求出导数,再结合实际问题 进行计算.

导数公式记错致误 (2015· 广州高二检测)已知直线 y=kx 是曲线 y=3x 的切线,则 k 的值是( 1 A.3 C.log3 e 【易错分析】 【防范措施】 B.eln 3 D.e 失分点一:不能利用导数公式正确求导;失分点二:不能正确利用导数的几何意义设出切点,列出方程. (1)准确记忆基本初等函数的导数公式,对于易混易错的公式应重点防范,本题中 y=(3x)′=3xln3. )

(2)注意切点既在曲线上,又在切线上. 【解析】 设切点为(x0,y0).

因为 y′=3xln 3,① 所以 k=3x0ln 3,

所以 y=3x0ln 3· x, 又因为(x0,y0)在曲线 y=3x 上, 所以 3x0ln 3· x0=3x0,② 1 所以 x0=ln 3=log3 e. 所以 k=eln 3. 【答案】 B

——[类题尝试]————————————————— (2015· 烟台高二检测)已知函数 y=kx 是曲线 y=ln x 的一条切线,则 k=__________. 【解析】 1 1 设切点为(x0,y0),∵y′=x ,∴k=x ,
0

1 ∴y=x · x,又点(x0,y0)在曲线 y=ln x 上,∴y0=ln x0,
0

x0 1 ∴ln x0=x ,∴x0=e.∴k= e.
0

【答案】

1 e

课时作业(三) 几个常用函数的导数 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一) [学业水平层次] 一、选择题 1.下列结论正确的是( )

A.若 y=cos x,则 y′=sin x B.若 y=sin x,则 y′=-cos x 1 1 C.若 y=x,则 y′=-x2 x D.若 y= x,则 y′= 2 【解析】 ∵(cos x)′=-sin x,∴A 不正确;

∵(sin x)′=cos x,∴B 不正确; ∵( x)′= 【答案】 1 2 x C ) ,∴D 不正确.

1 3 2.(2015· 济南高二检测)在曲线 f(x)= x上切线的倾斜角为4π 的点的坐标为( A.(1,1) C.(-1,1) B.(-1,-1) D.(1,1)或(-1,-1)

【解析】

3 切线的斜率 k=tan 4π=-1,

设切点为(x0,y0),则 f′(x0)=-1, 1 1 又 f′(x)=-x2,∴-x2=-1,∴x0=1 或-1,
0

∴切点坐标为(1,1)或(-1,-1).故选 D. 【答案】 D )

3.对任意的 x,有 f′(x)=4x3,f(1)=-1,则此函数解析式为( A.f(x)=x3 C.f(x)=x3+1 【解析】 【答案】

B.f(x)=x4-2 D.f(x)=x4-1

由 f′(x)=4x3 知 f(x)中含有 x4 项,然后将 x=1 代入选项中验证可得,选 B. B )

4.(2015· 北京高二检测)已知曲线 y=x3 在点(2,8)处的切线方程为 y=kx+b,则 k-b=( A.4 C.28 【解析】 B.-4 D.-28 ∵y′=3x2,∴点(2,8)处的切线斜率 k=f′(2)=12.

∴切线方程为 y-8=12(x-2),即 y=12x-16, ∴k=12,b=-16,∴k-b=28. 【答案】 二、填空题 5.(2015· 菏泽高二检测)已知 f(x)=x2,g(x)=ln x,若 f′(x)-g′(x)=1,则 x=________. 【解析】 因为 f(x)=x2,g(x)=ln x, C

1 所以 f′(x)=2x,g′(x)= 且 x>0, x 1 f′(x)-g′(x)=2x-x =1,即 2x2-x-1=0, 1 解得 x=1 或 x=-2(舍去).故 x=1. 【答案】 1

1 6.直线 y=2x+b 是曲线 y=ln x(x>0)的一条切线,则实数 b=________. 【解析】 设切点坐标为(x0,y0),则 y0=ln x0.

1 ∵y′=(ln x)′=x , 1 1 1 ∴y′|x=x0=x ,由题意知x =2,
0 0

∴x0=2,y0=ln 2.

1 由 ln 2=2×2+b,得 b=ln 2-1. 【答案】 ln 2-1

1 7.(2015· 南京高二检测)已知函数 y=f(x)的图象在 M(1,f(1))处的切线方程是 y=2x+2,则 f(1)+f′(1)=__________. 【解析】 1 5 依题意知,f(1)=2×1+2=2,

1 5 1 f′(1)=2,∴f(1)+f′(1)=2+2=3. 【答案】 三、解答题 3 8.若质点 P 的运动方程是 s= t2(s 的单位为 m,t 的单位为 s),求质点 P 在 t=8 s 时的瞬时速度. 【解】 2 2 1 3 ∵s′=( t2)′=(t3)′=3t-3, 3

2 1 2 1 ∴s′|t=8=3×8-3=3×2-1=3, 1 ∴质点 P 在 t=8 s 时的瞬时速度为3 m/s. 9.设 f(x)=x3+ax2+bx+1 的导数 f′(x)满足 f′(1)=2a,f′(2)=-b,其中常数 a,b∈R.求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线 方程. 【解】 因为 f(x)=x3+ax2+bx+1,所以 f′(x)=3x2+2ax+b.

令 x=1,得 f′(1)=3+2a+b,又 f′(1)=2a,所以 3+2a+b=2a,解得 b=-3. 3 令 x=2,得 f′(2)=12+4a+b,又 f′(2)=-b,所以 12+4a+b=-b,解得 a=-2. 3 5 则 f(x)=x3- x2-3x+1,从而 f(1)=- . 2 2 ? 3? ? 5? 又 f′(1)=2×?-2?=-3,所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y-?-2?=-3(x-1),即 6x+2y-1=0. ? ? ? ? [能力提升层次] 1.设 f0(x)=sin x,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),?,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,则 f2015(x)=( A.sin x C.cos x 【解析】 B.-sin x D.-cos x f0(x)=sin x,f1(x)=f0′(x)=(sin x)′=cos x,f2(x)=f1′(x)=(cos x)′=-sin x,f3(x)=f2′(x)=(-sin x)′=-cos x, )

f4(x)=f3′(x)=(-cos x)′=sin x,所以 4 为最小正周期,故 f2015(x)=f3(x)=-cos x. 【答案】 D )

1 1 2.若曲线 y=x-2在点(a,a-2)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 18,则 a=( A.64 B.32 C.16 D.8

【解析】

1 3 1 1 因为 y′=-2x-2,所以曲线 y=x-2在点(a,a-2)处的切线方程为:

1 1 3 3 1 y-a-2=-2a-2(x-a),由 x=0 得 y=2a-2,由 y=0 得 x=3a, 13 1 所以2· 3a=18,解得 a=64. 2a-2· 【答案】 A

3.(2015· 潍坊高二检测)点 P 是 f(x)=x2 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-1 的最短距离是__________. 【解析】 与直线 y=x-1 平行的 f(x)=x2 的切线的切点到直线 y=x-1 的距离最小.设切点为(x0,y0),则 f′(x0)=2x0=1,

1 1 ?1 1? ∴x0= ,y0= .即 P?2,4?到直线 y=x-1 的距离最短. 2 4 ? ? ?1 1 ? ?2-4-1? ? ? 3 2 ∴d= 2 2 = 8 . 1 +1 【答案】 3 2 8

4.(2015· 潍南高二检测)已知 P(-1,1),Q(2,4)是曲线 y=x2 上的两点, (1)求过点 P,Q 的曲线 y=x2 的切线方程; (2)求与直线 PQ 平行的曲线 y=x2 的切线方程. 【解】 (1)因为 y′=2x.

P(-1,1),Q(2,4)都是曲线 y=x2 上的点. 过 P 点的切线的斜率 k1=y′|x=-1=-2, 过 Q 点的切线的斜率 k2=y′|x=2=4, 过 P 点的切线方程:y-1=-2(x+1),即 2x+y+1=0. 过 Q 点的切线方程:y-4=4(x-2), 即 4x-y-4=0. (2)因为 y′=2x,直线 PQ 的斜率 k= 切线的斜率 k=y′|x=x0=2x0=1, 1 ?1 1? 所以 x0=2,所以切点 M?2,4?, ? ? 1 1 与 PQ 平行的切线方程为 y-4=x-2, 即 4x-4y-1=0. 4-1 =1, 2+1

1.2.2

基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则(二)

[学习目标] 1.能利用导数的运算法则求函数的导数.(重点、易混点) 2.理解并能应用复合函数的求导法则.(难点)

一、导数的运算法则 1.和差的导数 [f(x)± g(x)]′=______________. 2.积的导数 (1)[f(x)· g(x)]′=____________; (2)[cf(x)]′=______________. 3.商的导数 ? f?x? ? ? ?′=____________. ?g?x?? 【答案】 1.f′(x)± g′(x) 2.(1)f′(x)g(x)+f(x)g′(x) (2)cf′(x) 3. f′?x?g?x?-f?x?g′?x? (g(x)≠0) [g?x?]2

二、复合函数的概念及求导法则 复合函数的概 一般地,对于两个函数 y=f(u)和 u=g(x),如果通过变量 u,y 可以表示成__________,那么称这个函数为函数 y 念 =f(u)和 u=g(x)的复合函数,记作________.

复合函数的求 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 y′x=______________________,即 y 对 x 的导 导法则 【答案】 数等于__________________. x 的函数 y=f(g(x)) y′u· u′x y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)f′(x)=2x,则 f(x)=x2.( ) ) )

(2)函数 f(x)=xex 的导数是 f′(x)=ex(x+1).( (3)函数 f(x)=sin(-x)的导数为 f′(x)=cos x.( 【答案】 (1)× (2)√ (3)×

2.函数 y=cos (-x)的导数是( A.cos x C.-sin x 【解析】 【答案】

) B.-cos x D.sin x

y′=-sin (-x)(-x)′=-sin x. C )

3.函数 y=x2sin x 的导数是( A.2xsin x+x2cos x B.x2cos x C.2xcos x D.2xsin x-x2cos x 【解析】 【答案】

y′=(x2sin x)′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+x2cos x. A 2 ,则 f′(x)=_________________. x+1

4.函数 f(x)=- 【解析】 【答案】

2 ? 2 2 ? f′(x)=?-x+1?′= . 2(x+1)′= ?x+1? ?x+1?2 ? ? 2 ?x+1?2

预习完成后,请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中 问题 1 问题 2 问题 3 问题 4

导数四则运算法则的应用

求下列函数的导数.

(1)y=x-2+x2; (2)y=3xex-2x+e; (3)y= ln x ; x2+1

x x (4)y=x2-sin 2cos2. 【自主解答】 (1)y′=2x-2x-3.

(2)y′=(ln 3+1)· (3e)x-2xln 2. x2+1-2x2· lnx (3)y′= . x?x2+1?2 x x 1 (4)∵y=x2-sin2cos2=x2-2sinx, 1 ∴y′=2x-2cos x.

1.解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分. 2.对一个函数求导时,要紧扣导数运算法则,联系基本初等函数的导数公式,当不易直接应用导数公式时,应先对函数进行化 简(恒等变形),然后求导.这样可以减少运算量,优化解题过程.

复合函数的导数

求下列函数的导数. (1)y=e2x+1;(2)y= 1 ; ?2x-1?3

(3)y=5log2(1-x);(4)y=sin3x+sin 3x. 【思路探究】 【自主解答】 先分析函数是怎样复合而成的,找出中间变量,分层求导. (1)函数 y=e2x+1 可看作函数 y=eu 和 u=2x+1 的复合函数,

∴y′x=y′u· ux′=(eu)′(2x+1)′=2eu=2e2x+1. (2)函数 y= 1 可看作函数 y=u-3 和 u=2x-1 的复合函数, ?2x-1?3 6 . ?2x-1?4

∴y′x=y′u· ux′=(u-3)′(2x-1)′=-6u-4=-6(2x-1)-4=-

(3)函数 y=5log2(1-x)可看作函数 y=5log2u 和 u=1-x 的复合函数, -5 ∴y′x=y′u· u′x=5(log2u)′· (1-x)′=uln 2= 5 . ?x-1?ln 2

(4)函数 y=sin3x 可看作函数 y=u3 和 u=sin x 的复合函数,函数 y=sin 3x 可看作函数 y=sin v 和 v=3x 的复合函数.

∴y′x=(u3)′· (sin x)′+(sin v)′· (3x)′ =3u2· cos x+3cos v =3sin2x cos x+3cos 3x.

1.解答此类问题常犯两个错误: (1)不能正确区分所给函数是否为复合函数. (2)若是复合函数,不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成. 2.复合函数求导的步骤为

求下列函数的导数. (1)y= x ; 1- 1-x

(2)y=log2(2x2-1). 【解】 (1)y= x?1+ 1-x? x = 1- 1-x ?1- 1-x??1+ 1-x?



x?1+ 1-x? =1+ 1-x. 1-?1-x?

设 y=1+ u,u=1-x, 则 y′=yu′· ux′=(1+ u)′· (1-x)′ = 1 2 u · (-1)=- 1 . 2 1-x

(2)设 y=log2u,u=2x2-1, 1 则 y′=y′u· ux′=uln 2· 4x



4x . ?2x -1?ln 2
2

导数运算法则的综合应用 1 已知函数 f(x)=ax2+2ln(2-x)(a∈R),设曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为 l,若直线 l 与圆 C:x2+y2=4相切, 求实数 a 的值. 【思路探究】 【自主解答】 求出导数 f′(1),写出切线方程,由直线 l 与圆 C 相切,建立方程求解. 因为 f(1)=a,f′(x)=2ax+ 2 (x<2), x-2

所以 f′(1)=2a-2, 所以切线 l 的方程为 2(a-1)x-y+2-a=0. 因为直线 l 与圆相切,所以圆心到直线 l 的距离等于半径,即 d= |2-a| 1 11 =2,解得 a= 8 . 2 4?a-1? +1

关于复合函数导数的应用及其解决方法 (1)应用:复合函数的导数应用主要有:求在某点处的切线方程,已知切线的方程或斜率求切点,以及涉及切线问题的综合应用. (2)方法:先求出复合函数的导数,若已知切点则求出切线斜率、切线方程;若切点未知,则先设出切点,用切点表示切线斜率, 再根据条件求切点坐标.总之,切点在解决此类问题时起着至关重要的作用.

1 若将本例中条件改为“直线 l 与圆 C:x2+y2=4相交”,求 a 的取值范围. 【解】 由例题知,直线 l 的方程为 2(a-1)x-y+2-a=0.

1 ∵直线 l 与圆 C:x2+y2=4相交, ∴圆心到直线 l 的距离小于半径. 即 d= |2-a| 1 <2. 2 4?a-1? +1

11 解得,a> . 8

1.导数的求法 对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求 导的制约作用.首先,在化简时,要注意化简的等价性,避免不必要的运算失误;其次,利用导数公式求函数的导数时,一定要将 函数化为八个基本初等函数中的某一个,再套用公式求导数. 2.和与差的运算法则可以推广: [f(x1)± f(x2)±…±f(xn)]′=f′(x1)± f′(x2)± ?± f′(xn). 3.积商的求导法则: (1)若 c 为常数,则[c· f(x)]′=c· f′(x). (2)类比[f(x)· g(x)]′=f′(x)· g(x)+f(x)· f′?x?· g?x?-f?x?· g′?x? ? f?x? ? ?′= g′(x)记忆,? . 2 g ? x ? [g?x?] ? ? g′?x? ? 1 ? (3)当 f(x)=1 时,有?g?x??′=- . ? ? [g?x?]2 4.复合函数求导的步骤: (1)分清复合关系,适当选定中间变量,正确分解复合关系; (2)要弄清每一步求导是哪个变量按什么公式求导,不要混淆;

(3)将中间变量代回到自变量(如对 x)的函数.

因对复合函数求导时层次不清致误 求 y=sinn xcos nx 的导数. 【易错分析】 【防范措施】 忽略对复合函数的内层函数求导致误. 对较复杂函数求导时,先判定该函数是否为复合函数,若一个函数是复合函数,求导时要先明确函数的构成,

分清哪个是里层函数哪个是外层函数,做到层次分明,心中有数.如本例中的函数 sinnx 由 y=un 及 u=sin x 复合而成,cos nx 由 t= nx 及 y=cos t 复合而成. 【解】 y′=(sinnx)′cos nx+sinnx(cos nx)′

=nsinn-1x· (sin x)′· cos nx+sinnx· (-sin nx)· (nx)′ =nsinn 1x· cosx· cos nx-sinnx· sin nx· n


=nsinn-1x(cos xcos nx-sin xsin nx) =nsinn 1x cos[(n+1)x].


——[类题尝试]————————————————— 函数 y=cos 2x+sin x的导数为( A.-2sin 2x+ C.-2sin 2x+ 【解析】 cos x 2 x ) B.2 sin 2x+ D.2sin 2x- x· ( x)′ cos x 2 x

sin x 2 x

cos x 2 x

y′=-sin 2x· (2x)′+cos

1 1 =-2sin 2x+ · cos x 2 x =-2sin 2x+ 【答案】 A cos x . 2 x

课时作业(四) 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二) [学业水平层次] 一、选择题 1.函数 y=(x2-1)n 的复合过程正确的是( )

A.y=un,u=x2-1 C.y=tn,t=(x2-1)n 【答案】 A )

B.y=(u-1)n,u=x2 D.y=(t-1)n,t=x2-1

1-x2 2.若 f(x)= sin x ,则 f(x)的导数是( -2xsin x-?1-x2?cos x A. sin2x B. -2xsin x+?1-x2?cos x sin2 x

-2xsin x+?1-x2? C. sin x D. -2xsin x-?1-x2? sin x ?1-x2?′sin x-?1-x?2· ?sin x?′ -2xsin x-?1-x?2cos x f′(x)= = . sin2x sin2x A ) B.ln(2x+5)+ x D. 2x+5 2x 2x+5

【解析】 【答案】

3.函数 y=xln(2x+5)的导数为( A.ln(2x+5)- C.2xln(2x+5) 【解析】 【答案】 x 2x+5

1 2x y′=[xln(2x+5)]′=x′ln(2x+5)+x[ln(2x+5)]′=ln(2x+5)+x· · (2x+5)′=ln(2x+5)+ . 2x+5 2x+5 B )

4.(2015· 宁波高二检测)函数 f(x)=x+xln x 在(1,1)处的切线方程为( A.2x+y-1=0 C.2x+y+1=0 【解析】 B.2x-y-1=0 D.2x-y+1=0

∵f′(x)=(x+xln x)′=1+x′ln x+x(lnx)′

=1+ln x+1=2+ln x, ∴f′(1)=2+ln 1=2, ∴函数 f(x)在点(1,1)处的切线方程为 y-1=2(x-1), 即 2x-y-1=0. 【答案】 二、填空题 5.(2014· 江西高考)若曲线 y=xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x-y+1=0,则点 P 的坐标是________. 【解析】 1 设 P(x0,y0).∵y=xln x,∴y′=ln x+x· x =1+ln x. B

∴k=1+ln x0.又 k=2,∴1+ln x0=2,∴x0=e.

∴y0=eln e=e.∴点 P 的坐标是(e,e). 【答案】 (e,e)

?π? ?π? 6.已知函数 f(x)=f′?2?sin x+cos x,则 f′?4?=________. ? ? ? ? 【解析】 ?π? ∵f′(x)=f′?2?cos x-sin x, ? ?

π π ?π? ?π? ∴f′?2?=f′?2?cos 2-sin 2=-1, ? ? ? ? ∴f′(x)=-cos x-sin x, π π ?π? ∴f′?4?=-cos -sin =- 2. 4 4 ? ? 【答案】 - 2

7.(2015· 广州高二检测)若函数为 y=sin4x-cos4x,则 y′=________________. 【解析】 ∵y=sin4x-cos4x=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)=-cos 2x,

∴y′=(-cos 2x)′=-(-sin 2x)· (2x)′=2 sin 2x. 【答案】 三、解答题 8.求下列函数的导数. (1)y= 1-2x2;(2)y=esin x; π? ? (3)y=sin?2x+3?;(4)y=5log2(2x+1). ? ? 【解】 1 (1)设 y=u2,u=1-2x2, 2sin 2x

1? 1 ?1 则 y′=(u2)′(1-2x2)′=?2u-2?· (-4x) ? ? -2x 1 1 =2(1-2x2)-2(-4x)= . 1-2x2 (2)设 y=eu,u=sin x, 则 yx′=yu′· ux′=eu· cos x=esin xcos x. π (3)设 y=sin u,u=2x+3, π? ? 则 yx′=yu′· ux′=cos u· 2=2cos?2x+3?. ? ? (4)设 y=5log2u,u=2x+1, 10 则 y′=yu′· ux′=uln 2= 10 . ?2x+1?ln 2

?π 1? 9.求曲线 y=2sin2x 在点 P?6,2?处的切线方程. ? ? 【解】 因为 y′=(2sin2x)′=2×2sin x×(sin x)′

=2×2sin x×cos x=2sin 2x, π π? ? 所以 y′|x=6=2sin?2×6?= 3. ? ? 1 1 3π ? π? 所以过点 P 的切线方程为 y-2= 3?x-6?,即 3x-y+2- 6 =0. ? ? [能力提升层次] 1.(2015· 长沙高二检测)函数 y=sin 2x-cos 2x 的导数是( π? ? A.2 2 cos?2x-4? ? ? B.cos 2x-sin 2x C.sin 2x+cos 2x π? ? D.2 2cos?2x+4? ? ? 【解析】 ∵ y′ = (sin2x - cos2x)′ = (sin2x)′ - (cos2x)′ = cos2x· (2x)′ + sin2x· (2x)′ = 2cos2x + 2sin 2x = 2 2 )

π? ? 2 ? 2 ? ? cos2x+ sin2x?=2 2cos?2x-4?,故选 A. ? ? 2 ?2 ? 【答案】 A 4 上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 α 的取值范围是( e +1
x

2.已知点 P 在曲线 y= π? ? A.?0,4? ? ? ?π 3π? C.?2, 4 ? ? ? 【解析】 因为 y=

)

?π π? B.?4,2? ? ? ?3π ? D.? 4 ,π? ? ? 4 , e +1
x

-4ex -4ex 所以 y′= x = = ?e +1?2 e2x+2ex+1

-4 . 1 ex+ex+2

1 因为 ex>0,所以 ex+e ≥2.所以 y′∈[-1,0),所以 tan α∈[-1,0).
x

?3π ? 又因为 α∈[0,π),所以 α∈? 4 ,π?. ? ? 【答案】 3 . D 东 高 考 ) 曲 线 y = e


(2014· 广

5x



2





(0,3)







线







________________________________________________________________________. 【解析】 【答案】 因为 y′=e-5x(-5x)′=-5e-5x,所以 y′|x=0=-5,故切线方程为 y-3=-5(x-0),即 5x+y-3=0. 5x+y-3=0 ax ,且 f(x)的图象在 x=1 处与直线 y=2 相切. x +b
2

4.(2015· 郑州高二检测)已知函数 f(x)=

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)若 P(x0,y0)为 f(x)图象上的任意一点,直线 l 与 f(x)的图象相切于 P 点,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 【解】 (1)对函数 f(x)求导,得 f′(x)= a?x2+b?-ax?2x? ab-ax2 = 2 . ?x2+b?2 ?x +b?2

因为 f(x)的图象在 x=1 处与直线 y=2 相切. ?f′?1?=0, 所以? ?f?1?=2, ab-a=0, ? ?1+b≠0, 即? a ? ?1+b=2,

所以 a=4,b=1,所以 f(x)=

4x . x +1
2

1 ? 4-4x2 4-4x2 1 ? 2 0 ? 1? 2 ? ?t-4? (2)因为 f′(x)= 2 所以直线 l 的斜率 k=f′(x0)= 2 , 令 t = , t ∈ (0,1] , 则 k = 4(2 t - t ) = 8 2- 2 2, 2=4? 2 2 ? ? ?x +1? ?x0+1? x0+1 ??x0+1? x0+1?
2

1 ? 1 ? -2,所以 k∈?-2,4?. ? ?

1.3

导数在研究函数中的应用

1.3.1

函数的单调性与导数

[学习目标] 1.理解导数与函数的单调性的关系.(易混点) 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.(重点) 3.会用导数求函数 的单调区间.(重点、难点)

函数的单调性与导数之间的关系 在某个区间(a,b)内,如果 f′(x)>0,那么函数 y=f(x)在这个区间内__________;如果 f′(x)<0,那么函数 y=f(x)在这个区间内 ________. 【答案】 单调递增 单调递减

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数 f(x)在定义域上都有 f′(x)>0,则函数 f(x)在定义域上单调递增.( (2)函数在某一点的导数越大,函数在该点处的切线越“陡峭”.( ) ) )

(3)函数在某个区间上变化越快,函数在这个区间上导数的绝对值越大.( 【答案】 (1)× (2)× (3)√

2.函数 y=f(x)的图象如图 131 所示,则导函数 y=f′(x)的图象可能是(

)

图 131

【解析】 【答案】

∵函数 f(x)在(0,+∞),(-∞,0)上都是减函数,∴当 x>0 时,f′(x)<0,当 x<0 时,f′(x)<0. D ) B.(e,+∞) ?1 ? D.?e,e? ? ?

3.函数 f(x)=3+x· ln x 的单调递增区间是( 1? ? A.?0,e? ? ? ?1 ? C.? e,+∞? ? ? 【解析】

1 f′(x)=ln x+1,令 f′(x)>0,即 ln x+1>0,得 x>e .

?1 ? ∴函数 f(x)的单调递增区间为? e,+∞?. ? ? 【答案】 C

4.函数 f(x)=2x3-9x2+12x+1 的单调减区间是__________. 【解析】 【答案】 f′(x)=6x2-18x+12,令 f′(x)<0,即 6x2-18x+12<0,解得 1<x<2. (1,2)

预习完成后,请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中 问题 1 问题 2 问题 3 问题 4

单调性与导数的关系

(1)(2015· 武昌高二检测)函数 y=f(x)的图象如图 132 所示,给出以下说法:

图 132 ①函数 y=f(x)的定义域是[-1,5]; ②函数 y=f(x)的值域是(-∞,0]∪[2,4]; ③函数 y=f(x)在定义域内是增函数; ④函数 y=f(x)在定义域内的导数 f′(x)>0. 其中正确的是( A.①② C.②③ ) B.①③ D.②④ )

(2)设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图 133 所示,则导函数 y=f′(x)的图象可能为(

图 133

(3)已知 f′(x)是 f(x)的导函数,f′(x)的图象如图 134 所示,则 f(x)的图象只可能是(

)

图 134

【自主解答】

(1)由图象可知,函数的定义域为[-1,5],值域为(-∞,0]∪[2,4],故①②正确,选 A.

(2)由函数的图象可知:当 x<0 时,函数单调递增,导数始终为正;当 x>0 时,函数先增后减再增,即导数先正后负再正,对照 选项,应选 D. a+b? ? ?a+b ? ?内,导数单调递增;在区间? (3)从 f′(x)的图象可以看出,在区间?a, ,b?内,导数单调递减.即函数 f(x)的图象在 2 ? ? ? 2 ? a+b? ? ?a+b ? ?a, ?内越来越陡,在? ,b?内越来越平缓,由此可知,只有选项 D 符合. 2 ? ? ? 2 ? 【答案】 (1)A (2)D (3)D

1.利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单的多,只需判断导数在该区间内的正负即可. 2.通过图象研究函数单调性的方法: (1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点,分析函数值的变化趋势; (2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与 x 轴的交点,分析导数的正负.

利用导数求函数的单调区间 a 求函数 f(x)=x+ x(a≠0)的单调区间. 【思路探究】 求出导数 f′(x),分 a>0 和 a<0 两种情况.由 f′(x)>0 求得单调增区间,由 f′(x)<0 求得单调减区间.

【自主解答】 a f′(x)=1-x2. 当 a>0 时,

a f(x)=x+x 的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),

a 令 f′(x)=1-x2>0,解得 x> a或 x<- a; a 令 f′(x)=1-x2<0,解得- a<x<0 或 0<x< a; a 当 a<0 时,f′(x)=1-x2>0 恒成立, 所以当 a>0 时,f(x)的单调递增区间为(-∞,- a)和( a,+∞);单调递减区间为(- a,0)和(0, a). 当 a<0 时,f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和(0,+∞).

利用导数求函数单调区间的步骤 (1)确定函数 f(x)的定义域; (2)求导数 f′(x); (3)由 f′(x)>0(或 f′(x)<0),解出相应的 x 的范围.当 f′(x)>0 时,f(x)在相应的区间上是增函数;当 f′(x)<0 时,f(x)在相应区 间上是减函数; (4)结合定义域写出单调区间.

(1)函数 f(x)=ex-ex,x∈R 的单调递增区间为( A.(0,+∞) C.(-∞,1) (2)函数 f(x)=ln x-x 的单调递增区间是( A.(-∞,1) C.(0,+∞) 【解析】 (1)∵f′(x)=(ex-ex)′=ex-e, )

) B.(-∞,0) D.(1,+∞)

B.(0,1) D.(1,+∞)

由 f′(x)=ex-e>0,可得 x>1. 即函数 f(x)=ex-ex,x∈R 的单调增区间为(1,+∞), 选 D. 1 (2)函数的定义域为(0,+∞),又 f′(x)= x-1,

1 ∴由 f′(x)= x-1>0,得 0<x<1, 所以函数 f(x)=ln x-x 的单调递增区间是(0,1),选 B. 【答案】 (1)D (2)B

已知函数的单调性求参数的取值范围

已知关于 x 的函数 y=x3-ax+b. (1)若函数 y 在(1,+∞)内是增函数,求 a 的取值范围; (2)若函数 y 的一个单调递增区间为(1,+∞),求 a 的值. 【思路探究】 (1)函数在区间(1,+∞)内是增函数,则必有 y′≥0 在(1,+∞)上恒成立,由此即可求出 a 的取值范围.

(2)函数 y 的一个单调递增区间为(1,+∞),即函数单调区间的端点值为 1,由此可解得 a 的值. 【自主解答】 y′=3x2-a.

(1)若函数 y=x3-ax+b 在(1,+∞)内是增函数. 则 y′=3x2-a≥0 在 x∈(1,+∞)时恒成立, 即 a≤3x2 在 x∈(1,+∞)时恒成立, 则 a≤(3x2)min. 因为 x>1,所以 3x2>3. 所以 a≤3,即 a 的取值范围是(-∞,3]. a (2)令 y′>0,得 x2>3. a 若 a≤0,则 x2>3恒成立,即 y′>0 恒成立, 此时,函数 y=x3-ax+b 在 R 上是增函数,与题意不符. 若 a>0,令 y′>0,得 x> a 3或 x<- a 3. a 3=1,即 a=3.

因为(1,+∞)是函数的一个单调递增区间,所以

1. 解答本题注意: 可导函数 f(x)在(a, b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)在(a, b)上恒成立, 且 f′(x) 在(a,b)的任何子区间内都不恒等于 0. 2.已知 f(x)在区间(a,b)上的单调性,求参数范围的方法: (1)利用集合的包含关系处理:f(x)在(a,b)上单调递增(减),则区间(a,b)是相应单调区间的子集; (2)利用不等式的恒成立处理:f(x)在(a,b)上单调递增(减),则 f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a,b)内恒成立,注意验证等号是否成立.

将本例(1)改为“若函数 y 在(1,+∞)上不单调”,则 a 的取值范围又如何? 【解】 y′=3x2-a,

当 a<0 时,y′=3x2-a>0,函数在(1,+∞)上单调递增,不符合题意. 当 a>0 时,函数 y 在(1,+∞)上不单调,即 y′=3x2-a=0 在区间(1,+∞)上有根.由 3x2-a=0 可得 x= 去). 依题意,有 a 3>1,∴a>3, a 3或 x=- a 3(舍

所以 a 的取值范围是(3,+∞).

误用函数单调递增(减)的充要条件致误 已知函数 f(x)= 【易错分析】 ax+1 在(-2,+∞)内单调递减,则实数 a 的取值范围为__________. x+2

不能正确理解导数小于 0 是函数单调递减的充分条件,进而导致范围扩大而致错.

【防范措施】 函数 f(x)在区间 D 上单调递增(或递减)的充要条件是 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)且 f′(x)在区间 D 任一子区间上不恒 为零.本例中利用 f′(x)≤0 构造关于参数 a 的不等式,求得 a 的范围,再验证等号成立时,f(x)是否符合要求. 【解析】 即 因为 f(x)= ax+1 2a-1 ,所以 f′(x)= .由函数 f(x)在(-2,+∞)内单调递减知 f′(x)≤0 在(-2,+∞)内恒成立, x+2 ?x+2?2

2a-1 1 2≤0 在(-2,+∞)内恒成立,因此 a≤ . 2 ?x+2?

1? 1 1 1 1 ? 当 a=2时, f(x)=2, 此时函数 f(x)为常数函数, 故 a=2不符合题意, 舍去. 所以 a 的取值范围为 a<2.故实数 a 的取值范围为?-∞,2?. ? ? 【答案】 1? ? ?-∞,2? ? ?

——[类题尝试]————————————————— 已知函数 f(x)=-x3+ax2-x-1 在(-∞,+∞)上是单调函数,则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,- 3)∪[ 3,+∞) B.[- 3, 3] C.(-∞,- 3)∪( 3,+∞) D.(- 3, 3) 【解析】 f′(x)=-3x2+2ax-1≤0 在(-∞,+∞)上恒成立且不恒为 0,Δ=4a2-12≤0?- 3≤a≤ 3. )

【答案】

B

1.求函数 f(x)的单调区间时,先确定函数的定义域,在定义域内通过解 f′(x)>0 或 f′(x)<0 得到,两个单调性相同的区间,不 能用并集符号连接. 2.已知函数 f(x)在某个区间上的单调性求参数的取值范围时,可转化为 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 恒成立问题,并注意验证等号成立时 是否符合题意. 课时作业(五) 函数的单调性与导数 [学业水平层次] 一、选择题 1.函数 y=x+xln x 的单调递减区间是( A.(-∞,e-2) C.(e-2,+∞) 【解析】 ) B.(0,e-2) D.(e2,+∞)

因为 y=x+xln x,所以定义域为(0,+∞).

令 y′=2+ln x<0,解得 0<x<e-2,即函数 y=x+xln x 的单调递减区间是(0,e-2),故选 B. 【答案】 B

2.(2015· 深圳高二检测)如图 135 是函数 y=f(x)的导函数 f′(x)的图象,则下面判断正确的是(

)

图 135 A.在区间(-2,1)上 f(x)是增函数 B.在区间(1,3)上 f(x)是减函数 C.在区间(4,5)上 f(x)是增函数 D.在区间(3,5)上 f(x)是增函数 【解析】 【答案】 由导函数 f′(x)的图象知在区间(4,5)上,f′(x)>0,所以函数 f(x)在(4,5)上单调递增.故选 C. C )

3.若函数 f(x)=ax3-x 在 R 上是减函数,则( A.a≤0 C.a<2 【解析】 【答案】 B.a<1 1 D.a≤3

f′(x)=3ax2-1.因为函数 f(x)在 R 上是减函数,所以 f′(x)=3ax2-1≤0 恒成立,所以 a≤0.故选 A. A )

4.函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2.则 f(x)>2x+4 的解集为( A.(-1,1) C.(-∞,-1) 【解析】 B.(-1,+∞) D.(-∞,+∞)

构造函数 g(x)=f(x)-(2x+4),

则 g(-1)=2-(-2+4)=0,又 f′(x)>2. ∴g′(x)=f′(x)-2>0,∴g(x)是 R 上的增函数. ∴f(x)>2x+4?g(x)>0?g(x)>g(-1), ∴x>-1. 【答案】 二、填空题 5.函数 f(x)=x-2sin x 在(0,π)上的单调递增区间为__________. 【解析】 【答案】 1 π ?π ? 令 f′(x)=1-2cos x>0,则 cos x<2,又 x∈(0,π),解得3<x<π,所以函数的单调递增区间为?3,π?. ? ? ?π ? ?3,π? ? ? B

1 6.(2015· 佛山高二检测)函数 y=3x3-ax2+x-2a 在 R 上不是单调函数,则 a 的取值范围是________. 【解析】 【答案】 y′=x2-2ax+1 有两个不相等零点,得 Δ=(-2a)2-4>0,得 a2>1,解得 a<-1 或 a>1. (-∞,-1)∪(1,+∞)

4 7.若函数 y=-3x3+bx 有三个单调区间,则 b 的取值范围是__________. 【解析】 【答案】 三、解答题 8.(2015· 吉林高二检测)定义在 R 上的函数 f(x)=ax3+bx2+cx+3 同时满足以下条件: ①f(x)在(-∞,-1)上是增函数,在(-1,0)上是减函数; ②f(x)的导函数是偶函数; ③f(x)在 x=0 处的切线与第一、三象限的角平分线垂直. 求函数 y=f(x)的解析式. 【解】 f′(x)=3ax2+2bx+c, 4 若函数 y=-3x3+bx 有三个单调区间,则 y′=-4x2+b=0 有两个不相等的实数根,所以 b>0. (0,+∞)

因为 f(x)在(-∞,-1)上是增函数,在(-1,0)上是减函数, 所以 f′(-1)=3a-2b+c=0. 由 f(x)的导函数是偶函数得:b=0, ① ② ③

又 f(x)在 x=0 处的切线与第一、三象限的角平分线垂直,所以 f′(0)=c=-1, 1 由①②③得:a=3,b=0,c=-1, 1 即 f(x)=3x3-x+3.

9.若函数 f(x)=x3-mx2+2m2-5 的单调递减区间是(-9,0),求 m 的值及函数的其他单调区间. 【解】 因为 f′(x)=3x2-2mx,

所以 f′(x)<0,即 3x2-2mx<0. 由题意,知 3x2-2mx<0 的解集为(-9,0), 即方程 3x2-2mx=0 的两根为 x1=-9,x2=0. -2m 27 由根与系数的关系,得- 3 =-9,即 m=- 2 . 所以 f′(x)=3x2+27x. 令 3x2+27x>0,解得 x>0 或 x<-9. 故(-∞,-9),(0,+∞)是函数 f(x)的单调递增区间. 27 综上所述,m 的值为- 2 ,函数 f(x)的单调递增区间是(-∞,-9),(0,+∞). [能力提升层次]

1.已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图 136 所示,那么 y=f(x),y=g(x)的图象可能是(

)

图 136

【解析】

由题图,知函数 g′(x)为增函数,f′(x)为减函数,且都在 x 轴上方,所以 g(x)的图象上任一点的切线的斜率都大于

0 且在增大,而 f(x)的图象上任一点的切线的斜率都大于 0 且在减小.又由 f′(x0)=g′(x0),知选 D. 【答案】 D )

2.设 f(x),g(x)是定义在 R 上的恒大于 0 的可导函数,且 f′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0,则当 a<x<b 时有( A.f(x)g(x)>f(b)g(b) B.f(x)g(a)>f(a)g(x)

C.f(x)g(b)>f(b)g(x) D.f(x)g(x)>f(a)g(a) f′?x?g?x?-f?x?g′?x? f?x? ? f?x? ? ?′= 【解析】 因为? .又因为 f′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0,所以 在 R 上为减函数.又因为 a<x<b,所以 2 g ?x? g?x? ?g?x?? f?a? f?x? f?b? > > ,又因为 f(x)>0,g(x)>0,所以 f(x)g(b)>f(b)g(x).因此选 C. g?a? g?x? g?b? 【答案】 C

3.(2015· 亳州高二检测)若函数 f(x)=x3+x2+mx+1 是 R 上的单调函数,则实数 m 的取值范围为________. 【解析】 f′(x)=3x2+2x+m,由于 f(x)是 R 上的单调函数,所以 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 恒成立. 由于导函数的二次项系数 3>0,所以只能有 f′(x)≥0 恒成立. 方法一 1 由上述讨论可知要使 f′(x)≥0 恒成立,只需使方程 3x2+2x+m=0 的判别式 Δ=4-12m≤0,故 m≥3.

1 经检验,当 m=3时,只有个别点使 f′(x)=0,符合题意. 1 所以实数 m 的取值范围是 m≥3. 方法二 3x2+2x+m≥0 恒成立,即 m≥-3x2-2x 恒成立.

1 1 ? 1? 1 设 g(x)=-3x2-2x=-3?x+3?2+3,易知函数 g(x)在 R 上的最大值为3,所以 m≥3. ? ? 1 经检验,当 m=3时,只有个别点使 f′(x)=0,符合题意. 1 所以实数 m 的取值范围是 m≥3. 【答案】 ?1 ? ?3,+∞? ? ?

4.设函数 f(x)=a2ln x-x2+ax(a>0). (1)求 f(x)的单调区间; (2)求所有的实数 a,使 e-1≤f(x)≤e2 对 x∈[1,e]恒成立. 【解】 (1)∵f(x)=a2ln x-x2+ax,其中 x>0,

a2 ∴f′(x)= x -2x+a =- ?x-a??2x+a? , x

由于 a>0,∴f(x)的增区间为(0,a),减区间为(a,+∞). (2)由题意得,f(1)=a-1≥e-1, 即 a≥e, 由(1)知 f(x)在[1,e]上单调递增, 要使 e-1≤f(x)≤e2 对 x∈[1,e]恒成立,

?f?1?=a-1≥e-1, 只要? 2 2 2 ?f?e?=a -e +ae≤e , 解得 a=e.

1.3.2

函数的极值与导数

[学习目标] 1.了解极大值、极小值的概念.(难点) 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.(重点、易混点) 3.会 用导数求函数的极大值、极小值.(重点)

一、极值点与极值 1.极小值点与极小值 在包含 x0 的一个区间(a,b)内,函数 y=f(x)在任何一点的函数值都__________x0 点的函数值,称________为函数 y=f(x)的极小 值点,其函数值 f(x0)为函数的极小值. 2.极大值点与极大值 在包含 x0 的一个区间(a,b)内,函数 y=f(x)在任何一点的函数值都______x0 点的函数值,称________为函数 y=f(x)的极大值点, 其函数值 f(x0)为函数的极大值. 3.极大值点、极小值点统称为________;极大值、极小值统称为__________. 【答案】 1.大于 点 x0 2.小于 点 x0 3.极值点 极值

二、函数极值的求法 解方程 f′(x)=0,当 f′(x0)=0 时: (1)如果在 x0 附近的左侧______,右侧______,那么 f(x0)是____. (2)如果在 x0 附近的左侧____,右侧________,那么 f(x0)是________. 【答案】 (1)f′(x)>0 f′(x)<0 极大值 (2)f′(x)<0 f′(x)>0 极小值

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数 f(x)=x3+ax2-x+1 必有 2 个极值.( ) )

(2)在可导函数的极值点处,切线与 x 轴平行或重合.(

1 (3)函数 f(x)= x 有极值.( 【答案】 (1)√ (2)√

) (3)× )

2.函数 f(x)的定义域为 R,导函数 f′(x)的图象如图 137 所示,则函数 f(x)(

图 137 A.无极大值点,有四个极小值点 B.有三个极大值点,两个极小值点 C.有两个极大值点,两个极小值点 D.有四个极大值点,无极小值点 【解析】 设 y=f′(x)的图象与 x 轴的交点从左到右横坐标依次为 x1,x2,x3,x4,则 f(x)在 x=x1,x=x3 处取得极大值,在 x

=x2,x=x4 处取得极小值. 【答案】 C )

3.函数 y=x3-3x2-9x(-2<x<2)的极值情况是( A.极大值为 5,极小值为-27 B.极大值为 5,极小值为-11 C.极大值为 5,无极小值 D.极小值为-27,无极大值 【解析】 y′=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3),

令 y′=0,得 x=-1 或 x=3. 当-2<x<-1 时,y′>0; 当-1<x<2 时,y′<0. 所以当 x=-1 时,函数有极大值,且极大值为 5;无极小值. 【答案】 C

4.已知函数 f(x)=x2-2lnx,则 f(x)的极小值是__________. 【解析】 2 ∵f′(x)=2x-x ,且函数定义域为(0,+∞),

∴令 f′(x)=0,得 x=1 或 x=-1(舍去), 当 x∈(0,1)时,f′(x)<0,

当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0, ∴当 x=1 时,函数有极小值,极小值为 f(1)=1. 【答案】 1

预习完成后,请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中 问题 1 问题 2 问题 3 问题 4

求函数的极值

求下列函数的极值: (1)f(x)=x2-2x-1; x4 2 x2 (2)f(x)= 4 -3x3+ 2 -6; (3)f(x)=|x|. 【自主解答】 (1)f′(x)=2x-2,令 f′(x)=0,解得 x=1.

因为当 x<1 时,f′(x)<0, 当 x>1 时,f′(x)>0, 所以函数在 x=1 处有极小值, 且 y 极小值=-2. (2)f′(x)=x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2. 令 f′(x)=0,解得 x1=0,x2=1. 所以当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,0) - 单调 0 0 极小值 (0,1) + 单调 1 0 无极值 (1,+∞) + 单调

递减? 所以当 x=0 时,函数取得极小值,且 y 极小值=-6. ?x,x≥0, (3)f(x)=|x|=? ?-x,x<0. 显然函数 f(x)=|x|在 x=0 处不可导, 当 x>0 时,f′(x)=x′=1>0, 函数 f(x)=|x|在(0,+∞)内单调递增; 当 x<0 时,f′(x)=(-x)′=-1<0, 函数 f(x)=|x|在(-∞,0)内单调递减. 故当 x=0 时,函数取得极小值, 且 y 极小值=0.

递增?

递增?

1.讨论函数的性质要注意定义域优先的原则. 2.极值点与导数的关系: (1)可导函数的极值点一定是导数值为 0 的点,导数值为 0 的点不一定是极值点. 点 x0 是可导函数 f(x)在区间(a,b)内的极值点的充要条件: ①f′(x0)=0; ②点 x0 两侧 f′(x)的符号不同. (2)不可导的点可能是极值点(如本例(3)中 x=0 点),也可能不是极值点(如 y= x,在 x=0 处不可导,在 x=0 处也取不到极值), 所以函数的极值点可能是 f′(x)=0 的根,也可能是不可导点.

利用函数的极值求参数 2 已知 f(x)=x3+ax2+bx+c 在 x=1 与 x=-3时都取得极值. (1)求 a,b 的值; 3 (2)若 f(-1)=2,求 f(x)的单调区间和极值. 【思路探究】 2 (1)求导函数 f′(x),则由 x=1 和 x=-3是 f′(x)=0 的两根及根与系数的关系求出 a,b.

3 (2)由 f(-1)=2求出 c,再列表求解. 【自主解答】 (1)f′(x)=3x2+2ax+b,

2 令 f′(x)=0,由题设知 x=1 与 x=-3为 f′(x)=0 的解. 2 2 1 - =- ? ? 3 3a, ∴? ? 2? b - ?= . 1 × ? ? ? ? 3? 3 1 ∴a=-2,b=-2.

1 (2)由(1)知 f(x)=x3-2x2-2x+c, 1 3 由 f(-1)=-1-2+2+c=2,得 c=1. 1 ∴f(x)=x3-2x2-2x+1. ∴f′(x)=3x2-x-2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x)

(-∞,
+ ?

2? -3? ?

2 -3 0 49 27

? 2 ? ?-3,1? ? ? - ?

1 0 1 -2

(1,+∞) + ?

2? ? ? 2 ? ∴f(x)的递增区间为?-∞,-3?和(1,+∞),递减区间为?-3,1?. ? ? ? ? 2 ? 2? 49 当 x=-3时,f(x)有极大值为 f?-3?=27; ? ? 1 当 x=1 时,f(x)有极小值为 f(1)=-2.

已知函数极值的情况,逆向应用确定函数的解析式时,应注意以下两点: (1)根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解. (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.

1 1 已知函数 f(x)=3x3-2(m+3)x2+(m+6)x(x∈R,m 为常数),在区间(1,+∞)内有两个极值点,求实数 m 的取值范围. 【解】 f′(x)=x2-(m+3)x+m+6.

因为函数 f(x)在(1,+∞)内有两个极值点, 所以导数 f′(x)=x2-(m+3)x+m+6 在(1,+∞)内与 x 轴有两个不同的交点, 如图所示.

Δ=?m+3? -4?m+6?>0, ? ?f′?1?=1-?m+3?+m+6>0, 所以? m+3 ? ? 2 >1, 解得 m>3.故实数 m 的取值范围是(3,+∞).

2

函数极值的综合应用 已知函数 f(x)=x3-3x+a(a 为实数),若方程 f(x)=0 有三个不同实根,求实数 a 的取值范围. 【思路探究】 求出函数的极值,要使 f(x)=0 有三个不同实根,则应有极大值大于 0,极小值小于 0,由此可得 a 的取值范围. 【自主解答】 令 f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)=0,

解得 x1=-1,x2=1. 当 x<-1 时,f′(x)>0; 当-1<x<1 时,f′(x)<0; 当 x>1 时,f′(x)>0. 所以当 x=-1 时,f(x)有极大值 f(-1)=2+a; 当 x=1 时,f(x)有极小值 f(1)=-2+a. 因为方程 f(x)=0 有三个不同实根, 所以 y=f(x)的图象与 x 轴有三个交点,如图.

?2+a>0, 由已知应有? ?-2+a<0, 解得-2<a<2,故实数 a 的取值范围是(-2,2).

方程 f(x)=0 的根就是函数 y=f(x)的零点,是函数图象与 x 轴交点的横坐标,研究方程的根的问题可以转化为函数图象与 x 轴交 点的问题.我们可以根据函数图象在坐标轴中的位臵不同,结合极值的大小确定参数的范围.

本例中,若方程 f(x)=0 恰有两个根,则实数 a 的值如何求解? 【解】 由例题,知函数的极大值 f(-1)=2+a,极小值 f(1)=-2+a,

若 f(x)=0 恰有两个根,则有 2+a=0,或-2+a=0, 所以 a=-2 或 a=2.

根据可导函数极值的定义,可知:

(1)极大(小)值未必是最大(小)值,函数可以有多个数值不同的极大(小)值; (2)极大(小)值是局部区域内的最大(小)值; (3)极大(小)值只能在区间内的点取得,常数函数没有极大值,也没有极小值; (4)f′(x0)=0 只是可导函数 f(x)在 x0 取得极值的必要条件,不是充分条件; (5)研究函数的极值,注意定义域优先的原则.

分类讨论思想在求函数极值中的应用 (12 分)已知函数 f(x)=x3+mx2+nx-2 的图象过点(-1,-6),且函数 g(x)=f′(x)+6x 的图象关于 y 轴对称. (1)求 m,n 的值及函数 y=f(x)的单调区间; (2)若 a>0,求函数 y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值. 【思路点拨】 (1)根据函数 f(x)的图象过定点和函数 g(x)是偶函数求 m,n 的值,再利用导数求函数 f(x)的单调区间.

(2)先求函数 f(x)在 R 上的极值,再根据区间(a-1,a+1)内是否含有极值点讨论函数 f(x)的极值情况. 【规范解答】 (1)由函数 f(x)的图象过点(-1,-6),得 m-n=-3.① 由 f(x)=x3+mx2+nx-2,得 f′(x)=3x2+2mx+n, 所以 g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n. 因为 g(x)的图象关于 y 轴对称,所以- 2m+6 =0, 2×3

所以 m=-3,代入①得 n=0,所以 f′(x)=3x2-6x=3x(x-2).3 分 由 f′(x)>0,得 x>2 或 x<0, 所以 f(x)的单调递增区间是(-∞,0),(2,+∞); 由 f′(x)<0,得 0<x<2,所以 f(x)的单调递减区间是(0,2).6 分 (2)由(1)得 f′(x)=3x(x-2),令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) 8分 由此可得: 当 0<a<1 时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值 f(0)=-2,无极小值; (-∞,0) + ? 0 0 极大值 (0,2) - ? 2 0 极小值 (2,+∞) + ?

当 a=1 时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值; 当 1<a<3 时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值 f(2)=-6,无极大值; 当 a≥3 时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值. 综上可得,当 0<a<1 时,f(x)有极大值-2,无极小值;当 1<a<3 时,f(x)有极小值-6,无极大值;当 a=1 或 a≥3 时,f(x)无极 值.12 分

1.本题(2)中区间(a-1,a+1)不确定,因此先求函数 f(x)在 R 上的极值,再根据区间(a-1,a+1)内是否含有极值点讨论 a 的 值,确定区间(a-1,a+1)的极值情况. 2.在求函数极值时,若极值点与区间的关系不能确定,应讨论极值点是否在区间内,从而确定极值情况.

——[类题尝试]————————————————— 设函数 f(x)=x3-3ax+b(a≠0). (1)若曲线 y=f(x)在点(2,f(x))处与直线 y=8 相切,求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值点. 【解】 (1)f′(x)=3x2-3a,

∵曲线 y=f(x)在点(2,f(x))处与直线 y=8 相切, ?f′?2?=0, ?3?4-a?=0, ?a=4, ∴? ?? ?? ?f?2?=8 ?8-6a+b=8 ?b=24. (2)∵f′(x)=3(x2-a)(a≠0), 当 a<0 时,f′(x)>0,函数 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增, ∴此时函数 f(x)没有极值点, 当 a>0 时,由 f′(x)=0?x=± a, 当 x∈(-∞,- a)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增, 当 x∈(- a, a)时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减, 当 x∈( a,+∞)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增, ∴此时 x=- a是 f(x)的极大值点,x= a是 f(x)的极小值点.

课时作业(六) 函数的极值与导数 [学业水平层次] 一、选择题 1.下列结论中,正确的是( A.导数为零的点一定是极值点 )

B.如果在 x0 点附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值 C.如果在 x0 点附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极小值 D.如果在 x0 点附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极大值 【解析】 【答案】 根据极值的概念,左侧 f′(x)>0,单调递增;右侧 f′(x)<0,单调递减,f(x0)为极大值. B )

2 2.设函数 f(x)= x+ln x,则( 1 A.x=2为 f(x)的极大值点 1 B.x=2为 f(x)的极小值点 C.x=2 为 f(x)的极大值点 D.x=2 为 f(x)的极小值点 【解析】

1 2 1 2 f′(x)= x-x2,令 f′(x)=0,即x -x2=0 得 x=2,

当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0. 因此 x=2 为 f(x)的极小值点,故选 D. 【答案】 D )

3.(2015· 烟台高二检测)已知函数 f(x)=x2-2(-1)k ln x(k∈N*)存在极值,则 k 的取值集合是( A.{2,4,6,8,?} C.{1,3,5,7,?} 【解析】 2· ?-1?k ∵f′(x)=2x- x 且 x∈(0,+∞), B.{0,2,4,6,8,?} D.N*

令 f′(x)=0,得 x2=(-1)k,(*) 要使 f(x)存在极值,则方程(*)在(0,+∞)上有解. ∴(-1)k>0,又 k∈N*,∴k=2,4,6,8,?, 所以 k 的取值集合是{2,4,6,8,?}. 【答案】 A )

1 4.设函数 f(x)=3x-ln x(x>0),则 y=f(x)( ?1 ? A.在区间?e,1?,(1,e)内均有零点 ? ? ?1 ? B.在区间? e,1?,(1,e)内均无零点 ? ?

?1 ? C.在区间? e,1?内有零点,在区间(1,e)内无零点 ? ? ?1 ? D.在区间?e,1?内无零点,在区间(1,e)内有零点 ? ?

【解析】

1 1 x-3 f′(x)=3-x= 3x ,令 f′(x)=0,得 x=3,当 0<x<3 时,f′(x)<0,所以函数 f(x)在区间(0,3)上为减函数.又 f(1)

1 e ?1? 1 ?1 ? =3>0,f(e)=3-1<0,f?e?=3e+1>0,所以 y=f(x)在区间? e,1?内无零点,在区间(1,e)内有零点. ? ? ? ? 【答案】 二、填空题 5.函数 f(x)=x3-3x2+1 在 x=__________处取得极小值. 【解析】 由 f(x)=x3-3x2+1, D

得 f′(x)=3x2-6x=3x(x-2). 当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)为减函数; 当 x∈(-∞,0)和(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数. 故当 x=2 时,函数 f(x)取得极小值. 【答案】 2

6.(2015· 佛山高二检测)设方程 x3-3x=k 有 3 个不等的实根,则常数 k 的取值范围是________. 【解析】 设 f(x)=x3-3x-k,则 f′(x)=3x2-3.

令 f′(x)=0,得 x=± 1,且 f(1)=-2-k,f(-1)=2-k, 又 f(x)的图象与 x 轴有 3 个交点, ?2-k>0, 故? ?-2-k<0, ∴-2<k<2. 【答案】 (-2,2)

7 . (2015· 石 家 庄 高 二 检 测 ) 若 函 数 f(x) = x3 + x2 - ax - 4 在 区 间 ( - 1,1) 上 恰 有 一 个 极 值 点 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 为 ________________________. 【解析】 ∵f′(x)=3x2+2x-a,

函数 f(x)在区间(-1,1)上恰有一个极值点,即 f′(x)=0 在(-1,1)内恰有一个根. 1 又函数 f′(x)=3x2+2x-a 的对称轴为 x=-3. ?f′?-1?≤0, ?3-2-a≤0, ∴应满足? ∴? ?f′?1?>0, ?3+2-a>0, ∴1≤a<5. 【答案】 三、解答题 8.已知函数 y=ax3+bx2,当 x=1 时,有极大值 3. (1)求实数 a,b 的值; (2)求函数 y 的极小值. [1,5)

【解】

(1)y′=3ax2+2bx.

?f?1?=3, ?a+b=3, ?a=-6, 由题意,知? 即? ,解得? ?f′?1?=0, ?3a+2b=0 ?b=9. (2)由(1),知 y=-6x3+9x2. 所以 y′=-18x2+18x=-18x(x-1). 令 y′=0,解得 x1=1,x2=0. 所以当 x<0 时,y′<0;当 0<x<1 时,y′>0; 当 x>1 时,y′<0. 所以当 x=0 时,y 有极小值,其极小值为 0. 9.(2015· 太原高二检测)已知函数 f(x)= 【解】 因为 f(x)= 1+ln x x , 1+ln x 1? ? ?a,a+2?(其中 a>0)上存在极值,求实数 a 的取值范围. ,若函数在区间 x ? ?

ln x x>0,则 f′(x)=- x2 , 当 0<x<1 时,f′(x)>0, 当 x>1 时,f′(x)<0. 所以 f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 所以函数 f(x)在 x=1 处取得极大值. 1? ? 因为函数 f(x)在区间?a,a+2?(其中 a>0)上存在极值, ? ? a<1, ? ? 所以? 1 a+2>1, ? ? 1 解得2<a<1. [能力提升层次] 1.(2015· 哈尔滨高二检测)已知函数 f(x)=x3-px2-qx 的图象与 x 轴相切于(1,0)点,则 f(x)( 4 A.极大值为27,极小值为 0 4 B.极大值为 0,极小值为27 4 C.极大值为 0,极小值为-27 4 4 D.极大值为27,极小值为-27 【解析】 f′(x)=3x2-2px-q, )

?f?1?=0, ?1-p-q=0, 依题意知,? ∴? ?f′?1?=0, ?3-2p-q=0. 解得 p=2,q=-1.

∴f(x)=x3-2x2+x,f′(x)=3x2-4x+1, 1 令 f′(x)=0,得 x=1 或 x=3. 1? ? ∴当 x∈?-∞,3?时,f′(x)>0, ? ? ?1 ? 当 x∈?3,1?时,f′(x)<0, ? ? 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0, 1 ?1? ?1? ?1? 1 4 ∴当 x=3时,函数有极大值,f?3?=?3?3-2×?3?2+3=27, ? ? ? ? ? ? 当 x=1 时,函数有极小值,f(1)=1-2+1=0, 故选 A. 【答案】 A )

2 2.如图 138 是函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的大致图象,则 x2 1+x2等于(

图 138 2 A.3 4 B.3 8 C.3 12 D. 3

【解析】 函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的图象过点(0,0), (1,0), (2,0), 得 d=0, b+c+1=0,4b+2c+8=0, 则 b=-3, c=2, f′(x)
2 =3x2+2bx+c=3x2-6x+2,且 x1,x2 是函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的两个极值点,即 x1,x2 是方程 3x2-6x+2=0 的实根,x1 +x2 2=

4 8 (x1+x2)2-2x1x2=4-3=3. 【答案】 C

3.函数 f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为 6,极小值为 2,则 f(x)的单调递减区间是__________. 【解析】 由题意,知 f′(x)=3x2-3a,令 f′(x)=0,得 x=± a.

因为函数 f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为 6,极小值为 2, 所以 f( a)=2,f(- a)=6,即( a)3-3a a+b=2,(- a)3+3a a+b=6,解得 a=1,b=4. 所以 f′(x)=3x2-3,令 f′(x)<0,解得-1<x<1. 所以 f(x)的单调递减区间是(-1,1). 【答案】 (-1,1)

4.(2013· 重庆高考)设 f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与 y 轴相交于点(0,6).

(1)确定 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 【解】 (1)因为 f(x)=a(x-5)2+6ln x,

6 故 f′(x)=2a(x-5)+ x. 令 x=1,得 f(1)=16a,f′(1)=6-8a, 所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y-16a=(6-8a)(x-1). 1 由点(0,6)在切线上可得 6-16a=8a-6,故 a=2. 1 (2)由(1)知,f(x)=2(x-5)2+6ln x(x>0), 6 ?x-2??x-3? f′(x)=x-5+ x = . x 令 f′(x)=0,解得 x1=2,x2=3. 当 0<x<2 或 x>3 时,f′(x)>0, 故 f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数; 当 2<x<3 时,f′(x)<0, 故 f(x)在(2,3)上为减函数. 9 由此可知 f(x)在 x=2 处取得极大值 f(2)=2+6ln 2, 在 x=3 处取得极小值 f(3)=2+6ln 3.

1.3.3

函数的最大(小)值与导数

[学习目标] 1.理解函数的最值的概念.(难点) 2.了解函数的最值与极值的区别与联系.(易混点) 3.会用导数求在给定区间上 函数的最值.(重点)

函数的最大(小)值与导数 1.函数的最大(小)值的存在性 一般地,如果在区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象是一条________的曲线,那么它必有最大值与最小值. 2.求函数 f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤 (1)求函数 y=f(x)在(a,b)内的________;

(2)将函数 y=f(x)的______与______处的函数值 f(a),f(b)比较,其中最大的一个就是______,最小的一个就是______. 【答案】 1.连续不断 2.(1)极值 (2)各极值 端点 最大值 最小值

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数的最大值一定是函数的极大值.( (2)开区间上的单调连续函数无最值.( ) ) )

(3)函数 f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得.( 【答案】 (1)× (2)√ (3)× ) B.有极值 D.有最小值

2.函数 f(x)=2x-cos x 在(-∞,+∞)上( A.无最值 C.有最大值 【解析】 【答案】

f′(x)=2+sin x>0 恒成立,所以 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值,也无最值. A )

x 3.(2015· 海口高二检测)函数 f(x)=ex在区间[2,4]上的最小值为( A.0 【解析】 4 有最小值 4. e 【答案】 C 1 B. e 4 C.e4 2 D.e2

ex-xex 1-x f′(x)= x 2 = ex ,当 x∈[2,4]时,f′(x)<0,即函数 f(x)在区间[2,4]上是单调递减函数,故当 x=4 时,函数 f(x) ?e ?

4.已知函数 f(x)=-x3+3x2+m(x∈[-2,2]),f(x)的最小值为 1,则 m=__________. 【解析】 f′(x)=-3x2+6x,x∈[-2,2].

令 f′(x)=0,得 x=0,或 x=2, 当 x∈(-2,0)时,f′(x)<0, 当 x∈(0,2)时,f′(x)>0, ∴当 x=0 时,f(x)有极小值,也是最小值. ∴f(0)=m=1. 【答案】 1

预习完成后,请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中 问题 1 问题 2 问题 3 问题 4

求函数的最值 (1)函数 y=x4-4x+3 在区间[-2,3]上的最小值为( A.72 C.12 (2)函数 f(x)=ln x-x 在区间(0,e]上的最大值为( A.1-e C.-e (3)求函数 f(x)=-x4+2x2+3,x∈[-3,2]的最值. 【自主解答】 (1)因为 y=x4-4x+3,所以 y′=4x3-4,令 y′=0,解得 x=1.当 x<1 时,y′<0,函数单调递减;当 x>1 时, y′>0,函数单调递增,所以函数 y=x4-4x+3 在 x=1 处取得极小值 0.而当 x=-2 时,y=27,当 x=3 时,y=72,所以当 x=1 时, 函数 y=x4-4x+3 取得最小值 0. 1 (2)f′(x)=x -1,令 f′(x)=0,得 x=1. 当 x∈(0,1)时,f′(x)>0,当 x∈(1,e)时,f′(x)<0, ∴当 x=1 时,f(x)有极大值,也是最大值,最大值为 f(1)=-1,故选 B. 【答案】 (1)D (2)B ) B.-1 D.0 B.36 D.0

)

(3)f′(x)=-4x3+4x=-4x(x+1)(x-1),令 f′(x)=0,得 x=-1,x=0,x=1. 当 x 变化时,f′(x)及 f(x)的变化情况如下表: x f′(x) -3 (-3,-1) + -1 0 (-1,0) - 0 0 (0,1) + 1 0 (1,2) - 2

f(x)

-60

?

极大值 4

?

极小值 3

?

极大值 4

?

-5

∴当 x=-3 时,f(x)取最小值-60; 当 x=-1 或 x=1 时,f(x)取最大值 4.

求函数最值的四个步骤 第一步求函数的定义域. 第二步求 f′(x),解方程 f′(x)=0. 第三步列出关于 x,f(x),f′(x)的变化表. 第四步求极值、端点值,确定最值.

已知函数的最值求参数 已知函数 f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最大值为 3,最小值为-29,求 a,b 的值. 【思路探究】 首先求出 f′(x).然后讨论 a 的正负,根据函数 f(x)的单调性得出用 a,b 表示的函数的最值,从而列出关于 a,

b 的方程组,求 a,b. 【自主解答】 由题设知 a≠0,否则 f(x)=b 为常函数,与题设矛盾.

求导得 f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4), 令 f′(x)=0,得 x1=0,x2=4(舍去). (1)当 a>0,且 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) -7a+b -1 (-1,0) + ? 0 0 b (0,2) - ? -16a+b 2

由表可知,当 x=0 时,f(x)取得极大值 b,也就是函数在[-1,2]上的最大值,∴f(0)=b=3. 又 f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3<f(-1), ∴f(2)=-16a+3=-29,解得 a=2. (2)当 a<0 时,同理可得,当 x=0 时,f(x)取得极小值 b,也就是函数在[-1,2]上的最小值,∴f(0)=b=-29. 又 f(-1)=-7a-29,f(2)=-16a-29>f(-1), ∴f(2)=-16a-29=3,解得 a=-2. 综上可得,a=2,b=3 或 a=-2,b=-29.

1.本题的解题关键是利用函数的单调性确定某些极值就是函数的最值,同时由于系数 a 的符号对函数的单调性有直接的影响, 且最值也受 a 的符号的影响,因此需要对 a 的符号进行分类讨论. 2.已知函数的最值求参数问题属于逆向探究题型,解决该类问题的基本方法是待定系数法,列出关于参数的方程(组),从而求 出参数的值,但在用参数表示最值时,需要根据参数的情况分类讨论.

2 3 6 设3<a<1,函数 f(x)=x3-2ax2+b 在区间[-1,1]上的最大值为 1,最小值为- 2 ,求该函数的解析式. 【解】 f′(x)=3x2-3ax,令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=a.当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) 3 -1-2a+b -1 (-1,0) + ? 0 0 b (0,a) - ? a 0 a3 - 2 +b (a,1) + ? 3 1-2a+b 1

从上表可知,当 x=0 时,f(x)取得极大值 b, a3 当 x=a 时,f(x)取得极小值- 2 +b, 而 f(0)>f(a),又 f(1)>f(-1), 故只需比较 f(0)与 f(1),f(-1)与 f(a)的大小. 3 因为 f(0)-f(1)=2a-1>0, 所以 f(x)的最大值为 f(0)=b,所以 b=1. 1 又因为 f(-1)-f(a)=2(a+1)2(a-2)<0, 3 3 所以 f(x)的最小值为 f(-1)=-1-2a+b=-2a, 3 6 所以-2a=- 2 , 6 所以 a= 3 . 6 故所求函数的解析式是 f(x)=x3- 2 x2+1. 与最值有关的恒成立问题 设函数 f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0). (1)求 f(x)的最小值 h(t); (2)若 h(t)<-2t+m 对 t∈(0,2)恒成立,求实数 m 的取值范围. 【思路探究】 (1)利用配方法,即可求出二次函数 f(x)的最小值 h(t);

(2)构造函数 g(t)=h(t)-(-2t+m),只需使 g(t)在(0,2)上的最大值小于零即可求得 m 的取值范围.

【自主解答】

(1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>0),

∴当 x=-t 时,f(x)取最小值 f(-t)=-t3+t-1. 即 h(t)=-t3+t-1. (2)令 g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m, 由 g′(t)=-3t2+3=0,得 t=1 或 t=-1(不合题意,舍去). 当 t 变化时,g′(t),g(t)的变化情况如下表: t g′(t) g(t) ∴g(t)在(0,2)内有最大值 g(1)=1-m. h(t)<-2t+m 在(0,2)内恒成立等价于 g(t)<0 在(0,2)内恒成立,即等价于 1-m<0.∴m 的取值范围为(1,+∞). (0,1) + 单调递增? 1 0 极大值 1-m (1,2) - 单调递减?

1.涉及到不等式恒成立、不等式能成立的问题时,一般需转化为函数最值来解决.若不等式中含参数,则可考虑分离参数,以 求避免分类讨论. 2.不等式恒成立、能成立常见的转化策略: ①a>f(x)恒成立?a>f(x)max,a<f(x)恒成立?a<f(x)min; ②f(x)>g(x)+k 恒成立?k<[f(x)-g(x)]min; ③f(x)>g(x)恒成立?f(x)min>g(x)max; ④a>f(x)能成立?a>f(x)min,a<f(x)能成立?a<f(x)max.

本例(2)若改为“存在 t∈[0,2],使 h(t)<-2t+m 成立”,则实数 m 的取值范围如何求解? 【解】 令 g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m, 由 g′(t)=-3t2+3=0,得 t=1 或 t=-1(不合题意,舍去). 当 t 变化时,g′(t),g(t)的变化情况如下表: t g′(t) g(t) -1-m 0 (0,1) + 单调递增? 1 0 极大值 1-m (1,2) - 单调递减? -3-m 2

∴g(t)在[0,2]上有最小值 g(2)=-3-m, 存在 t∈[0,2],使 h(t)<-2t+m 成立,等价于 g(t)的最小值 g(2)<0. ∴-3-m<0,∴m>-3, 所以实数 m 的取值范围为(-3,+∞).

1. 求函数在闭区间上的最值, 只需比较极值和端点处的函数值即可; 若函数在一个开区间内只有一个极值, 这个极值就是最值. 2.已知最值求参数时,可先确定参数的值,用参数表示最值时,应分类讨论. 3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.

求函数最值时忽略端点值与不可导点致误 3 求 f(x)= ?x2-2x?2在区间[-1,3]上的最大值和最小值. 【易错分析】 失分点一:利用导数求最值时忽略与端点值比较,误认为极大值就是最大值,极小值就是最小值;失分点二:

忽略与函数导数不存在的点的函数值比较致误. 【防范措施】 (1)若函数 y=f(x)在[a,b]上单调,则最大(小)值均在端点处取得.

(2)若函数 y=f(x)在[a,b]上不单调,即存在极值点,则最大(小)值可能在端点处取得,也可能在极值点处取得. (3)若函数存在不可导的点,则最值也可能在不可导点处取得. 【解】 4 x-1 f′(x)=3· , 3 2 x -2x

令 f′(x)=0,解得 x=1.

而 x2-2x=0 的点为不可导点,此时 x=0 或 x=2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) 3 9 -1 (-1,0) - 单调递减? 0 0 (0,1) + 单调递增? 1 0 1 (1,2) - 单调递减? 0 2 (2,3) + 单调递增? 3 9 3

因此,当 x=0 或 x=2 时,函数的最小值为 0; 3 当 x=-1 或 x=3 时,函数的最大值为 9. ——[类题尝试]————————————————— ? 3 ? 已知函数 f(x)=(x2+1)(x+a)(a∈R), 当 f′(-1)=0 时, 函数 y=f(x)在?-2,1?上的最大值为__________, 最小值为__________. ? ? 【解析】 f(x)=x3+ax2+x+a,f′(x)=3x2+2ax+1,

f′(-1)=3-2a+1=0,所以 a=2. ? 1? f′(x)=3x2+4x+1=3?x+3?(x+1), ? ? 1 ? 1? 由 f′(x)=3(x+1)?x+3?>0,得 x<-1 或 x>-3; ? ? 1 ? 1? 由 f′(x)=3(x+1)?x+3?<0,得-1<x<-3. ? ? ? 3 ? ? 1 ? 所以函数的递增区间是?-2,-1?,?-3,1?; ? ? ? ? 1? ? 函数的递减区间是?-1,-3?. ? ? ? 3? 13 ? 1? 50 f?-2?= 8 ,f(-1)=2,f?-3?=27,f(1)=6, ? ? ? ? 13 ? 3 ? 所以函数 f(x)在?-2,1?上的最大值为 6,最小值为 . 8 ? ? 【答案】 6 13 8 课时作业(七) 函数的最大(小)值与导数 [学业水平层次] 一、选择题 1.函数 f(x)=x3-3x(x<1)( A.有最大值,无最小值 B.有最大值,最小值 C.无最大值,最小值 D.无最大值,有最小值 【解析】 f′(x)=3x2-3,令 f′(x)=0,得 x=-1 或 x=1(舍). )

当 x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0,当 x∈(-1,1)时,f′(x)<0. 从而函数 f(x)有最大值,无最小值,故选 A. 【答案】 A )

?π ? 2.(2015· 哈尔滨高二检测)函数 y=x-sin x,x∈?2,π?的最大值是( ? ? A.π-1 C .π 【解析】 π,故选 C. 【答案】 C π B.2-1 D.π+1

?π ? ?π ? 因为 y′=1-cos x,当 x∈?2,π?时,y′>0,则函数在区间?2,π?上为增函数,所以 y 的最大值为 ymax=π-sin π= ? ? ? ?

3.(2015· 温州高二检测)函数 f(x)=x3-3ax-a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取值范围为( A.0≤a<1 C.-1<a<1 【解析】 B.0<a<1 1 D.0<a<2

)

∵f′(x)=3x2-3a,则 f′(x)=0 有解,可得 a=x2.

又∵x∈(0,1),∴0<a<1.故选 B. 【答案】 B )

1 4.已知函数 f(x)=2x4-2x3+3m,x∈R,若 f(x)+9≥0 恒成立,则实数 m 的取值范围是( 3 A.m≥2 3 C.m≤2 【解析】 令 f′(x)=2x3-6x2=0,得 x=0 或 x=3. 3 B.m>2 3 D.m<2

经检验,知 x=3 是函数的最小值点, 27 所以函数 f(x)的最小值为 f(3)=3m- 2 . 因为不等式 f(x)+9≥0 恒成立,即 f(x)≥-9 恒成立, 27 3 所以 3m- 2 ≥-9,解得 m≥2,故选 A. 【答案】 二、填空题 x2 5.(2015· 连云港高二检测)当 x∈[-1,1]时,函数 f(x)= ex的值域是__________. 【解析】
2 2x· ex-x2· ex 2x-x2 ?x ? ∵f′(x)=?ex?′= = ex ,x∈[-1,1]. x 2 ? ? ?e ?

A

令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=2(舍去).

1 ∵f(-1)=e,f(0)=0,f(1)= e, x2 ∴函数 f(x)=ex,x∈[-1,1]的值域为[0,e]. 【答案】 [0,e] x 3 (a>0)在[1,+∞)上的最大值为 3 ,则 a 的值为________. x +a
2

6.若函数 f(x)= 【解析】

x2+a-2x2 a-x2 f′(x)= 2 = 2 ,当 x> a时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当- a<x< a时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当 x ?x +a?2 ?x +a?2

a 3 3 = a时,f(x)= 2a = 3 , a= 2 <1,不合题意. ∴f(x)max=f(1)= 【答案】 1 3 = ,a= 3-1. 1+a 3

3-1

a 7.已知函数 f(x)=x2+2ln x,若当 a>0 时,f(x)≥2 恒成立,则实数 a 的取值范围是__________. 【解析】 2?x2-a? a 由 f(x)=x2+2ln x 得 f′(x)= x3 ,又函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且 a>0,令 f′(x)=0,得 x=- a(舍去)或

x= a.当 0<x< a时,f′(x)<0;当 x> a时,f′(x)>0.故 x= a是函数 f(x)的极小值点,也是最小值点,且 f( a)=ln a+1.要使 f(x)≥2 恒成立,需 ln a+1≥2 恒成立,则 a≥e. 【答案】 三、解答题 8.设函数 f(x)=ln(2x+3)+x2. (1)讨论 f(x)的单调性; ? 3 1? (2)求 f(x)在区间?-4,4?上的最大值和最小值. ? ? 【解】 ? 3 ? 易知 f(x)的定义域为?-2,+∞?. ? ? [e,+∞)

4x2+6x+2 2 (1)f′(x)= +2x= 2x+3 2x+3 = 2?2x+1??x+1? . 2x+3

3 1 当- <x<-1 时,f′(x)>0;当-1<x<- 时, 2 2 1? 1 ? 3 ? ? 1 ? ? f′(x)<0;当 x>-2时,f′(x)>0,从而 f(x)在区间?-2,-1?,?-2,+∞?上单调递增,在区间?-1,-2?上单调递减. ? ? ? ? ? ? 1 ? 3 1? ? 1? (2)由(1)知 f(x)在区间?-4,4?上的最小值为 f?-2?=ln 2+4. ? ? ? ? 3 9 7 1 ? 3? ?1? 又因为 f?-4?-f?4?=ln2+16-ln2-16 ? ? ? ?

49? 3 1 1? =ln7+2=2?1-ln 9 ?<0, ? ? ? 3 1? 所以 f(x)在区间?-4,4?上的最大值为 ? ? 7 ?1? 1 f?4?=16+ln2. ? ? 9.已知函数 f(x)=-x3+3x2+9x+a. (1)求 f(x)的单调递减区间; (2)若 f(x)≥2 015 对于?x∈[-2,2]恒成立,求 a 的取值范围. 【解】 (1)f′(x)=-3x2+6x+9.

由 f′(x)<0,得 x<-1 或 x>3, 所以函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞). (2)由 f′(x)=0,-2≤x≤2,得 x=-1. 因为 f(-2)=2+a,f(2)=22+a,f(-1)=-5+a, 故当-2≤x≤2 时,f(x)min=-5+a. 要使 f(x)≥2 015 对于?x∈[-2,2]恒成立,只需 f(x)min=-5+a≥2 015,解得 a≥2 021. [能力提升层次] 9 1.已知函数 f(x)=x3-2x2+6x+a,若?x0∈[-1,4],使 f(x0)=2a 成立,则实数 a 的取值范围是( 5 A.2≤a≤2 C.2≤a≤16 【解析】
3 9 2 ∵f(x0)=2a,即 x0 -2x0+6x0+a=2a,

)

23 5 B.- 2 ≤a≤2 23 D.- 2 ≤a≤16

3 9 2 可化为 x0 -2x0+6x0=a,

9 设 g(x)=x3-2x2+6x,则 g′(x)=3x2-9x+6=3(x-1)(x-2)=0,得 x=1 或 x=2. 5 23 ∴g(1)=2,g(2)=2,g(-1)=- 2 ,g(4)=16. 23 由题意,gmin(x)≤a≤gmax(x),∴- 2 ≤a≤16. 【答案】 D 1 的定义域为 R,则实数 m 的取值范围是( e -x+m
x

2.若函数 f(x)= A.m>-1 C.m<-1

)

B.m≥-1 D.m≤-1

【解析】

因为 f(x)=

1 的定义域为 R, e -x+m
x

所以 ex-x+m≠0 恒成立. 令 g(x)=ex-x,则 g′(x)=ex-1, 所以 g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. 所以 g(x)min=g(0)=e0-0=1. 因为?x∈R,g(x)≥1 恒成立,即 g(x)-1≥0 恒成立,所以 m>-1. 【答案】 A

? π π? 3.函数 f(x)=sin x+cos x 在 x∈?-2,2?时的最大值、最小值分别是__________. ? ? 【解析】 f′(x)=cos x-sin x.

π ? π π? 令 f′(x)=0,即 tan x=1,且 x∈?-2,2?,所以 x=4. ? ? ?π? ? π? ?π? 又因为 f?4?= 2,f?-2?=-1,f?2?=1, ? ? ? ? ? ? ? π π? ?π? ? π? 所以当 x∈?-2,2?时,函数的最大值为 f?4?= 2,最小值为 f?-2?=-1. ? ? ? ? ? ? 【答案】 2 -1

4.设函数 f(x)=ex-e-x,若对所有 x≥0 都有 f(x)≥ax,求实数 a 的取值范围. 【解】 令 g(x)=f(x)-ax,

由 g′(x)=f′(x)-a=ex+e-x-a, 1 由于 ex+e-x=ex+ex≥2(当且仅当 x=0 时等号成立,) 所以当 a≤2 时,g(x)=ex+e-x-a≥2-a≥0,故 g(x)在(0,+∞)上为增函数. 所以当 x≥0 时,g(x)≥g(0)=0,即 f(x)≥ax, a- a2-4 a+ a2-4 当 a>2 时,方程 g′(x)=0 的根为 x1=ln <0,x2=ln >0, 2 2 此时,若 x∈(0,x2),则 g′(x)<0,故 g(x)在区间(0,x2)内为减函数.所以 x∈(0,x2)时,g(x)<g(0)=0, 即 f(x)<ax,与题设 f(x)≥ax 相矛盾. 综上所述,满足条件的实数 a 的取值范围为 a≤2.

1.4

生活中的优化问题举例

[学习目标] 1.体会导数在解决实际问题中的作用. 2.能利用导数解决简单的实际问题.(重点、难点)

导数在实际生活中的应用 1.优化问题 生活中经常遇到求__________、__________、________等问题,这些问题通常称为优化问题. 2.用导数解决优化问题的基本思路 优化问题 用 表示数学问题

优化问题的答案 【答案】



解决数学问题 用料最省 效率最高 2.函数 导数

1.利润最大

1.做一个容积为 256 m3 的方底无盖水箱,所用材料最省时,它的高为( A.6 m C .4 m B.8 m D.2 m

)

256 256 【解析】 设底面边长为 x m,高为 h m,则有 x2h=256,所以 h= x2 .所用材料的面积设为 S m2,则有 S=4x· h+x2=4x·x2 + x2= 256×4 2 256×4 256 x +x .S′=2x- x2 ,令 S′=0 得 x=8,因此 h= 64 =4(m). 【答案】 C

1 2.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 y=-3x3+81x-234,则使该生产厂家获取 最大年利润的年产量为( A.7 万件 C.11 万件 【解析】 1 设 y=f(x),即 f(x)=-3x3+81x-234. ) B.9 万件 D.13 万件

故 f′(x)=-x2+81.令 f′(x)=0,即-x2+81=0,

解得 x=9 或 x=-9(舍去). 当 0<x<9 时,f′(x)>0,函数 y=f(x)单调递增; 当 x>9 时,f′(x)<0,函数 y=f(x)单调递减. 因此,当 x=9 时,y=f(x)取最大值. 故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 9 万件. 【答案】 B

3.某商品一件的成本为 30 元,在某段时间内,若以每件 x 元出售,可卖出(200-x)件,当每件商品的定价为______元时,利润 最大. 【解析】 利润为 S(x)=(x-30)(200-x)

=-x2+230x-6 000,S′(x)=-2x+230, 由 S′(x)=0 得 x=115,这时利润达到最大. 【答案】 115

4.某产品的销售收入 y1(万元)是产量 x(千台)的函数:y1=17x2(x>0),生产成本 y2(万元)是产量 x(千台)的函数:y2=2x3-x2(x>0), 为使利润最大,应生产__________千台. 【解析】 设利润为 y,则 y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=-2x3+18x2(x>0),

∴y′=-6x2+36x=-6x(x-6). 令 y′=0,解得 x=0 或 x=6,经检验知 x=6 既是函数的极大值点又是函数的最大值点. 【答案】 6

预习完成后,请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中 问题 1 问题 2 问题 3 问题 4

体积、面积的最大问题

请你设计一个包装盒,如图 141,ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等 腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 A,B,C,D 四个点重合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F 在 AB 上,

是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设 AE=FB=x(cm).

图 141 (1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大,试问 x 应取何值? (2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 【思路探究】 弄清题意,根据“侧面积=4×底面边长×高”和“体积=底面边长的平方×高”这两个等量关系,用 x 将等量 关系中的相关量表示出来,建立函数关系式,然后求最值. 【自主解答】 设包装盒的高为 h cm,底面边长为 a cm. 60-2x = 2(30-x),0<x<30. 2

由已知得 a= 2x,h=

(1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800, 所以当 x=15 时,S 取得最大值. (2)V=a2h=2 2(-x3+30x2),V′=6 2x(20-x). 由 V′=0,得 x=0(舍去)或 x=20. 当 x∈(0,20)时,V′>0;当 x∈(20,30)时,V′<0. 所以当 x=20 时,V 取得极大值,也是最大值. h 1 1 此时a=2,即包装盒的高与底面边长的比值为2.

1.解决面积、体积最值问题的思路 解决面积、体积的最值问题,要正确引入变量,将面积或体积表示为变量的函数,结合实际问题的定义域,利用导数求解函数 的最值. 2.解决优化问题时应注意的问题 (1)列函数关系式时,注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域. (2)一般地,通过函数的极值来求得函数的最值.如果函数 f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数 f(x)在开区间上只有一个点使 f′(x)=0,则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可,不必再与端点处的函数值进行比较.

将一张 2×6 m 的矩形钢板按如图 142 所示划线,要求①至⑦全为矩形,且左右对称、上下对称,沿线裁去阴影部分,把剩余 部分焊接成一个以⑦为底,⑤⑥为盖的水箱,设水箱的高为 x m,容积为 y m3.

图 142 (1)写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)x 取何值时,水箱的容积最大. 【解】 (1)由水箱的高为 x m,

6-2x 得水箱底面的宽为(2-2x) m,长为 2 =(3-x) m. 故水箱的容积为 y=2x3-8x2+6x(0<x<1). (2)由 y′=6x2-16x+6=0, 4+ 7 4- 7 解得 x= 3 (舍去)或 x= 3 . ? ?4- 7 ? 4- 7? ?内单调递增,在? 因为 y=2x3-8x2+6x(0<x<1)在?0, ,1?内单调递减, 3 ? ? ? 3 ? 所以当 x 的值为 4- 7 3 时,水箱的容积最大.

用料最省、成本(费用)最低问题 位于 A,B 两点处的甲、乙两村合用一个变压器,如图 143 所示,若两村用同型号线架设输电线路,问变压器 设在输电干线何处时,所需电线总长最短.

图 143 【思路探究】 【自主解答】 则所需电线总长 l=AC+BC= 1+x2+ 1.52+?3-x?2(0≤x≤3), 从而 l′= 3-x x . 2- 2 1+x 1.5 +?3-x?2 3-x x =0, 2- 2 1+x 1.5 +?3-x?2 可设 CD=x,则 CE=3-x,利用勾股定理得出 AC,BC 的长,从而构造出所需电线总长度的函数. 设 CD=x km,则 CE=(3-x)km.

令 l′=0,即

解得 x=1.2 或 x=-6(舍去). 因为在[0,3]上使 l′=0 的点只有 x=1.2, 所以根据实际意义,知 x=1.2 就是我们所求的最小值点,即变压器设在 DE 之间离点 D 的距离为 1.2 km 处时,所需电线总长最 短.

1.用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一,解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正 确书写函数表达式,准确求导,结合实际作答. 2.利用导数的方法解决实际问题,当在定义区间内只有一个点使 f′(x)=0 时,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值 比较,也可以知道在这个点取得最大(小)值.

甲、乙两地相距 400 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 100 千米/时,已知该汽车每小时的运输成本 P(元)关于速 1 1 度 v(千米/时)的函数关系是 P=19 200v4-160v3+15v, (1)求全程运输成本 Q(元)关于速度 v 的函数关系式; (2)为使全程运输成本最少,汽车应以多大速度行驶?并求此时运输成本的最小值.

【解】

1 400 ? 1 ? 400 (1)Q=P· v =?19 200v4-160v3+15v?· v ? ?

1 ? 1 ? =?19 200v3-160v2+15?· 400 ? ? v3 5 2 =48-2v +6 000(0<v≤100). v2 (2)Q′=16-5v, 令 Q′=0,则 v=0(舍去)或 v=80, 当 0<v<80 时,Q′<0; 当 80<v≤100 时,Q′>0, 2 000 ∴v=80 千米/时时,全程运输成本取得极小值,即最小值,且 Qmin=Q(80)= 3 (元).

利润最大问题

某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千克)与销售价格 x(单位:元/千克)满足关系式 y = a +10(x-6)2,其中 3<x<6,a 为常数,已知销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. x-3 (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【思路探究】 (1)根据 x=5 时,y=11 求 a 的值.

(2)把每日的利润表示为销售价格 x 的函数,用导数求最大值. 【自主解答】 a (1)因为 x=5 时,y=11,所以2+10=11,a=2. 2 +10(x-6)2, x-3

(2)由(1)可知,该商品每日的销售量 y= 所以商场每日销售该商品所获得的利润

? 2 2? f(x)=(x-3)?x-3+10?x-6? ?=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6, ? ? 从而,f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)· (x-6), 于是,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

由上表可得,x=4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点; x f′(x) f(x) (3,4) + 单调递增 4 0 极大值 42 (4,6) - 单调递减

所以,当 x=4 时,函数 f(x)取得最大值,且最大值等于 42. 故当销售价格为 4 元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.

一般来说,利润 L 等于总收入减去总成本,而总收入等于销售量乘以价格.由此可以得到利润 L 与价格的函数关系式,进而用 导数求最大利润.

1 某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量 x(吨)与每吨产品的价格 p(元/吨)之间的关系式为:p=24 200-5x2,且生产 x 吨的 成本为 R=50 000+200x(元).问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少? 【解】 每月生产 x 吨时的利润为

1 ? ? f(x)=?24 200-5x2?x-(50 000+200x) ? ? 1 =-5x3+24 000x-50 000(x≥0), 3 由 f′(x)=-5x2+24 000=0,解得:x=200 或 x=-200(舍去). 1 因 f(x)在[0,+∞)内只有一个点 x=200 使 f′(x)=0,故它就是最大值点,且最大值为 f(200)=-5×2003+24 000×200-50 000 =3 150 000(元),故每月生产 200 吨产品时利润达到最大,最大利润为 315 万元.

1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤: (1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系 y=f(x); (2)求函数的导数 f′(x),解方程 f′(x)=0; (3)比较函数在区间端点和使 f′(x)=0 的点的数值的大小,最大(小)者为最大(小)值. 2.正确理解题意,建立数学模型,利用导数求解是解答应用问题的主要思路.另外需要特别注意:(1)合理选择变量,正确写出 函数解析式,给出函数定义域;(2)与实际问题相联系;(3)必要时注意分类讨论思想的应用.

忽视实际问题中函数的定义域致误

某船由甲地逆水行驶到乙地,甲、乙两地相距 s(km) ,水的流速为常量 a(km/h) ,船在静水中的最大速度为

b(km/h)(b>a),已知船每小时的燃料费用(以元为单位)与船在静水中的速度的平方成正比,比例系数为 k,则船在静水中的航行速度为
多少时,其全程的燃料费用最省? 【易错分析】 【防范措施】 易忽视实际问题中函数的定义域,造成错误. 在运用导数解决实际问题的过程中,易忽略实际问题中函数的定义域而造成求解结果错误.解决问题的主要办

法是在准确理解题意的基础上,正确建立数学模型,在实际问题中的定义域范围内找出问题的最优解. 【解】 设船在静水中的航行速度为 x km/h,全程的燃料费用为 y 元,

s x2 2 由题设可得 y=f(x)= · kx =sk· ,x∈(a,b], x-a x-a x2-2ax 所以 y′=sk· , ?x-a?2 令 y′=0,得 x=2a 或 x=0(舍). (1)当 2a≤b 时,若 x∈(a,2a),y′<0,f(x)为减函数, 若 x∈(2a,b],y′>0,f(x)为增函数, 所以当 x=2a 时,ymin=4ask. x?x-2a? (2)当 2a>b 时,y′=sk· , ?x-a?2 当 x∈(a,b]时,y′<0, 所以 f(x)在(a,b]上是减函数, 1 所以当 x=b 时,ymin=sk· b2· . b-a 综上可知,若 b<2a,则当船在静水中的速度为 b km/h 时,燃料费用最省; 若 b≥2a,则当船在静水中的速度为 2a km/h 时,燃料费用最省. ——[类题尝试]————————————————— 现有一批货物由海上从 A 地运往 B 地,已知轮船的最大航行速度为 35n mile/h,A 地至 B 地之间的航行距离为 500 n mile,每小 时的运输成本由燃料费用和其余费用组成, 轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比(比例系数为 0.6), 其余费用为每小时 960 元. (1)把全程运输成本 y(单位:元)表示为速度 x(单位:n mile/h)的函数; (2)为了使全程运输成本最小,轮船应以多大的速度航行? 【解】 500 480 000 (1)依题意,得 y= x (960+0.6x2)= x +300x,因为函数的定义域为(0,35],

480 000 所以 y= x +300x(0<x≤35). (2)由(1)知,y= 480 000 x +300x,

所以 y′=-

480 000 x2 +300.

令 y′=0,解得 x=40 或 x=-40(舍去). 因为函数的定义域为(0,35], 所以函数在定义域内没有极值. 又因为当 0<x≤35 时,y′<0, 所以函数 y= 480 000 x +300x 在(0,35]上单调递减, 480 000 x +300x 取得最小值.

故当 x=35 时,函数 y=

故为了使全程运输成本最小,轮船应以 35 n mile/h 的速度航行. 课时作业(八) 生活中的优化问题举例 [学业水平层次] 一、选择题 1.某工厂要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,若使砌壁所用的 材料最省,堆料场的长和宽应分别为(单位:米)( A.32,16 【解析】 B.30,15 C.40,20 )

D.36,18

512 512 要使材料最省,则要求新砌的墙壁的总长最短,设场地宽为 x 米,则长为 x 米,因此新墙总长 L=2x+ x (x>0),

512 512 则 L′=2- x2 .令 L′=0,得 x=16 或 x=-16(舍去).此时长为 16 =32(米),可使 L 最短. 【答案】 A )

2.将 8 分为两个非负数之和,使两个非负数的立方和最小,则应分为( A.2 和 6 C .3 和 5 B.4 和 4 D.以上都不对

【解析】 设一个数为 x,则另一个数为 8-x,则其立方和 y=x3+(8-x)3=83-192x+24x2(0≤x≤8),y′=48x-192.令 y′= 0,即 48x-192=0,解得 x=4.当 0≤x<4 时,y′<0;当 4<x≤8 时,y′>0.所以当 x=4 时,y 最小. 【答案】 B 3.内接于半径为 R 的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为( R 3 A. 2 和2R 4 7 C.5R 和5R 【解析】 )

5 4 5 B. 5 R 和 5 R D.以上都不对 设矩形的宽为 x,则长为 2 R2-x2,则 l=2x+4 R2-x2(0<x<R),l′=2- 4x , R2-x2

5 5 令 l′=0,解得 x1= 5 R,x2=- 5 R(舍去).

5 5 当 0<x< 5 R 时,l′>0;当 5 R<x<R 时,l′<0, 5 5 4 5 所以当 x= 5 R 时,l 取最大值,即周长最大的矩形的宽和长分别为 5 R, 5 R. 【答案】 B

4.某公司生产某种产品,固定成本为 20 000 元,每生产一单位产品,成本增加 100 元,已知总营业收入 R 与年产量 x 的关系 1 ? ?400x- x2,0≤x≤400, 2 是 R=R(x)=? 则总利润最大时,每年生产的产品是( ? x>400, ?80 000, A.100 C.200 【解析】 B.150 D.300 由题意,得总成本函数为 C=C(x)=20 000+100x,总利润 P(x)=R(x)-C(x)=

)

x2 ? ?300x- -20 000,0≤x≤400, 2 ? ? x>400. ?60 000-100x, ?300-x,0≤x≤400, 所以 P′(x)=? ?-100,x>400. 令 P′(x)=0,得 x=300,易知 x=300 时,总利润 P(x)最大. 【答案】 二、填空题 5.已知某矩形广场面积为 4 万平方米,则其周长至少为__________米. 【解析】 设广场的长为 x 米,则宽为 40 000? 40 000 ? 40 000? ? ?x+ x ?(x>0),所以 y′=2?1- x2 ?,令 y′=0,解 米,于是其周长为 y = 2 x ? ? ? ? D

得 x=200(x=-200 舍去),这时 y=800.当 0<x<200 时,y′<0;当 x>200 时,y′>0.所以当 x=200 时,y 取得最小值,故其周长至 少为 800 米. 【答案】 800

6.已知矩形的两个顶点 A、D 位于 x 轴上,另两个顶点 B、C 位于抛物线 y=4-x2 在 x 轴上方的曲线上,则这个矩形的面积最 大时的边长为________. 【解析】 由题意,设矩形边长 AD=2x,则 AB=4-x2,

∴矩形面积为 S=2x(4-x2)=8x-2x3(0<x<2). ∴S′=8-6x2. 2 2 令 S′=0,解之得 x1=3 3,x2=-3 3(舍去). 2 当 0<x<3 3时,S′>0; 2 当3 3<x<2 时,S′<0.

2 32 3 ∴当 x=3 3时,S 取得最大值为 9 . 4 3 8 即矩形的边长分别是 3 ,3时,矩形的面积最大. 【答案】 4 3 8 3 ,3

7.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比,已知在速度为 10 km/h 时的燃料费是每小时 6 元,而其他与速度无关 的费用是每小时 96 元,当行驶每千米的费用总和最小时,此轮船的航行速度为__________. 【解析】 设轮船的速度为 x km/h 时,燃料费用为 Q 元,则 Q=kx3(k≠0).

3 3 因为 6=k×103,所以 k=500,所以 Q=500x3. 所以行驶每千米的费用总和为 3 2 96 ? 3 ?1 y=?500x3+96?· = x + x (x>0). ? ? x 500 3 96 所以 y′=250x- x2 .令 y′=0,解得 x=20. 因为当 x∈(0,20)时,y′<0,此时函数单调递减; 当 x∈(20,+∞)时,y′>0,此时函数单调递增, 所以当 x=20 时,y 取得最小值, 即此轮船以 20 km/h 的速度行驶时,每千米的费用总和最小. 【答案】 三、解答题 8.如图 144,一矩形铁皮的长为 8 cm,宽为 5 cm,在四个角上截去四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,问小正方 形的边长为多少时,盒子容积最大? 20 km/h

图 144 【解】 设小正方形的边长为

5? ? x cm?0<x<2?,则盒子底面长为(8-2x) cm,宽为(5-2x) cm, ? ? V=(8-2x)(5-2x)x=4x3-26x2+40x, V′=12x2-52x+40,

10 令 V′=0,得 x=1 或 x= 3 (舍去), V 极大值=V(1)=18,在定义域内仅有一个极大值, 所以 V 最大值=18,即当小正方形的边长为 1 cm 时,盒子容积最大. 9.(2015· 银川高二检测)一书店预计一年内要销售某种书 15 万册,欲分几次订货,如果每次订货要付手续费 30 元,每千册书存 放一年要库存费 40 元,并假设该书均匀投放市场,问此书店分几次进货、每次进多少册,可使所付的手续费与库存费之和最少? 【解】 x 设每次进书 x 千册(0<x<150),手续费与库存费之和为 y 元,由于该书均匀投放市场,则平均库存量为批量之半,即2,

20?x+15??x-15? 150 x 4 500 故有 y= x ×30+2×40,y′=- x2 +20= ,令 y′=0,得 x=15,列表如下: x2 x y′ y (0,15) - ? 15 0 极小值 (15,150) + ?

150 所以当 x=15 时,y 取得极小值,且极小值唯一,故当 x=15 时,y 取得最小值,此时进货次数为 15 =10(次). 即该书店分 10 次进货,每次进 15 000 册书,所付手续费与库存费之和最少. [能力提升层次] 1.某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品,若该商品零售价定为 p 元,销售量为 Q 件,则销售量 Q 与零售价 p 有如下关 系:Q=8 300-170p-p2.则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)( A.30 元 C.28 000 元 【解析】 设毛利润为 L(p),由题意知 B.60 元 D.23 000 元 )

L(p)=pQ-20Q=Q(p-20) =(8 300-170p-p2)(p-20) =-p3-150p2+11 700p-166 000, 所以 L′(p)=-3p2-300p+11 700. 令 L′(p)=0,解得 p=30 或 p=-130(舍去). 此时,L(30)=23 000. 因为在 p=30 附近的左侧 L′(p)>0,右侧 L′(p)<0, 所以 L(30)是极大值,根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件 30 元时,最大毛利润为 23 000 元. 【答案】 D )

2.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为 20 cm,要使体积最大,则其高应为( 5 3 A. 3 cm 10 3 B. 3 m

C .5 3 m 【解析】

D.

20 3

3

m

如图.设圆锥底面半径为 r,高为 h,则 h2+r2=202.

所以 r= 400-h2, 1 1 所以圆锥体积 V=3πr2h=3π(400-h2)h 1 =3π(400h-h3), 1 所以 V′=3π(400-3h2), 20 3 20 3 令 V′=0,得 h= 3 或 h=- 3 (舍去). 20 3 20 3 当 0<h< 3 时,V′>0;当 h> 3 时,V′<0. 20 3 所以当 h= 3 时,V 最大.故选 D. 【答案】 D

3.如图 145,内接于抛物线 y=1-x2 的矩形 ABCD,其中 A,B 在抛物线上运动,C,D 在 x 轴上运动,则此矩形的面积的最 大值是__________.

图 145 【解析】 ?x ? 设 CD=x,则点 C 坐标为?2,0?, ? ?

?x ? x?2? ?? 点 B 坐标为?2,1-? ?2? ?, ? ∴矩形 ABCD 的面积 ? ?x? ? ?1-?2?2? S=f(x)=x· ? ? ?? x3 =- 4 +x,x∈(0,2). 3 由 f′(x)=-4x2+1=0, 2 3 2 3 得 x1=- 3 (舍),x2= 3 , 2 3 4 3 ? ?2 3 ? 2 3? ?时,f′(x)>0,f(x)单调递增,x∈? ∴x∈?0, ,2?时,f′(x)<0,f(x)单调递减,故当 x= 3 时,f(x)取最大值 9 . 3 3 ? ? ? ? 【答案】 4 3 9

4.(2015· 广州高二检测)如图 146 所示,有甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线海岸的岸边 A 处,乙厂与甲厂在海的同侧,乙厂 位于离海岸 40 km 的 B 处,乙厂到海岸的垂足 D 与 A 相距 50 km.两厂要在此岸边 A,D 之间合建一个供水站 C,从供水站到甲厂和 乙厂的水管费用分别为每千米 3a 元和 5a 元,则供水站 C 建在何处才能使水管费用最省?

图 146 【解】 设 C 点距 D 点 x km,则 AC=50-x(km),

所以 BC= BD2+CD2= x2+402(km). 又设总的水管费用为 y 元, 依题意,得 y=3a(50-x)+5a x2+402(0<x<50). y′=-3a+ 5ax . x +402
2

令 y′=0,解得 x=30. 在(0,50)上,y 只有一个极小值点,根据问题的实际意义,函数在 x=30 km 处取得最小值,此时 AC=50-x=20(km). 故供水站建在 A,D 之间距甲厂 20 km 处,可使水管费用最省.

1.5

定积分的概念

1.5.1 1.5.2

曲边梯形的面积 汽车行驶的路程

[学习目标] 1.了解求曲边梯形的面积、 汽车行驶的路程的方法. (重点) 2.了解“以直代曲”、 “以不变代变”的思想方法. (难 点、易混点)

一、曲边梯形的面积 1.连续函数 如果函数 y=f(x)在某个区间 I 上的图象是一条______的曲线,那么就把它称为区间 I 上的连续函数. 2.曲边梯形的面积 (1)曲边梯形:由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)____________称为曲边梯形(如图 151①). (2)求曲边梯形面积的方法与步骤: ①分割:把区间[a,b]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些________(如图②); ②近似代替:对每个小曲边梯形“__________”,即用________的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的 ______; ③求和:把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值______; ④取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷时,各小曲边梯形的面积之和趋向一个________,即为曲边梯形的面积.



② 图 151

【答案】

1.连续不断

2.(1)所围成的图形

(2)小曲边梯形

以直代曲

矩形

近似值

求和

定值

二、汽车行驶的路程 如果物体做变速直线运动,速度函数为 v=v(t),那么它在时间 t 所在的区间[a,b]内的路程(或位移)也可以运用①________;② ________;③______;④________的方法求得. 【答案】 分割 近似代替 求和 取极限

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)求汽车行驶的路程时,分割的区间表示汽车行驶的路程.( ) )

?i-1 i ? ?i? ?上的值,只能用?n?2 近似代替.( (2)当 n 很大时,函数 f(x)=x2 在区间? , n? ? ? ? n (3)mi=i2, ?=mi=30.
i=1 4

【答案】

(1)×

(2)×

(3)√ )

2.在“近似代替”中,函数 f(x)在区间[xi,xi+1]上的近似值( A.只能是左端点的函数值 f(xi) B.只能是右端点的函数值 f(xi+1) C.可以是该区间内任一点的函数值 f(ξi)(ξi∈[xi,xi+1]) D.以上答案均正确 【解析】 【答案】

作近似计算时,Δx=xi+1-xi 很小,误差可忽略,所以 f(x)可以是[xi,xi+1]上任一值 f(ξi). C

3.在计算由曲线 y=-x2 以及直线 x=-1,x=1,y=0 所围成的图形面积时,若将区间[-1,1]n 等分,则每个小区间的长度为 __________. 【解析】 【答案】 每个小区间长度为 2 n 1-?-1? 2 =n. n

图 152 4.求由抛物线 f(x)=x2,直线 x=1 以及 x 轴所围成的平面图形的面积时,若将区间[0,1]5 等分,如图 152 所示,以小区间中点 的纵坐标为高,所有小矩形的面积之和为__________. 【解析】 由题意得

S=(0.12+0.32+0.52+0.72+0.92)×0.2=0.33. 【答案】 0.33

预习完成后,请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中 问题 1 问题 2 问题 3 问题 4

求曲边梯形的面积

求由直线 x=0,x=1,y=0 和曲线 y=x(x-1)围成的图形面积.

【思路探究】

按分割、近似代替、求和、取极限四个步骤进行求解.

【自主解答】

(1)分割:

n-1 1 2 将曲边梯形分割成 n 个小曲边梯形,用分点n,n,?, n 把区间[0,1]等分成 n 个小区间: 1? ?1 2? ?i-1 i ? ?n-1 n? ? ?0,n?,?n,n?,?,? ?,?,? , ,n?, ? ? ? ? n? ? n ? n ? ?i-1 i ? 简写作? ,n?(i=1,2,?,n). ? n ? i i-1 1 每个小区间的长度为 Δx=n- n =n.过各分点作 x 轴的垂线,把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形,它们的面积分别记作:ΔS1, ΔS2,?,ΔSi,?,ΔSn. (2)近似代替: ?i-1 i ? 用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积:在小区间? ,n?上任取一点 ξi(i=1,2,?,n),为了计算方便,取 ξi 为小区间的左端 ? n ? 1 ?i-1??i-1 ? ?? ?为其一边长,以小区间长度 Δx= 为另一边长的小矩形对应的面积近似代替第 i 个小曲 点,用 f(ξi)的相反数-f(ξi)=-? - 1 n ? n ?? n ? 边梯形面积,可以近似地表示为 ?i-1??i-1 ? 1 ?? ΔSi≈-f(ξi)Δx=-? (i=1,2,?,n). -1?· ? n ?? n ?n (3)求和: 因为每一个小矩形的面积都可以作为相应小曲边梯形面积的近似值,所以 n 个小矩形面积的和就是曲边梯形面积 S 的近似值, 即
n

n

S=?
n

i=1

ΔSi≈-?

i=1

f(ξi)Δx

=?
i=1

? ?i-1??i-1 ?? 1 ?-? ?? -1??· ? ? n ?? n ?? n

1 1 =-n3[02+12+22+…+(n-1)2]+n2[0+1+2+…+(n-1)] -n2+1 1 1 1 n?n-1? 1? 1 ? =-n3· n ( n - 1)(2 n - 1) + =- 2· 2 =- ? 2-1?. 6 n 2 6n 6?n ? (4)取极限:

1? 1 ? 1? 1 ?? 1 ? 2-1??= . 当分割无限变细,即 Δx 趋向于 0 时,n 趋向于∞,此时-6?n2-1?趋向于 S.从而有 S=lim ?-6? ?n ?? 6 ? ? n→∞ ? 1 所以由直线 x=0,x=1,y=0 和曲线 y=x(x-1)围成的图形面积为6.

由极限法求曲边梯形的面积的步骤 第一步:分割.在区间[a,b]中等间隔地插入 n-1 个分点,将其等分成 n 个小区间[xi-1,xi](i=1,2,?,n),小区间的长度 Δxi =xi-xi-1. 第二步:近似代替,“以直代曲”.用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,求出小曲边梯形面积的近似值. 第三步:求和.将 n 个小矩形的面积进行求和得 Sn. 第四步:取极限.当 n→∞时,Sn→S,S 即为所求.

1 求由直线 x=1,x=2,y=0 及曲线 y=x2围成的图形的面积 S. 【解】 (1)分割:

n+1? ?n+1 n+2? ? ?n+n-1 ? ?,? ?,?,? 在区间[1,2]上等间隔地插入 n-1 个点,将它等分成 n 个小区间:?1, , ,2?, n ? ? n n ? n ? ? ? n+i n+i-1 1 ?n+i-1 n+i? 记第 i 个区间为? , n ?(i=1,2,?,n),其长度为 Δx= n - n =n. n ? ? 分别过上述 n-1 个分点作 x 轴的垂线,把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形(如图),它们的面积分别记作:ΔS1,ΔS2,?,ΔSn,则
n

小曲边梯形面积的和为 S=?
i=1

ΔSi,

(2)近似代替 1 1 ?n+i-1 n+i? 记 f(x)=x2.当 n 很大,即 Δx 很小时,在区间? , n ?上,可以认为 f(x)=x2的值变化很小,近似地等于一个常数,不妨认 ? n ? 为它等于

? f? ?

n+i-1 n+i? ?. n ·n ?

?n+i-1 n+i? 从图形上看,就是用平行于 x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边.这样,在区间? , n ?上,用小矩形面积 ΔSi′ ? n ? ? 近似地代替 ΔSi,即在局部小范围内“以直代曲”,则有 ΔSi≈ΔSi′=f? ? 1,2,?,n). (3)求和
n n n

n2 1 n n+i-1 n+i? ?Δx= ·= (i= ?n+i-1??n+i? n ?n+i-1??n+i? n ·n ?

小曲边梯形的面积和 Sn=?

i=1

ΔSi≈?

i=1

ΔSi′=?

i=1

n n n n = + +?+ ?n+i-1??n+i? n?n+1? ?n+1??n+2? ?n+n-1??n+n?

1 1 1 1 1 ? ?1 ?1 1 ? 1 =n?n-n+1+n+1-n+2+?+n+n-1-n+n?=n?n-2n?=2. ? ? ? ? 1 从而得到 S 的近似值 S≈Sn=2. (4)取极限 1 分别将区间[1,2]等分成 8,16,20,?等份时,Sn 越来越趋向于 S,从而有 S=limSn=2.
n→∞

1 1 所以由直线 x=1,x=2,y=0 及曲线 y=x2围成的图形的面积 S 为2.

求变速运动的路程 汽车以速度 v 做匀速直线运动时,经过时间 t 的路程 s=vt.如果汽车做变速直线运动,在时刻 t 的速度 v(t)=-t2 +5(单位:km/h),问它在 0≤t≤2(单位:h)这段时间内的路程 S(单位:km)是多少? 【思路探究】 把变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题,通过分割、近似代替、求和、取极限四步解决.

【自主解答】

①分割

在区间[0,2]上等间隔地插入 n-1 个点,将区间等分成 n 个小区间: 2? ?2 4? ?2?n-1? 2n? ? ?0,n?,?n,n?,?,? , n ?. ? ? ? ? ? n ? ?2?i-1? 2i? 记第 i 个区间为? , n ?(i=1,2,?,n), ? n ? 2i 2?i-1? 2 其长度为 Δx= n - n =n. 把汽车在上述时间段内行驶的路程分别记作:
n

ΔS1,ΔS2,?,ΔSn,显然,S=? ②近似代替

i=1

ΔSi.

?2?i-1? 2i? 当 n 很大,即 Δt 很小时,在区间? , n ?上,函数 v(t)=-t2+5 的值变化很小,近似地等于一个常数,不妨认为它近似地 n ? ? ?2i? ?2i? ?2i? ? ?2i? ?2 等于右端点处的函数值 v? n ?=-? n ?2+5.在每一个小时间段内“以匀速代变速”,则有 ΔSi≈ΔS′i=v? n ?·Δt=?-? n ?2+5?· ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n 4i2 2 10 =- n2 · n+ n (i=1,2,?,n) ③求和
n n ?2i? 由(*)得,Sn= ?ΔS′i= ?v? n ?·Δt ? ? i=1 i=1 2 n 8 n 2 ? 4i 2 10? + ? = ? ?- n2 · =- i +10 n n? n3i? ? =1 i=1

(*)

8 n?n+1??2n+1? =-n3· +10 6 1?? 1? 8? =-3?1+n??1+2n?+10. ? ?? ? 从而得到路程 S 的近似值, 1?? 1? 8? S≈Sn=-3?1+n??1+2n?+10. ? ?? ? ④取极限 可以看到,当 n 趋向于无穷大,即 Δt 趋向于 0 时, 1?? 1? 8? Sn=-3?1+n??1+2n?+10 趋向于 S,从而有 ? ?? ?
n ?2i? 2 S=limSn=lim ?v? n ?· n→∞ n→∞i=1 ? ? n

1?? 1? ? 8? ? =lim ?-3?1+n??1+2n?+10? ? ? ? ? ? ? n→∞ 8 22 =-3+10= 3 .

求变速直线运动路程的方法 求变速直线运动路程的问题,方法和步骤类似于求曲边梯形的面积,用“以直代曲”“逼近”的思想求解.求解过程为:分割、 近似代替、求和、取极限.应特别注意变速直线运动的时间区间.

在本例题(1)中,如果取每个小区间左端点处的函数值为近似小矩形的高,则物体运动路程的近似值为多少? 【解】 每个区间上的面积分别为 s1=0×1=0,

s2=1×1=1,?,s10=9×1=9,

故路程的近似值为 s= ?si=0+1+2+?+9=45.
i=1

10

搞错区间端点致误 求由抛物线 y=2x2 与直线 x=0,x=t(t>0),y=0 所围成的曲边梯形的面积时,将区间[0,t]等分成 n 个小区间, 则第 i-1 个区间为( ?i-1 i ? A.? ,n? ? n ? ?t?i-1? ti? C.? ,n? ? n ? 【易错分析】 解决本题易错误认为区间左端点为 ) ? i i+1? ? B.? , n ? ?n ?t?i-2? t?i-1?? D.? , n ? ? n ? t?i-1? ,从而误选 C. n

1 【防范措施】 在将区间[0,1]等分成 n 个小区间时,其第 1 个小区间的左端点为 0,第 2 个小区间的左端点为n,?,依次类推, i-1 第 i 个小区间的左端点为 n . 【解析】 【答案】 t?i-2? t t?i-1? t t t?i-2? 每个小区间长度为n,故第 i-1 个区间的左端点为 0+(i-2)×n= n ,右端点为 n +n= n . D

——[类题尝试]————————————————— 在求直线 x=0, x=2, y=0 与曲线 y=x2 所围成的曲边三角形的面积时, 把区间[0,2]等分成 n 个小区间, 则第 i 个小区间是( ?i-1 i ? A.? ,n? ? n ? ?2?i-1? 2i? C.? ,n? ? n ? 【解析】 【答案】 ? i i+1? ? B.? , n ? ?n ?2i 2?i+1?? ? D.? , n ? ?n )

2 ?2?i-1? 2i? 将区间[0,2]等分为 n 个小区间后,每个小区间的长度为n,第 i 个小区间为? , n ?. ? n ? C

求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤: (1)分割:n 等分区间[a,b]; b-a (2)近似代替:取点 ξi∈[xi-1,xi],ΔSi≈ΔS′i=f(ξi)· n ;
n n b-a (3)求和:S′n= ?ΔS′i= ?f(ξi)· n ; i=1 i=1

n b-a (4)取极限:S= lim S′n= lim ? f(ξi)· n .“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形,为了计算方便,可以取区间上的 n→∞ n→∞ i=1 一些特殊点,如区间的端点(或中点). 课时作业(九) 曲边梯形的面积 [学业水平层次] 一、选择题 汽车行驶的路程

1.把区间[1,3]n 等分,所得 n 个小区间,每个小区间的长度为( 1 A.n 【解析】 【答案】
5

)

2 B.n

3 C.n

1 D.2n

2 区间长度为 2,n 等分后每个小区间的长度都是n,故选 B. B )

2.和式 ? (yi+1)可表示为(
i=1

A.(y1+1)+(y5+1) B.y1+y2+y3+y4+y5+1 C.y1+y2+y3+y4+y5+5 D.(y1+1)(y2+1)?(y5+1) 【解析】 【答案】

i=1

? (yi+1)=(y1+1)+(y2+1)+(y3+1)+(y4+1)+(y5+1)=y1+y2+y3+y4+y5+5.

5

C )

?i-1 i ? 3.当 n 很大时,函数 f(x)=x2 在区间? ,n?上的值可以用下列哪个值近似代替( ? n ? ?1? A.f?n? ? ? ?i? C.f?n? ? ? ?2? B.f?n? ? ? D.f(0)

?i-1 i ? 【解析】 当 n 很大时,f(x)=x2 在区间? ,n?上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替,显然可以用左端点或右端点 ? n ? 的函数值近似代替. 【答案】 C

4.(2015· 郑州高二检测)直线 x=0,x=2,y=0 与曲线 y=x2+1 围成的曲边梯形,将区间[0,2]5 等分,按照区间左端点和右端点 估计梯形面积分别为( A.3.92,5.52 C.2,51,3.92 【解析】 ) B.4,5 D.5.25,3.59

2? ?2 4? ?4 6? ?6 8? ?8 ? ? 将区间[0,2]5 等分为?0,5?,?5,5?,?5,5?,?5,5?,?5,2?,以小区间左端点对应的函数值为高,得 S1= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ?2? ?4? ?6? ?8? ? 2 ?1+?5?2+1+?5?2+1+?5?2+1+?5?2+1?× =3.92, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 同理 S2= ??2?2 ?4? ?6? ?8? ? 2 ??5? +1+?5?2+1+?5?2+1+?5?2+1+22+1?× =5.52.故选 A. ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 【答案】 A

二、填空题 5.已知某物体运动的速度为 v=t,t∈[0,10],若把区间 10 等分,取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高,则物体运 动的路程近似值为__________. 【解析】 ∵把区间[0,10]10 等分后,每个小区间右端点处的函数值为 n(n=1,2,?,10),每个小区间的长度为 1.

∴物体运动的路程近似值 S=1×(1+2+?+10)=55. 【答案】 55

6.物体运动的速度和时间的函数关系式为 v(t)=2t(t 的单位:h,v 的单位;km/h),近似计算在区间[2,8]内物体运动的路程时, 把区间 6 等分,则过剩近似值(每个 ξi 均取值为小区间的右端点)为__________km. 【解析】 以小区间右端点时的速度作为小区间的平均速度, 可得过剩近似值为 s=(2×3+2×4+2×5+2×6+2×7+2×8)×1 =66(km). 【答案】 66

7.汽车以 v=(3t+2)m/s 做变速直线运动时,第 1 s 到第 2 s 间的 1 s 内经过的路程是________m. 【解析】 【答案】 三、解答题 8.(2015· 深圳高二检测)有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶,在时刻 t 的速度为 v(t)=3t2+2(单位:km/h),那么该汽车在 0≤t≤2(单位:h)这段时间内行驶的路程 s(单位:km)是多少? 【解】 ?2?i-1? 2i? 在时间区间[0,2]上等间隔地插入 n-1 个分点,将它分成 n 个小区间,记第 i 个小区间为? , n ?(i=1,2,?,n), ? n ? 1 由题意知,所求路程为直线 x=1,x=2,y=0 与 y=3x+2 所围成的直角梯形的面积,故 S=2×(5+8)×1=6.5. 6.5

n 2i 2?i-1? 2 2i 其长度为 Δt= n - n =n.每个时间段上行驶的路程记为 Δsi(i=1,2,?,n),则显然有 s= ?Δsi,取 ξi= n (i=1,2,?,n).于是 i=1

?2i? Δsi≈Δs′i=v? n ?·Δt ? ? ? ?2i? ?2 =?3? n ?2+2?· , ? ? ? ?n
n 24 n?n+1??2n+1? sn= ?Δsi= n3 · +4 6 i=1

1?? 1? ? =8?1+n??1+2n?+4. ? ?? ? 从而得到 s 的近似值 s≈sn. 1?? 1? ? ? ? s=limsn=lim ?8?1+n??1+2n?+4? ?? ? ? n→∞ n→∞ ? ? =8+4=12. 所以这段时间内行驶的路程为 12 km.

1 9.(2015· 泰安高二检测)求由直线 x=0,x=1,y=0 及曲线 f(x)=2x2 所围成的图形的面积. 【解】 (1)分割

将区间[0,1]等分成 n 个小区间: 1? ?1 2? ?i-1 i ? ?n-1 ? ? ?0,n?,?n,n?,?,? ?,?,? , ,1?. ? ? ? ? n? ? n ? n ? 1 每个小区间的长度为 Δx=n. 过各分点作 x 轴的垂线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形,它们的面积分别记作 ΔS1,ΔS2,?,ΔSn. (2)近似代替 i-1 1?i-1? 1 ?i-1 i ? 在区间? ,n?上,用 n 处的函数值2? n ?2 作为高,以小区间的长度 Δx=n作为底边长的小矩形的面积近似代替第 i 个小曲 n ? ? ? ? 1?i-1?2 1 ? ·. 边梯形的面积,即 ΔSi≈2? ? n ? n (3)求和 曲边梯形的面积为
n n 1?i-1? 1 ?2· Sn= ?ΔSi≈ ? ? 2 n ? n i=1 i=1 ?

1 1 ?1?2 1 1 ?2?2 1 1 ?n-1?2 1 1 2 2 ?n? · + · ? ? · +?+ · ? ? = 3[1 +2 +…+(n-1)2] =0· n+2· 2? n ?· n 2n ? ? n 2 ?n? n 1?? 1? 1? =6?1-n??1-2n?. ? ?? ? (4)取极限 所围成图形的面积为 S= 1?? 1? 1 1? lim 6?1-n??1-2n?=6. ?? ? n→∞ ? [能力提升层次] 1.下列函数在其定义域上不是连续函数的是( A.y=x2 C.y= x 【解析】 【答案】 ) B.y=|x| 1 D.y= x 1 由于函数 y= 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),故其图象不是连续不断的曲线. x D

2.(2015· 大连高二检测)设函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<?<xi-1<xi<?<xn=b,把区间[a,b]等分成 n 个小区间, 在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点 ξi(i=1,2,?,n),作和式 Sn= ?f(ξi)Δx(其中 Δx 为小区间的长度),那么 Sn 的大小(
i=1 n

)

A.与 f(x)和区间[a,b]有关,与分点的个数 n 和 ξi 的取法无关 B.与 f(x),区间[a,b]和分点的个数 n 有关,与 ξi 的取法无关 C.与 f(x),区间[a,b]和分点的个数 n,ξi 的取法都有关 D.与 f(x),区间[a,b]和 ξi 取法有关,与分点的个数 n 无关 【解析】 【答案】 Sn 即为实际的 S 近似代替后的和式,其与 f(x)、区间[a,b]、分点个数、ξi 的取法均有关. C

3.汽车以 10 m/s 的速度行驶,在某处需要减速停车,设汽车以加速度-2 m/s2 刹车,若把刹车时间 5 等分,则从开始刹车到停 车,汽车刹车距离的过剩估计值(取每个小区间的左端点对应的函数值)为__________m. 【解析】 由题意知,v(t)=v0+at=10-2t.

令 v(t)=0,得 t=5,即 t=5 s 时,汽车将停车. 将区间[0,5]5 等分,用每个小区间的左端点的函数值近似替代每个小区间上的平均速度,可得汽车刹车距离的过剩近似值为 S= (10+10-2×1+10-2×2+10-2×3+10-2×4)×1=30(m). 【答案】 30

4.弹簧在拉伸的过程中,力与伸长量成正比,即力 F(x)=kx(k 为常数,x 是伸长量),求将弹簧从平衡位置拉长 b 所做的功. 【解】 (1)分割 在区间[0,b]上等间隔地插入 n-1 个点,将区间[0,b]等分成 n 个小区间: b? ?b 2b? i· b ?i-1?b b b? ??n-1?b ? ??i-1?b i· ? ?0,n?,?n, n ?,?,? ?,记第 i 个区间为? ?(i=1,2,?,n),其长度为 Δx= - , b , n n =n. ? ? ? ? n? ? n ? ? n b? ?b 2b? ??n-1?b ? ? 把在分段?0,n?,?n, n ?,?,? ,b?上所做的功分别记作: ? ? ? ? ? n ? ΔW1,ΔW2,?,ΔWn. (2)近似代替 ?i-1?b b ??i-1?b? ?·Δx=k· 取各小区间的右端点函数值作为小矩形的高,由条件知:ΔWi≈F? n · n(i=1,2,?,n). n ? ? (3)求和
n n ?i-1?b b Wn= ?ΔWi≈ ?k· n · n i=1 i=1

将物体用常力 F 沿力的方向拖动距离 x,则所做的功 W=F· x.

1? kb2 kb2 n?n-1? kb2? = n2 [0+1+2+…+(n-1)]= n2 × 2 = 2 ?1-n?. ? ? 从而得到 W 的近似值 W≈Wn 1? kb2? = 2 ?1-n?. ? ? (4)取极限

W=limWn=lim ?ΔWi
n→∞ n→∞i=1

n

1? kb2 kb2? 1 - =lim 2 ? = . n? ? ? 2 n→∞ kb2 所以将弹簧从平衡位臵拉长 b 所做的功为 2 . 1.5.3 定积分的概念

[学习目标] 1.了解定积分的概念.(难点) 2.理解定积分的几何意义.(重点、易混点) 3.掌握定积分的几何性质.(重点、难点)

一、定积分的概念 如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<?<xi-1<xi<?<xn=b 将区间[a,b]等分成 n 个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]
n

上任取一点 ξi(i=1,2,?,n),作和式?

i=1

f(ξi)Δx=________________,当 n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函

数 f(x)在区间[a,b]上的____________,记作?bf(x)dx,即?bf(x)dx=__________. ?a ?a 其中 a 与 b 分别叫做__________与__________, 区间[a, b]叫做__________, 函数 f(x)叫做____________, x 叫做__________, f(x)dx 叫做__________.
n

【答案】

?
i=1

b-a n f(ξi) 定积分

n

lim?
n→∞ i=1

b-a n f(ξi) 积分下限

积分上限

积分区间

被积函数

积分变量

被积式

二、定积分的几何意义 从几何上看,如果在区间[a,b]上函数 f(x)连续且恒有________,那么定积分?bf(x)dx 表示由______________所围成的曲边梯形 ?a 的面积.这就是定积分?bf(x)dx 的几何意义. ?a 【答案】 f(x)≥0 直线 x=a,x=b,y=0 和曲线 y=f(x)

三、定积分的性质 1.?bkf(x)dx=____________________________(k 为常数). ?a 2.?b[f1(x)± f2(x)]dx=?bf1(x)dx± _________________________. ?a ?a 3.?bf(x)dx=____________________________(其中 a<c<b). ?a 【答案】 1.k?bf(x)dx 2.?bf2(x)dx 3.?c f(x)dx+?bf(x)dx ?a ?a ?a ?c

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)?bf(x)dx=?bf(t)dt.( ?a ?a

) ) )

(2)?bf(x)dx 的值一定是一个正数.( ?a (3)?b(x2+2x)dx=?bx2dx+?b2xdx.( ?a ?a ?a 【答案】 2.填空: (1)√ (2)× (3)√

π (1)由 y=0,y=cos x,x=0,x=2围成的图形的面积用定积分的形式表示为__________. (2)?1-1f(x)dx=?0-1f(x)dx+__________. ? ? (3)?12xdx__________?22xdx.(填“<”“=”或“>”) ?0 ?0 【答案】 π (1)∫20cos xdx (2)?1f(x)dx (3)< ?0

预习完成后,请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中 问题 1 问题 2 问题 3 问题 4

利用定义求定积分 利用定积分的定义,计算?2(3x+2)dx 的值. ?1 【思路探究】 【自主解答】 (1)分割 ?n+i-1 n+i? ?(i=1,2,?,n),每个小区间的长度为 Δx 在区间[1,2]上等间隔地插入 n-1 个分点,将区间[1,2]等分成 n 个小区间? , n ? ? n n+i n+i-1 1 = n - n =n. (2)近似代替、作和 根据定积分的意义,分四步求解,即分割、近似代替、求和、取极限. 令 f(x)=3x+2.

n+i-1 取 ξi= n (i=1,2,?,n),则
n

Sn=?

i=1

?n+i-1? ?·Δx=? f? ? n ? i=1

n

?3?n+i-1? ? 1 ? =? +2?· n ? ?n i=1

n

2 3 n -n 13 3 ?3?i-1? 5? 3 ? ? = [0 + 1 + 2 + … + ( n - 1)] + 5 = × + 2 2 +5= - . 2 2 n 2 2n n? n ? n

(3)取极限 ?13 3 ? 13 2 = . ? (3x+2)dx=limSn=lim ? 2 -2n? ? 2 ?1 n→∞ n→∞ ?

利用定义求定积分的步骤

利用定积分的定义,计算?2(x+1)dx 的值. ?1 【解】 i-1 i? ? ?(i=1,2,?,n), f(x)=x+1 在区间[1,2]上连续,将区间[1,2]等分成 n 个小区间?1+ , 1 + n n? ?

1 每个区间的长度为 Δx= , n i-1 i-1 i? ? ?上取 ξi=1+ 在?1+ , 1 + n (i=1,2,?,n), n n? ? i-1 i-1 ∴f(ξi)=1+1+ n =2+ n ,

n

n

∴?
i=1 n

f(ξi)·Δx=? ?2 i-1? ? + 2 ? ?n n ?

i=1

i-1? 1 ? ?2+ ?· n ?n ?

=?
i=1

2 1 =n· n+n2[0+1+2+…+(n-1)] n-1 1 1 5 1 =2+ 2n =2+2-2n=2-2n, ?5 1 ? 5 ∴?2(1+x)dx=lim ?2-2n?=2. ? ?1 n→∞ ?

利用定积分的几何意义求定积分 利用定积分的几何意义求下列定积分. (1)?3-3 9-x2dx;(2)?3(2x+1)dx; ? ?
0

(3)?1-1(x3+3x)dx. ? 【思路探究】 对于本题(1)、(2)可先确定被积函数、积分区间,画出图形,然后用几何法求出图形面积,从而确定定积分的值; 对于(3)可根据被积函数的奇偶性求解. 【自主解答】 (1)曲线 y= 9-x2表示的几何图形为以原点为圆心以 3 为半径的上半圆如图(1)所示.

1 9 其面积为 S=2·π·32=2π. 9 由定积分的几何意义知?3-3 9-x2dx=2π. ? (2)曲线 f(x)=2x+1 为一条直线.?3(2x+1)dx 表示直线 f(x)=2x+1,x=0,x=3 围成的直角梯形 OABC 的面积,如图(2). ?0 1 其面积为 S=2(1+7)×3=12. 根据定积分的几何意义知
3 ? (2x+1)dx=12. ?0

(3)∵y=x3+3x 在区间[-1,1]上为奇函数,图象关于原点对称, ∴曲边梯形在 x 轴上方部分面积与 x 轴下方部分面积相等.由定积分的几何意义知?1-1(x3+3x)dx=0. ?

1.定积分的几何意义的应用 (1)利用定积分的几何意义求?bf(x)dx 的值的关键是确定由曲线 y=f(x),直线 x=a,x=b 及 y=0 所围成的平面图形的形状.常 ?a 见的图形有三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形.(关键词:平面图形的形状) (2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积,要注意分割点要确定准确.(关键词:分割) 2.奇、偶函数在区间[-a,a]上的定积分
a ? f?x?dx (1)若奇函数 y=f(x)的图象在[-a,a]上连续,则?-a =0. a ? f?x?dx (2)若偶函数 y=f(x)的图象在[-a,a]上连续,则?-a =2?af(x)dx. ?0

3 3 本例(1)中变为∫2-2 9-x2dx,如何求解? 【解】 ? 3 3? 由 y= 9-x2,知 x2+y2=9(y≥0),x∈?-2,2?, ? ?

其图象如图所示:

3 3 由定积分的几何意义,知∫2-2 9-x2dx 等于圆心角为 60° 的弓形 CED 的面积与矩形 ABCD 的面积之和. 1 π 1 3 3 6π-9 3 S 弓形=2×3×32-2×3× 2 = , 4 3 S 矩形=|AB|×|BC|=2×2× ?3? 9 3 9-?2?2= 2 , ? ?

6π-9 3 9 3 6π+9 3 3 3 ∴∫2-2 9-x2dx= + 2 = . 4 4 定积分性质的应用 利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积.

(1)y=0,y= x,x=2; (2)y=x-2,x=y2. 【思路探究】 【自主解答】 由定积分的几何意义,作出图形,分割区间表示. (1)曲线所围成的平面区域如图(1)所示.

设此面积为 S,则 S=?2( x-0)dx=?2 xdx. ?0 ?0

(1) (2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示. 设面积为 S,则 S=A1+A2. 因为 A1 由 y= x,y=- x,x=1 围成, A2 由 y= x,y=x-2,x=1 和 x=4 围成, 所以 A1=?1[ x-(- x)]dx=?12 xdx, ?0 ?0 A2=?4[ x-(x-2)]dx=?4( x-x+2)dx. ?1 ?1 故 S=?12 x dx+?4( x-x+2)dx. ?0 ?1

(2)

利用定积分的性质求定积分的技巧 灵活应用定积分的性质解题,可以把比较复杂的函数拆成几个简单函数、把积分区间分割成可以求积分的几段,进而把未知的 问题转化为已知的问题,在运算方面更加简洁.应用时注意性质的推广: (1)?b[f1(x)± f2(x)± …± fn(x)]dx ?a
b b =?bf1(x)dx± ?± ? f2(x)dx± ? fn(x)dx; ?a ?a ?a

? (2)?bf(x)dx=∫c1af(x)dx+?c2f(x)dx+?+? ?a ?c1

bcnf?x?dx

(其中 a<c1<c2<?<cn<b,n∈N*).

e2 e3 e 2 已知? xdx= 2 ,? x dx= 3 ,求下列定积分的值: ?0 ?0
e

(1)?e (2x+x2)dx;(2)?e (2x2-x+1)dx. ?0 ?0 【解】 (1)?e (2x+x2)dx ?0

=2?e xdx+?e x2dx ?0 ?0 e2 e3 e3 =2× 2 + 3 =e2+ 3 . (2)?e (2x2-x+1)dx= ?0 2?e x2dx-?e xdx+?e 1dx, ?0 ?0 ?0 e2 e3 e 2 因为已知? xdx= 2 ,? x dx= 3 , ?0 ?0
e

又由定积分的几何意义知:?e 1dx 等于直线 x=0,x=e,y=0,y=1 所围成的图形的面积, ?0 所以?e 1dx=1×e=e, ?0 e3 e2 2 1 故?e (2x2-x+1)dx=2× 3 - 2 +e=3e3-2e2+e. ?0

n

1.定积分? f(x)dx 是一个和式? ?a i=1

b

b-a n f(ξi)的极限,是一个常数.

2.可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分;对于一些特殊函数,也可以利用几何意义求定积分.

3.定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.

错用定积分的几何意义致误 ? 3π ? 曲线 y=cos x 在?- 2 ,0?上与坐标轴围成的面积为__________________(用定积分表示). ? ? 【易错分析】 【易错分析】 3π 本题易出现直接对 y=cos x 积分,表示为?0- 2 cos xdx 而致误. ? -?bf?x?dx 若 f(x)≥0,则在[a,b]上曲边梯形的面积 S=? f(x)dx;若 f(x)≤0,则在[a,b]上曲边梯形的面积 S= ?a ; ?a
b

若在[a,c]上,f(x)≤0,在[c,b]上,f(x)≥0,则在[a,b]上曲边梯形的面积 S=-?c f(x)dx+?bf(x)dx. ?a ?c 【解析】 设所求面积为 S.

π? ? 3π 因为当 x∈?- 2 ,-2?时,cos x<0; ? ? ? π ? 当 x∈?-2,0?时,cos x>0. ? ? π 3π π 所以 S=-∫-2- 2 cos xdx+?0-2cos xdx. ? 【答案】 π 3π π -∫-2- 2 cos xdx+∫0-2cos xdx

——[类题尝试]————————————————— 由定积分的几何意义可得?3-1(3x+1)dx=__________. ? 【解析】 由直线 x=-1,x=3,y=0 以及 y=3x+1 所围成的图形,如图所示:

3-1(3x+1)dx 表示由直线 x=-1,x=3,y=0 以及 y=3x+1 所围成的图形在 x 轴上方 ? ?

的面积减去在 x 轴下方的面积, ∴?3-1(3x+1)dx ? 1? 1 ? 1 ? 1 ? 50 2 =2×?3+3?×(3×3+1)-2×?-3+1?×2= 3 -3=16. ? ? ? ? 【答案】 16 课时作业(十) 定积分的概念 [学业水平层次] 一、选择题

? 1? 1.(2015· 广州高二检测)关于定积分 m=?2?-3?dx,下列说法正确的是( ?0? ? 1 A.被积函数为 y=-3x 1 B.被积函数为 y=-3 1 C.被积函数为 y=-3x+C 1 D.被积函数为 y=-3x3 【解析】 【答案】 1 被积函数为 y=-3. B

)

2.(2015· 菏泽高二检测)已知定积分?6f(x)dx=8,且 f(x)为偶函数,则?6-6f(x)dx=( ? ?0 A.0 C.12 【解析】 【答案】 B.16 D.8 偶函数图象关于 y 轴对称,故?6-6f(x)dx=2?6f(x)dx=16.故选 B. ? ?
0

)

B )

2 ?x ,x≥0, 3.设 f(x)=? x 则?1-1f(x)dx 的值是( ? ?2 ,x<0,

A.?1-1x2dx ? B.?1-12xdx ? C.?0-1x2dx+?102xdx ? ? D.?0-12xdx+?10x2dx ? ? 【解析】 【答案】 被积函数 f(x)是分段函数,故将积分区间[-1,1]分为两个区间[-1,0]和[0,1],由定积分的性质知选 D. D )

4.下列各阴影部分的面积 S 不可以用 S=?b[f(x)-g(x)]dx 求出的是( ?a

【解析】 定积分 S=?b[f(x)-g(x)]dx 的几何意义是求函数 f(x)与 g(x)之间的阴影部分的面积,必须注意 f(x)的图象要在 g(x)的图 ?a 象上方,对照各选项,知 D 中 f(x)的图象不全在 g(x)的图象上方. 【答案】 二、填空题 5.(2015· 长春高二检测)定积分?3(-3)dx=__________. ?1 【解析】 由定积分的几何意义知,定积分?3(-3)dx 表示由 x=1,x=3 与 y=-3,y=0 所围成图形面积的相反数.所以?3(- ?1 ?1 3)dx=-(2×3)=-6. 【答案】 -6 D

6.定积分?2-1|x|dx=__________. ?

【解析】 【答案】

1 5 如图,?2-1|x|dx=2+2=2. ? 5 2

1 7.曲线 y=x 与直线 y=x,x=2 所围成的图形面积用定积分可表示为________. 【解析】 1 ? 1? 如图所示,阴影部分的面积可表示为?2xdx-?2xdx=?2?x-x?dx. ? ?1 ?1 ?1?

【答案】 三、解答题

1 2?x- ? ?dx ?? ?1? x?

1 15 7 56 8.(2015· 济南高二检测)已知?1x3dx=4,?2x3dx= 4 ,?2x2dx=3,?4x2dx= 3 ,求: ?0 ?1 ?1 ?2 (1)?23x3dx;(2)?46x2dx;(3)?2(3x2-2x3)dx. ?0 ?1 ?1 【解】 (1)?23x3dx=3?2x3dx ?0 ?0
1

1 3 2 3 ? x dx+? x dx? =3? ? ?? ? 0

?1 15? =3?4+ 4 ?=12. ? ?

?7 56? (2)?46x2dx=6?4x2dx=6(?2x2dx+?4x2dx)=6?3+ 3 ?=126. ? ? ?1 ?1 ?1 ?2 7 15 1 (3)?2(3x2-2x3)dx=3?2x2dx-2?2x3dx=3×3-2× 4 =-2. ?1 ?1 ?1 9.利用定积分的几何意义,求?1-1 1-x2dx 的值. ? 【解】 y= 1-x2(-1≤x≤1)表示圆 x2+y2=1 在 x 轴上方的半圆(含圆与 x 轴的交点). 根据定积分的几何意义, 知?1-1 1-x2 ? dx 表示由曲线 y= 1-x2与直线 x=-1,x=1,y=0 所围成的平面图形的面积, 1 所以?1-1 1-x2dx=S 半圆=2π. ? [能力提升层次] 1.(2015· 黄冈高二检测)设曲线 y=x2 与直线 y=x 所围成的封闭区域的面积为 S,则下列等式成立的是( A.S=?1(x2-x)dx ?0 B.S=?1(x-x2)dx ?0 C.S=?1(y2-y)dy ?0 D.S=?1(y- y)dy ?0 )

【解析】 选 B. 【答案】

作出图形如图,由定积分的几何意义知,S=?1(x-x2)dx. ?0

B 1p+2p+3p+?+np (p>0),当 n 趋向于∞时,S 无限趋向于一个常数 A,则 A 可用定积分表示为( np+1 )

2.已知和式 S=

1 A.?1x dx B.?1xpdx ?0 ?0 ?1? C.?1? x?pdx ?0? ? 【解析】
n

?x? D.?1?n?pdx ?0? ? 1??1? ?2? ?3? S=n??n?p +?n?p+?n?p+?+ ?? ? ? ? ? ? ? i ?p 1 ?n? · , ? ? n

?n?p? ?n? ?=? ? ?? i=1

n

∴lim?
n→∞ i=1

? i ?p 1 ?n? · =?1xpdx. ? ? n ?
0

【答案】

B

3.(2015· 深圳高二检测)定积分?2 0152 015 dx=________________. ?2 014 【解析】 由定积分的几何意义知, 定积分表示由直线 x=2 014, x=2 015 与 y=2 014, y=0 所围成矩形的面积, 所以?2 0152 015dx ?2 014 =(2 015-2 014)×2 015=2 015. 【答案】 2 015
3

?x ,x∈[-2,2?, 4.已知函数 f(x)=?2x,[2,π?, ?cos x,[π,2π],
【解】
π ? 2xdx= ?2

求 f(x)在区间[-2,2π]上的积分.

由定积分的几何意义知?2-2x3dx=0, ? ?2π+4??π-2? =π2-4, 2

π ∫2 π cos xdx=0.

由定积分的性质得
2π 2-2x3dx+ π2xdx+ 2πcos xdx=π2-4. ? f(x)dx=? ? ? ? ?2 ?π ?-2

1.6 [学习目标]

微积分基本定理 2.掌握微积分基本定理,会用微积分基

1.了解导数与定积分的关系以及微积分基本定理的含义. (重点、易混点)

本定理求定积分.(重点、难点)

一、微积分基本定理 1.内容:如果 f(x)是区间[a,b]上的__________函数,并且 F′(x)=f(x),那么?bf(x)dx=__________. ?a 这个结论叫做微积分基本定理,又叫做____________________. 2.表示:为了方便,常常把 F(b)-F(a)记成__________,即?bf(x)dx=__________________=__________________. ?a 【答案】 连续 F(b)-F(a) 牛顿—莱布尼茨公式

b F(x)|b a F(x)|a F(b)-F(a)

二、定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上,在 x 轴下方的面积为 S 下,则

(1)当曲边梯形在 x 轴上方时,如图 161①,则?bf(x)dx=__________. ?a (2)当曲边梯形在 x 轴下方时,如图②, 则?bf(x)dx=________. ?a



② 图 161



(3)当曲边梯形在 x 轴上方、x 轴下方均存在时,如图③,则?bf(x)dx=______________.特别地,若 S 上=S 下,则?bf(x)dx=______. ?a ?a 【答案】 (1)S 上 (2)-S 下 (3)S 上-S 下 0

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)微积分基本定理中,被积函数 f(x)是原函数 F(x)的导数.( ) ) )

(2)应用微积分基本定理求定积分的值时,为了计算方便通常取原函数的常数项为 0.( (3)应用微积分基本定理求定积分的值时,被积函数在积分区间上必须是连续函数.( 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ ) B.f(x)=x-2+C D.f(x)=x2-2x

2.若 a=?1(x-2)dx,则被积函数的原函数为( ?0 A.f(x)=x-2 1 C.f(x)=2x2-2x+C 【解析】 【答案】

?1 ? 由微积分基本定理知,f′(x)=x-2,∵?2x2-2x+C?′=x-2,∴选 C. ? ? C ) B.?1(x+1)dx ?0 1 D.?12dx ?0

3.下列值等于 1 的是( A.?1xdx ?0 C.?11dx ?0

【解析】

2 2 2 x2 1 1 3 ?x ? ?x ? ?x ? 1 1 | + x ? ? ? ? ? 选项 A,因为 2 ′=x,所以? xdx= 2 0=2;选项 B,因为 2 ′=x+1,所以? (x+1)dx= 2 +x?| 1 0= ;选项 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0

1 1 1 1 ?1 ? 11 C,因为 x′=1,所以?11dx=x|1 0=1;选项 D,因为?2x?′= ,所以? dx= x|0= . 2 2 2 ? ? ?0 ?02 【答案】 C

4.计算?1x2dx=__________. ?0 【解析】 【答案】 1 1 ?1 ? 由于?3x3?′=x2,所以?1x2dx=3x3|1 0= . 3 ? ? ?
0

1 3

预习完成后,请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中 问题 1 问题 2 问题 3 问题 4

利用微积分基本定理求定积分
1 (1)(2014· 陕西高考)定积分∫0 (2x+ex)dx 的值为(

)

A.e+2 C .e (2)求下列定积分: ①?2(x2+2x+3)dx; ?1 π x ②∫20sin22dx. 【解析】 【答案】

B.e+1 D.e-1

x 2 x 1 2 2 0 (1)∫1 0(2x+e )dx=(x +e )|0=(1 +e)-(0 +e )=1+e-1=e.故选 C.

C

(2)①?2(x2+2x+3)dx ?1 =?2x2dx+?22xdx+?23dx ?1 ?1 ?1 x3 22 2 25 = 3 |2 1+x |1+3x|1= . 3

x 1-cosx ②sin22= 2 , 1 1 ?1 1 ? 而?2x-2sin x?′=2-2cos x, ? ? π x π ?1 1 ? ∴∫20sin22dx=∫20?2-2cos x?dx ? ? ?1 1 ? π π 1 π-2 =?2x-2sin x?| 20=4-2= 4 . ? ?

求简单的定积分应注意两点: (1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则,正确求解被积函数的原函数,当原函数不易求时,可将被积函数适当变形后再求 解; (2)精确定位积分区间,分清积分下限与积分上限.

求分段函数的定积分 计算下列定积分.

? ? (1)f(x)=? π 1,2≤x≤2, ? ?x-1,2<x≤4,
(2)?2|x2-1|dx. ?0 【思路探究】

π sin x,0≤x<2,

求?4f(x)dx. ?0

π? ?π ? ? (1)按 f(x)的分段标准,分成?0,2?,?2,2?,(2,4]三段求定积分,再求和. ? ? ? ?

(2)先去掉绝对值号,化成分段函数,再分段求定积分. 【自主解答】 π (1)?4f(x)dx=∫20sin xdx+? ?0 eq \a\vs4\al(\i\in(+?4(x-1)dx ?2

2 ?π ? 4 1 ? ? ? 2 ? ? =(-cos x)?2 +x?π +?2x -x?? ? ??2 ?0 ?2

π? π ? =1+?2-2?+(4-0)=7-2. ? ? (2)?2|x2-1|dx=?1(1-x2)dx+?2(x2-1)dx ?0 ?0 ?1 ? 1 ?? ?1 ?? =?x-3x3?? +?3x3-x?? =2. ? ??0 ? ??1
1 2

1.本例(2)中被积函数 f(x)含有绝对值号,可先求函数 f(x)的零点,结合积分区间,分段求解. 2.分段函数在区间[a,b]上的定积分可分成 n 段定积分和的形式,分段的标准可按照函数的分段标准进行. 3.带绝对值号的解析式,可先化为分段函数,然后求解.

计算定积分:?3-3(|2x+3|+|3-2x|)dx. ? 【解】 设 f(x)=|2x+3|+|3-2x|,x∈[-3,3], 3 -4x,-3≤x<-2,

? ? 3 3 则 f(x)=?6,-2≤x≤2, ? ?4x, 3 2<x≤3.

所以?3-3(|2x+3|+|3-2x|)dx ? 3 3 3 3 =∫-2-3(-4x)dx+∫2-26 dx+?324x dx ? 3 3 3 3 =-2x2| -2-3+6x| 2-2+2x2| 32 9? ?9 ? ?3 3? ? =-2×?4-9?+6×?2+2?+2×?9-4?=45. ? ? ? ? ? ? 利用定积分求参数 已知 f(x)是一次函数,其图象过点(1,4),且
1 ? f(x)dx=1,求 f(x)的解析式. ?0

【思路探究】 【自主解答】
1 1

设出函数解析式,由题中条件建立两方程,联立求解. 设 f(x)=kx+b(k≠0),因为函数的图象过点(1,4),所以 k+b=4.①
1

k k ?k ?? 又? f(x)dx=? (kx+b)dx=?2x2+bx?? =2+b,所以2+b=1.② ? ??0 ?0 ?0 由①②得 k=6,b=-2,所以 f(x)=6x-2.

1. 含有参数的定积分可以与方程、 函数或不等式综合起来考查, 先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提. 2.计算含有参数的定积分,必须分清积分变量与被积函数 f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数 F(x)等概念.

本例中,若把“已知 f(x)是一次函数”改为“已知 f(x)=ax2+bx(a≠0)”,其余条件不变,求 f(x)的解析式. 【解】 ∵函数的图象过点(1,4),∴a+b=4,①

b ? 1 a b ?a 又?1f(x)dx=?1(ax2+bx)dx=?3x3+2x2?| 0 =3+2, ? ? ?0 ?0 a b ∴3+2=1,② 由①②得 a=6,b=-2.所以 f(x)=6x2-2x.

1.微积分基本定理揭示了导数和定积分的内在联系.为定积分计算提供了一种有效方法. 2.求定积分的一些常用技巧: (1)对被积函数,要先化简,再求积分. (2)求被积函数是分段函数的定积分,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和. (3)对于含有绝对值符号的被积函数,要去掉绝对值符号后才能积分.

函数与方程思想 (12 分)已知 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且 f(-1)=2,f′(0)=0,?1f(x)dx=-2,求 a,b,c 的值. ?0 【思路点拨】 【思路点拨】 根据题设条件,列出方程组,求出 a,b,c. 由 f(-1)=2,得 a-b+c=2.①2 分

因为 f′(x)=2ax+b, 所以 f′(0)=b=0.②4 分 又因为?1f(x)dx=?1(ax2+bx+c)dx ?0 ?0 1 ?1 ? =?3ax3+2bx2+cx?| 1 7分 ? ? 0

1 1 =3a+2b+c,9 分 1 1 所以3a+2b+c=-2.③ 联立①②③,解得 a=6,b=0,c=-4.12 分

(1)求函数 f(x)在某个区间上的定积分,关键是求出函数 f(x)的一个原函数,要正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关 系求解. (2)求参数问题关键是结合题目条件,建立方程(组)解决问题. ——[类题尝试]————————————————— 已知 f(x)是二次函数,其图象过点(1,0),且 f′(0)=2,?1f(x)dx=0,求 f(x)的解析式. ?0 【解】 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), ∴a+b+c=0.① ∵f′(x)=2ax+b, ∴f′(0)=b=2.②
2 1 1 ? f(x)dx=? (ax +bx+c)dx ?0 ?0

1 ?1 ? =?3ax3+2bx2+cx?| 1 ? ? 0 1 1 =3a+2b+c=0.

? ? 由①②③得?b=2, 1 ? ?c=-2,

3 a=-2,

3 1 ∴f(x)=-2x2+2x-2.

课时作业(十一) 微积分基本定理 [学业水平层次] 一、选择题 1 1.?4xdx 等于( ?2 A.-2ln 2 C.-ln 2 【解析】
4 41 ? xdx=ln x|2=ln 4-ln 2=ln 2. ?2

) B.2ln 2 D.ln 2

【答案】

D )

1 2.设 a=?1x3dx,b=?1x2dx,c=?1x3dx,则 a,b,c 的大小关系是( ?0 ?0 ?0 A.a>b>c C.a>c>b B.c>a>b D.c>b>a

【解析】

4 1 1 x3 1 3 x3? 1 x4? 1 ? 1 1 1 2 1 3 ∵a=? x3dx= 4 ? =4;b=? x dx= 3 ? =3,c=? x dx= 4 ? =4,∴a>b>c. ?0 ?0 ?0 ?0 ?0 ?0 3 A )

【答案】

3.(2015· 东莞高二检测)已知积分?1(kx+1)dx=k,则实数 k=( ?0 A.2 C .1 【解析】 ∴k=2. 【答案】 A ) B.4 9 D.2 ?2+x, 因为 f(x)=2-|x|=? ?2-x, ? ?
0-1(2+x)dx+ 2

B.-2 D.-1 ?1 2 ?| 1 1 1 kx +x? 0= k+1=k. ? (kx+1)dx=? 2 ?2 ? ?0

4.已知 f(x)=2-|x|,则?2-1f(x)dx=( ? A.3 7 C.2 【解析】

x≤0, x≥0,

所以

? ?

2-1f(x)dx=

x2? 0 ? x2? 2 3 7 ? | | 0= +2= . 2 x + 2 x - ? ? ? ? (2 - x )d x = + -1 ? 2? 2? 2 2 ? ? ?0

【答案】

C

二、填空题 5.若?k (2x-3x2)dx=0,则 k 等于__________. ?0 【解析】
2 2 3 k 2 3 k ? (2x-3x )dx=(x -x )|0=k -k =0, ?0

∴k=0(舍)或 k=1. 【答案】 1

π π 6.(2015· 长沙高二检测)f(x)=sin x+cos x,则∫2-2f(x)dx=__________.

【解析】

π π π π ∫2-2f(x)dx=∫2-2(sin x+cos x)dx

π π =(-cos x+sin x)| 2-2 π π? ? ? ? π? ? π?? =?-cos2+sin2?-?-cos?-2?+sin?-2?? ? ? ? ? ? ? ?? =1+1=2. 【答案】 2 x>0, x≤0, 若 f(f(1))=1,则 a=__________.

? ?lg x, 7.已知 f(x)=?x+?a3t2dt, ? ? ?0 【解析】

因为 f(1)=lg 1=0,

3 3 3 且?a3t2dt=t3|a 0=a -0 =a , ?0

所以 f(0)=0+a3=1,所以 a=1. 【答案】 三、解答题 8.计算下列定积分: 1 (1)?2 dx; ?1x?x+1? π π (2)∫2-2(cos x+2x)dx. 【解】 1 ? 1 ?1 (1)∵?2 dx=?2?x-x+1?dx ? ?1x?x+1? ?1? 1

4 2 =[ln x-ln(x+1)]|1 =ln 3. π ? 2 ??2 π π ? (2)∫2-2(cos x+2x)dx=?sin x+ln 2? ? ?? π ?-2
x

1 π π =2+ln 2(22-2-2). 19 9.设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),f(1)=4,f′(1)=1,?1f(x)dx= 6 ,求 f(x). ?0 【解】 因为 f(1)=4,所以 a+b+c=4, ①

f′(x)=2ax+b, 因为 f′(1)=1,所以 2a+b=1, ?1 3 1 2 ? 1 ax +2bx +cx?| 1 ? f(x)dx=? 3 ? ? 0 ?0 ②

1 1 19 =3a+2b+c= 6 , 由①②③可得 a=-1,b=3,c=2. 所以 f(x)=-x2+3x+2. [能力提升层次] 1? ? 1.(2015· 石家庄高二检测)若?a?2x-x?dx=3-ln 2,且 a>1,则 a 的值为( ? ?1? A.6 C .3 【解析】 【答案】 B.4 D.2 1 2 2 a?2x- ? ?dx=(x2-ln x)|a 1=a -ln a-1,故有 a -ln a-1=3-ln 2,解得 a=2. ?? x ? ? ?1 D ) )



2.如图 162 所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好取自阴影部分的概率为(

图 162 1 A.4 1 C.6 【解析】 因为 S 正方形=1, 1 B.5 1 D.7

2 1 1 ?2 3 1 ? S 阴影=?1( x-x)dx=?3x2-2x2?| 1 0= - = , 3 2 6 ? ? ?0 1 6 1 所以点 P 恰好取自阴影部分的概率为 = . 1 6 【答案】 C

3.计算:?2-2(2|x|+1)dx=__________. ? 【解析】
2 2 0 (2x+1)dx ? -2(2|x|+1)dx=? ? -2(-2x+1)dx+? ? ? 0

2 2 =(-x2+x)|0 -2+(x +x)|0

=-(-4-2)+(4+2)=12. 【答案】 12
0

4.已知 f(x)=?x-a(12t+4a)dt,F(a)=?1[f(x)+3a2]dx,求函数 F(a)的最小值. ? ?

【解】 因为 f(x)=?x-a(12t+4a)dt=(6t2+4at)|x -a ? =6x2+4ax-(6a2-4a2)=6x2+4ax-2a2, F(a)=?1[f(x)+3a2]dx=?1(6x2+4ax+a2)dx ?0 ?0
2 =(2x3+2ax2+a2x)|1 0=2+2a+a

=a2+2a+2=(a+1)2+1≥1. 所以当 a=-1 时,F(a)的最小值为 1.

1.7 1.7.1 1.7.2

定积分的简单应用 定积分在几何中的应用 定积分在物理中的应用

[学习目标] 1.会用定积分求平面图形的面积.(重点、易混点) 2.会求变速直线运动的路程和变力做功.(重点、难点)

一、定积分与平面图形面积的关系 曲边梯形的面积和其上、下两个边界所表示的函数的关系: (1)如图 171①,阴影部分的面积为 S= -?ag?x?dx ?0 +?af(x)dx=__________________. ?0



② 图 171

(2)如图②,阴影部分的面积为 S=__________________________________. 所以,曲边梯形的面积等于______________________的定积分. 【答案】 (1)?a[f(x)-g(x)]dx (2)?b[f(x)-g(x)]dx+?a[f(x)-c(x)]dx 曲边梯形上、下两个边界所表示函数的差 ?0 ?0 ?b

二、定积分在物理中的应用 1.变速直线运动的路程 做 变 速 直 线 运 动 的 物 体 所 经 过 的 路 程 s , 等 于 其 速 度 函 数 v = v(t)(v(t)≥0) 在 时 间 区 间 [a , b] 上 的 定 积 分 , 即

s= 2.变力做功

.

如果物体在变力 F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着与 F(x)相同的方向从 x=a 移动到 x=b(a<b),那么变力 F(x)所做的功 为 ____________________. 【答案】 1.?bv(t)dt ?a 2.W=?bF(x)dx ?a

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) 3ππ ?π 3π? (1)曲线 y=sin x,x∈?2, 2 ?,与 x 轴围成的图形的面积为∫ 2 2sin xdx.( ? ? (2)曲线 y=x3 与直线 x+y=2,y=0 围成的图形面积为?1x3dx+?2(2-x)dx.( ?0 ?1 (3)曲线 y=3-x2 与直线 y=-1 围成的图形面积为?2-2(4-x2)dx.( ? 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ ) B.?1-1(x3-x)dx ? D.2?0-1(x-x3)dx ? ) ) )

2.曲线 y=x3 与直线 y=x 所围成的图形的面积等于( A.?1-1(x-x3)dx ? C.2?1(x-x3)dx ?0 【解析】

由题意知,由 y=x3 及 y=x 所围成的图形如图所示.

显然 S=2?1(x-x3)dx. ?0

【答案】

C )

3.一物体沿直线以 v=3t+2(t 单位:s,v 单位:m/s)的速度运动,则该物体在 3~6 s 间的运动路程为( A.46 m B.46.5 m

C.87 m 【解析】 ?3 ? s=?6(3t+2)dt=?2t2+2t?| 6 ? ? 3 ?3

D.47 m

?27 ? =(54+12)-? 2 +6?=46.5 (m). ? ? 【答案】 B

4.一物体在力 F(x)=4x-1(单位:N)的作用下,沿着与力 F 相同的方向,从 x=1 处运动到 x=3 处(单位:m),则力 F 所作的 功为________. 【解析】 【答案】 由题意可知,力 F 所作的功 W=?3F(x)dx=?3(4x-1)dx=(2x2-x)|1 =14 J. ?1 ?1 14 J
3

预习完成后,请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中 问题 1 问题 2 问题 3 问题 4

利用定积分求平面图形的面积 (1)求由 y=ex,x=2,y=1 围成的曲边梯形的面积时,若选择 x 为积分变量,则积分区间为( A.[0,e2] C.[1,2] B.[0,2] D.[0,1] ) )

(2)由抛物线 y=x2-x,直线 x=-1 及 x 轴围成的图形的面积为( 5 A.3 5 C.2 B.1 2 D.3

(3)设 a>0,若曲线 y= x与直线 x=a,y=0 所围成封闭图形的面积为 a2,求 a 的值. 【自主解答】 (1)如图,作出三个函数 y=ex,x=2,y=1 的图象,由三者围成的曲边梯形如图阴影部分,若选择 x 为积分变

量,则积分区间应为[0,2].

(2)由图可知,所求面积 S=?0-1(x2-x)dx+?1(x-x2)dx ? ?
0 3 2 2 3 ?x x ?? ?x x ?? =? 3 - 2 ? ? +? 2 - 3 ?? ? ??-1 ? ??0 0 1

5 1 =6+6=1.

【答案】

(1)B

(2)B

2 3 2 3 1 2 4 2 (3)由已知得 S=?a xdx=3x2|a 0= a =a ,所以 a = ,所以 a= . 3 2 2 3 9 ?0

求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 (1)画出图形; (2)确定图形范围,通过解方程组求出交点的坐标,定出积分上、下限;

(3)确定被积函数,特别要注意分清被积函数图象上、下位臵; (4)写出平面图形面积的定积分表达式; (5)运用微积分基本公式计算定积分,求出平面图形的面积.

求变速直线运动的路程、位移 有一动点 P 沿 x 轴运动,在时间 t 时的速度为 v(t)=8t-2t2(速度的正方向与 x 轴正方向一致).求:点 P 从原点 出发,当 t=6 时,点 P 离开原点的路程和位移. 【思路探究】 解不等式v?t?>0或v?t?<0 →

确定积分区间 → 求t=6时的路程以及位移 【自主解答】 由 v(t)=8t-2t2≥0,得 0≤t≤4,

即当 0≤t≤4 时,P 点向 x 轴正方向运动, 当 t>4 时,P 点向 x 轴负方向运动. 故 t=6 时,点 P 离开原点的路程为 s1=?4(8t-2t2)dt-?6(8t-2t2)dt ?0 ?4 2 ?? 2 ?? 128 ? ? =?4t2-3t3?? -?4t2-3t3?? = 3 . ? ??0 ? ??4 当 t=6 时,点 P 的位移为 ? 2 2 3?? 4t -3t ?? =0. ? (8t-2t )dt=? ? ??0 ?0
6 2 6 4 6

1.路程是位移的绝对值之和,因此在求路程时,要先判断速度在区间内是否恒正,若符号不定,应求出使速度恒正或恒负的区 间,然后分别计算,否则会出现计算失误. 2.务必把握位移和路程的区别,切勿因乱套公式,导致错误.

在题设条件中不变的情况下,求 P 从原点出发,经过时间 t 后又返回原点时的 t 值. 【解】 依题意?t (8t-2t2)dt=0, ?0

2 即 4t2-3t3=0, 解得 t=0 或 t=6, t=0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况,t=6 是所求的值.

变力做功问题 如图 172 所示,一物体沿斜面在拉力 F 的作用下由 A 经 B,C 运动到 D,其中 AB=50 m,BC=40 m,CD=30 1 ? ? x+5 0≤x≤90, m,变力 F=?4 ? ?20 90<x≤120,

(单位:N),在 AB 段运动时 F 与运动方向成 30° 角,在 BC 段运动时 F 与运动方向成 45° 角,

在 CD 段运动时 F 与运动方向相同,求物体由 A 运动到 D 所做的功.( 3≈1.732, 2≈1.414,精确到 1 J)

图 172 【思路探究】 先求出在 AB 段、 BC 段上拉力 F 沿运动方向的分力, 再利用变力做功的公式 W=?bF(x)dx 求出各段上功的大小. ?a 【自主解答】 在 AB 段运动时 F 在运动方向上的分力 F1=Fcos 30° ,在 BC 段运动时 F 在运动方向上的分力 F2=Fcos 45° .

由变力做功公式得: 1 ?1 ? ? 90? W=∫50 dx+600 0 ?4x+5?cos 30°dx+? ?4x+5?cos 45° ? ? ? ? ?
50

3?1 2?1 2 ? ? ? x +20x?| 90 = 8 ?2x2+20x?| 50 +600 0 + 8 ?2 ? ? ? 50 1 125 = 4 3+450 2+600≈1 723(J). 所以物体由 A 运动到 D 变力 F 所做的功为 1 723 J.

求变力所做功的步骤: (1)根据物理学的实际意义,求出变力 F(x)的表达式; (2)由功的物理意义知,物体在变力 F(x)的作用下,沿力的方向做直线运动,使物体从 x=a 移到 x=b(a<b),因此,求功之前应 求出位移的起始位臵与终止位臵; (3)根据变力做功公式 W=?bF(x)dx,求出变力 F(x)所做的功. ?a

在弹性限度内,用力把弹簧从平衡位置拉长 10 cm 所用的力是 200 N,求变力 F 做的功. 【解】 设弹簧所受到的拉力与弹簧伸长的函数关系式为 F(x)=kx(k>0),

当 x=10 cm=0.1 m 时,F(x)=200 N, 即 0.1k=200,得 k=2 000,故 F(x)=2 000x, 所以力 F 把弹簧从平衡位臵拉长 10 cm 所做的功是 W=?0.12 000xdx=1 000x2|0.1 0 =10(J). ?0

1.在利用定积分求平面图形的面积时,一般要先画出它的草图,再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限. 2.求变速运动的路程,要先求得速度的正负区间,路程是位移的绝对值之和.若在区间[a,c]上 v(t)≥0,在区间[c,b]上 v(t)<0,
b ? v?t?dt. ? 则路程 s=? v(t)dt-? v(t)dt,位移 s′= a ?a ?c c b

3.由变力做功问题,先求出变力 F(x)的表达式,还要明确位移起始位置和终止位置,然后利用公式 W=?bF(x)dx 求出变力 F(x) ?a 所做的功.在变力做功时,不限定 F(x)为非负数,这样求出来的定积分可能为负数.当定积分为负数时,说明变力做负功,即克服 变力做了功.

忽视位移有正、负而致误 一点在直线上从时刻 t=0(s)开始以速度 v=t2-4t+3(m/s)运动,求: (1)在 t=4 s 时的位置;

(2)在 t=4 s 时运动的路程. 【易错分析】 本题易忽视路程与位移的区别而致误,位移有正,有负.

【易错分析】 求路程时,首先解不等式 v(t)>0,v(t)<0,以确定积分区间;其次用定积分表示路程,当 v(t)<0 时,路程是定积 分的相反数;最后求定积分得出结论. 【解】
4 2

(1)在 t=4 s 时该点的位移为
4

4 ?1 3 ?? 2 t - 2 t + 3 t ? ? = ? (t -4t+3)dt=? 3(m). ?3 ??0 ?0 4 即在 t=4 s 时该点距出发点3 m. (2)∵v(t)=t2-4t+3=(t-1)(t-3), ∴在区间[0,1]及[3,4]上的 v(t)≥0, 在区间


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