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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)阶段性测试题12(综合素质能力测试)



阶段性测试题十二(综合素质能力测试)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.(2015· 湖南长沙长郡中学月考)全集 U={1,2,3,4,5,6},M=

{2,3,4},N={4,5},则綂 U(M ∪N)等于( ) B.{1,5} D.{2,4,6}

A.{1,3,5} C.{1,6} [答案] C [解析] ∵M∪N={2,3,4,5}, ∴綂 U(M∪N)={1,6},故选 C.

2.(2015· 广州执信中学期中)下列说法正确的是(

)

A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为“若 x2=1,则 x≠1”
2 B.命题“?x≥0,x2+x-1<0”的否定是“?x0<0,x0 +x0-1<0”

C.命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为假命题 D.若“p∨q”为真命题,则 p,q 中至少有一个为真命题 [答案] D [解析] “若 x2=1,则 x=1”的否命题为“若 x2≠1,则 x≠1”,故 A 错;否命题既否 定条件, 又否定结论; 而命题的否定只否定命题的结论. “?x≥0, x2+x-1<0”的否定是“? x0≥0,使 x2 0+x0-1≥0”,故 B 错;命题“若 A,则 B”的逆否命题是“若綈 B,则綈 A”, 因此“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为“若 sinx≠siny,则 x≠y”,这是一个真命题; “p∨q”为真命题时,p 与 q 中至少有一个为真命题,故选 D. 3.(文)(2014· 康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)已知数列{an}满足 a1 =1,an=an-1+2n(n≥2),则 a7=( A.53 C.55 [答案] C [解析] ∵a1=1,an=an-1+2n,∴a7=(a7-a6)+(a6-a5)+(a5-a4)+?+(a2-a1)+a1= 2×7+2×6+?+2×2+1=55. (理)(2015· 山西大学附中月考)数列{an}满足 a1=1,且对于任意的 n∈N*都有 an+1=a1+an 1 1 1 +n,则 + +?+ 等于( a1 a2 a2013 ) ) B.54 D.109

-1-

2012 A. 2013 4024 C. 2014 [答案] B [解析] 由条件得,an+1-an=1+n,

4026 B. 2014 2013 D. 2014

∴a2-a1=1+1=2,a3-a2=1+2=3,a4-a3=1+3=4,?,an-an-1=1+(n-1)=n, n?n+1? ∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+?+(an-an-1)=1+2+3+?+n= , 2 1 2 1 1 ∴ = =2( - ), an n?n+1? n n+1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4026 ∴ + +?+ =2(1- )+2( - )+?+2( - )=2(1- )= ,故选 a1 a2 a2013 2 2 3 2013 2014 2014 2014 B. 4.(文)(2014· 湖南长沙实验中学、沙城一中联考)如图,直三棱柱的侧棱长和底面边长均 为 2,正视图和俯视图如图所示,则其侧视图的面积为( )

A.2 3 C .4 [答案] A

B. 3 D.2

[解析] 由正视图和俯视图可知,其侧视图矩形的长和宽分别为 3和 2,∴其面积为 S= 2 3. (理)(2015· 四川巴中市诊断)某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图 不可能是( )

[答案] D [解析] 当几何体上、下两部分都是圆柱时,俯视图为 A;当上部为正四棱柱,下部为圆 柱时,俯视图为 B;当几何体的上部为直三棱柱,其底面为直角三角形,下部为正四棱柱时, 俯视图为 C;无论何种情形,俯视图不可能为 D. 5.(文)(2015· 长春市十一高中阶段考试)设 a=(1,2),b=(2,k),若(2a+b)⊥a,则实数 k

-2-

的值为( A.-2 C.-6

) B.-4 D.-8

[答案] C [解析] 2a+b=2×(1,2)+(2,k)=(4,4+k). ∵(2a+b)⊥a,∴(2a+b)· a=(4,4+k)· (1,2)=4+2×(4+k)=0,∴k=-6. C (理)(2015· 河南八校第一次联考)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,sin 2 = 6 → → → → ,a=b=3,点 P 是边 AB 上的一个三等分点,则CP· CB+CP· CA=( 3 A.0 C .9 [答案] B C 6 C 6 1 [解析] ∵sin = ,∴cosC=1-2sin2 =1-2×( )2=- , 2 3 2 3 3 1 ∴c2=a2+b2-2abcosC=9+9-2×9×(- )=24, 3 ∴c=2 6, B.6 D.12 )

设 AB 的中点为 M,则 CM= CB2-BM2= 32-? 6?2= 3. → → → → → → → ∴CP· CB+CP· CA=CP· (CB+CA) → → → → =(CM+MP)· 2CM=2|CM|2=6. 6.(2014· 绵阳市南山中学检测)在矩形 ABCD 中,AB=2,AD=3,如果向该矩形内随机 投一点 P,那么使得△ABP 与△ADP 的面积都不小于 1 的概率为( 4 A. 9 1 C. 2 [答案] A [解析] 在矩形内取一点 Q,由点 Q 分别向 AD、AB 作垂线,垂足依次为 E、F,由 S△ABQ 2 =S△ADQ=1 知,QF=1,QE= , 3 1 B. 3 2 D. 5 )

-3-

设直线 EQ、FQ 分别交 BC、CD 于 M、N,则当点 P 落在矩形 QMCN 内时,满足要求,

S矩形QMCN ∴所求概率 P= = S矩形ABCD

2 ?3-1?×?2- ? 3 4 = . 9 3×2 )

7.(文)(2015· 江西赣州博雅文化学校月考)运行如图的程序框图,则输出 s 的结果是(

1 A. 6 3 C. 4 [答案] B

25 B. 24 11 D. 12

1 1 [解析] 程序运行过程为: 开始→s=0, n=2, n<10 成立→s=0+ = , n=2+2=4, n<10 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 成立→s= + ,n=4+2=6,n<10 成立→s= + + ,n=6+2=8,n<10 成立→s= + + 2 4 2 4 6 2 4 6 1 1 1 1 1 25 + ,n=8+2=10,n<10 不成立,输出 s 的值后结束,∴s= + + + = . 8 2 4 6 8 24 (理)(2014· 河南淇县一中模拟)下图是一个算法框图,则输出的 k 的值是( )

-4-

A.3 C .5 [答案] C

B.4 D.6

[解析] 解法 1:k=1 时,k2-5k+4=0,不满足条件;k=2 时,k2-5k+4=-2 不满足 条件;k=3 时,k2-5k+4=-2 不满足条件;k=4 时,k2-5k+4=0 不满足条件;k=5 时, k2-5k+4=0>0 满足条件,此时输出 k 的值为 5. 解法 2: 由 k2-5k+4>0 得 k<1 或 k>4, ∵初值 k=1, 由“k=k+1”知步长为 1, ∴k∈N, ∴满足 k2-5k+4>0 的最小 k 值为 5,故当 k=5 时,满足程序条件,输出 k 的值. 8. (2015· 开封市二十二校联考)抛物线 y2=4x 的焦点为 F, 点 P(x, y)为该抛物线上的动点, |PF| 又点 A(-1,0),则 的取值范围是( |PA| A.[ C .[ 2 ,1] 2 2 , 2] 2 ) 1 B.[ ,1] 2 D.[1,2]

[答案] A [解析] 过 P 作抛物线准线的垂线,垂足为 B,则|PF|=|PB|, ∵抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),点 A(-1,0), ∴ |PF| =sin∠BAP, |PA|

设过 A 的抛物线的切线方程为 y=k(x+1),代入抛物线方程可得 k2x2+(2k2-4)x+k2=0, ∴Δ=(2k2-4)2-4k4=0, ∴k=± 1, sin∠BAP∈[ 2 ,1]. 2

9.(2015· 江西省南昌二中月考)在△ABC 中,∠BAC=120° ,AB=2,AC=1,D 是边 BC → → 上一点(包括端点),则AD· BC的取值范围是( A.[1,2] C.[0,2] [答案] D → → → [解析] ∵D 是边 BC 上的一点(包括端点),∴可设AD=λAB+(1-λ)AC(0≤λ≤1). ) B.[0,1] D.[-5,2]

→ → ∵∠BAC=120° ,AB=2,AC=1,∴AB· AC=2×1×cos120° =-1.
-5-

→ → → → → → ∴AD· BC=[λAB+(1-λ)AC]· (AC-AB) → → → → =(2λ-1)AB· AC-λAB2+(1-λ)AC2 =-(2λ-1)-4λ+1-λ=-7λ+2, ∵0≤λ≤1, ∴(-7λ+2)∈[-5,2], → → ∴AD· BC的取值范围是[-5,2].故选 D. 10.(文)(2015· 湖北四校联考)以下四图,都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象, 其中一定不正确的序号是( )

A.③④ C.②③ [答案] A

B.①② D.②④

[解析] ①该三次函数的导函数的图象为开口向下的抛物线,该抛物线在 x 轴下方的区间 对应原函数的递减区间, 该抛物线在 x 轴上方的区间对应原函数的递增区间, 符合要求, 正确; ②同理分析可知②正确;③从其导函数图象来看,原函数在(-∞,0)上单调递增,在(0,a) 上单调递减(a 为图中虚线处的横坐标),图与题意不符,故③错误;④同理分析可知④错误; 故选 A. 1 (理)(2015· 山东莱芜期中)在下面四个图中,有一个是函数 f(x)= x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈ 3 R,a≠0)的导函数 f ′(x)的图象,则 f(-1)等于( )

1 A. 3

1 B.- 3

-6-

7 C. 3 [答案] B

1 5 D.- 或 3 3

[解析] f ′(x)=x2+2ax+a2-1,其图象开口向上,故图形不是(2),(3);由于 a≠0,故 图形不是(1),∴f ′(x)的图象为(4),∴f ′(0)=0,∴a=1 或-1,由图知 a≠1,∴a=-1, 1 1 ∴f(x)= x3-x2+1,∴f(-1)=- ,故选 B. 3 3 11.(2015· 福建清流一中期中)下列命题中,真命题是( )

π π kπ 3π kπ A.函数 f(x)=tan( -2x)的单调递增区间为(- + , + ),k∈Z 4 8 2 8 2 B.命题“?x∈R,x2-2x>3”的否定是“?x∈R,x2-2x<3” C.已知 z1,z2∈C,若 z1,z2 为共轭复数,则 z1+z2 为实数 π π D.x= 是函数 f(x)=sin(x- )的图象的一条对称轴 4 4 [答案] C [解析] π π f(x)=tan( -2x)=-tan(2x- )在其每一个单调区间内都是减函数,故 A 为假命 4 4

题;全称命题的否定为存在性命题,“>”的否定为“≤”,故 B 为假命题;设 z1=a+bi(a,b π ∈R),则 z2=a-bi,∴z1+z2=2a∈R,故 C 为真命题;f(x)=sin(x- )的图象的对称轴方程为 4 π π 3π x- =kπ+ ,即 x=kπ+ (k∈Z),∴D 为假命题. 4 2 4 x≤0, ? ?y≥0, 12. (2015· 湖北教学合作联考)已知由不等式组? y-kx≤2, ? ?y-x-4≤0.

确定的平面区域 Ω 的面积

→ → 为 7,定点 M 的坐标为(1,-2),若 N∈Ω,O 为坐标原点,则OM· ON的最小值是( A.-8 C.-6 [答案] B x≤0, ? ? [解析] 依题意,画出不等式组?y≥0, ? ?y-x-4≤0. B.-7 D.-4

)

所表示的平面区域(如图所示)

-7-

可知其围成的区域是等腰直角三角形,面积为 8,由直线 y=kx+2 恒过点 B(0,2),且原点 的坐标恒满足 y-kx≤2, 当 k=0 时,y≤2,此时平面区域 Ω 的面积为 6,由于 6<7,由此可得 k<0.
?y-kx=2, ? 4k-2 2 1 2 由? 可得 D( , ),依题意应有 ×2×| |=1,因此 k=-1(k=3 2 k-1 k-1 k-1 ?y-x-4=0, ?

舍去), 1 1 1 → → 故有 D(-1,3),设 N(x,y),故由 z=OM· ON=x-2y,可化为 y= x- z,∵ <1,∴当直 2 2 2 1 1 1 线 y= x- z 过点 D 时,截距- z 最大,即 z 取得最小值-7,故选 B. 2 2 2 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上.) π 3 π 13.(2014· 抚顺二中期中)已知 α∈( ,π),sinα= ,则 tan(α- )=________. 2 5 4 [答案] -7 π 3 4 [解析] ∵α∈( ,π),sinα= ,∴cosα=- , 2 5 5 3 π ∴tanα=- ,∴tan(α- )= 4 4 π 3 tanα-tan - -1 4 4 = =-7. π 3 1+tanα· tan 1+?- ?×1 4 4

14.(2015· 江西南昌二中月考)若{an}是正项递增等比数列,Tn 表示其前 n 项之积,且 T10 =T20,则当 Tn 取最小值时,n 的值为________. [答案] 15 [解析] 根据 T10=T20 得,a11· a12· a13· ?· a20=1, ∵a11· a20=a12· a19=?=a15· a16=1,a15<a16,所以 a15<1,a16>1,所以 T15 最小,所以 n 的 值为 15. 15.(文)(2014· 吉林市摸底)边长是 2 2的正△ABC 内接于体积是 4 3π 的球 O,则球面上 的点到平面 ABC 的最大距离为________. [答案] 4 3 3

-8-

4π [解析] 因为球 O 的体积为 4 3π,即 r3=4 3π,所以 r= 3,设正△ABC 的中心为 D, 3 2 6 连接 OD,AD,OA,则 OD⊥平面 ABC,且 OA= 3,AD= , 3 所以 OD= 2 62 3 ? 3?2-? ?= , 3 3 3 4 3 +r= . 3 3

所以球面上的点到平面 ABC 的最大距离为

(理)(2015· 豫南九校联考)若(x+a)6 的展开式中 x3 的系数为 160, 则?axadx 的值为________.

?1

[答案]

7 3

1 32 7 3 a a 2 2 [解析] 由条件知 C3 6a =160,∴a=2,∴? x dx=? x dx= x |1= . 3 3 ? ?
1 1

16.(文)给出下列命题 (1)对于命题 p:?x∈R,使得 x2+x+1<0,则綈 p:?x∈R,均有 x2+x+1>0; (2)m=3 是直线(m+3)x+my-2=0 与直线 mx-6y+5=0 互相垂直的充要条件; ^ (3)已知回归直线的斜率的估计值为 1.23,样本点的中心为 (4,5),则回归直线方程为 y = 1.23x+0.08; (4) 若函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x+4)=f(x),则 f(2016)=0. 其中真命题的序号是________.(把所有真命题的序号都填上) [答案] (3)(4) [解析] (1)“<”的否定应为“≥”,∴(1)错误;(2)两直线互相垂直时,m(m+3)-6m=0, ∴m=0 或 m=3,因此 m=3 是此二直线垂直的充分不必要条件,故(2)错误;由回归直线过样 本点的中心知(3)为真命题;(4)∵f(x+4)=f(x),∴f(x)是周期为 4 的周期函数,∵f(x)为奇函数, ∴f(-x)=-f(x),∴f(2016)=f(4×504)=f(0)=0,∴(4)为真命题. (理)(2015· 长春外国语学校期中)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,4),若 P(ξ>4)=a,则 P(-2≤ξ≤4)=________. [答案] 1-2a [解析] ∵ξ~N(1,4),∴μ=1, 若 P(ξ>4)=a,则 P(-2≤ξ≤4)=1-2a. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分)(2014· 西安市长安中学期中)已知平面向量 a=(cosφ, sinφ), b=(cosx, π sinx),c=(sinφ,-cosφ),其中 0<φ<π,且函数 f(x)=(a· b)cosx+(b· c)sinx 的图象过点( ,1). 6 (1)求 φ 的值;

-9-

(2)将函数 y=f(x)图象上各点的横坐标变为原来的的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x) π 的图象,求函数 y=g(x)在[0, ]上的最大值和最小值. 2 [解析] (1)∵a· b=cosφcosx+sinφsinx=cos(φ-x), b· c=cosxsinφ-sinxcosφ=sin(φ-x), ∴f(x)=(a· b)cosx+(b· c)sinx =cos(φ-x)cosx+sin(φ-x)sinx =cos(φ-x-x)=cos(2x-φ), 即 f(x)=cos(2x-φ), π π ∴f( )=cos( -φ)=1, 6 3 π 而 0<φ<π,∴φ= . 3 π (2)由(1)得,f(x)=cos(2x- ), 3 1 π 于是 g(x)=cos[2( x)- ], 2 3 π 即 g(x)=cos(x- ). 3 π π π π 当 x∈[0, ]时,- ≤x- ≤ , 2 3 3 6 1 π 所以 ≤cos(x- )≤1, 2 3 1 即当 x=0 时,g(x)取得最小值 , 2 π 当 x= 时,g(x)取得最大值 1. 3 18.(本小题满分 12 分)(文)(2014· 韶关市曲江一中月考)等差数列{an}中,a3=3,前 7 项和 S7=28. (1)求数列{an}的公差 d; (2)等比数列{bn}中,b1=a2,b2=a4,求数列{bn}的前 n 项和 Tn(n∈N*). ?a1+a7?×7 [解析] (1)S7= =7a4=28, 2 ∴a4=4, 又∵a3=3,∴d=a4-a3=1. (2)由(1)知数列{an}是以 1 为首项,1 为公差的等差数列, ∴an=1+(n-1)=n, ∴b1=2,b2=4,

- 10 -

b2 ∴数列{bn}的公比 q= =2, b1 b1?1-qn? 2?1-2n? n+1 ∴Tn= = =2 -2. 1-q 1-2 (理)(2014· 开滦二中期中)已知数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn,(c 是不为 0 的常数,n∈ N*),且 a1,a2,a3 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; an-c (2)若 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. n· cn [解析] (1)由已知 a2=2+c,a3=2+3c, 则(2+c)2=2(2+3c),∴c=2,∴an+1=an+2n, n≥2 时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+?+(an-an-1) =2+2×1+2×2+?+2×(n-1)=n2-n+2, n=1 时,a1=2 也适合上式,因此 an=n2-n+2. an-2 n-1 n-2 n-1 0 1 2 (2)bn= , n = n ,则 Tn=b1+b2+?+bn= + 2+ 3+?+ n-1 + n· 2 2 2 2 2 2n 2 n-2 n-1 n+1 1 0 1 2 T = + + +?+ n + n+1 ,用错位相减法可求得 Tn=1- n . 2 n 22 23 24 2 2 2 19.(本小题满分 12 分)(文)(2014· 泗阳县模拟)直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC=BB1 =1,AB1= 3.

(1)求证:平面 AB1C⊥平面 B1CB; (2)求三棱锥 A1-AB1C 的体积. [解析] (1)直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BB1⊥底面 ABC,∴BB1⊥AB,BB1⊥AC, 又由于 AC=BC=BB1=1,AB1= 3,∴AB= 2, 则由 AC2+BC2=AB2 可知,AC⊥BC, ∴AC⊥平面 B1CB, ∴平面 AB1C⊥平面 B1CB. (2)∵BC⊥AC,BC⊥CC1,∴BC⊥平面 ACC1A1, ∴B 到平面 ACC1A1 的距离 d=1, ∵BB1∥平面 ACC1A1,∴B1 到平面 A1AC 的距离为 1,
- 11 -

1 1 1 ∴三棱锥 A1-AB1C 的体积 VA1-AB1C=VB1-A1AC= ×( ×1×1)×1= . 3 2 6 (理)(2014· 天津河北区三模)如图,四边形 ABCD 是正方形,PD⊥平面 ABCD,EA∥PD, AD=PD=2EA=2,F,G,H 分别为 PB,EB,PC 的中点.

(1)求证:FH∥平面 PED; (2)求平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小; (3)在线段 PC 上是否存在一点 M,使直线 FM 与直线 PA 所成的角为 60° ?若存在,求出 线段 PM 的长;若不存在,请说明理由. [解析] (1)证明:因为 F,H 分别为 PB,PC 的中点, 所以 FH∥BC, 又 BC∥AD, 所以 FH∥AD. 又 FH?平面 PED,AD?平面 PED, 所以 FH∥平面 PED. (2)因为 EA⊥平面 ABCD,EA∥PD, 所以 PD⊥平面 ABCD, 所以 PD⊥AD,PD⊥CD. 又因为四边形 ABCD 是正方形, 所以 AD⊥CD. 如图,建立空间直角坐标系,因为 AD=PD=2EA=2,

- 12 -

所以 D(0,0,0),P(0,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),E(2,0,1). 因为 F,G,H 分别为 PB、EB,PC 的中点, 1 所以 F(1,1,1),G(2,1, ),H(0,1,1). 2 1 1 → → 所以GF=(-1,0, ),GH=(-2,0, ). 2 2 设 n1=(x1,y1,z1)为平面 FGH 的一个法向量, → ? ?-x1+2z1=0 GF=0 ?n1· 则? 即? 1 → ? GH=0 ?n1· ?-2x1+2z1=0 1



→ → 再令 y1=1,得 n1=(0,1,0),PB=(2,2,-2),PC=(0,2,-2), 设 n2=(x2,y2,z2)为平面 PBC 的一个法向量, → ? ?2x2+2y2-2z2=0 PB=0 ?n2· ? 则? ,即? , ?2y2-2z2=0 → ? ? PC=0 ?n2· 令 z2=1,得 n2=(0,1,1). 所以|cos〈n1,n2〉|= |n1· n2 | 2 = . |n1|· |n2| 2

π 所以平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为 . 4 → (3)假设在线段 PC 上存在一点 M,使直线 FM 与直线 PA 所成角为 60° ,依题意可设PM= → λPC,其中 0≤λ≤1. → → 由PC=(0,2,-2),则PM=(0,2λ,-2λ). → → → → 又因为FM=FP+PM,FP=(-1,-1,1), → 所以FM=(-1,2λ-1,1-2λ).

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→ 因为直线 FM 与直线 PA 所成角为 60° ,PA=(2,0,-2), 1 → → 所以|cos〈FM,PA〉|= , 2 |-2-2+4λ| 1 5 即 = ,解得 λ= . 2 2 2· 1+2?2λ-1?2 8 5 5 → → 5 2 所以PM=(0, ,- ),|PM|= . 4 4 4 所以在线段 PC 上存在一点 M,使直线 FM 与直线 PA 所成角为 60° ,此时 PM= 5 2 . 4

20. (本小题满分 12 分)(文)(2015· 山西大同市调研)某网络营销部门随机抽查了某市 200 名 网友在 2013 年 11 月 11 日的网购金额,所得数据如下表: 网购金额(单位:千元) (0,1] (1,2] (2,3] (3,4] (4,5] (5,6] 合计 人数 16 24 x y 16 14 200 频率 0.08 0.12 p q 0.08 0.07 1.00

已知网购金额不超过 3 千元与超过 3 千元的人数比恰为 (1)试确定 x,y,p,q 的值,并补全频率分布直方图(如图).

(2)该营销部门为了了解该市网友的购物体验,从这 200 网友中,用分层抽样的方法从网 购金额在(1,2]和(4,5]的两个群体中确定 5 人进行问卷调查, 若需从这 5 人中随机选取 2 人继续 访谈,则此 2 人来自不同群体的概率是多少? [解析] (1)根据题意有: 16+24+x+y+16+14=200, ? ? ? ?x=80, 解得? ?16+24+x 3 ?y=50. = , ? ? ?y+16+14 2

- 14 -

∴p=0.4,q=0.25. 补全频率分布直方图如图,

24 (2)根据题意,网购金额在(1,2]内的人数为 ×5=3(人),记为 a,b,c. 24+16 网购金额在(4,5]内的人数为 16 ×5=2(人),记为 A,B. 24+16

则从这 5 人中随机选取 2 人的选法为:(a,b),(a,c),(a,A),(a,B),(b,c),(b,A), (b,B),(c,A),(c,B),(A,B)共 10 种. 记 2 人来自不同群体的事件为 M,则 M 中含有(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(c,A), (c,B)共 6 种. 6 3 ∴P(M)= = . 10 5 (理)(2015· 赤峰市统考)某超市为了响应环保要求,鼓励顾客自带购物袋到超市购物,采取 了如下措施:对不使用超市塑料购物袋的顾客,超市给予 0.96 折优惠;对需要超市塑料购物 袋的顾客,既要付购买费,也不享受折扣优惠.假设该超市在某个时段内购物的人数为 36 人, 其中有 12 位顾客自己带了购物袋,现从这 36 人中随机抽取 2 人. (1)求这 2 人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率; (2)设这 2 人中享受折扣优惠的人数为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望. [解析] (1)设“两人都享受折扣优惠”为事件 A,“两人都不享受折扣优惠”为事件 B, C2 11 C2 46 12 24 则 P(A)= 2 = ,P(B)= 2 = . C36 105 C36 105 因为事件 A,B 互斥, 所以 P(A+B)=P(A)+P(B)= 11 46 57 + = . 105 105 105

57 故这 2 人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是 . 105 (2)据题意,ξ 的可能取值为 0,1,2.
1 46 C1 48 11 12C24 其中 P(ξ=0)=P(B)= ,P(ξ=1)= 2 = ,P(ξ=2)=P(A)= . 105 C36 105 105

所以 ξ 的分布列是:
- 15 -

ξ P

0 46 105

1 48 105

2 11 105

46 48 11 70 2 所以 E(ξ)=0× +1× +2× = = . 105 105 105 105 3 21.(本小题满分 12 分)(文)(2014· 屯溪一中期中)设 f(x)=x3+ax2+bx+1 的导数 f ′(x)满 足 f ′(1)=2a,f ′(2)=-b,其中常数 a、b∈R. (1)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)设 g(x)=f ′(x)e x,求函数 g(x)的极值.


[解析] ∵f(x)=x3+ax2+bx+1, ∴f ′(x)=3x2+2ax+b, ∵f ′(1)=2a,∴3+2a+b=2a, ∵f ′(2)=-b,∴12+4a+b=-b, 3 ∴a=- ,b=-3, 2 3 ∴f(x)=x3- x2-3x+1,f ′(x)=3x2-3x-3, 2 5 ∴f(1)=- ,f ′(1)=-3, 2 5 ∴切线方程为 y-(- )=-3(x-1), 2 即 6x+2y-1=0. (2)∵g(x)=(3x2-3x-3)e x,∴g′(x)=(6x-3)e x+(3x2-3x-3)· (-e x),
- - -

∴g′(x)=-3x(x-3)e x,


∴当 0<x<3 时,g′(x)>0,当 x>3 时,g′(x)<0,当 x<0 时,g′(x)<0, ∴g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,3)上单调递增,在(3,+∞)上单调递减, 所以 g(x)极小=g(0)=-3,g(x)极大=g(3)=15e 3.


(理)(2015· 福建清流一中期中)设函数 f(x)=ln(1+x),g(x)=xf ′(x),x≥0,其中 f ′(x)是 f(x)的导函数. (1)令 g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,猜想 gn(x)的表达式; (2)若 f(x)≥ag(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)设 n∈N+,比较 g(1)+g(2)+?+g(n)与 n-f(n)的大小,并加以证明. x [解析] 由题设得,g(x)= (x≥0). 1+x (1)由已知,g1(x)= x , 1+x

- 16 -

x 1+x x g2(x)=g(g1(x))= = , x 1+2x 1+ 1+x g3(x)= x x ,?,猜想 gn(x)= . 1+3x 1+nx ax 恒成立. 1+x

(2)已知 f(x)≥ag(x)恒成立,即 ln(1+x)≥ ax 设 φ(x)=ln(1+x)- (x≥0), 1+x x+1-a 1 a 则 φ′(x)= - = , 1+x ?1+x?2 ?1+x?2

当 a≤1 时,φ′(x)≥0(仅当 x=0,a=1 时等号成立), ∴φ(x)在[0,+∞)上单调递增,又 φ(0)=0, ∴φ(x)≥0 在[0,+∞)上恒成立, ax ∴a≤1 时,ln(1+x)≥ 恒成立(仅当 x=0 时等号成立). 1+x 当 a>1 时,对 x∈(0,a-1]有 φ′(x)<0, ∴φ(x)在(0,a-1]上单调递减, ∴φ(a-1)<φ(0)=0. 即 a>1 时,存在 x>0,使 φ(x)<0, 故知 ln(1+x)≥ ax 不恒成立. 1+x

综上可知,a 的取值范围是(-∞,1]. 1 2 n (3)由题设知 g(1)+g(2)+?+g(n)= + +?+ , 2 3 n+1 比较结果为 g(1)+g(2)+?+g(n)>n-ln(n+1). 证明如下: 1 1 1 方法一:上述不等式等价于 + +?+ <ln(n+1), 2 3 n+1 在(2)中取 a=1,可得 ln(1+x)> x ,x>0. 1+x

n+1 1 1 令 x= ,n∈N+,则 <ln . n n n+1 下面用数学归纳法证明. 1 ①当 n=1 时, <ln2,结论成立. 2 1 1 1 ②假设当 n=k 时结论成立,即 + +?+ <ln(k+1). 2 3 k+1

- 17 -

那么,当 n=k+1 时, k+2 1 1 1 1 1 + +?+ + <ln(k+1)+ <ln(k+1)+ln =ln(k+2), 2 3 k+1 k+2 k+2 k+1 即结论成立. 由①②可知,结论对 n∈N+成立. 1 1 1 方法二:上述不等式等价于 + +?+ <ln(n+1), 2 3 n+1 在(2)中取 a=1,可得 ln(1+x)> x ,x>0. 1+x

n+1 1 1 令 x= ,n∈N+,则 ln > . n n n+1 1 故有 ln2-ln1> , 2 1 ln3-ln2> , 3 ?? 1 ln(n+1)-lnn> , n+1 1 1 1 上述各式相加可得 ln(n+1)> + +?+ , 2 3 n+1 结论得证. 方法三:如图,?n x x 1 dx 是由曲线 y= ,x=n 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积,而 2 x+1 ?0x+1

2 n + +?+ 是图中所示各矩形的面积和, 3 n+1

1 2 n x 1 ∴ + +?+ > n dx=?n(1- )dx=n-ln(n+1), 2 3 n+1 ? x + 1 x + 1 ? ?
0 0

结论得证. x2 y2 22.(本小题满分 14 分)(文)(2015· 长春市十一高中段测)已知椭圆: 2+ 2=1(a>b>0)上任 a b 意一点到两焦点 F1,F2 距离之和为 2 3,离心率为 PF2 的垂线 l,设 l 交椭圆于 Q 点. (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)证明:直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值. 3 ,动点 P 在直线 x=3 上,过 F2 作直线 3

- 18 -

[解析]

2a=2 3, ? ? c 3 (1)由条件得:?e= = , a 3 ? ?a =b +c .
2 2 2

解得:a= 3,c=1,b= 2,

x2 y2 所以椭圆 E 的方程为: + =1. 3 2

(2)设 P(3,y0),Q(x1,y1), → → ∵PF2⊥F2Q,∴PF2· F2Q=0, ∴2(x1-1)+y0y1=0,
2 x1 又∵y2 = 2(1 - ), 1 3

x2 2 1 2?1- ?+2?x1-1? ?3x1-x2 2 1? 3 3 y1 y1-y0 y1-y1y0 2 ∴kPQkOQ= · = 2 = = 2 =- . 2 x1 x1-3 x1 3 -3x1 x1 -3x1 x1-3x1 x2 y2 3 (理)(2014· 江西白鹭洲中学期中)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 2 3,离心率为 . a b 2 (1)求椭圆方程; (2)设过椭圆顶点 B(0, b), 斜率为 k 的直线交椭圆于另一点 D, 交 x 轴于点 E, 且|BD|, |BE|, |DE|成等比数列,求 k2 的值.

c 3 [解析] (1)由已知 2c=2 3, = . a 2 解得 a=2,c= 3, ∴b2=a2-c2=1, x2 ∴椭圆的方程为 +y2=1. 4 (2)由(1)得过 B 点的直线方程为 y=kx+1, x ? ? 4 +y2=1, 由? 消去 y 得(4k2+1)x2+8kx=0, ?y=kx+1, ?
2

- 19 -

1-4k2 8k ∴xD=- , 2,yD= 1+4k 1+4k2 1 依题意 k≠0,k≠± . 2 ∵|BD|,|BE|,|DE|成等比数列,∴|BE|2=|BD||DE|, ∴ b |BE| |BD| b-yD = = = , b -yD |DE| |BE|

1- 5 2 ∵b=1,∴yD -yD-1=0,解得 yD= , 2 1-4k2 1- 5 2+ 5 ∴ = ,解得 k2= , 2 4 1+4k2 2+ 5 ∴当|BD|,|BE|,|DE|成等比数列时,k2= . 4

- 20 -



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