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《勾股定理的逆定理(1)》教学设计


17.2 勾股定理的逆定理 第 1 课时
教学目标 一、知识与技能 1.掌握直角三角形的判别条件. 2.熟记一些勾股数. 3.掌握勾股定理的逆定理的探究方法. 二、过程与方法 1.用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形,培养学生数形结合 的思想. 2.通过对 Rt△判别条件的研究,培养学生大胆猜想,勇于探索的创新精神. 三、情感态度与价值观 1.通过介绍有关历史资料,激发学生解决问题的愿望. 2.通过对勾股定理逆定理的探究;培养学生学习数学的兴趣和创新精神. 教学重点 探究勾股定理的逆定理,理解互逆命题,原命题、逆命题的有关概念及关系. 教学难点 归纳、猜想出命题 2 的结论. 教具准备 教学过程 一、创设问题情境,引入新课 活动 1 (1)总结直角三角形有哪些性质. (2)一个三角形, 满足什么条件是直 角三角形? 设计意图:通过对前面所学知识的归纳总结,联想到用三边的关系是否可以判断 一个三角形为直角三角形,提高学生发现反思问题的能力. 师生行为:学生分组讨论,交流总结;教师引导学生回忆. 本活动,教师应重点关注学生: ①能否积极主动地回忆,总结前面学过的旧知 识; ②能否“温故知新”. 生:直角三角形有如下性质:(1)有一个角是直角;(2)两个锐角互余,(3)两 直角边的平方和等于斜边的平方: (4)在含 30° 角的直角三角形中,30° 的角所对
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多媒体课件.

的直角边是斜边的一半. 师:那么,一个三角形满足什么条件,才能是直角三角形呢? 生:有一个内角是 90° ,那么这个三角形就为直角三角形. 生:如果一个三角形,有两个角的和是 90° ,那么这个三角形也是直角三角 形. 师:前面我们刚学习了勾股定理,知道一个直角三角形的两直角边 a,b 斜 边 c 具有一定的数量关系即 a2+b2=c2,我们是否可以不用角,而用三角形三边 的关系来判定它是否为直角三角形呢?我们来看一下古埃及人如何做? 二、讲授新课 活动 2 问题:据说古埃及人用下图的方法画直角:把一根长绳打上等距

离的 13 个结,然后以 3 个结,4 个结、5 个结的长度为边长,用木桩钉成一个三 角形,其中一个角便是直角.

这个问题意味着,如果围成的三角形的三边分别为 3、4、5.有下面的关系 “32+42=52”.那么围成的三角形是直角三角形. 画画看, 如果三角形的三边分别为 2.5cm, 6cm, 6.5cm, 有下面的关系, “2.52 + 62 = 6.52 ,画出的三角形是直角三角形吗 ? 换成三边分别为 4cm 、 7.5cm 、 8.5cm.再试一试. 设计意图:由特殊到一般,归纳猜想出“如果三角形三边 a,b,c 满足 a2+b2= c2,那么这个三角形就为直免三角形的结论,培养学生动手操作能力和寻求解决 数学问题的一般方法. 师生行为 让学生在小组内共同合作,协手完成此活动.教师参与此活动,并

给学生以提示、 启发. 在本活动中, 教师应重点关注学生: ①能否积极动手参与. ② 能否从操作活动中,用数学语言归纳、猜想出结论.③学生是否有克服困难的勇 气. 生:我们不难发现上图中,第(1)个结到第(4)个结是 3 个单位长度即 AC=3;
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同理 BC=4,AB=5.因为 32+42=52.我们围成的三角形是直角三角形. 生:如果三角形的三边分别是 2.5cm,6cm,6.5cm.我们用尺规作图的方法 作此三角形, 经过测量后, 发现 6.5cm 的边所对的角是直角, 并且 2.52+62=6.52. 再换成三边分别为 4cm,7.5cm,8.5cm 的三角形,目标可以发现 8.5cm 的 边所对的角是直角,且也有 42+7.52=8.52. 是不是三角形的三边只要有两边的平方和等于第三边的平方, 就能得到一个 直角三角形呢? 活动 3 下面的三组数分别是一个三角形的三边长 a,b,c

5,12,13;7,24,25;8,15,17. (1)这三组效都满足 a2+b2=c2 吗? (2)分别以每组数为三边长作出三角形,用量角器量一量,它们都是直角三 角形吗? 设计意图: 本活动通过让学生按已知数据作出三角形,并测量三角形三个内角的 度数来进一步获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件. 师生行为:学生进一步以小组为单位,按给出的三组数作出三角形,从而更加坚 信前面猜想出的结论, 教师对学生归纳出的结论应给予解释,我们将在下一节给出证明.本活动教 师应重点关注学生:①对猜想出的结论是否还有疑虑.②能否积极主动的操作, 并且很有耐心. 生:(1)这三组数都满足 a2+b2=c2.(2)以每组数为边作出的三角形都是直角 三角形. 师:很好,我们进一步通过实际操作,猜想结论. 命题 2 角三角形. 同时,我们也进一步明白了古埃及人那样做的道理.实际上,古代中国人也 曾利用相似的方法得到直角.直至科技发达的今天——人类已跨人 21 世纪,建 筑工地上的工人师傅们仍然离不开“三四五放线法”. “三四五放线法”是一种古老的归方操作.所谓“归方”就是“做成直角”。譬如 建造房屋,房角一般总是成 90° ,怎样确定房角的纵横两线呢?
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如果三角形的三边长 a,b,c 满足 a2+b2=c2 那么这个三角形是直

如下图,欲过基线 MN 上的一点 C 作它的垂线,可由三名工人操作:一人手 拿布尺或测绳的 0 和 12 尺处,固定在 C 点;另一人拿 4 尺处,把尺拉直,在 MN 上定出 A 点,再由一人拿 9 尺处,把尺拉直,定出 B 点,于是连结 BC,就 是 MN 的垂线.

建筑工人用了 3, 4, 5 作出了一个直角, 能不能用其他的整数组作出直角呢? 生:可以,例如 7,24,25;8,15,17 等. 据说,我国古代大禹治水测量工程时,也用类似的方法确定直角. 活动 4 问题:命题 1 如果直角三角形的两直角边长分别为 a,b,斜边长为 如果三角形的三边长分别为 a,b,c,满足 a2+b2

c,那么 a2+b2=c2.命题 2

=c2 那么这个三角形是直角三角形.它们的题设和结论各有何关系? 设计意图:认识什么样的两个命题是互逆命题,明白什么是原命题,什么是逆命 题?你前面遇到过有互逆命题吗? 师生行为:学生阅读课本,并回忆前面学过的一些命题.教师认真倾听学生的分 析. 教师在本活动中应重点关注学生;①能否发现互逆命题的题设和结论之间的关 系.②能否积极主动地回忆我们前面学过的互逆命题. 生:我们可以看到命题 2 与命题 1 的题设.结论正好相反,我们把像这样的 两个命题叫做互逆命题. 如果把其中的一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆 命题.例如把命题 1 当成原命题,那么命题 2 是命题 1 的逆命题. 生:我们前面学过平行线的性质和判定.其中 “两直线平行,同位角相等” 和“同位角相等,两直线平行”是互逆命题.“两直线平行,内错角相等”和“内错 角相等,两直线平行”也是互逆命题. 生:“两直线平行,同旁内角互补”和“同旁内角互补,两直线平行”也是互逆 命题. 三、课时小结 活动 5 问题:你对本节内容有哪些认识?
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设计意图:这种形式的小结,激发了学生的主动参与意识,调动了学生的学习兴 趣, 为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功体验的机会,并为程度不 同的学生提供了充分展示自己的机会,尊重学生的个体差异,满足学生多极化学 习的需要. 师生行为:教师课前准备卡片,卡片上写出三个数,让学生随意抽出,判断以这 三个数为边的三角形能否构成直角三角形. 在活动 5 中, 教师应重点关注学生: (1)不同层次的学生对本节的认知程度. (2) 学生再谈收获是对不同方面的感受.(3)学生独立面对困难和克服困难的能力. 板书设计 17.2 勾股定理的逆定理(1)

活动与探究 Tom 和 Jerry 去野外宿营,在某地要确定两条互相垂直的线,而身边又未带 直角尺,可利用的只有背包带,你能帮他们想一个简单可行的办法吗? 过程:确定垂线,即为确定一个直角,进而想到构造直角三角形. 结果:可在背包带上打结,在背包带上打 13 个等距离的结,把第 5 个结固 定在地上,Tom 拿住第 1 个和第 13 个结,而 Jerry 拿住第 8 个结,拉直背包带, 第 5 个结处即为直角,(图略)

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