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实际问题



一、 调配问题 例 1、 某车间有 22 名工人, 每人每天可以生产 1200 个螺钉或 2000 个螺母。 1 个螺钉需要配 2 个螺母, 为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套, 应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名? 例 2、整理一批图书,由一个人做要 40h 完成。现计划由一部分人先做 4h,然后增加 2 人与他们一起做 8h,完成这项工作。假设这些人的工作效率相同,具体应先安排

多少人工作? 二、销售中的盈亏 1、商品原价 200 元,九折出售,卖价是 元. 2、商品进价是 150 元,售价是 180 元,则利润 是 元.利润率是__________ 3、某商品原来每件零售价是 a 元, 现在每件降价 10%,降价后每件零售价是 元. 4、某种品牌的彩电降价 20%以后,每台售价为 a 元,则该品牌彩电每台原价应为 元. 5、某商品按定价的八折出售,售价是 14.8 元,则原定售价是 . 例 3、 、某商店在某一时间以每件 60 元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利 25﹪,另一件亏损 25﹪,卖这两件衣服总的是盈利还是亏损,或是不盈不亏? 6、随州某琴行同时卖出两台钢琴,每台售价为 960 元。其中一台盈利 20%,另一台亏损 20%。这次琴行是盈利还是亏损,或是不盈不亏? 7、某文具店有两个进价不同的计算器都卖 64 元,其中一个盈利 60%,另一个亏本 20%.这次交易中的盈亏情况 8、某商场把进价为 1980 元的商品按标价的八折出售,仍获利 10%, 则该商品的标价为 元 我国政府为解决老百姓看病难的问题,决定下调药品的价格,某种药品在 2005 年涨价 30%后,2007 降价 70%至 a 元,则这种药品在 2005 年涨价前价格为 元. 三、球赛积分表 例 4、某次男篮联赛常规赛最终积分榜 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 东方 光明 蓝天 雄鹰 远大 卫星 14 14 14 14 14 14 14 10 10 9 9 7 7 4 4 4 5 5 7 7 10 24 24 23 23 21 21 18

钢铁 14 0 14 14 问题1:从这张表格中,你能得到什么信息 问题 2:这张表格中的数据之间有什么样的数量关系? 问题 3:请你说出积分规则.(既胜一场得几分?负一场得几分?) 你是怎样知道这个比赛的积分规则的? 问题 4:列式表示积分与胜、负场数之间的数量关系(提示:胜场数或负场数不确定,可以用未知数来表示) 问题 5:有没有某队的胜场总积分能等于负场总积分吗 四、电话计费问题

例 5、 下表给出的是两种移动电话的计费方式
月使用费/元 主 叫 限 主 叫 超 时 被叫 定 时 间 / 费元/分 分

方式一 方式二

58 88

150 350

0.29 0.19

免费 免费

问题 1:设月主叫时间为 t 分钟 ,当 t 在不同时间范围内取值, 列表说明按方式 一和方式二如何计费。 问题 2:观察你的表列,你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗?通过计算验证你的看法。
1、用 A4 纸在某印社复印文件,复印页数不超过 20 页时每页收费 0.12 元;复印页数超过 20 页 时,超过部分每页收费 0.09 元. 在某图书馆复印同样的文件,不论复印多少页,每 页收费 0.1 元. 如何根据复印的页数选择复印的地点使总价格比较便宜?(复印的页数不为零) 2、这个星期周末,七年级段长准备组织学生观看电影,由各班班长负责买票,票价每张 20 元,1 班班长问售票员买团体票是否可以优惠,售票员说: 50 人以上的团体票有两个优 惠方案可选择: 方案一:全体人员可打 8 折;方案二:若打 9 折,有 7 人可免票。 ①2 班有 61 名学生,他该选择哪个方案? ②1 班班长思考一会儿,说:我们班无论选择哪 种方案,要付的钱是一样的。你知道 1 班有几人吗?

实际问题与一元一次方程知识讲解
【学习目标】 1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤; 2.熟悉行程,工程,配套及和差倍分问题的解题思路. 【要点梳理】

要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
分析 求解 ? 方程 ??? ? 解答.由此可得解决此类 列方程解应用题的基本思路为:问题 ??? 抽象 检验

题的一般步骤为:审、设、列、解、检验、答. 要点诠释: (1) “审”是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量,以及它们之间的关系,寻找等量关系; (2) “设”就是设未知数,一般求什么就设什么为 x,但有时也可以间接设未知数; (3) “列”就是列方程,即列代数式表示相等关系中的各个量,列出方程,同时注意方程两边是同一类量,单位要统一; (4) “解”就是解方程,求出未知数的值; (5) “检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义,当有不符合的解时,及时指出,舍去即可; (6) “答”就是写出答案,注意单位要写清楚.

要点二、常见列方程解应用题的几种类型(待续)
1.和、差、倍、分问题 (1)基本量及关系:增长量=原有量×增长率, 现有量=原有量+增长量,现有量=原有量-降低量. (2)寻找相等关系:抓住关键词列方程,常见的关键词有:多、少、和、差、不足、剩余以及倍,增长率等. 2.行程问题

(1)三个基本量间的关系: 路程=速度×时间 (2)基本类型有: ①相遇问题(或相向问题) :Ⅰ.基本量及关系:相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ.寻找相等关系:甲走的路程+乙走的路程=两地距离. ②追及问题:Ⅰ.基本量及关系:追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ.寻找相等关系: 第一,同地不同时出发:前者走的路程=追者走的路程; 第二,第二,同时不同地出发:前者走的路程+两者相距距离=追者走的路程. ③航行问题:Ⅰ.基本量及关系:顺流速度=静水速度+水流速度, 逆流速度=静水速度-水流速度, 顺水速度-逆水速度=2×水速; Ⅱ.寻找相等关系:抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑. (3)解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系,并且还常常借助画草图来分析. 3.工程问题 如果题目没有明确指明总工作量,一般把总工作量设为 1.基本关系式: (1)总工作量=工作效率×工作时间; (2)总工作量=各单位工作量之和. 4.调配问题 寻找相等关系的方法:抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑. 【典型例题】

类型一、和差倍分问题
1. 旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的 25%, 第二次旅程中用去剩余汽油的 40%, 这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少 1 公斤, 求油箱里原有汽油多少公斤? 【答案与解析】 解:设油箱里原有汽油 x 公斤,由题意得: x(1-25%)(1-40%)+1=25%x+(1-25%)x×40% 解得:x=10 答:油箱里原有汽油 10 公斤. 【点评】等量关系为:油箱中剩余汽油+1=用去的汽油. 举一反三: 【变式】某班举办了一次集邮展览,展出的邮票若平均每人 3 张则多 24 张,若平均每人 4 张则少 26 张,这个班有多少学生?一共展出了多少张邮票? 【答案】 解:设这个班有 x 名学生,根据题意得: 3x+24=4x-26 解得:x=50 所以 3x+24=3×50+24=174 答:这个班有 50 名学生,一共展出了 174 张邮票.

类型二、行程问题 1.车过桥问题

2. 某桥长 1200m,现有一列匀速行驶的火车从桥上通过,测得火车从上桥到完全过桥共用了 50s,而整个火车在桥上的时间是 30s,求火车的长度和速度. 【思路点拨】正确理解火车“完全过桥”和“完全在桥上”的不同含义. 【答案与解析】 解:设火车车身长为 xm,根据题意,得: 1200 ? x 1200 ? x ? , 50 30 解得:x=300, 1200 ? x 1200 ? 300 ? ? 30 . 所以 50 50 答:火车的长度是 300m,车速是 30m/s. 【点评】火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况,借助线段图分析如下(注:A 点表示火车头): (1)火车从上桥到完全过桥如图(1)所示,此时火车走的路程是桥长+车长. (2) 火车完全在桥上如图(2)所示,此时火车走的路程是桥长-车长.由于火车是匀速行驶的,所以等量关系是火 车 从上桥到完全过桥的速度=整个火车在桥上的速度. 举 从 解:设从第一排上桥到排尾离桥需要 x 分钟,列方程得:
? 692 ? 86 x ? ? ? 1? ?1 ? 86 , ? 4 ?

一反三: 【变式】某要塞有步兵 692 人,每 4 人一横排,各排相距 1 米向前行走,每分钟走 86 米,通过长 86 米的桥, 第一排上桥到排尾离桥需要几分钟? 【答案】

解得:x=3 答:从第一排上桥到排尾离桥需要 3 分钟.

2.相遇问题(相向问题)
3.小李骑自行车从 A 地到 B 地,小明骑自行车从 B 地到 A 地,两人都匀速前进.已知两人在上午 8 时同时出发,到上午 10 时,两人还相距 36 千米,到中午 12 点,两人又相距 36 千米.求 A、B 两地间的路程. 【答案与解析】 解:设 A、B 两地间的路程为 x 千米,由题意得: x ? 36 x ? 36 ? 2 4 解得: x ? 108. 答:A、B 两地间的路程为 108 千米. 【点评】根据“匀速前进”可知 A、B 的速度不变,进而 A、B 的速度和不变.利用速度和=小李和小明前进的路程和/时间可得方程. 举一反三: 【高清课堂:实际问题与一元一次方程(一)388410 二次相遇问题】 【变式】甲、乙两辆汽车分别从 A、B 两站同时开出,相向而行,途中相遇后继续沿原路线行驶,在分别到达对方车站后立即返回,两车第二次相遇时距 A 站 34km,已知甲车的速度 是 70km/h,乙车的速度是 52km/h,求 A、B 两站间的距离. 【答案】

解:设 A、B 两站间的距离为 x km,由题意得: 解得:x=122 答: A、B 两站间的距离为 122km.

2 x ? 34 x ? 34 ? 70 52

3.追及问题(同向问题)
4.一辆卡车从甲地匀速开往乙地,出发 2 小时后,一辆轿车从甲地去追这辆卡车,轿车的速度比卡车的速度每小时快 30 千米,但轿车行驶一小时后突遇故障,修理 15 分钟后, 1 又上路追这辆卡车,但速度减小了 ,结果又用两小时才追上这辆卡车,求卡车的速度. 3 【答案与解析】 解:设卡车的速度为 x 千米/时,由题意得: 1 1 2 x ? x ? x ? 2 x ? ( x ? 30) ? (1 ? ) ? ( x ? 30) ? 2 4 3 解得:x=24 答:卡车的速度为 24 千米/时. 【点评】采用“线示”分析法,画出示意图.利用轿车行驶的总路程等于卡车行驶的总路程来列方程,理清两车行驶的速度与时间.

4.航行问题(顺逆风问题)
5.(武昌区联考)盛夏,某校组织长江夜游,在流速为 2.5 千米/时的航段,从 A 地上船,沿江而下至 B 地,然后溯江而上到 C 地下船,共乘船 4 小时.已知 A、C 两地相距 10 千米,船在静水中的速度为 7.5 千米/时,求 A、B 两地间的距离. 【思路点拨】由于 C 的位置不确定,要分类讨论: (1)C 地在 A、B 之间; (2)C 地在 A 地上游. 【答案与解析】 解:设 A、B 两地间的距离为 x 千米. (1)当 C 地在 A、B 两地之间时,依题意得. x x ? 10 ? ?4 7.5 ? 2.5 7.5 ? 2.5 解这个方程得:x=20(千米) (2)当 C 地在 A 地上游时,依题意得: x x ? 10 ? ?4 7.5 ? 2.5 7.5 ? 2.5 20 解这个方程得: x ? 3 20 答:A、B 两地间的距离为 20 千米或 千米. 3 【点评】这是航行问题,本题需分类讨论,采用“线示”分析法画出示意图(如下图所示),然后利用“共乘”4 小时构建方程求解.

5.环形问题
6.环城自行车赛,最快的人在开始 48 分钟后遇到最慢的人,已知最快的人的速度是最慢的人速度的 3 【答案与解析】 解;设最慢的人速度为 x 千米/时,则最快的人的速度为 x× -x× =20 x 千米/时, 由题意得: 倍,环城一周是 20 千米,求两个人的速度.

解得:x=10 答:最快的人的速度为 35 千米/时,最慢的人的速度为 10 千米/时. 【点评】这是环形路上的追及问题,距离差为环城一周 20 千米.相等关系为:最快的人骑的路程-最慢人骑的路程=20 千米. 举一反三: 【变式】两人沿着边长为 90m 的正方形行走,按 A→B→C→D→A?方向,甲从 A 以 65m/min 的速度,乙从 B 以 72m/min 的速度行走,如图所示,当乙第一次追上甲时,在正方形的哪 一条边上?

【答案】 解:设乙追上甲用了 x 分钟,则有: 72x-65x=3×90 270 x? (分) 7 270 ≈ 2777 (m) 此时乙在 AD 边上 答:乙第一次追上甲时走了 72 ? 7

类型三、工程问题
7.一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管,单独开甲管 6 小时可注满水池;单独开乙管 8 小时可注满水池,单独开丙管 9 小时可将满池水排空,若先将甲、乙管同时 开放 2 小时,然后打开丙管,问打开丙管后几小时可注满水池? 【答案与解析】 解:设再过 x 小时可把水注满.由题意得: 1 1 1 1 1 ( ? ) ? 2 ? ( ? ? )x ? 1 6 8 6 8 9 30 4 ?2 . 解得: x ? 13 13 4 答:打开丙管后 2 小时可把水放满. 13 【点评】相等关系:甲、乙开 2h 的工作量+甲、乙、丙水管的工作量=1. 举一反三:

【变式】收割一块水稻田,若每小时收割 4 亩,预计若干小时完成,收割 积. 【答案】 解:设这块水稻田的面积为 x 亩,由题意得: 2 1 x x x 3 3 ? ? ?1 4 4 11 ?4 2 解得: x ? 36 . 答:这块水稻田的面积为 36 亩.

2 1 后,改用新式农机,工作效率提高到原来的 1 倍,因此比预计时间提早 1 小时完成,求这块水稻田的面 3 2

类型四、配套问题(比例问题、劳动力调配问题)
8.某工程队每天安排 120 个工人修建水库,平均每天每个工人能挖土 5 m3 或运土 3 m3,为了使挖出的土及时被运走,问:应如何安排挖土和运土的工人? 【答案与解析】 解:设安排 x 人挖土,则运土的有(120-x)人,依题意得: 5x=3(120-x), 解得 x=45. 120-45=75(人). 答:应安排 45 人挖土,75 人运土. 【点评】用参数表示挖土数与运土数,等量关系:挖土与运土的总立方米数应相等. 举一反三: 【高清课堂:实际问题与一元一次方程(一) 388410 配制问题】 【变式】某商店选用 A、B 两种价格分别是每千克 28 元和每千克 20 元的糖果混合成杂拌糖果后出售,为使这种杂拌糖果的售价是每千克 25 元,要配制这种杂拌糖果 100 千克,问要 用这两种糖果各多少千克? 【答案】 解:设要用 A 种糖果 x 千克,则 B 种糖果用(100-x)千克.依题意,得: 28x+20(100-x)=25×100 解得:x=62.5. 当 x=62.5 时,100-x=37.5. 答:要用 A、B 两种糖果分别为 62.5 千克和 37.5 千克.

要点三、常见列方程解应用题的几种类型(续)
1.利润问题 (1) 利润率=
利润 ?100% 进价

(2) 标价=成本(或进价)×(1+利润率) (3) 实际售价=标价×打折率 (4) 利润=售价-成本(或进价)=成本×利润率 注意: “商品利润=售价-成本”中的右边为正时,是盈利;当右边为负时,就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售.

2.存贷款问题 (1)利息=本金×利率×期数 (2)本息和(本利和)=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金×(1+利率×期数) (3)实得利息=利息-利息税 (4)利息税=利息×利息税率 (5)年利率=月利率×12 1 (6)月利率=年利率× 12 3.数字问题 已知各数位上的数字,写出两位数,三位数等这类问题一般设间接未知数,例如:若一个两位数的个位数字为 a,十位数字为 b,则这个两位数可以表示为 10b+a. 4.方案问题 选择设计方案的一般步骤: (1)运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况. (2)用特殊值试探法选择方案,取小于(或大于)一元一次方程解的值,比较两种方案的优劣性后下结论. 【典型例题】

类型一、利润问题
【高清课堂:实际问题与一元一次方程(二)388413 利润问题例 2】 1.以现价销售一件商品的利润率为 30%,如果商家在现有的价格基础上先提价 40%,后降价 50%的方法进行销售,商家还能有利润吗?为什么? 【答案与解析】 解:设该商品的成本为 a 元,则商品的现价为(1+30%)a 元,依题意其后来折扣的售价为(1+30%)a·(1+40%)(1-50%)=0.91a. ∵0.91a-a=-0.09a, ?0.09a ∴ ·100%=-9%. a 答:商家不仅没有利润,而且亏损的利润率为 9%. 【总结升华】解答此类问题时,一定要弄清题意.分清售价、进价、数量、利润之间的关系很重要. 举一反三: 【高清课堂:实际问题与一元一次方程(二)388413 利润问题例 3】 【变式 1】某个商品的进价是 500 元,把它提价 40%后作为标价.如果商家要想保住 12%的利润率搞促销活动,请你计算一下广告上可写出打几折? 【答案】 解:设该商品打 x 折,依题意,则: x 500(1+40%)· =500(1+12%). 10 10 ? 1.12 x= =8. 1.4 答:该商品的广告上可写上打八折. 【变式 2】张新和李明相约到图书大厦去买书,请你根据他们的对话内容(如图所示),求出李明上次所买书籍的原价.

【答案】 解:设李明上次购买书籍的原价为 x 元,由题意得:0.8x+20=x-12, 解这个方程得:x=160. 答:李明上次所买书籍的原价是 160 元.

类型二、存贷款问题
2.爸爸为小强存了一个五年期的教育储蓄,年利率为 2.7%,五年后取出本息和为 17025 元,爸爸开始存入多少元. 【答案与解析】 解:设爸爸开始存入 x 元.根据题意,得 x+x×2.7%×5=17025. 解之,得 x=15000 答:爸爸开始存入 15000 元. 【总结升华】本息和=本金+利息,利息=本金×利率×期数.

类型三、数字问题
3.一个三位数,十位上的数是百位上的数的 2 倍,百位、个位上的数的和比十位上的数大 2,又个位、十位、百位上的数的和是 14,求这个三位数. 【答案与解析】 解:设百位上的数为 x,则十位上的数为 2x,个位上的数为 14-2x-x 由题意得:x+14-2x-x=2x+2 解得:x=3 ∴ x=3, 2x=6,14-2x-x=5 答:这个三位数为 365 【总结升华】在数字问题中应注意: (1)求的是一个三位数,而不是三个数; (2)这类应用题,一般设间接未知数,切勿求出 x 就答;(3) 三位数字的表示方法是百位上的数字乘以 100,10 位上的数字乘以 10,然后把所得的结果和个位数字相加. 举一反三: 【变式】一个两位数,个位上的数字比十位上的数字大 4,这个两位数又是这两个数字的和的 4 倍,求这个两位数. 【答案】 解:设十位上的数字为 x ,则个位上的数字为( x ? 4 ) ,由题意得:
10 x ? ( x ? 4) ? [ x ? ( x ? 4)] ? 4

解得: x ? 4
? 4 ?10 ? (4 ? 4) ? 48

答:这两位数是 48.

类型四、方案设计问题
4.为鼓励学生参加体育锻炼.学校计划拿出不超过 1600 元的资金再购买一批篮球和排球.已知篮球和排球的单价比为 3:2,单价和为 80 元. (1)篮球和排球的单价分别是多少元? (2)若要求购买的篮球和排球的总数量是 36 个,且购买的篮球数量不少于 26 个.请探究有哪几种购买方案?

【答案与解析】
解:(1)设篮球和排球的单价分别为 3x 元和 2x 元. 依题意 3x+2x=80,解得 x=16 即 3x=48,2x=32 答:篮球和排球的单价分别为 48 元和 32 元. (2)采用列表法探索: 类 排球(36-x) 别 篮球(x 个) 合计(元) 个 方案 (1) 26 10 1568 (2) 27 9 1584 (3) 28 8 1600 (4) 29 7 1616 由列表可知,共有三种购买方案: 方案一:购买篮球 26 个,排球 10 个; 方案二:购买篮球 27 个,排球 9 个; 方案三:购买篮球 28 个,排球 8 个. 【总结升华】本例设未知数的方法很独特,值得借鉴.采用列表的方法探索方案,值得学习. 举一反三: 【变式】(武昌区期末调考)某校组织 10 位教师和部分学生外出考察,全程票价为 25 元,对集体购票,客运公司有两种优惠方案可供选择:方案一:所有师生按票价的 88%购票;方 案二:前 20 人购全票,从第 21 人开始,每人按票价的 80%购票. (1)若有 30 位学生参加考察,问选择哪种方案更省钱? (2)参加考察的学生人数是多少时,两种方案车费一样多? 【答案】 解:设有 x 位学生参加考察. 按方案一购票费用为:25×88%(10+x)=22x+220 按方案二购票费用为:20×25+25×80%(x+10-20)=20x+300 (1)当 x=30 时: 22x+220=660+220=880(元) 20x+300=600+300=900(元) 答:当有 30 位学生参加考察,选择方案一更省钱.

(2)设 22x+220=20x+300,解得:x=40 答:参加考察的学生人数为 40 人时,两种方案车费一样多. 8.某校用 56m 长的篱笆围成一个长方形的生物园,要使长为 16 m,则宽为________m. 9.小明和他父亲的年龄之和为 54,又知父亲年龄是小明年龄的 3 倍少 2 岁,则他父亲的年龄为____岁.

10.甲、乙二人在长为 400 米的圆形跑道上跑步,已知甲每秒钟跑 9 米,乙每秒钟跑 7 米.
(1)当两人同时同地背向而行时,经过________秒钟两人首次相遇; (2)两人同时同地同向而行时,经过________秒钟两人首次相遇. 11.某项工作甲单独做 4 天完成,乙单独做 6 天完成,若甲先干一天,然后,甲、乙合作完成此项工作,若设甲一共做了 x 天,乙工作的天数为________,由此可列出方程 ________________. 11. A、B 两地相距 216 千米,甲、乙分别在 A、B 两地,若甲骑车的速度为 15 千米/时,乙骑车的速度为 12 千米/时。 (1)甲、乙同时出发,背向而行,问几小时后他们相距 351 千米? (2)甲、乙相向而行,甲出发三小时后乙才出发,问乙出发几小时后两人相遇? (3)甲、乙相向而行,要使他们相遇于 AB 的中点,乙要比甲先出发几小时? (4)甲、乙同时出发,相向而行,甲到达 B 处,乙到达 A 处都分别立即返回,几小时后相遇?相遇地点距离 A 有多远?

12. 甲乙两车间共 120 人,其中甲车间人数比乙车间人数的 4 倍少 5 人.
(1)求甲、乙两车间各有多少人? (2)若从甲、乙两车间分别抽调工人,组成丙车间研制新产品,并使甲、乙、丙三个车间的人数比为 13∶4∶7,那么甲、乙两车间要分别抽调多少工人?

13. 有一件工程,由甲、乙两个工程队共同合作完成,工期不得超过一个月,甲独做需要 50 天才能完成,乙独做需要 45 天才能完成,现甲乙合作 20 天后,甲队有任务调离,由乙
队单独工作,问此工程是否能如期完工。



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