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高中数学必修4期中考前复习题(4套)



《必修 4》复习题(一)
一、选择题 本大题共有 10 个小题,每小题 3 分,每小题的四个选项中,只有一个选项
正确 1. 已知平面向量 a ? (1,2), b ? (?2, m) ,且 a ∥ b ,则 m 的值是: A. 2 B.-2 C.2 D.-4

2.要得到函数 y ? sin x 的图象,只需将函数 y ? cos ? x

?

? ?

?? ? 的图象( ??



? ? 个单位 B.向右平移 个单位 ? ? ? ? C.向左平移 个单位 D.向左平移 个单位 ? ? 1 ? 3. 已知 sin ? cos? ? , ? ? (0, ) ,则 sin? ? cos? 的值为: 8 4 3 3 3 3 A. B. ? C. D. ? 2 2 4 4 ?? ? 4. 设函数 f ? x ? ? cos? 2 x ? ?, x ? R ,则 f ? x ? 是 2? ?
A.向右平移 A. 最小正周期为 ? 的偶函数

5. 函数 f ( x) ? 2 sin x ? cos 2 x 的最小值和最大值分别为 A. -3, 6.

? C. 最小正周期为 的奇函数 2
3 2
B. -2,

B. 最小正周期为 ? 的奇函数 D. 最小正周期为

? 的偶函数 2

3 2

C. ?

3 ,3 2

D. -2,2

3 ? sin 700 = 2 ? cos 2 100 1 A. 2

B.

2 2

C. 2

D.

7.若函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? ? ) 对任意 x 都有 f (

? x) ,则 f ( ) 等于: 6 6 6 A.2 或 0 B. ? 2 或 2 C.0 D. ? 2 或 0 ? ? ? 8.已知 ? 是第二象限角,且 1 ? sin ? ? cos ? sin ,则 所在象限是: 2 2 2
A.第一象限
2

?

? x) ? f (

?

3 2

?

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

9.函数 f ( x) ? sin x ? 3 sin x cos x 在区间 [0, A. ? 1 B. ?

?
2

] 上的最小值是

3 D. 0 3 10. O是?ABC 所在平面内一点,且 (OB ? OC ) ? (OB ? OC ? 2OA) ? 0 ,则一定有: 1 2
C. ? A. AB ? AC B. AC ? BC C.

AB ? AC ? BC

2

2

2

2

D. AC

? AB ? BC

2

2

二.填空题: (每题 3 分,共 4 个小题)

1

11.已知平面向量 a =(1,-3) b =(4,-2) ? a ? b 与 a 垂直,则实数 ? 是:____ __ , , 12. cos 40 ( 3 tan10 ? 1) ? _____
? ?

?

?

? ?
?

?

13. a , b 的夹角为 120? , a ? 1 , b ? 3 则 5a ? b ? 14. 给出下列四个命题: ①存在实数 ? ,使 sin ? · ? =1; ② f ( x) ? ?2 cos( cos ③点 (

?

?

?

?

?



3? 3 ,0) 是 函 数 y ? 3 sin(2 x ? ? ) 的 图 象 的 一 个 对 称 中 心 ; ④ 函 数 8 4

7? ? 2 x) 是奇函数; 2

y ? c o s ( sxi) n 的值域为 [cos1,1] . 其中正确命题的序号是
三.解答题: 15.(10 分)已知函数 f ( x) ? A sin(x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? ? ) , x ? R 的最大值是 1, 其图像经过点 M ?

?? 1 ? , ?. ? 3 2?

(1)求 f (x) 的解析式; (2)已知 ? , ? ? ? 0,

3 12 ? ?? ? ,且 f (? ) ? , f ( ? ) ? ,求 f (? ? ? ) 的值. 5 13 ? 2?

16.(12 分) ⑴ ?ABC中有: A ? cos A ? sin

1 cos(A ? 5? ) tan(2? ? A) 的值; ,求 3? 5 cos( ? A) 2 ? ? ? ? ⑵求: tan 25 ? tan 35 ? 3 tan 25 tan 35 的值.

2

17.(12 分)已知 A(2,0), B(0, 2), C (cos ? ,sin ? ), O 为坐标原点。 AC ? BC ? ? , 求 sin 2? ⑴ 的值;⑵若 OA ? OC = 7 ,且 ? ? (?? ,0) ,求 OB与OC 的夹角。

1 3

18.(12 分)已知函数 f ( x) ? 3 sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? ) ( 0 ? ? ? π ,? ? 0 )为偶函数, 且函数 y ? f ( x) 图象的两相邻对称轴间的距离为 (Ⅰ)求 f ?

π . 2

?π? ? 的值; ?8?

(Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 单调递减区间.

π 个单位后,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求 g ( x) 的 6

3

o i, ss ( 19. (12 分)已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? c n ) ? ,
(Ⅰ)求 cos(? ? ? ) 的值; (Ⅱ)若 0 ? ? ? ? ?

?

?

? ? 2 5 ? , a ?b ? . 5

?
2

,且 sin ? ?

5 ,求 sin ? 的值. 13

20.已知 A、B、C 是锐角 ?ABC 的三个内角,向量 m ? ? sin A,1 ? cos A ? 与向量 n ? ? 2, 0 ? 的夹角为

?

?

? . 求 sin B ? sin C 的取值范围。 6

4

《必修 4》复习题(二)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将所选答案写在答题卡上) 1.sin600? 的值是 A.

1 2

B.-

1 2

C.

3 2

D.-

3 2

2.终边与坐标轴重合的角的集合是 A. {α | α ? 2 k ? , k ? Z} B. {α | α ? kπ , k ? Z } D. {α | α ? kπ ?

kπ , k ? Z} 2 3 3.已知 cosα ? ,那么 tanα 的值为 5 4 4 A. B. ? 3 3
C. {α | α ?

π , k ? Z} 2

C.

3 5

D. ?

4 3

4.函数的周期为 π ,其图像的一条对称轴为 x ?

π ,则此函数的一个解析式为 3

x π A. y ? sin( ? ) 2 6 π C. y ? sin(2 x ? ) 3

π B. y ? sin(2 x ? ) 6 π D. y ? sin(2 x ? ) 6

5.四个函数①y=sinx;②y=-cosx;③y=tanx;④y=-cotx 中,在区间 (0, π) 上是增函数有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

6.已知 A、B、C 三点不共线,O 是△ABC 内的一点,若 OA + OB + OC =0,则 O 是△ABC 的 A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心

7.下列命题中,正确的是 A. 若|a|=|b|,则 a=b C. 若|a|>|b|,则 a>b B. 若 a=b,则 a 与 b 是平行向量 D. 若 a 与 b 不相等,则向量 a 与 b 是不共线向量

8.已知向量 OA ? (?1,2), OB ? (3, m) ,若 OA ? AB ,则 m 的值为 A.2 B.1.5 C.4 D.6

9.化简 1? sin 8 的结果是 A.sin4+cos4 B.sin4-cos4 C.cos4-sin4 D.-sin4-cos4

10.已知向量 a=(x,2) ,向量 b =(-3,5) 与 b 的夹角为钝角,则 x 的取值范围是 32 ,a

5

10 10 10 10 B. x ? C. x ? D. x ? 3 3 3 3 11.下列各组向量中,①e1=(-1,2) 2=(5,7) ,e ;②e1=(3,5) 2=(6,10) ,e ;③e1=(2, 1 3 -3) 2=( , ? )有一组能作为表示它们所在平面内所有向量的基底,正确的判断是 ,e 2 4
A. x ? A.① B. ①、③ C.②、③ D.①、②、③

12.已知 AB =a+5b, BC =-2a+8b, CD =3(a-b),则 A.A、B、D 三点共线 C.B、C、D 三点共线 B.A、B、C 三点共线 D.A、C、D 三点共线

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分;请把答案填在答题卷中相应题号对 应的横线上)

π? ? 2π 13.函数 y ? cos? x ? ? 的最小正周期是_________. 4? ? 3
14.已知 a ? (3,?2) 、b ? (5,12) ,向量 a 在 b 方向上的投影是 . .

15.若向量 a、b、c 满足 a+b+c=0,且|a|=3,|b|=1,|c|=4,则 a ? b ? b ? c ? c ? a = 16.已知 tanθ ?

1 1 , tan ? ? ,且 θ, ? 均为锐角,则 θ ? ? = 2 3



三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 12 分,每小题 6 分) (1)已知 tan? ? 3 ,计算

4 sin ? ? 2 cos ? 的值. 5 cos ? ? 3 sin ?

π π 1 (2)若 sin( ? α) ? ,求 cos(? ? 2 α) 的值. 6 3 3

6

18. (本小题满分 12 分) 已知 a=(1,2), b =(-3,2) ,当 k 为何值时, (1)ka+b 与 a-3b 垂直?(2)ka+b 与 a -3b 平行?平行时它们是同向还是反向?

19. (本小题满分 12 分) 已知 sin( ? + ? )= ?

? 3 12 3? ,cos( ? ? ? )= ,且 < ? < ? < ,求 sin2 ? . 4 5 2 13

20. (本小题满分 12 分) 设 OA ? (2 sinx, cos 2 x), 和最小值.

π OB ? (? cosx,1) ,其中 x ? [0, ] ,求 f(x) ? OA ? OB 的最大值 2

22. (本小题满分 14 分)

x π x π x 已知函数 f(x) ? sin( ? ) ? sin( ? ) ? cos , 3 6 3 6 3
(Ⅰ) 求函数 f(x) 的最小正周期,最大值和最小值; (Ⅱ) 求函数 f(x) 的单调递增区间以及函数的对称中心;

7

《必修 4》复习题(三)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的.请把你认为正确的结论代号填涂到答题卡上. 1. tan15 的值为 A.
?

6? 2 4
2

B.

6? 2 4

C. 2 ? 3 B. y ? sin 2?x ? cos 2?x

D. 2 ? 3

2.下列函数中,周期为 1 的奇函数是 A. y ? 2 cos ?x ? 1 C. y ? tan( D. y ? sin ?x cos ?x ) 2 3 3.函数 y ? 3 sin x ? cos x 的一个单调增区间是

?

x?

?

] 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4.已知 a ? 2 2 , b ? 3 ,a 与 b 的夹角为 ,如图,若 AB ? 5a ? 2b , AC ? a ? 3b , 4 C D 为 BC 的中点,则 AD 的值为 3 6 3 3 6

A. [? ? ,

2 3

?

]

B. [? ? ,

5 6

?

]

C. [

? 4?
,

]

D. [

? 7?
,

D
A.

15 2

B.

15 2

C. 7

D. 18

B

A

5.要得到函数 y ? cos(2 x ?

?
4

) 的图像,只须将函数 y ? sin 2 x 的图象
B.向右平移

? 个单位 8 ? D.向右平移 个单位 4 ? 6.使函数 y ? sin(2 x ? ? ) ? 3 cos(2 x ? ? ) 为奇函数,且在 [0, ] 上是减函数的 ? 的一个 4
A.向左平移 值为 A.

? 个单位 8 ? C.向左平移 个单位 4

? 3

B.

5? 3

C.

2? 3

D.

4? 3

7.下列命题正确的是 A.函数 y ? sin(2 x ?
4

?
3

) 在 (?
4

? ?

, ) 内单调递增 3 6

B.函数 y ? cos x ? sin x 的最小正周期为 2? C.函数 y ? cos( x ? D.函数 y ? tan( x ?

?
?

) 图象是关于点 ( , 0) 成中心对称的图形 3 6 ) 图象是关于直线 x ?

?

?

3

6

成轴对称的图形

8.已知函数 f ( x) ? 2 cos( x ? ? ) ? b (? ? 0) 对于任意实数 x 有 f ( x ? ?
8

?

) ? f ( ? x) 成 8 8

?

立,且 f ( ) ? ?1.则实数 b 的值为 A. ? 1

?

8

B. ? 3 或 1

C. ? 3

D. ? 1 或 3

9.在 Rt?ABC 中,点 D 为斜边 BC 的中点, AB ? 动,则 OA ? (OB ? OC ) 的最小值是 A.

3 , AC ? 1 ,点 O 在线段 AD 上移

1 2

B. ?

10.函数 y ?

) 4 (0 ? x ? ? ) 的最小值是 3 2 sin 2 x ? 2 sin 2 x
B. 1 ?

1 ? sin 2( x ?

?

1 2

C. 1

D. ? 2

A.

6 3 ?3 11

2 3 3

C. 1

D. 2

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案直接写在题后的横线上.

? ? ? ? ? 11. 已知向量 a ? (2, 1) . b ? (3, m) ,若 (2a ? b ) // b ,则 m 的值是
12.计算: tan11 ? tan19 ?
? ?

.

3 tan11? tan19 ? = 3



13.若将函数 f ( x) ? 对称.则实数 a ? 14.已知函数 f ( x) ?

3a sin 2 x ? cos 2 x 的图象向左平移


? ? 单位后,图象关于直线 x ? 4 6

1 1 (sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ,给出下列四个结论: 2 2

① f (x) 的值域为 [?1, 1] ;②当且仅当 x ? 2k? ?

?

2

(k ? z ) 时 f (x) 取得最大值; 3? (k ? z ) 时 2

③ f (x) 是周期函数,最小正周期为 ? ;④当且仅当 2k? ? ? ? x ? 2k? ?

f ( x) ? 0 . 其中所有正确结论的序号是



三.解答题:本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分) 已知 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) (? ? 0,0 ? ? ? ? ) ,如果函数 y ? f (x) 的一段图象如图所示. (Ⅰ)试求 f (x) 的表达式; (Ⅱ)写出由 y ? sin x 的图象变换到 y ? f (x) 图象的一个算法.

y
3 2

?
o

? 3

?

?

5? 6

x

9

16.(本小题满分 13 分) 已知向量 a = (cos x, sin x) , b = (? cos x, cos x) . (Ⅰ)若 x ?

?
6

,求向量 a 、 b 的夹角;

(Ⅱ)当 x ? [

? 9?

, ] 时,求函数 f ( x) ? 2a ? (a ? b) 的最大值. 2 8

17.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? cos(x ?

?

) cos(x ? ) ? 2t sin x cos x ? sin(x ? ) sin(x ? ) . 4 4 4 4

?

?

?

(Ⅰ)当 t ? 2 时,求 f (x) 在 [0, (Ⅱ)若函数 f (x) 在区间 (

?

, ) 上是增函数,求实数 t 的取值范围. 12 6

? ?

2

] 上的最大值和最小值;

18.(本小题满分 13 分) 如图,宽为 a 的走廊与另一宽为 a 的走廊垂直相连,如果水平放置的细杆 AB 经过拐点 M , 且 ?ABO ? ? . (Ⅰ)设细杆 AB 的长度为 f (? ) ,求 f (? ) 的表达式; (Ⅱ)长为 3a 的细杆能水平地通过拐角吗,为什么?

O

?
M

B

? a ?

A

? a ?

10

19.(本小题满分 14 分) 已知 a ? (sin x, 1), b ? (cos x, ? ) .

?

?

1 2

? ? ? ? (Ⅰ) 当 a ? b 时.求 | a ? b | 的值;
(Ⅱ) 若不等式 k a ? b ? 3 ? 2a ? b 对 x ? [0,

?

?

? ?

?
2

] 恒成立.求实数 k 的取值范围.

20.(本小题满分 14 分) 如图,四边形 ABCD是边长为 2 的正方形.若点 P 在正方形内(不含边界) ,且满足

PA ? PB ? 1 .
(Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)求 PA ? 2 PB 的取值范围; (Ⅲ)求 PC ? 2PD 的取值范围.
2

D

C

A

B

11

《必修 4》考前复习题(四)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.-315°是 ( ) (A)第一象限角 (B)第二象限角 (C)第三象限角 (D)第四象限角 2.角 ? 的终边过点 P(4,-3) ,则 sin ? 的值为 ( ) (A)4 (B)-3 (C)

4 5
3 2

(D) ?

3 5
( )

3.cos75 ? ·cos15 ? 的值是: A.

1 2

B.

1 4

C.

D.

3 4
( )

4.向量 a ? (1,?2) , b ? ( 2,1) ,则 (A) a ∥ b (B) a ⊥ b (C) a 与 b 的夹角为 60°

(D) a 与 b 的夹角为 30°

5.在下面给出的四个函数中,既是区间 (0,

?
2

) 上的增函数,又是以 ? 为周期的偶函数的是
( )

(A) y ? cos 2 x

(B) y ? sin 2 x

(C) y ?| cos x |

(D) y ?| sin x | )

6.在锐角△ABC 中,设 x ? sin A ? sin B, y ? cos A ? cos B. 则 x,y 的大小关系为( (A) x ? y
? ?

(B) x ? y
? ?

(C) x ? y

(D) x ? y ( )

7. tan 20 ? tan 40 ? 3 tan 20 tan 40 的值为

A 1

B

3 3

C - 3

D

3

8.设 a , b , c 是两两不共线的向量,下列命题中不正确的是: A、 | a ? b ? c |?| a | ? | b | ? | c | B、一定存在实数 ?1 , ?2 ,使得 c ? ?1 a ? ?2 b C、若 ?1 ? a ? ?2 ? b ? u1 ? a ? u2 ? b ,则必有 ?1 ? u1 且 ?2 ? u2 D、 (a ? b)c ? a(b ? c) 9. △ABC 中三个内角为 A、B、C,若关于 x 的方程 x2 ? x cos A cos B ? cos2 为 1,则△ABC 一定是:

?

?

?

(

)

? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ?

? ? ?

C ? 0 有一根 2

(

)

12

A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 10. .设 a,b,c 都为正实数,对任意实数 x ,不等式 a sin x ? b cos x ? c ? 0 恒成立时满足的条 件是 A. a 2 ? b2 ≥ c B. a 2 ? b2 ? c C. a 2 ? b2 ? c ( )

D. a 2 ? b2 ? c

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分,把正确的答案写在题中横线上) 11.若 a ? ( 2,3) 与 b ? ( ?4, y ) 共线,则 y = 12.函数 y=cosx+cos(x+ 13. 函数 y ? ;

3 ? sin x 的值域为____________________; 3 ? sin x

? )的最大值是__________. 3

14. 关于函数 f ? x ? ? cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ,下列命题: ①若存在 x1 , x2 有 x1 ? x2 ? ? 时, f ? x1 ? ? f ? x2 ? 成立; ② f ? x ? 在区间 ? ?

? ? ?? 上是单调递增; , ? 6 3? ? ?? ? , 0 ? 成中心对称图像; ? 12 ?

③函数 f ? x ? 的图像关于点 ?

④将函数 f ? x ? 的图像向左平移 题序号

5? 个单位后将与 y ? 2sin 2 x 的图像重合.其中正确的命 12

(注:把你认为正确的序号都填上)

三.解答题: 个小题共 54 分,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤) (6 ? ? ? ? ? 15. (本小题满分 8 分)已知 | a |? 3,| b |? 1.a 与 b 的夹角为 120 ,求: | a ? 3b |

16. (本小题满分 8 分)求出函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x , x ? [0,

?
6

] 的最小值

13

17(本题满分 8 分)已知 求 cos2? 的值.

?
2

? ? ?? ?

3? 12 3 , 且 cos( ? ? ) ? , ? ? ? ) ? ? , ? sin( 4 13 5

18. (本题满分 10 分)化简: (tan 5? ? cot 5?)

sin 20? 。 1 ? cos 20?

19(本题满分 10 分)已知函数 f ( x) ?

3 2 1 3 2 1 sin x ? cos x, x ? R . 2 2 2 2

(1)画出函数 f ( x) 在长度为一个周期的闭区间上的简图; (2)求函数 f ( x) 的最值及取最值时自变量 x 的集合; (3)求函数 f ( x) 的单调递减区间.

14

20. (本题满分 10 分) 已知 M (1 ? cos 2 x,1), N (1, 3 sin 2 x ? a) ( x ? R, a ? R, a 是常数) , 且 y ? OM ? ON ( O 为坐标原点). (1)求 y 关于 x 的函数关系式 y ? f (x) ; (2)若 x ? [0,

?
2

] 时, f (x) 的最大值为 4,求 a 的值;

(3)在满足(2)的条件下,说明 f (x) 的图象可由 y ? sin x 的图象如何变化而得到?

附加题 1: (本题满分 10 分)已知 sin 20? ? sin 20? cos50? ? cos 50? ?
2 2

3 4

sin 2 10? ? sin10? cos 40? ? cos2 40? ?
则 当

3 ,?? , 4


?, ?











_____________





sin 2 ? ? sin ? cos ? ? cos2 ? ? ______________
并证明。

15

附加题 2: (本题满分 10 分)在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心 位于城市 O(如图)的东偏南 ? (其中 cos ? ?

2 ) 方向 300 km 海平面 P 处, 并以 20 km/h 10

的速度向西偏北 45°方向移动,台风侵袭区域为圆形,当前半径为 60 km,并以 10 km/h 的 速度不断增大。 问:几小时后该城市开始受到台风侵袭. ??
北 O 海 岸 线 东

? ?

Q 45°

.

P

16

《必修 4》考前复习题(一) 参考答案 选择题:DDBBC CBCDA
填空:11. 13. -1 12. 1/2(待定)

14. (2) (4) (3)

解答题:15、(1) f(x)=cosx (2) 16、(1) 1 (2)
3

56 65

17、(1) sin 2? ? ? 18、 (1) 2 19、

5 ? (2)夹角为 9 6

(2) x ? ?k? ? , k? ? ?
? 6

?

2? ? , (k ? Z ) 3 ? ?

《必修 4》考前复习题(二) 参考答案
深圳实验学校 2004-2005 学年度高一年级第四学段高一数学

一、选择题 题号 答案 1 D 2 C 3 D 4 D 5 B 6 A 7 B 8 C 9 C 10 A 11 A 12 A

二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在卷中相应题号对应的 横线上) 13. 15. 3 -13 ; ; 14. 16. -9/13 ; .

? /4

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 12 分,每小题 6 分) (1)已知 tan? ? 3 ,计算

4 sin ? ? 2 cos ? 的值. 5 cos ? ? 3 sin ?

Key:-5/2
17

π π 1 (2)若 sin( ? α) ? ,求 cos(? ? 2 α) 的值. 6 3 3
Key:原式= cos 2(

π ? 2 7 ? α) ? 1 ? 2 sin 2 ( ? ? ) ? 1 ? ? 6 6 9 9

18. (本小题满分 12 分) 已知 a=(1,2), b =(-3,2) ,当 k 为何值时, (1)ka+b 与 a-3b 垂直?(2)ka+b 与 a -3b 平行?平行时它们是同向还是反向? Key (1)ka+b=(k-3,2k+2) a-3b=(10,-4) 因为 ka+b 与 a-3b 垂直,所以 10(k-3)-4(2k+2)=0 所以 k=19 (2)ka+b 与 a-3b 平行,所以 10(2k+2)+4(k-3)=0 所以 k=-1/3,反向 19. (本小题满分 12 分) 已知 sin( ? + ? )= ?

2分 4分 2分 2分 2分

? 3 12 3? ,cos( ? ? ? )= ,且 < ? < ? < ,求 sin2 ? . 4 5 13 2

Key: ? < ? + ? <

3? 4 ,所以 cos( ? + ? )= ? 2 5 ? 5 0< ? - ? < 所以 sin( ? - ? )= 13 2 56 sin2 ? = sin[(? ? ? ) ? (? ? ? )] = — 65

3分 3分 6分

20. (本小题满分 12 分) 在等腰△ABC 中,BF、CE 是两腰上的中线.且 BF⊥CE,试用向量方法求顶角 A 的余 弦值.
A

Key:设 AE=a AF=b BF=b-2a CE=a-2b 因为 BF⊥CE,所以 BF ·CE=0 (b-2a)(a-2b)=0 ·

2分 2分 4分 4分

4 整理 cosA= 5
21. (本小题满分 12 分) 设 OA ? (2 sinx, cos 2 x), 和最小值.

E

F

π OB ? (? cosx,1) ,其中 x ? [0, ] ,求 f(x) ? OA ? OB 的最大值 B2 C

18

Key:

f(x) ? OA ? OB =-2sinx·cosx+cos2x
=cos2x-sin2x = 2 cos(2 x ?

2分 2分

?
4

)

4分 4分

y max ? 2 , y min ? ? 2
22. (本小题满分 14 分)

x π x π x 已知函数 f(x) ? sin( ? ) ? sin( ? ) ? cos , 3 6 3 6 3
(Ⅰ) 求函数 f(x) 的最小正周期,最大值和最小值; (Ⅱ) 求函数 f(x) 的单调递增区间以及函数的对称中心; (Ⅲ)是否可以由函数 f(x) 的图像经过先周期变换,再振幅变换得到函数 y=sinx 的图像, 若能请写出变换步骤;若不能,请说明理由. Key:(Ⅰ)函数 f(x) 的最小正周期,最大值和最小值;

x π x π x f(x) ? sin( ? ) ? sin( ? ) ? cos 3 6 3 6 3
= sin

x ? x ? x ? x ? x cos ? cos sin ? sin cos ? cos sin ? cos 3 6 3 6 3 6 3 6 3

=

3 x 1 x 3 x 1 x x sin ? cos ? sin ? cos ? cos 2 3 2 3 2 3 2 3 3

= 3 sin =2 sin(

x ? x ? ? ) 或(2 cos( ? ) 3 6 3 3
2? ? 6? , y max ? 2, y min ? ?2 1 3

x x ? cos 3 3

所以最小正周期 T=

(Ⅱ) 函数 f(x) 的单调递增区间以及函数的对称中心; 单调递增区间:由 ?

对称中心:由

x ? ? ? ? k? ,得到 x ? ? ? 3k? 3 6 2

x ? ? ? ? ? 2k? 得到: 2 3 6 2 ? 2? ? 6k? ? x ? ? ? 6k? ? 2k? ?

?

所以对称中心为( ?

?

2

? 3k? ,0 )

(Ⅲ)可以由函数 f(x) 的图像经过先周期变换,再振幅变换得到函数 y=sinx 的图像,
19

依次为纵坐标不变, 横坐标缩短为原来的三分之一, 将所得函数图像沿 x 轴方向向右平移 个单位,得到。

? 6

《必修 4》考前复习题(三) 参考答案 深圳实验学校高中部 2005-2006 学年度第四学段考试

高一理科数学参考答案
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的. 1 C 2 D 3 A 4 A 5 A 6 C 7 C 8 B 9 B 10 C

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11. m ?

3 2

12.

3 3

13. a ?

1 3

14.④

三.解答题 15.(本小题满分 13 分) 已知 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) (? ? 0,0 ? ? ? ? ) ,如果函数 y ? f (x) 的一段图象如图所示. (Ⅰ)试求 f (x) 的表达式; (Ⅱ)写出由 y ? sin x 的图象变换到 y ? f (x) 图象的一个算法. 解: (Ⅰ)由图可知
3 2

y

?? ? 2 .

T 5? ? ? ? ? ? ,T ? ? , 2 6 3 2
……………………………2 分

?
o

? 3

?

?

5? 6

x

? ? ?图象过点 ( , 0) ,? sin(2 ? ? ? ) ? 0 , 3 3 ? ? 令 2 ? ? ? ? ? ,得 ? ? . ……………………………5 分 3 3 ? 3 3 又?图象过点 (0, ) ,? A sin(0 ? ) ? ,解得 A ? 3 . 3 2 2 ? 则 f (x) 的表达式为 f ( x) ? 3 sin(2 x ? ) .……………………………7 分 3 ? (Ⅱ) S1 将 y ? sin x 图象向左平移 个单位; 3 S 2 将所得图象上的每一点的纵坐标不变,横坐标变为原来的一半;
S 3 将所得图象上的每一点的横坐标不变,纵坐标变为原来的 3 倍.……………13 分
16.(本小题满分 13 分) 已知向量 a = (cos x, sin x) , b = (? cos x, cos x) .
20

(Ⅰ)若 x ?

?
6

,求向量 a 、 b 的夹角;

(Ⅱ)当 x ? [ 解: (Ⅰ)当 x ?

? 9?

, ] 时,求函数 f ( x) ? 2a ? (a ? b) 的最大值. 2 8
时, a ? (

?

?

6 ? ? ? 3 ? 43 ? ? a ?b cos ? a, b ?? ? ? ? 4 ? a ? b 1? 3 ? 3 4 4
? ?

? 3 1 3 3 , ), , ) , b ? (? 2 2 2 2

2? 6 . 4
5? . 6

……………………………4 分

∵ 0 ?? a , b ?? ? , ∴ ? a , b ?? (Ⅱ)

? ?

…………………………6 分

f ( x) ? 2(a) 2 ? 2a ? b ? 2 ? 2(? cos2 x ? sin x cos x)

? 2 sin x cos x ? (2 cos2 x ? 1) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin(2 x ?
∵ x ?[

?
4

) ? 1 . …10 分
………11 分

? 9?
2 8 ,

] ,∴ 2 x ?

?
4

?[

? 2 3? ]. ,2? ] ,故 sin(2 x ? ) ? [?1, 4 2 4

∴当 2 x ?

?
4

?

3? ? , 即 x ? 时, f ( x) max ? 2 . 4 2

………………………13 分

17.(本小题满分 13 分)已知函数

f ( x) ? cos(x ?

?
4

) cos(x ?

?
4

) ? 2t sin x cos x ? sin(x ?

?
4

) sin(x ?

?
4

).

(Ⅰ)当 t ? 2 时,求 f (x) 在 [0, (Ⅱ)若函数 f (x) 在区间 ( 解: f ( x) ? cos(x ?

?
2

] 上的最大值和最小值;

?
?

, ) 上是增函数,求实数 t 的取值范围. 12 6

? ?

) cos(x ? ) ? sin(x ? ) sin(x ? ) ? 2t sin x cos x 4 4 4 4

?

?

?

? cos[(x ?

) ? ( x ? )] ? 2t sin x cos x ? cos 2x ? t sin 2x . 4 4

?

……3 分

(Ⅰ)当 t ? 2 时, f ( x) ? cos 2 x ? 2 sin 2 x ?

5 sin(2 x ? ? ) ,其中 ? 满足 sin ? ?

5 , 5

cos? ?

2 5 , 5

不妨设 0 ? ? ?

?
2



…………………5 分

?当 0 ? x ?
即?

?
2

时, ? ? 2x ? ? ? ? ? ? , ? sin? ? sin(2 x ? ? ) ? 1 ,

5 ? sin(2 x ? ? ) ? 1 . 5
……………………7 分

因此, f (x) 的最小值是 ? 1,最大值是 5 .
21

(II) y ? t ? 1sin(2 x ? ? ) ,其中 ? 满足 sin ? ?
2

1 1? t
2

, cos ? ?

t 1? t2



由此不妨设 0 ? ? ? ? . 由 2k? ?

…………………………9 分

?

2

? 2 x ? ? ? 2k? ?

?
2

,得 k? ?

?
4

?

?
2

? x ? k? ?

?
4

?

?
2

(k ? Z ) .

依题意有 k? ? 即 2k? ?

?
4

?

?
2

?

?
12

且 k? ?

?
4

?

?
2

?

?
6

, …………………………11 分

2? ? ? ? ? 2k? ? . 3 6

由 0 ? ? ? ? 得 k ? 0 .? 0 ? ? ?

?
6

,则 t ? 3 .

…………………………13 分

18.(本小题满分 13 分) 如图,宽为 a 的走廊与另一宽为 a 的走廊垂直相连,如果水平放置的细杆 AB 经过拐点 M , 且 ?ABO ? ? . (Ⅰ)设细杆 AB 的长度为 f (? ) ,求 f (? ) 的表达式; (Ⅱ)长为 3a 的细杆能水平地通过拐角吗,为什么? 解: (Ⅰ) f (? ) ? MB ? MA ?

O

a
A

a

?

B

? M

? a ?

a a ? ………………………5 分 ? (0 ? ? ? ) . sin ? cos? 2 ? a ? a(sin ? ? cos? ) (Ⅱ) f (? ) ? , sin ? cos?
令 sin? ? cos? ? t ,则 t ?

?0 ? ? ?

?
2

2 sin(? ? ) . 4
…………………7 分

?

,?1 ? t ?

2.

2at 2a 1 ? . sin ? cos? ? [(sin ? ? cos? ) 2 ? 1] ,得 f (? ) ? 2 t ?1 t ? 1 2 t

…………………9 分

1 2 1 1 ? , ?函数 y ? t ? 在 (1, 2 ] 上为增函数,? t ? 在 (1, 2 ] 上的最大值为 2 ? 2 t t 2
则 f (? ) 在 (1,

2 ] 上的最小值为 2 2a ,

………………………11 分

即能水平地通过拐角的细杆的最大长度为 2 2a .

? 3a ? 2 2a , ?长为 3a 的细杆不能水平地通过拐角.
? ? 1 2
………………………13 分

19. (本小题满分 14 分) 已知 a ? (sin x, 1), b ? (cos x, ? ) .

? ? ? ? (Ⅰ) 当 a ? b 时.求 | a ? b | 的值;
22

(Ⅱ) 若不等式 k a ? b ? 3 ? 2a ? b 对 x ? [0,

?

?

? ?

?
2

] 恒成立.求实数 k 的取值范围.
…………………2 分

? ? 1 1 解: (Ⅰ) a ? b ? sin x ? cos x ? 1 ? (? ) ? sin x cos x ? 2 2

? ? ? ? ? a ? b, ? a ? b ? 0
即 sin x ? cos x ?

1 1 ? 0 ,故 sin x ? cos x ? 2 2

……………………… 4 分

? ? 1 1 3 | a ? b | = (sin x ? cos x) 2 ? (1 ? ) 2 ? 1 ? 2 sin x cos x ? ? . 2 4 2
(II)? a ? b ?

………………6 分

?

?

5 ? ? 1 ? 2 sin x cos x , a ? b ? sin x cos x ? 4 2 5 ? sin 2 x ? sin 2 x ? 2 . 4

?原不等式即为 k



5 5 ? sin 2 x ? t ,则 sin 2 x ? t 2 ? , 4 4

? x ? [0,

?
2

] ,?

5 3 ?t ? . 2 2
3 t2 ? 5 ? 2 4 ,即 k ? t ? 4 . t t

………………8 分

原不等式等价于 k ?

………………10 分

因为函数 f (t ) ? t ?

3 4

t

在[

3 5 3 , ] 上为单调增函数,所以 t ? 4 的最大值为 2 . 2 2 t

因此, k 的取值范围是 k ? 2 .

……………………… 14 分

20.(本小题满分 14 分)如图,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形.若点 P 在正方形内(不 y 含边界) ,且满足 PA ? PB ? 1 . D C (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)求 PA ? 2 PB 的取值范围. (Ⅲ)求 PC ? 2PD 的取值范围. 解: (Ⅰ)如图,建立直角坐标系,则点 A 、 B 、 C 、
A
2

o

B

x

D 的坐标分别为 A(?1,0) 、 B(1,0) 、 C (1,2) 、 D(?1,2) .
设 P( x, y ) ,则 PA ? (?1 ? x, ? y ) , PB ? (1 ? x, ? y ) .
23

? PA ? PB ? 1 ,?有 (?1 ? x)(1 ? x) ? (? y)(? y) ? 1 ,
即 x ? y ? 2.
2 2

又?点 P 在正方形内,? ?1 ? x ? 1, ? 1 ? y ?
2 2

2.
2 ) .……………… 5 分

因此,点 P 的轨迹方程为 x ? y ? 2 (?1 ? x ? 1, ? 1 ? y ?

(Ⅱ)? PA ? 2 PB ? (?1 ? x, ? y ) ? 2(1 ? x, ? y ) ? (1 ? 3x, ? 3 y ) ,

? PA ? 2PB ? (1 ? 3x) 2 ? (?3 y) 2 ? 9( x 2 ? y 2 ) ? 6 x ? 1 ? 19 ? 6 x ,
? ?1 ? x ? 1 ,?13 ? PA ? 2PB ? 25 ,
即 13 ? PA ? 2PB ? 5 . 因此, PA ? 2 PB 的取值范围为 ( 13 , 5) . ………………… 10 分
2

2

(Ⅲ) ? PC ? 2 PD ? (1 ? x, 2 ? y ) ? 2(?1 ? x, 2 ? y ) ? ( x ? 3, y ? 2) ,

? PC ? 2PD ? ( x ? 3) 2 ? ( y ? 2) 2 ? x 2 ? y 2 ? 6 x ? 4 y ? 13
? 6 x ? 4 y ? 15 .

2

s ? x 2 ? y 2 ? 2 (?1 ? x ? 1, ? 1 ? y ? 2 ) , ? 可 设 x ? 2 c o ? , y ? 2 sin ? ,

? 3? ? ?( , ).
4 4
则 2PC ? 3PD ? 6 2 cos? ? 4 2 sin? ? 15 ? 15 ? 2 26 sin(? ? ? ) ,其中 tan? ?
2

? 3? ? 3? ? ? ? ,则 sin( ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? 1 ? ? ? ( , ) ,? ? ? ? ? ? ? ? 4 4 4 4 4
? 2 2 2 2 2 3 ? 2 ? sin( ? ? ) ? cos? ? sin ? ? ? ? ? ? , 4 2 2 2 2 13 13 2 13
?15 ? 2 26 ? 2PC ? 3PD ? 17 .
因此, PC ? 2PD 的取值范围是 [15 ? 2 26 , 17 ) .
2 2

3 . 2

……………………… 14 分

《必修 4》考前复习题(四) 参考答案
深圳外国语学校 2008-2009 学年高一必修四考试数学试卷

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。

24

1.-315°是 (A)第一象限角 (B)第二象限角 (C)第三象限角 (D)第四象限角 2.角 ? 的终边过点 P(4,-3) ,则 sin ? 的值为 (A)4 (B)-3 (C)



A





D



4 5
3 2

(D) ?

3 5
( B )

3.cos75 ? ·cos15 ? 的值是: A.

1 2

B.

1 4

C.

D.

3 4
( B )

4.向量 a ? (1,?2) , b ? ( 2,1) ,则 (A) a ∥ b (C) a 与 b 的夹角为 60° 5.在下面给出的四个函数中,既是区间 (0, (B) a ⊥ b (D) a 与 b 的夹角为 30°

?
2

) 上的增函数,又是以 ? 为周期的偶函数的是
( D )

(A) y ? cos 2 x

(B) y ? sin 2 x

(C) y ?| cos x |

(D) y ?| sin x | B )

6.在锐角△ABC 中,设 x ? sin A ? sin B, y ? cos A ? cos B. 则 x,y 的大小关系为( (A) x ? y
? ?

(B) x ? y
? ?

(C) x ? y

(D) x ? y ( D )

7. tan 20 ? tan 40 ? 3 tan 20 tan 40 的值为

A 1

B

3 3

C - 3

D

3

8.设 a , b , c 是两两不共线的向量,下列命题中不正确的是: A、 | a ? b ? c |?| a | ? | b | ? | c | B、一定存在实数 ?1 , ?2 ,使得 c ? ?1 a ? ?2 b C、若 ?1 ? a ? ?2 ? b ? u1 ? a ? u2 ? b ,则必有 ?1 ? u1 且 ?2 ? u2 D、 (a ? b)c ? a(b ? c) 9. △ABC 中三个内角为 A、B、C,若关于 x 的方程 x2 ? x cos A cos B ? cos2

?

?

?

(

D

)

? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ?

? ? ?

C ? 0 有一根 2

为 1,则△ABC 一定是: ( B ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 10. .设 a,b,c 都为正实数,对任意实数 x ,不等式 a sin x ? b cos x ? c ? 0 恒成立时满足的条

25

件是 A. a 2 ? b2 ≥ c B. a 2 ? b2 ? c C. a 2 ? b2 ? c



C )

D. a 2 ? b2 ? c

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分,把正确的答案写在题中横线上) 11.若 a ? ( 2,3) 与 b ? ( ?4, y ) 共线,则 y = 12.函数 y=cosx+cos(x+ -6 ;

? )的最大值是____ 3 ______. 3 3 ? sin x 1 13. 函数 y ? 的值域为__________[ ,2]___________; 3 ? sin x 2
14. 关于函数 f ? x ? ? cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ,下列命题: ①若存在 x1 , x2 有 x1 ? x2 ? ? 时, f ? x1 ? ? f ? x2 ? 成立; ② f ? x ? 在区间 ? ? , ? 上是单调递增; ? 6 3? ③函数 f ? x ? 的图像关于点 ?

? ? ??

?? ? , 0 ? 成中心对称图像; ? 12 ?

④将函数 f ? x ? 的图像向左平移 题序号 1 3 ○○

5? 个单位后将与 y ? 2sin 2 x 的图像重合.其中正确的命 12

(注:把你认为正确的序号都填上)

三.解答题: 个小题共 54 分,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤) (6 ? ? ? ? ? 15. (本小题满分 8 分)已知 | a |? 3,| b |? 1.a 与 b 的夹角为 120 ,求: | a ? 3b |
解: | a ? 3b | ?

( a ? 3b) 2 ? 3

16. (本小题满分 8 分)求出函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x , x ? [0,

?
6

] 的最小值

1 3 f ( x) ? ?2(sin x ? ) 2 ? 2 2 解:
17(本题满分 8 分)已知 求 cos2? 的值. 解:因为

f m i n x) ? 1 (

?
2

? ? ?? ?

3? 12 3 , 且 cos( ? ? ) ? , ? ? ? ) ? ? , ? sin( 4 13 5

3? 3? ? , 所以 ? ? ? ? ? ? , 0?? ?? ? , 2 4 2 4 12 3 5 4 又因为 cos( ? ? ) ? ? , ? ? ? ) ? ? ,所以 sin(? ? ? ) ? , ? ? ? ) ? ? , sin( cos( 13 5 13 5

?

? ? ?? ?

26

所以 cos 2? ? cos[( ? ? ) ? (? ? ? )] ? cos( ? ? ) cos( ? ? ) ? sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) ? ? ? =

12 4 5 3 63 ? (? ) ? ? (? ) ? ? 。 13 5 13 5 65

18. (本题满分 10 分)化简: (tan 5? ? cot 5?) 解法一:化弦法:原式= ( 解法二: (化切法)

sin 20? 。 1 ? cos 20?

sin 5? cos5? 2 sin10? cos10? sin 2 5? ? co 2 s5? sin10? ? ) ? ? ? ?2 cos5? sin 5? cos5? sin 5? cos10? 2 cos2 10?

19(本题满分 10 分)已知函数 f ( x) ?

3 2 1 3 2 1 sin x ? cos x, x ? R . 2 2 2 2

(1)画出函数 f ( x) 在长度为一个周期的闭区间上的简图; (2)求函数 f ( x) 的最值及取最值时自变量 x 的集合; (3)求函数 f ( x) 的单调递减区间. 座位号

解、已知函数

1 ? f ( x) ? 3 sin( x ? ), x ? R . 2 4 1 ? ? (1)令 x ? ? Z ,则有 x ? 2Z ? , 2 4 2
列表如下:

Z

0

? 2
3? 2

?
5? 2

3? 2 7? 2

2?
9? 2

x

? 2

f (x)

0

3

0

?3

0

则函数 f ( x) 在长度为一个周期的闭区间上的简图如下图;
27

y
3

o
?3

? 2

?

3? 2

2?

5? 2

3?

7? 2

4?

9? 2

x

1 ? ? x ? ? ? 2k? (k ? Z ) , 2 4 2 3? 则 x ? 4k? ? (k ? Z ) 时,函数 f ( x) 有最大值为 3, 2 3? 此时自变量 x 的集合为 {x | x ? 4k? ? , k ? Z} , 2 1 ? 3? 当 x? ? ? 2k? (k ? Z ) , 2 4 2 7? 则 x ? 4k? ? (k ? Z ) 时,函数 f ( x) 有最小值为 ? 3 , 2 7? 此时自变量 x 的集合为 {x | x ? 4k? ? , k ? Z} ; 2 ? 1 ? 3? (3)当 ? 2k? ? x ? ? ? 2k? (k ? Z ) 时, 2 2 4 2 3? 7? 则 4k? ? ? x ? 4k? ? (k ? Z ) 时,函数 f ( x) 为减函数, 2 2 3? 7? 则函数 f ( x) 的单调递减区间为 [4k? ? ,4k? ? ]( k ? Z ) . 2 2
(2)当 20. (本题满分 10 分) 已知 M (1 ? cos 2 x,1), N (1, 3 sin 2 x ? a) ( x ? R, a ? R, a 是常数) , 且 y ? OM ? ON ( O 为坐标原点). (1)求 y 关于 x 的函数关系式 y ? f (x) ; (2)若 x ? [0,

?
2

] 时, f (x) 的最大值为 4,求 a 的值;

(3)在满足(2)的条件下,说明 f (x) 的图象可由 y ? sin x 的图象如何变化而得到?

解: (1) y ? OM ? ON ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? a ,所以
f ( x) ? c o 2 x ? 3 s i n x ? 1 ? a s 2

28

(2) f ( x) ? 2 sin(2 x ?

?
6

) ? 1 ? a ,因为 0 ? x ?

?
2

, 所以

7? ? ? ? , 当 2 x ? ? 即 x ? 时 f (x) 取最大值 3+ a , 6 6 6 6 2 6 所以 3+ a =4, a =1 ? ? (3)①将 y ? sin x 的图象向左平移 个单位得到函数 f ( x) ? sin(x ? ) 的 6 6 图象; ? 2x ? ?

?

?

②将函数 f ( x) ? sin(x ? 来的

?
6

) 的图象保持纵坐标不变,横坐标缩短为原

1 ? 得到函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) 的图象; 2 6

③将函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?

6

纵坐标伸长为原 ) 的图象保持横坐标不变,

来的 2 倍得到函数 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ④将函数 f ( x) ? 2 s in(2 x ?
f ( x) ? 2 sin(2 x ?

?
6

) 的图象;

?
6

) 的图象向上平移 2 个单位,得到函数

?
6

) +2 的图象.
座位号
2 2

附加题 1: (本题满分 10 分)已知 sin 20? ? sin 20? cos50? ? cos 50? ?

3 4

sin 2 10? ? sin10? cos 40? ? cos2 40? ?
则当 ? , ? 满足关系式: ? ? ? ? 并证明。 证明:略

3 ,?? , 4
2

?
6

时, sin ? ? sin ? cos ? ? cos ? ?
2

3 4

附加题 2: (本题满分 10 分)在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心 位于城市 O(如图)的东偏南 ? (其中 ? ? arccos

2 )方向 300 km 海平面 P 处,并以 20 10

km/h 的速度向西偏北 45°方向移动, 台风侵袭区域为圆形, 当前半径为 60 km, 并以 10 km/h 的速度不断增大。 问:几小时后该城市开始受到台风侵袭. 解:如图,设 t 时刻台风中心为 Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为(10t+60) km, 若在 t 时刻城市 O 受到台风侵袭则 OQ≤10t+60. 分 由 QO ? PO ? PQ ,所以, | QO |?| PO ? PQ | (或由余弦定理),
29

………3

????

??? ??? ? ?

????

??? ??? ? ?



OQ2=PQ2+PO2 - 2PQ · PO

cos ?OPQ . 由 于

PO=300 , PQ=20t .

cos ?OPQ ? cos(arccos

2 2 2 2 4 2 ? ? ? 1? 2 ? = ? )= 2 2 5 10 4 10 10

故 OQ2=(20t)2+3002-2×20t×300×

4 =202t2-9600t+3002. 5

………7 分 ………9 分

因此,202t2-9600t+3002≤(10t+60)2,即 t2-36t+288≤0.

∴(t-12)(t-24)≤0.∴12≤t≤24.故经过 12 小时后,台风开始袭击该城市. ………10 分
北 O 海 岸 线 东

? ?

Q 45°

??

.

P

30



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