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高中排列组合知识点汇总及典型例题(全)



一.基本原理 1.加法原理:做一件事有 n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2.乘法原理:做一件事分 n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。 二.排列:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一
m 列,叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的一

个排列,所 有排列的个数记为 An .

m 1.公式:1. An ? n?n ? 1??n ? 2?……?n ? m ? 1? ?

n! ?n ? m?!

2. 规定:0! ? 1 (1) n! ? n ? (n ? 1)!,(n ? 1) ? n! ? (n ? 1)! (2) n ? n! ? [(n ? 1) ?1] ? n! ? (n ? 1) ? n!? n! ? (n ? 1)!? n! ; (3)
n n ?1 ?1 n ?1 1 1 1 ? ? ? ? ? (n ? 1)! (n ? 1)! (n ? 1)! (n ? 1)! n ! (n ? 1)!

三.组合:从 n 个不同元素中任取 m(m≤n)个元素并组成一组,叫做从 n 个不同的 m 元素中任取 m 个元素 的组合数,记作 Cn 。 1. 公式:
Cm n ? n? n ? 1?…… ? n ? m ? 1? Am n! n ? ? m m! m!? n ? m?! Am
0 规定:Cn ?1

2.组合数性质:

m n ?m m m?1 m 0 1 n Cn ? Cn ,Cn ? Cn ? Cn …? Cn ? 2n ?1,Cn ? Cn ? …


注:C ? C
r r r r ?1

;②
?C
r r ?2

;③
C
r n?1

;④
?C
r r ?2

?

?C ? C
r n

r ?1 r ?1

?C

r r ?1

?

r r r ?1 r Cn ?1 ? Cn ? Cr ?2 ? Cr ?2 ?

r r r ?1 Cn ?1 ? Cn ? Cn ?1

m1 m2 若 Cn ? Cn 则m1 =m2或m1 +m2 ? n 四. 处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事 (审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2.解排列、组合题的基本策略 (1)两种思路:①直接法; ②间接法:对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用 题时一种常用的解题方法。 (2)分类处理:当问题总体不好解决时,常分成若干类,再由分类计数原理得出结论。注意:分类不重复不 遗漏。即:每两类的交集为空集,所有各类的并集为全集。 (3)分步处理:与分类处理类似,某些问题总体不好解决时,常常分成若干步,再由分步计数原理解决。在 处理排列组合问题时,常常既要分类,又要分步。其原则是先分类,后分步。 (4)两种途径:①元素分析法;②位置分析法。 3.排列应用题: (1)穷举法(列举法):将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来; (2)、特殊元素优先考虑、特 殊位置优先考虑; (3).相邻问题:捆邦法: 对于某些元素要求相邻的排列问题,先将相邻接的元素“捆绑”起来,看作一“大”元素与其余元素排列, 然后再对相邻元素内部进行排列。 (4)、全不相邻问题,插空法:某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好 没有限制条件的元素,然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。 (5)、顺序一定,除法处理。先排后除或先定后插 解法一:对于某几个元素按一定的顺序排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列,然后用总 的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排,再除以定序元素的全排列。 解法二:在总位置中选出定序元素的位置不参加排列,先对其他元素进行排列,剩余的几个位置放定序的元 素,若定序元素要求从左到右或从右到左排列,则只有 1 种排法;若不要求,则有 2 种排法; (6)“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时,可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列, 最后再进行“小团体”内部的排列。 (7)分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题,可归纳为一排考虑,再分段处理。 (8).数字问题(组成无重复数字的整数) ① 能被 2 整除的数的特征:末位数是偶数;不能被 2 整除的数的特征:末位数是奇数。②能被 3 整除的数的 特征:各位数字之和是 3 的倍数;

③能被 9 整除的数的特征:各位数字之和是 9 的倍数④能被 4 整除的数的特征:末两位是 4 的倍数。 ⑤能被 5 整除的数的特征:末位数是 0 或 5。 ⑥能被 25 整除的数的特征:末两位数是 25,50,75。 ⑦能被 6 整除的数的特征:各位数字之和是 3 的 倍数的偶数。 4.组合应用题:(1).“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: (2). “含”与“不含” 用间 接排除法或分类法: 3.分组问题: 均匀分组:分步取,得组合数相乘,再除以组数的阶乘。即除法处理。 非均匀分组:分步取,得组合数相乘。即组合处理。 混合分组:分步取,得组合数相乘,再除以均匀分组的组数的阶乘。 4.分配问题: 定额分配:(指定到具体位置)即固定位置固定人数,分步取,得组合数相乘。 随机分配:(不指定到具体位置)即不固定位置但固定人数,先分组再排列,先组合分堆后排,注意平均分 堆除以均匀分组组数的阶乘。 5.隔板法: 不可分辨的球即相同元素分组问题 例 1.电视台连续播放 6 个广告,其中含 4 个不同的商业广告和 2 个不同的公益广告,要求首尾必须播放公 益广告,则共有 种不同的播放方式(结果用数值表示). 解:分二步:首尾必须播放公益广告的有 A22 种;中间 4 个为不同的商业广告有 A44 种,从而应当填 A22·A44= 48. 从而应填 48. 例 3.6 人排成一行,甲不排在最左端,乙不排在最右端,共有多少种排法? 6 5 5 4 解一:间接法:即 A6 ? A5 ? A5 ? A4 ? 720 ? 2 ?120 ? 24 ? 504 解二:(1)分类求解:按甲排与不排在最右端分类. 5 1 1 (1) 甲排在最右端时,有 A5 种排法; (2) 甲不排在最右端(甲不排在最左端)时,则甲有 A4 种排法,乙有 A4
4 1 1 4 5 1 1 4 种排法,其他人有 A4 种排法,共有 A4 种排法,分类相加得共有 A5 + A4 =504 种排法 A4 A4 A4 A4 例.有 4 个男生,3 个女生,高矮互不相等,现将他们排成一行,要求从左到右,女生从矮到高排列,有多少 种排法? 4 分析一:先在 7 个位置上任取 4 个位置排男生,有 A 7 种排法.剩余的 3 个位置排女生,因要求“从矮到高”,

4 只有 1 种排法,故共有 A 7 ·1=840 种.

1.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则不同的取法共有 解析 1:逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号的电视机,故不同的取法共有 3 3 3 C9 ? C4 ? C5 ? 70 种,选. C 解析 2:至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况:甲型 1 台乙型 2 台;甲型 2 台乙型 1 台;故不同的 2 1 1 2 取法有 C5 C4 ? C5 C4 ? 70 台,选 C . 2.从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加辩论比赛 (1)如果 4 人中男生和女生各选 2 人,有 种选法; (2)如果男生中的甲与女生中的乙必须在内,有 种选法; (3)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有 1 人在内,有 种选法; (4)如果 4 人中必须既有男生又有女生,有 种选法 分析:本题考查利用种数公式解答与组合相关的问题.由于选出的人没有地位的差异,所以是组合问题. 2 2 解:(1)先从男生中选 2 人,有 C52 种选法,再从女生中选 2 人,有 C4 种选法,所以共有 C52C4 =60(种);
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

2 2 (2)除去甲、乙之外,其余 2 人可以从剩下的 7 人中任意选择,所以共有 C2 C7 =21(种);

4 4 (3)在 9 人选 4 人的选法中,把甲和乙都不在内的去掉,得到符合条件的选法数: C9 =91(种); ? C7 直接法,则可分为 3 类:只含甲;只含乙;同时含甲和乙,得到符合条件的方法数 1 3 1 3 2 2 3 3 2 =91(种). C1 C7 ? C1 C7 ? C2 C7 ? C7 ? C7 ? C7 4 4 4 (4)在 9 人选 4 人的选法中,把只有男生和只有女生的情况排除掉,得到选法总数 C9 =120(种). ? C5 ? C4

1 3 2 2 3 1 直接法:分别按照含男生 1、2、3 人分类,得到符合条件的选法为 C5 C4 ? C5 C4 ? C5 C4 =120(种).

1.6 个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐 4 人,则不同的乘车方法数为( A.40 B.50 C.60 D.70 [解析]
2 6

)

C3 6 先分组再排列,一组 2 人一组 4 人有 C =15 种不同的分法;两组各 3 人共有 2=10 种不同的分法, A2

所以乘车方法数为 25×2=50,故选 B. 2.有 6 个座位连成一排,现有 3 人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( ) A.36 种 B.48 种 C.72 种 D.96 种 2 [解析] 恰有两个空座位相邻, 相当于两个空位与第三个空位不相邻, 先排三个人, 然后插空, 从而共 A3 3A4= 72 种排法,故选 C. 3.只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相邻出现,这样的四 位数有( ) A.6 个 B.9 个 C.18 个 D.36 个 [解析] 注意题中条件的要求,一是三个数字必须全部使用,二是相同的数字不能相邻,选四个数字共有 C1 3 2 2 =3(种)选法,即 1231,1232,1233,而每种选择有 A2×C3=6(种)排法,所以共有 3×6=18(种)情况,即这样 的四位数有 18 个. 4.男女学生共有 8 人,从男生中选取 2 人,从女生中选取 1 人,共有 30 种不同的选法,其中女生有( ) A.2 人或 3 人 B.3 人或 4 人 C.3 人 D.4 人 1 [解析] 设男生有 n 人,则女生有(8-n)人,由题意可得 C2 nC8-n=30,解得 n=5 或 n=6,代入验证,可知女 生为 2 人或 3 人. 5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共 10 级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从二楼到三楼用 8 步走完,则方法有( ) A.45 种 B.36 种 C.28 种 D.25 种 [解析] 因为 10÷8 的余数为 2, 故可以肯定一步一个台阶的有 6 步, 一步两个台阶的有 2 步, 那么共有 C2 8= 28 种走法. 6.某公司招聘来 8 名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门, 另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门,则不同的分配方案共有( ) A.24 种 B.36 种 C.38 种 D.108 种 [解析] 本题考查排列组合的综合应用,据题意可先将两名翻译人员分到两个部门,共有 2 种方法,第二步 1 2 将 3 名电脑编程人员分成两组,一组 1 人另一组 2 人,共有 C1 3种分法,然后再分到两部门去共有 C3A2种方法, 第三步只需将其他 3 人分成两组,一组 1 人另一组 2 人即可,由于是每个部门各 4 人,故分组后两人所去的 1 2 1 部门就已确定,故第三步共有 C1 3种方法,由分步乘法计数原理共有 2C3A2C3=36(种). 7. 已知集合 A={5}, B={1,2}, C={1,3,4}, 从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标, 则确定的不同点的个数为( ) A.33 B.34 C.35 D.36 3 [解析] ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含 1 的有 C1 2·A3=12 个; 3 3 ②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有 1 个 1 的有 C1 2·A3+A3=18 个; ③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有 2 个 1 的有 C1 3=3 个. 故共有符合条件的点的个数为 12+18+3=33 个,故选 A. 8.由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是( ) A.72 B.96 C.108 D.144 2 1 2 2 3 [解析] 分两类:若 1 与 3 相邻,有 A2·C3A2A3=72(个),若 1 与 3 不相邻有 A3 3·A3=36(个) 故共有 72+36=108 个. 9.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连 续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有( ) A.50 种 B.60 种 C.120 种 D.210 种 [解析] 先安排甲学校的参观时间, 一周内两天连排的方法一共有 6 种: (1,2)、 (2,3)、 (3,4)、 (4,5)、 (5,6)、 2 (6,7),甲任选一种为 C1 ,然后在剩下的 5 天中任选 2 天有序地安排其余两所学校参观,安排方法有 A 6 5种,按 1 2 照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法 C6·A5=120 种,故选 C. 10.安排 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在 5 月 1 日 和 2 日,不同的安排方法共有________种.(用数字作答) 5 [解析] 先安排甲、乙两人在后 5 天值班,有 A2 5=20(种)排法,其余 5 人再进行排列,有 A5=120(种)排法, 所以共有 20×120=2400(种)安排方法. 11. 今有 2 个红球、 3 个黄球、 4 个白球, 同色球不加以区分, 将这 9 个球排成一列有________种不同的排法. (用 数字作答) 4 2 3 [解析] 由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有 C9·C5·C3=1260(种)排法. 12.将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个组各 2 人,另两个组各 1 人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同

的分配方案有________种(用数字作答).
2 C2 6C4 [解析] 先将 6 名志愿者分为 4 组,共有 2 种分法,再将 4 组人员分到 4 个不同场馆去, A2 2 2 C6·C4 共有 A4 ·A4 4种分法,故所有分配方案有: 4=1 080 种. 2 A2 13.要在如图所示的花圃中的 5 个区域中种入 4 种颜色不同的花,要求相邻区域不同色, 有________种不同的种法(用数字作答).

[解析] 5 有 4 种种法,1 有 3 种种法,4 有 2 种种法.若 1、3 同色,2 有 2 种种法,若 1、3 不同色,2 有 1 种种法,∴有 4×3×2×(1×2+1×1)=72 种. 14. 将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中.若每个信封放 2 张,其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有 (A)12 种 (B)18 种 (C)36 种 (D)54 种 【解析】标号 1,2 的卡片放入同一封信有 种方法;其他四封信放入两个信封,每个信封两个有 种方

法,共有 种,故选 B. 15. 某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班,每天 1 人,每人值班 1 天,若 7 位员工中的甲、乙排在相 邻两天,丙不排在 10 月 1 日,丁不排在 10 月 7 日,则不同的安排方案共有 A. 504 种 B. 960 种 C. 1008 种 D. 1108 种 2 1 4 解析:分两类:甲乙排 1、2 号或 6、7 号 共有 2 ? A2 A4 A4 种方法 2 4 1 1 3 甲乙排中间,丙排 7 号或不排 7 号,共有 4 A2 ( A4 ? A3 A3 A3 ) 种方法 故共有 1008 种不同的排法

排列组合 二项式定理 1,分类计数原理 完成一件事有几类方法,各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法(每一种都可以 独立的完成这个事情) 分步计数原理 完成一件事,需要分几个步骤,每一步的完成有多种不同的方法 2,排列 排列定义:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素(被取出的元素各不相同) ,按照一定的顺序 排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。 排列数定义;从 n 个不同元素中,任取 m (m≤n)个元素的所有排列的个数 公式

A

m n

A

m n

=

n! 规定 0 ! =1 (n ? m)!

3,组合 组合定义 从 n 个不同元素中,任取 m (m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元 素的一个组合 组合数 从 n 个不同元素中,任取 m (m≤n)个元素的所有组合个数

C

m n

C

m n

=

n! m !( n ? m)!

性质

C =C
n

m

n?m n

C

m n ?1

? Cn ?Cn

m

m ?1

排列组合题型总结 一. 直接法

1 .特殊元素法 例 1 用 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字组成无重复的四位数,试求满足下列条件的四位数各有多少个 (1)数字 1 不排在个位和千位 (2)数字 1 不在个位,数字 6 不在千位。
2 2 分析: (1 ) 个位和千位有 5 个数字可供选择 A52 , 其余 2 位有四个可供选择 A4 , 由乘法原理:A52 A4 =240

2.特殊位置法
1 1 2 3 (2)当 1 在千位时余下三位有 A5 =60,1 不在千位时,千位有 A4 种选法,个位有 A4 种,余下的有 A4 , 1 1 2 共有 A4 =192 所以总共有 192+60=252 A4 A4

4 3 2 二 间接法 当直接法求解类别比较大时,应采用间接法。如上例中(2)可用间接法 A6 =252 ? 2 A5 ? A4

Eg 有五张卡片,它的正反面分别写 0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7,8 与 9,将它们任意三张并排放在 一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数?

2 2 3 3 分析: :任取三张卡片可以组成不同的三位数 C5 个,其中 0 在百位的有 C4 个,这是不 ? 2 2 ? A2 ? 23 ? A3 2 2 3 3 合题意的。故共可组成不同的三位数 C5 - C4 =432 ? 2 2 ? A2 ? 23 ? A3

Eg

三个女生和五个男生排成一排

(1) 女生必须全排在一起 有多少种排法( 捆绑法) (2) 女生必须全分开 (插空法 须排的元素必须相邻) (3) 两端不能排女生 (4) 两端不能全排女生 (5) 如果三个女生占前排,五个男生站后排,有多少种不同的排法 二. 插空法 例3 当需排元素中有不能相邻的元素时,宜用插空法。

在一个含有 8 个节目的节目单中,临时插入两个歌唱节目,且保持原节目顺序,有多少中插入

方法?
1 1 分析:原有的 8 个节目中含有 9 个空档,插入一个节目后,空档变为 10 个,故有 A9 =100 中插 ? A10

入方法。 三. 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时,宜用捆绑法。
2 3 种( C4 A3 )

1.四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中,若使每个盒子不空,则不同的放法有

,2,某市植物园要在 30 天内接待 20 所学校的学生参观,但每天只能安排一所学校,其中有一所学校人数较
1 19 多,要安排连续参观 2 天,其余只参观一天,则植物园 30 天内不同的安排方法有( C29 ) (注意连续参 ? A28 1 观 2 天, 即需把 30 天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有 C 29 其余的就是 19 所学校选 28 天进行

排列) 四. 阁板法 名额分配或相同物品的分配问题,适宜采阁板用法

例 5 某校准备组建一个由 12 人组成篮球队,这 12 个人由 8 个班的学生组成,每班至少一人,名额分配 方案共 种 。

分析:此例的实质是 12 个名额分配给 8 个班,每班至少一个名额,可在 12 个名额种的 11 个空当中插
7 入 7 块闸板,一种插法对应一种名额的分配方式,故有 C11 种

五 平均分推问题 eg 6 本不同的书按一下方式处理,各有几种分发? (1) 平均分成三堆, (2) 平均分给甲乙丙三人 (3) 一堆一本,一堆两本,一对三本 (4) 甲得一本,乙得两本,丙得三本(一种分组对应一种方案) (5) 一人的一本,一人的两本,一人的三本
3 分析:1,分出三堆书(a1,a2),(a3,a4), (a5,a6)由顺序不同可以有 A3 =6 种,而这 6 种分法只算一种分
2 2 2 C6 C4 C2 =15 种 3 A3

堆方式,故 6 本不同的书平均分成三堆方式有

2,六本不同的书,平均分成三堆有 x 种,平均分给甲乙丙三人 就有 x A 3 种 3,
3

CCC
6 4 3 3 3

2

2

2 2 1 2 3

CCC
6 5

1

2

5, A 3 C 6C 5C 3

五. 合并单元格解决染色问题 Eg 如图 1,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不 得使用同一颜色,现有四种颜 色可供选择,则不同的着色方法共有 种(以数字作答) 。

分析:颜色相同的区域可能是 2、3、4、5. 下面分情况讨论: (ⅰ)当 2、4 颜色相同且 3、5 颜色不同时,将 2、4 合并成一个单元格,此时不同的着色方法相当于 4 个
2,4

元素

①③⑤的全排列数 A4
4

4

(ⅱ)当 2、4 颜色不同且 3、5 颜色相同时,与情形(ⅰ)类似同理可得 A4 种着色法. (ⅲ)当 2、4 与
2,4

3、5 分别同色时,将 2、4;3、5 分别合并,这样仅有三个单元格
3,5

① 从 4 种颜色中选 3 种来着色这三个单元格,计有 C 4 ? A3 种方法. 由加法原理知:不同着色方法共有 2 A4 ? C 4 A3 =48+24=72(种)
4 3 3 3 3

练习 1(天津卷(文) )将 3 种作物种植 1 2 3 4 5

在如图的 5 块试验田里,每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 , 不同的种植方法共 种(以数字作答) (72)

2.某城市中心广场建造一个花圃,花圃 6 分为个部分(如图 3) ,现要栽种 4 种颜色的花,每部分栽种一 种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话,不同的栽种方法有
5 6 2 1 3 4

种(以数字作答) . (120)

B A C D E

图3

图4

3.如图 4,用不同的 5 种颜色分别为 ABCDE 五部分着色,相邻部分不能用同一颜色,但同一种颜色可以 反复使用也可以不用,则符合这种要求的不同着色种数. (540) 4.如图 5:四个区域坐定 4 个单位的人,有四种不同颜色的服装,每个单位的观众必须穿同种颜色的服装,

A 且相邻两区域的颜色不同,不相邻区域颜色相同,不相邻区域颜色相同与否不受限制,那么不同的着色方法 E B 是 种(84) D C
4 1 2 3

图5

图6

5.将一四棱锥(图 6)的每个顶点染一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,若只有五种颜色可供使用,则 不同的染色方法共 种(420)



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