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高二数学---二项式定理



1.3 二 项 式 定 理
宜昌市第十八中学高二

数学备课组

引入
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 (a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3 那么将(a+b)4 ,(a+b)5 . 的各项是什么呢?
. .展开后,它们

对(a+b)2展开式的分析
(a

+b)2= (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为:a2 , ab , b2
考虑b

每个都不取b的情况有1种,即C20 ,则a2前的系 数为C20 恰有1个取b的情况有C21种,则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种,则b2前的系数为C22 (a+b)2 = a2 +2ab+b2 =C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 (a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3

= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3

(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)=?

问题:
1).(a+b)4展开后各项形式分别是什么? a4 a3b a2b2 ab3 b4 2).各项前的系数代表着什么? 各项前的系数 就是在4个括号中选几个 取b的方法种数 3).你能分析说明各项前的系数吗?

3).你能分析说明各项前的系数吗? a4 a3b a2b2 ab3 b4 每个都不取b的情况有1种,即C40 ,则a4前的 系数为C40
恰有1个取b的情况有C41种,则a3b前的系数为C41 恰有2个取b的情况有C42 种,则a2b2前的系数为C42 恰有3个取b的情况有C43 种,则ab3前的系数为C43 恰有4个取b的情况有C44种,则b4前的系数为C44

则 (a+b)4 = C40 a4 +C41 a3b +C42 a2b2 +C43 ab3 +C44 b4

二项展开式定理
n 0 n

(a ? b) ? C a ? C a
n 1 n

一般地,对于n ? N*有
r n

n ?1

b?C a
2 n r

n? 2

b ?
2 n

右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式 Cnr an-rbr:二项展开式的通项,记作T T r+1 r ?1 Cnr : 二项式系数
注1).二项展开式共有n+1项 2).各项中a的指数从n起依次减小1,到0为此 各项中b的指数从0起依次增加1,到n为此 如(1+x)n =1+ Cn1 x+ Cn2 x2+ … +Cnr xr +…+ xn

?C a

n? r

b ?

?C b
n n

1 4 例1:展开(1+ ) x





1 4 1 1 2 1 2 3 1 3 解( : 1+ ) ? 1 ? C 4 ( ) ? C 4 ( ) ? C 4 ( ) x x x x 4 6 4 1 4 1 4 ? C4 ( ) ? 1 ? ? 2 ? 3 ? 4 . x x x x x

应 用 1 6 例2: 展 开 (2 x ? ) ,并求第 3项 的 x 二项式系数和第 6项 的 系 数 1 6 1 6 ) = 3 (2x ? 1) 解: (2 x ? x x 1 6 1 5 2 4 3 3 = 3 [(2x) ? C6 (2 x) ? C6 (2 x) ? C6 (2 x) x
60 12 1 =64 x ? 192 x ? 240 x ? 160 ? ? 2 ? 3 x x x 2
3 2

?C (2x) ? C (2x) ? C ]
4 6 2 5 6 6 6

C6 ? 15 5 5 第6项系数为 C6 2 ? (?1) ? ?12
第3项的二项式系数为

注:1)注意对二项式定理的灵活应用
2)注意区别二项式系数与项的系数的概念 r 二项式系数为 C n ;

项的系数为:二项式系数与数字系数的积
3)求二项式系数或项的系数的一种方法是将 二项式展开

例3、求(x+a)12的展开式中的倒数第4项
12 ( x ? a ) 的展开式有13项, 倒数第4项是它的第10项. 解:

9 12?9 9 T9?1 ? C12 x a ? 220x3a9 .

例4、(1)求(1+2x) 的展开式的第4项的系数
解:

7

1 9 3 (2)求(x ? ) 的展开式中x 的系数和中间项 x

(1)T3?1 ? C 1 (2x)
(2)Tr ?1 ? C x
r 9 9?r

3 7?3 7

3

第四项系数为280.

1 r (? ) ? (?1) r C9r x 9? 2 r . x
3 3 3 9

由9 ? 2r ? 3, 得r=3.故x 的系数为(-1) C ? ?84.

练习:

x 3 9 ) 的展开式常数项 1、求 ( ? 3 x
解:
r 9 1 9? r ? r 2

x 9?r 3 r r 1 9?r r Tr ?1 ? C ( ) ( ) ? C9 ( ) 3 x 3 3 x 1 由9-r- r ? 0得r ? 6. 2
1 9?6 6 T7 ? C ( ) 3 ? 2268 3
6 9

练习:

x 3 9 ) 的展开式的中间两项 2、求 ( ? 3 x
x 9? 4 3 4 3 T5 ? T4?1 ? C ( ) ( ) ? 42 x 3 x
4 9

解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项。

x 9 ?5 3 5 T6 ? T5?1 ? C ( ) ( ) ? 42 x 3 x
5 9

3 2





1)注意二项式定理 中二项展开式的特征 2)区别二项式系数,项的系数

3)掌握用通项公式求二项式系数,项的系 数及项

课堂练习:P31
1、2、3、4

课外作业:P36
习题1.3 1、2、3



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